Chapitre 2 Formulation dynamique du système à deux bras

(1)

2.1. Introduction :

Le but de ce paragraphe est d’étudier la forme générale du modèle dynamique, de mettre en évidence les différents termes qui interviennent et de déduire les propriétés caractéristiques de ces termes.

La connaissance des équations dynamiques du mouvement des bras du manipulateur permet la description du comportement dynamique du robot. Ces équations sont utilisées pour la simulation par ordinateur afin de décrire le mouvement du robot et d’assurer son contrôle par le maintien de la réponse dynamique en accord avec les performances du système et les objectifs désirés.

Le modèle dynamique actuel pour les robots manipulateurs est obtenu par la formulation de Lagrange- Euler qui est simple et systématique.

2.2. La formulation de Lagrange- Euler [1] :

i i i

q L q

L dt

d 



 



















 , i =1,2,…, n Avec : L : lagrangien du système = K –P

K : énergie cinétique totale du système.

P : énergie potentielle totale du système.

qi: coordonnés généralisés.

 i : Force (ou couple) généralisée appliquée au système à l’articulation (i) pour commander le bras.

2.3. Les vitesses d’articulations pour le robot manipulateur [1] :

L’application de la formulation de Lagrange-Euler nécessite la connaissance de la vitesse en chaque articulation. Posons ⁱr_i la position d’un point se trouvant sur le bras du manipulateur par rapport au repère local qui est liée à l’articulation.

= ( x_i , y_i , z_i ,1)^T

Soit ⁰ri la position d’un point appartenant au bras manipulateur (i) par rapport à la base de coordonnée ( x₀ , y₀, z₀)

⁰ri = 0

Ti ⁱri

Avec ⁰T_i =⁰T₁ ¹T₂ …^i-1T_i

⁰Ti : La matrice de transformation homogène du i^ème bras par rapport à la base de coordonnée.

xi

y_i zi

1

ir_{i =}

(2-2) (2-1)

(2-3) (2-4)

(2)

^i-1Ti : La matrice de transformation homogène du i-1^ème bras par rapport à la base de coordonnée de i^ème bras

-Si l’articulation est rotoïde, on a :

-Si l’articulation est prismatique, on a :

, a ,

, _i _i

i 

 di : ce sont les paramètres géométriques du robot manipulateur.

L’expression de la vitesse est :

i-1T_i =

1 0

0 0

d cos

sin 0

sin a cos sin cos

cos sin

cos a sin sin sin

cos cos

i i

i

i i i i i

i i

i i i i i

i i























i-1Ti =

1 0

0 0

d cos

sin 0

0 cos sin cos

cos sin

0 sin

sin sin

cos cos

i i

i

i i i

i i

i i i

i i























(2-5)

(2-6)

i i j j

i i 0

1 j i i i 0 i i i 1 i 1 0

i i i 1 2 i 1 1 0 i i i 1 i 2 11 0

i i i 0 i

0 i

i 0

r q q

r T T r T T

r T T

T r T T

T

) r T dt ( ) d r dt ( v d

v















 















 

 



(2-7)

Figure 2-1 :Position d’un point sur le bras[1]

(3)

Avec ri 0

i



 , la dérivée partielle de ⁰Ti par rapport à qj peut être facilement calculée par l’aide de matrice Qi qui est définit par :

-Pour une articulation rotoïde [1], on a :

-Pour une articulation prismatique [1], on a :

Et cela donne :

Par exemple, pour un robot manipulateur avec tous les articulations sont rotoïde, on a : q_i = θ_i ,et en utilisant l’équation (2-5),

Alors, pour i = 1, 2,. . .,n















0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 Q_i











 



0 0 0

0

0 0 0

0

0 0 0

1

0 0 1 0

Q_i ^(2-8a)

(2-8b)

i 1 i i i

i 1 i

T q Q

T 



 



(2-9)

i 1 i i

i i

i

i i i i i

i i

i i i i i

i i

i i i i i i i

i i 1 i

T Q

1 0

0 0

d cos

sin 0

sin a cos sin cos

cos sin

sin a sin sin sin

cos cos

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0

cos a sin sin sin cos cos

sin a cos sin cos cos sin

T





























 

















 



















































 



  ^ ^



i j 0

i j T

T Q

T T

T q

T i

1 i j 1 j j 1 j 2 j 2 1 1 0

j i

0  

(2-10)

(4)

Cette équation (2-10) peut être interpréter par l’effet de mouvement de l’articulation (j) dans tous le bras (i).

