HAL Id: hal-00604057
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Preprint submitted on 30 Jun 2011
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Espaces de Hardy et compacité par compensation : un résultat en dimension deux
Fabien Flori, Catherine Giacomoni
To cite this version:
Fabien Flori, Catherine Giacomoni. Espaces de Hardy et compacité par compensation : un résultat
en dimension deux. 2010. �hal-00604057�
Espaces de Hardy et compacit´ e par compensation Un r´ esultat en dimension 2
Fabien Flori
Universit´e Fran¸caise d’Egypte, fabien.flori@ufe.edu.eg Catherine Giacomoni
Universit´e de Corse, giaco@univ-corse.fr
R´ esum´ e - Nous donnons un r´esultat faisant apparaˆıtre un ph´enom`ene de l´eger gain en r´egularit´e dans des quantit´es non lin´eaires par rapport `a leur r´egularit´e apparente.
On d´efinit l’espace de Hardy g´en´eralis´e introduit par E. Stein et G. Weiss [3] que nous noterons H
1H
1(R
2) =
½
f ∈ L
1(R
2)/ sup
η≥0
|h
η? f | ∈ L
1(R
2)
¾
o`u h
η(x) = 1 η
2h
µ x η
¶
≥ 0 appartient `a C
0∞(R
2) et v´erifie :
supph
η(x) ⊂ B
ηx, Z
R2
h
η(x)dx = 1.
On travaille dans ce qui suit sur des espaces de Hardy d´efinis sur des domaines born´es et en particulier on pose :
H
z1(Ω) = ©
f ∈ L
1(Ω)/f
z∈ H
1(R
2) ª
o`u f
zest le prolongement de f par 0 dans R
2. Notons que toute fonction f dans H
1z(Ω) v´erifie
Z
Ω
f dx = 0. Une norme sur cet espace est donn´ee par
||f||
H1z(Ω)= ||f
z||
H1z(R2).
On d´efinit l’espace de Hardy-Sobolev W
1H
1z(Ω) comme l’ensemble des fonctions φ de H
1z(Ω) dont les d´eriv´ees
∂x∂Φi
appartiennent aussi `a H
1z(Ω). On note W
01H
1z(Ω) la fermeture de C
0∞(Ω) dans W
1H
1z(Ω). On munit W
01H
1z(Ω) de la norme :
||φ||
W01Hz1(Ω)= ||div φ||
H1z(Ω)+ ||curl φ||
H1z(Ω). On montre le r´esultat suivant :
Th´ eor` eme 1 - Soit Ω un ouvert born´e de R
2et v = (v
1, v
2) ∈ L
∞(0, T ; L
2(Ω)) ∩ L
2(0, T ; H
01(Ω)) alors
v
iv
j∈ L
2(0, T ; W
1H
z1(Ω)) ∀i, j ∈ {1, 2}.
Remarque 1 - On retrouve ainsi un r´esultat classique en m´ecanique des
fluides lorsque le fluide est incompressible et que div v = 0. En effet, si v
iv
j∈
L
2(0, T ; W
1H
1z(Ω)) alors le terme d’advection (v.∇)v appartient `a L
2(0, T ; H
1z(Ω)) avec H
z1(Ω) ⊂ H
−1(Ω) dans le cas de la dimension 2 [2].
Lemme 1 - Si v ∈ L
∞(0, T ; L
2(Ω)) ∩ L
2(0, T ; H
01(Ω)) alors : curl (v
jv) ∈ L
2(0, T ; H
1z(Ω)) ∀j ∈ {1, 2}.
Preuve du lemme 1 - Dans ce qui suit, comme v ∈ L
∞(0, T ; L
2(Ω)) ∩ L
2(0, T ; H
01(Ω)), on prolonge v et
∂v∂xjipar 0 sur R
2− Ω.
