Étude de la décharge par induction dans les sources d'ions positifs à excitation électrique de haute fréquence

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Étude de la décharge par induction dans les sources d’ions positifs à excitation électrique de haute fréquence

André Degeilh, Daniel Blanc

To cite this version:

André Degeilh, Daniel Blanc. Étude de la décharge par induction dans les sources d’ions posi- tifs à excitation électrique de haute fréquence. Journal de Physique, 1963, 24 (3), pp.187-198.

�10.1051/jphys:01963002403018700�. �jpa-00205447�

ÉTUDE DE LA DÉCHARGE PAR INDUCTION

DANS LES SOURCES D’IONS POSITIFS A EXCITATION ÉLECTRIQUE ^{DE HAUTE} FRÉQUENCE

Par M. ANDRÉ DEGEILH,

Laboratoire d’Optique Électronique du C. N. R. S., ^Toulouse et M. DANIEL BLANC,

Centre de Physique Nucléaire, Faculté des Sciences, ^Toulouse.

Résumé, - Cette étude a pour but d’obtenir ^une expression donnant la valeur des différents

paramètres qui caractérisent la décharge par induction dans les ^sources d’ions positifs ^{à excitation} électrique ^{de haute} fréquence. Après ^avoir exposé quel ^est le mécanisme de cette décharge, ^on

établit les équations qui donnent le champ magnétique ^{et le} champ électrique ^dans l’espace ^de décharge, lorsque le courant de déplacement ^n’est pas négligeable, ^{et dans le cas} particulier ^{où on} peut ^le négliger ; ^on calcule l’intensité et la phase ^du champ électrique ^{induit sur la} paroi ^interne

du cylindre ^de décharge. ^A partir ^de l’équation de diffusion des électrons, ^on détermine enfin la

répartition de la densité électronique ^et de la conductivité électrique ^à l’intérieur du gaz ionisé.

Abstract.

In this study, ^{we set out to obtain} expressions giving the values of the various

parameters ^{wich are} characteristic of the induction discharge ⁱⁿ positive ^{ion sources} with radio-

frequency excitation. After describing the mechanism of this discharge, ^we establish the

equations giving ^the magnetic and electric fields in the discharge space, when the displacement

current is not negligible and in the special ^{case where it may be} neglected ; ^the intensity ^{and the} phase of the induced electric field exerted on the inside wall of the discharge cylinder ^{are calcu-}

lated. Finally, ^{from the} equation of electron scattering, the distribution of the electron density

and the electric conductivity ^{inside the ionized} gas ^are evaluated.

PHYSIQUE 24, 1963,

I. INTRODUCTION.

Parmi les différents types ^de décharges ^lumi- nescentes, ^la décharge par induction a fait l’objet

de peu de développements théoriques : ^{à notre} connaissance, ^{il n’existe} pas de calcul complet ^de

cette décharge. ^Par contre, ^ses applications pra-

tiques ^sont nombreuses : sources lumineuses en

spectroscopie, électrochimie des gaz, détecteurs de

particules ionisantes ; ^{sources pour} analyses sec-

trographiques, ^sources d’ions pour les accélérateurs de particules ^{et la} spectroscopie ^de masse, etc...

Ces applications importantes s’expliquent par le fait que ^ce mode d’excitation permet d’obtenir,

dans un gaz raréfié (10-3 ^{à 10-1} torr), des densités de courant élevées, de l’ordre de 2 à 3 .103 A.. m-2,

et une conductivité électrique du gaz qui peut

atteindre 104rmhos m-1 [9].

C’est cette décharge que ^{nous avons} choisie pour le fonctionnement des sources d’ions à excitation

électrique ^{de haute} fréquence (H. ^{F. dans ce} qui suit), que nous avons construites [4], [5], [10] ; ^une

étude comparative ^des performances des diverses

sources d’ions H. F. avait justifié ^{notre choix} [5].

1-1. Les deux processus de décharge ^{dans les}

sources d’ions H. F. - Dans ces sources, le faisceau d’ions positifs ^{est extrait} depuis ^une décharge qui

se produit ^{dans un} gaz excité par haute fréquence

sous une pression ^{de 10-1 à 10-3 torr. Cette dé-}

charge électrique peut être amorcée et entretenue de deux façons différentes :

1. Par couplage capacitif ^à l’oscillateur H. F.

(fig. 1a).

^La chambre de verre qui contient le gaz ^est placée ^{entre deux anneaux} métalliques,

extérieurs à la _source, qui ^{forment les armatures du}

condensateur d’un circuit oscillant. Cette décharge

est dite « linéaire ».

2. Par couplage inductif à l’oscillateur H. ^F.

(fig. 1b).

^{La chambre} d’ionisation est placée ^à

l’intérieur de la self du circuit oscillant ; ^{la dé-} charge ^est « annulaire ».

Dans llun comme dans l’autre de ces deux _cas, la superposition ^d’un champ magnétique ^constant augmente considérablement l’intensité de la dé- charge [9], [22], [28], [29], [30].

FIG. 1.