Dans le but de simplifier la notation, posons :

Utilisant cette notation, vi s’écrit :

2.4. L’énergie cinétique du robot manipulateur [1] :

Posons Ki l’énergie cinétique du bras manipulateur ( i ),avec i = 1,2,…,n ;exprimée dans la base de coordonnée du système,soit dKi énergie cinétique d’une particule de masse dm appartenant au bras ( i ) on a :

En utilisant l’eq.(2-12) on obtient :

Soit

Si on utilise le tenseur d’inertie I_ij qui est définie :













 



i j 0

i j T

Q

U T ⁱ

1 j j 1 j 0

ij (2-11)





 









 i 

1 j

i i j ij

i U q r

v (2-12)

dm ) v v ( Tr dm

) v v ( trace

dm ) z y x

( dK

T i 2 i

T 1 i 2 i

1

2 2 2

12 i









(2-13)











 













 











 

















 



 

  



 

 



 



 



 



i

1 p

i

1 r

r p T ir T

i i i i 2 ip

i 1 i

i

1 p

i

1 r

r p T ir T i i i i 2 ip

1

i

1 p

i

1 r

r p T ir T i i i i 2 ip

1

i

1 p

i T

1 r

i i ir i

i 2 ip

i 1

q q U ) dm r r ( U Tr

dK K

q q U ) r dm r ( U Tr

dm q q U r r U Tr

dm r

q U r

q U Tr

dK

(2-14)

(2-15)

, ) 1 , z , y , x ( r avec

dm dm

z dm y dm x

dm z dm z dm z y dm z x

dm y dm z y dm y dm y x

dm x dm z x dm y x dm x dm

r r J

T i i i i i

i i

i

i 2

i i

i

i i

i 2

i i

i

i i

i 2

i

T i i i i i



















(2-16)

dm x x x

I _i _j

k 2 k ij

ij

 

^







  



 



   (2-17)

(5)

δij dit symbole de Kronecker,Ji s’exprime en tenseur d’inertie par :

) 1 , z , y , x (

r_i _i _i _i

i  , Les coordonnées du centre de gravité du bras manipulateur (i) L’énergie cinétique totale du robot manipulateur est :

2.5. L’énergie potentielle du robot manipulateur [1] :

Soit P énergie potentielle totale, P_i énergie potentielle du bras manipulateur (i)

Avec

(g=9.8062m/s² )

2.6. L’équation du mouvement du robot manipulateur [1]:

De l’éq.(2-19) et l’éq.(2-21),le lagrangien est égal : L = K – P















 



 

 



 







i i

i

i i zz yy xx yz

xz

i i yz

zz yy xx xy

i i xz

xy zz

yy xx

i

m z

m y

m x

m

z 2 m

I I I I

I

y m 2 I

I I I I

x m I

2 I I I I

J

(2-18)

   

   













 



n

1 i

n

1 i

i

1 p

i

1 r

r p T ir i 2 ip

i 1 Tr U J U q q

K K

  

  









 

n

1 i

i

1 p

i

1 r

r p T ir i 2 ip

1 Tr (U J U )q q

K (2-19)

 

 













n

1 i

n

1 i

i i i 0 i i

0 i i

) r T ( g m P

P

) r T ( g m r

g m

P (2-20)

(2-21)

) 0 , g , 0 , 0 ( g

) 0 , g , g , g (

g _x _y _z





   

   



 





 

n

1 i

i

1 j

i

1 k

n

1 i

i i i 0 i k

j T ik i 2 ij

1 Tr(U J U )q q m g( T r )

L (2-22)

   

     











 



















 

n

i j

j

1 k

n

i j

j

1 k

n

i j

j j ji j j

1 m

m k T ji i jkm k

T ji j jk i i i

r gU m q

q ) U J U ( Tr q

) U J U ( Tr

q L q

L dt

 d

(2-23)

  

  











n

1 k

n

1 k

i n

1 m

m ikm k

ik k

i D q h q q c i 1,2,..., n

 (2-24)

(6)

Sous forme matricielle, on a :

Avec,

-τ(t) :de dimension (n*1) ,qui représente le vecteur du couple généralisé,

-q(t) :de dimension(n*1),qui représente le vecteur des variables des articulations du robot manipulateur ,

-q(t)