Pour tout x ∈ Ω, on note B
ηxla boule de R
2de centre x et de rayon η. Sur chaque boule B
ηx, on peut toujours d´ecomposer v de fa¸con unique sous la forme :
v = ∇p
xη+ Curl q
xηavec Curlq = (
∂x∂q2, −
∂x∂q1), p
xη∈ H
1(B
ηx) et q
xη∈ H
01(B
ηx). Bien sˆur, si B
ηxet B
ηx00sont deux boules telles que B
∩= B
ηx∩ B
ηx006= ∅, sur chacune de ces boules, v se d´ecompose de fa¸con unique et il est clair que l’on n’a pas n´ecessairement Curl q
ηx= Curl q
ηx00sur B
∩. Toutefois, on a curl u = curl Curl q
ηx= curl Curl q
ηx00sur B
∩. Cette propri´et´e sera utile par la suite.
Sur chaque boule B
xηon a la d´ecomposition :
curl (v
jv) = curl (v
jCurl q
xη) − ∇p
xηCurl v
j.
On estime s´epar´ement chacun des termes du second membre en utilisant les pro- pri´et´es de la d´ecomposition v = ∇p
xη+ Curl q
xηsur chaque boule. On obtient une borne de curl (v
jv) dans L
2(0, T ; H
1z(Ω)) ind´ependante de η.
1` ere ´ etape - Estimation de ∇p
xηCurl v
j.
On adapte le th´eor`eme div −curl [1] au terme ∇p
xηCurl v
j.
¯ ¯ ∇p
xηCurl v
j∗ h
η(x) ¯
¯ =
¯ ¯
¯ ¯
¯ Z
Bxη
(∇p
xηCurl v
j)(y) 1 η
2h
µ x − y η
¶ dy
¯ ¯
¯ ¯
¯
Comme h
η(x) est `a support compact sur B
ηx, il vient :
¯ ¯ ∇p
xηCurl v
j∗ h
η(x) ¯
¯ =
¯ ¯
¯ ¯
¯ Z
Bηx
∇p
xη(y)
µ v
j− v
jη
¶ (y) 1
η
2Curl h
µ x − y η
¶ dy
¯ ¯
¯ ¯
¯
o`u v
j= Z
Bηx
− v
jdy et ∇p
xη= v −Curl q
ηx. Si on pose C
0= π||Curl h||
∞et mes(B
ηx) = πη
2on obtient :
¯ ¯ ∇p
xηCurl v
j∗ h
η(x) ¯
¯ ≤ C
0Z
Bηx
−
¯ ¯
¯ ¯ v
j(y) − v
jη
¯ ¯
¯ ¯ |v(y)|dy+C
0Z
Bxη
− |v
j(y) − v
j|
¯ ¯
¯ ¯
Curl q
ηx(y) η
¯ ¯
¯ ¯ dy
Avec l’in´egalit´e de Holder, en posant
β1+
β10= 1, on a :
¯ ¯ ∇p
xηCurl v
j∗ h
η(x) ¯
¯ ≤ C
1ÃZ
Bηx
−
¯ ¯
¯ ¯ v
j(y) − v
jη
¯ ¯
¯ ¯
β0
dy
!
1β0
ÃZ
Bηx
− |v|
βdy
!
1β
+C
1ÃZ
Bxη
− |v
j(y) − v
j|
βdy
!
1β
ÃZ
Bηx
−
¯ ¯
¯ ¯
Curl q
ηxη
¯ ¯
¯ ¯
β0
dy
!
1β0
On applique ensuite l’in´egalit´e de Sobolev-Poincar´e avec
α1−
12= 1 −
β1=
β10. Il vient d’une part :
ÃZ
Bηx
−
¯ ¯
¯ ¯ v
j(y) − v
jη
¯ ¯
¯ ¯
β0
dy
!
1β0
≤ C
2ÃZ
Bηx
− |∇v
j|
αdy
!