Les deux modes possibles ^de couplage ^d’une

source H. F. : (a) Couplage capacitif. (b) Couplage ^in-

ductif.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01963002403018700

1-2. Application ^{de la} décharge par induction à la source d’ions H. F. [10].

La chambre d’ioni- sation de la _source, cylindrique, ^{est en verre} pyrex

(fig. 2). Haute de 110 _mm, elle possède ^{des dia-}

mètres interne et externe de 30 et 39 mm respec- tivement. L’argon ^est introduit dans la source sous une pression qui varie de 5.10-3 à 10-1 torr ; c’est le seul gaz que ^{nous avons} étudié. L’énergie utile ^délivrée par le générateur ^{H. F.} (20 watts, 195 MHz) ^est transmise à la décharge par ^une bobine B, qui ^{entoure la chambre de verre. Cette}

bobine est constituée par trois spires d’un fil de cuivre de 3 mm de diamètre, espacées ^{de 1 cm}

environ. Le diamètre interne de ce solénoïde est

égal ^{à 5 cm.} Pour extraire les ions de la _source, on

applique ^une différence de potentiel ^{de l’ordre de 3}

à 5 kilovolts entre les électrodes E1 ^et E2.

Fm. 2.

Schéma de la source H. F. à couplage ^inductif.

On doit dissocier le phénomène d’amorçage ^{de la} décharge par induction de celui de ^son entretien : les composantes axiales du champ capacitif, ^{dû à}

la différence de potentiel alternative entre les

spires ^du solénoïde, provoquent l’amorçage ^{de la} décharge [17], [26], [37]. ^Le champ électrique

induit _par le champ magnétique variable de la bobine assure ensuite son entretien [6], [21], [33].

Ce chàmp électrique ^est normal à l’axe de la

source.

Nous avons déterminé le rôle joué par chacun de ces deux processus, ^{au cours} du fonctionnement de la source H. F., par l’expérience ^très simple

suivante : la source d’ions étant en fonctionnement,

on glisse ^{entre la} bobine d’excitation B et le verre

de la source un écran électrique ^{formé de lamelles}

d’étain collées sur un tube de papier. ^Ces lamelles, larges ^{de 5} mm, ^sont espacées ^{de 3 mm environ et} disposées parallèlement ^à l’axe de la bobine. Elles sont reliées à l’une de leurs extrémités _par une

étroite bande d’étain, comportant ^une coupure.

Il n’existe plus ^{alors de} champ électrostatique ^à l’intérieur de la décharge [17], [33]. Or, ^{on cons-}

tate qu’il n’y ^a pas de modification visible du fonc- tionnement de la source : l’intensité du faisceau d’ions recueilli sur la cible ne varie pas de manière sensible. Par contre, ^{si l’on} interpose ^le blindage

avant que la décharge ^ne s’allume, ^{il est} impossible

d’amorcer cette décharge.

Cette expérience permet ^de conclure que, dans le cas des sources d’ions à couplage inductif, ^ce

sont les forces électriques qui ^créent l’amorçage ^de

la décharge ; par contre, ^{ce sont} les forces électro-

magnétiques ^induites qui ^{en assurent} l’entretien.

Dans la région ^{où la} décharge ^a lieu, ^{on dis-} tingue ^{deux zones} bien distinctes : un plasma ^de

haute fréquence, ^{où le} champ ^{continu est très}

faible [27] ; ^une gaine ^{de faible} épaisseur, chargée positivement, ^{où le} champ ^{continu E est très}

élevé : E/p ^est de l’ordre de 106 à 10’ volts

cm-1. tor-1, p étant la pression. ^Cette gaine ^cons-

titue un écran pour le champ électrique ^axial [3].

L’étude de la décharge par induction dans ^une

source d’ions H. F., ^ou décharge ^« annulaire ^{», se}

ramène donc à celle de la décharge ^induite par les

forces électromagnétiques.

1-3. Considérations générales.

Les électrons sont produits par des chocs ionisants à l’intérieur du gaz. Dans le gaz ionisé (ici, l’argon), ^{la densité}

en volume des charges électriques ^est nulle : il

s’agit ^d’un plasma : la concentration des ions posi-

tifs _{n + est} sensiblement égale à celle des électrons,

n_ (il n’existe pas d’ions négatifs dans les gaz rares).

D’après ^Loeb [23], ^la répartition des vitesses des électrons suit la distribution de Maxwell, ^{et la}

concentration ^n_ est supérieure ^{à 1012} cm-3, ^à

condition que X soit inférieur à R, À étant le libre parcours moyen des électrons dans la chambre de

décharge, ^R le rayon interne de la ^source.

Dans toutes nos expériences, ^{est bien inférieur} à ^{R. En} effet, ^la pression de fonctionnement est

supérieure, ^{dans tous les} cas, à 1,8.10-2 tor, ^à

l’intérieur de la source. Il en résulte que le libre parcours moyen ^est toujours ^{inférieur à} 0,29 ^cm.

La source ayant ^un rayon interne de 1,5 cm, ^À est bien inférieur à R.