: de dimension (n*1), qui représente le vecteur vitesse des articulations du robot manipulateur,

-q(t)



: de dimension (n*1), qui représente le vecteur accélération des variables des articulations du robot manipulateur,

-D (q) : de dimension (n*n), qui représente la matrice accélération symétrique dont les éléments sont,

-h(q,q)



: de dimension (n*1), qui représente le vecteur des forces de Coriolis et des forces centrifuges, ces éléments sont définit par,

-c(q) : de dimension (n*1), qui représente le vecteur des forces de pesanteur,ces éléments sont définit par,

)) t ( q ( c )) t ( q ), t ( q ( h ) t ( q )) t ( q (

i  D  



 (2-25)

T n 2

1(t ), ( t ),..., (t )) (

) t

(   

 

T n 2

1(t ),q (t ),..., q (t )) q

( ) t (

q 

T n 2

1(t ),q (t ),..., q (t )) q

( ) t ( q





T n 2

1(t ),q (t ),..., q (t )) q

( ) t ( q





(2-26)

(2-27)

(2-28)

(2-29)

n ,..., 2 , 1 k , i ) U J U ( Tr

D _jk _j _ji^T

n

) k , i max(

j

ik 



 



n ,..., 2 , 1 m , k , i ) U J U ( Tr h

n ,..., 2 , 1 i q

q h h

) h ,..., h , h ( ) q , q ( h

T ji j n

) m , k , i max(

j

jkm ikm

n

1 k

m k n

1 m

ikm i

T n 2

1













 









(2-30)

(2-31) (2-32)

n ,..., 2 , 1 i ) r gU m ( c

) c ,..., c , c ( ) q ( c

j j ji n

i j

j i

T n 2

1













(2-33)

(7)

2.7. Les équations de mouvement d’un robot manipulateur avec des articulations rotoïdes [1]:

Si les équations de (2-25) à (2-33) sont étendues à l’étude d’un robot manipulateur doté de six articulations rotoïdes, les termes de l’équation dynamique de mouvement sont obtenus : -La matrice d’accélération symétrique, D (θ) donnée par l’équation (2-30), on a :



















66 56 46

36 26

16

56 55 45

35 25

15

46 45 44

34 24

14

36 35 34

33 23

13

26 25 24

23 22

12

16 15 14

13 12

11

D D

D D D

D

D D

) (

D  (2-34)

) U J U ( Tr D

) U J U ( Tr D D

) U J U ( Tr ) U J U ( Tr D

) U J U ( Tr D D

) U J U ( Tr ) U J U ( Tr D D

) U J U ( Tr ) U J U ( Tr ) U J U ( Tr D

) U J U ( Tr D D

) U J U ( Tr ) U J U ( Tr ) U J U ( Tr D D

) U J U ( Tr ) U J U ( Tr ) U J U ( Tr ) U J U ( Tr D

) U J U ( Tr D D

) U J U ( Tr ) U J U ( Tr ) U J U ( Tr ) U J U ( Tr D D

) U J U ( Tr

) U J U ( Tr D D

) U J U ( Tr

) U J U ( Tr ) U J U ( Tr

T 66 6 66 66

T 65 6 66 65

56

T 65 6 65 T

55 5 55 55

T 64 6 66 64

46

T 64 6 65 T

54 5 55 54

45

T 64 6 64 T

54 5 54 T

44 4 44 44

T 63 6 66 63

36

T 63 6 65 T

53 5 55 53

35

T 63 6 64 T

53 5 54 T

43 4 44 43

34

T 63 6 63 T

53 5 53 T

43 4 43 T

33 3 33 33

T 62 6 66 62

26

T 62 6 65 T

52 5 55 52

25

T 62 6 64 T

52 5 54 T

42 4 44 42

24

T 62 6 63 T

52 5 53 T

42 4 43 T

32 3 33 32

23

T 62 6 62

T 52 5 52 T

42 4 42 T

32 3 32 T

22 2 22 22

T 61 6 66 61

16

T 61 6 65 T

51 5 55 51

15

T 61 6 64 T

51 5 54 T

41 4 44 41

14

T 61 6 63 T

51 5 53 T

41 4 43 T

31 3 33 31

13

T 61 6 62

T 51 5 52 T

41 4 42 T

31 3 32 T

21 2 22 21

12

T 61 6 61 T

51 5 51

T 41 4 41 T

31 3 31 T

21 2 21 T

11 1 11 11





























