1α
et d’autre part, comme Z
Bxη
− Curl q
xηdy = 0, Curl q
ηx.n = 0 sur ∂B
ηxet curl v = curl Curl q
ηxsur B
ηx, il est clair avec l’in´egalit´e de Sobolev-Poincar´e que :
ÃZ
Bηx
−
¯ ¯
¯ ¯
Curl q
ηxη
¯ ¯
¯ ¯
β0
dy
!
1β0
≤ C
3ÃZ
Bxη
− |curl v|
αdy
!
1α
Ainsi : sup
η>0
¯ ¯ ∇p
xηCurl v
j∗ h
η(x) ¯
¯ ≤ C
4Ã sup
η>0
Z
Bηx
− |∇v
j|
αdy
!
1α
à sup
η>0
Z
Bxη
− |v|
βdy
!
1β
+C
5ÃZ
Bηx
− |v
j(y) − v
j|
βdy
!
1β
à sup
η>0
Z
Bxη
− |curl v|
αdy
!
1α
avec
ÃZ
Bηx
− |v
j(y) − v
j|
βdy
!
1β
≤ C
5ÃZ
Bxη
− |v
j(y)|
βdy
!
1β
+ C
5Z
Bxη
− |v
j(y)| dy
En posant sup
η>0
Z
Bηx
− |f |dy = M(f ), on parvient `a : Z
Ω
sup
η>0
¯ ¯ ∇p
xηCurl v
j∗ h
η(x) ¯ ¯ dx ≤ C
4Z
Ω
(M (|∇v
j|
α))
α1³ M
³
|v|
β´´
1β
dx
+C
5Z
Ω
³ M
³
|v
j|
β´´
1β
(M (|curl v |
α))
α1dx + C
5Z
Ω
(M (|v
j|)) (M (|curl v|
α))
α1dx On utilise `a nouveau l’in´egalit´e de Holder
1p+
p10= 1 :
Z
Ω
sup
η>0
¯ ¯ ∇p
xηCurl v
j∗ h
η(x) ¯ ¯ dx ≤ C
6||M (|∇v
j|
α) ||
α1Lαp(Ω)
¯ ¯
¯
¯ ¯
¯M
³
|v|
β´¯ ¯
¯
¯ ¯
¯
1 β
L
p0 β(Ω)
+C
7¯ ¯
¯
¯ ¯
¯M
³
|v
j|
β´¯ ¯
¯
¯ ¯
¯
1 β
Lp
0
β(Ω)
||M (|curl v|
α) ||
1αLαp(Ω)
+C
8||M (|v
j|)||
Lp0(Ω)||M (|curl v|
α) ||
α1Lαp(Ω)
.
Finalement en choisissant β
0< p
0et α < p on peut appliquer le th´eor`eme maximal de Hardy-Littlewood :
Z
Ω
sup
η>0
¯ ¯ ∇p
xηCurl v
j∗ h
η(x) ¯
¯ dx ≤ C
9||∇v
j||
Lp(Ω)||v||
Lp0(Ω)+C
10||v
j||
Lp0(Ω)
||curl v||
Lp(Ω)Si on fixe p = p
0= 2, comme v ∈ L
∞(0, T ; L
2(Ω)) ∩ L
2(0, T ; H
01[Ω)), alors : Z
Ω
sup
η>0
¯ ¯ ∇p
xηCurl v
j∗ h
η(x) ¯
¯ dx ≤ C(t) ∈ L
2(0, T )
Finalement, comme d’une part R
Ω
∇p
xηCurl v
jdx = 0 et que d’autre part ∇p
xηCurl v
j= 0 sur R
2− Ω (car on a prolong´e v
jet
∂v∂xji
par 0 sur R
2− Ω), on obtient :
∇p
xηCurl v
j∈ L
2(0, T ; H
1z(Ω)) (0.1) 2` eme ´ etape - Estimation de curl (v
jCurl q
ηx).
On a :
¯ ¯ curl (v
jCurl q
xη) ∗ h
η(x) ¯
¯ =
¯ ¯
¯ ¯
¯ Z
Bηx
1
η
2Curl h
µ x − y η
¶
v
j(y) Curl q
ηx(y)
η dy
¯ ¯
¯ ¯
¯
et avec l’in´egalit´e de Holder si
1β+
β10= 1 :
¯ ¯ curl (v
jCurl q
ηx) ∗ h
η(x) ¯ ¯ ≤ C
1¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ Ã
− Z
Bηx
|v
j|
β!
1β
− Z
Bxη
ï ¯ Curl q
xη¯
¯ η
!
β0
1 β0
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ .
Comme Z
Bxη
− Curl q
xηdy = 0, Curl q
xη.n = 0 sur ∂B
ηxet curl v = curl Curl q
ηxsur B
ηx, il est clair avec l’in´egalit´e de Sobolev-Poincar´e que :
ÃZ
Bηx
−
¯ ¯
¯ ¯
Curl q
ηxη
¯ ¯
¯ ¯
β0
dy
!
1β0
≤ C
2ÃZ
Bxη
− |curl v|
αdy
!
1α
avec
α1−
12= 1 −
β1=
β10. Ainsi, en posant sup
η>0
− Z
Bxη
|f | = M (f), on parvient `a : Z
Ω
sup
η>0
¯ ¯ curl (v
jCurl q
ηx) ∗ h
η(x) ¯
¯ dx ≤ C
4Z
Ω
³ M
³
|v
j|
β´´
1β
(M (|curl v|
α))
α1dx
et toujours avec l’in´egalit´e de Holder si
1p+
p10= 1 : Z
Ω
sup
η>0
¯ ¯ curl (v
jCurl q
xη) ∗ h
η(x) ¯
¯ dx ≤ C
5¯ ¯
¯
¯ ¯
¯M
³
|v
j|
β´¯ ¯
¯
¯ ¯
¯
1 β
L
p
β(Ω)
||M (|curl v|
α)||
α1Lp
0 α(Ω)
.
Finalement, si on choisit β < p = 2 et α < p
0= 2, le th´eor`eme du maximum de Hardy-Littlewood montre que :
Z
Ω
sup
η>0
¯ ¯ curl (v
jCurl q
xη) ∗ h
η(x) ¯
¯ dx ≤ C
6||v
j||
L2(Ω)||curl v ||
L2(Ω)∈ L
2(0, T ).
Finalement, comme d’une part : Z
Ω
curl (v
jCurl q
xη)dx = 0
et que d’autre part curl (v
jCurl q
ηx) = 0 sur R
2− Ω (car on a prolong´e v
jet
∂v∂xji
par 0 sur R
2− Ω), on obtient :
curl (v
jCurl q
ηx) ∈ L
2(0, T ; H
1z(Ω)). (0.2) De (0.1) et (0.2) on tire le r´esultat annonc´e dans le lemme.
Lemme 2 - Si v ∈ L
∞(0, T ; L
2(Ω)) ∩ L
2(0, T ; H
01(Ω)) alors : div (v
jv) ∈ L
2(0, T ; H
1z(Ω)).
Preuve du lemme 2 - En dimension 2 on remarque que : div (v
jv) = −curl (v
jα(v)), α(v) = (−v
2, v
1).
Sur chaque boule B
ηx, on peut toujours d´ecomposer α(v ) de fa¸con unique sous la forme :
α(v) = ∇r
ηx+ Curl s
xηavec r
ηx∈ H
1(B
ηx) et s
xη∈ H
01(B
ηx). On remarque que :
−div (v
jv) = curl (v
jα(v)) = curl (v
jCurl s
xη) − Curl v
j∇r
xη. On proc`ede alors comme au lemme 1 et on prouve que :
Z
Ω
sup
η>0
¯ ¯ Curl v
j∇r
xη∗ h
η(x) ¯
¯ dx ≤ C
1||∇v
j||
L2(Ω)||α(v)||
L2(Ω)+C
2||v
j||
L2(Ω)||curl α(v)||
L2(Ω)∈ L
2(0, T ), et Z
Ω
sup
η>0