La diffusion ambip’olaire constitue le facteur do- minant de perte ^des électrons ; ^il n’y ^a pas d’émis- sion secondaire depuis ^les parois: les électrons et les ions qui y parviennent s’y recombinent. Pen- dant l’excitation constante du gaz, le ^taux de pro- duction en particules chargées ^est égal ^{au taux de} perte par diffusion ambipolaire [32].

Nous nous appuierons sur les théories de J. J. Thomson [36] concernant la décharge par

induction, ^{et de} Schottky [32] relative à la colonne

positive. Nous mentionnerons également ^{les tra-}

vaux très importants ^{de Eckert [13],} [141, [15].

Notre but est de donner une expression ^{de la}

valeur des différents paramètres qui caractérisent

ce type ^de décharge. ^{Nous avons} jugé ^{inutile de}

reprendre les calculs faisant état de la fonction de distribution des vitesses des électrons dans une dis- tribution de Maxwell ; nous avons utilisé les résul- tats théoriques fondamentaux, ^en particulier ^{en ce} qui ^concerne l’expression de la conductivité du, _gaz ionisé.

Avant d’aborder le calcul, ^{il est} indispensable ^de souligner ^un certain nombre de points :

1. La chambre d’ionisation présentant ^une symé-

trie axiale, ^nous adoptons ^les coordonnées po- laires _r, 0 et z. Nous négligeons les effets d’extré- mité et nous supposons que les ^vecteurs champ magnétique ^sont parallèles ^{à l’axe. Le} champ ^élec- trique ^est induit dans un plan ^{de section} principale

de la source. La variable r intervient alors seule .

Il faut remarquer qu’en réalité le champ magné- tique de la bobine B n’a pas exactement la symétrie

de révolution [12].

2. Dans l’espace ^de décharge, ^la température ^est homogène [9], [24], [35] -

T+ ^{étant la} température ionique, ^{Te la} tempé-

rature électronique.

3. Nous admettons que la fréquence ^{vc de colli-}

sion des électrons est indépendante ^{de leur éner-} gie [13], ^ce qui suppose que le libre parcours moyen est constant.

4. Les fluctuations instantanées de la densité d’ionisation n et de la conductivité _y du gaz ^sont

négligeables :

Nous savons que le ^courant ionique ^maximal susceptible d’être extrait de la source H. F. est

proportionnel à la densité électronique n ^{à l’inté-}

rieur du plasma ^[10]. En effet :

:_

(j+)hm ^étant la densité de courant ionique ^{sur la}

surface qui sépare ^la gaine ^du plasma (surface ^émet-

tant les ions), ^{e la} charge élémentaire, ^{Te la} tempé-

rature électronique, ^{m la masse de} l’ion, k ^{la cons-}

tante de Boltzmann.

Pour calculer le courant maximal, ^{il est donc}

nécessaire de connaitre n. Notre but principal a

donc été de déterminer la densité électronique ^{n à}

l’intérieur de la chambre d’ionisation. Pour cela,

nous devons calculer successivement : le champ électrique ^{induit et le} champ magnétique ^{dans l’en-}

semble de l’espace ^de décharge, la valeur du produit (nDa) qui apparait ^dans l’équation de diffusion des

électrons, ^{Da. étant} le coefficient de diffusion ambi-

polaire, ^le champ électrique ^{sur la} paroi ^{interne du} cylindre ^{où a lieu la} décharge.

Tous les calculs sont effectués dans le système ^de Giorgi rationnalisé.

II. DÉTERMINATION

DES CHAMPS MAGNÉTIQUE ^ET ÉLECTRIQUE

DANS L’ESPACE DE DÉCHARGE.

Le champ magnétique Je ^{et le} champ électrique

induit 9 sont liés par les équations ^{de Maxwell :}

co et M0 étant, respectivement, ^{la constante diélec-} trique ^{et la} perméabilité ^du vide, y la conductivité

complexe ^du plasma.

En tout point ^de l’espace ^de décharge, ^les champs magnétique ^et électrique, ^ainsi que la con-

ductivité _{y sont} des fonctions de la distance r du

point considéré à l’axe de révolution.

11-1. Cas général ; le courant de déplacement

~

E0 ô& n’est _ôt ^pas négligeable.

D’après p (2) : ( )

Le champ électrique ^{induit en} chaque point ^est

donc dirigé tangentiellement ^{à la} circonférence centrée sur l’axe et passant par ^ce point : ^{: il est}

normal à l’axe z’z.

Le champ magnétique ^est dirigé selon l’axe des z.

D’où :

Le rotationnel de l’équation (1) ^{est :}

Remplaçons ^{les termes} par leurs valeurs et chan- geons de signe :

avec 0 r R, ^{R étant} le rayon interne du tube dans lequel ^{a lieu la} décharge.

Le champ magnétique ^{et le} champ électrique

induit 9 sont des fonctions sinusoïdales du temps,

de pulsation ^{co. Posons :}

En portant ^cette valeur de JC dans (5), ^nous

obtenons l’équation différentielle du second ordre

qui donne la variation de l’amplitude ^{H du} champ magnétique :

Or,

L’équation (3) peut ^{s’écrire sous la forme :}

Nous pouvons ^en déduire l’expression ^{de H en}

fonction de E :

Portant cette valeur de H dans l’équation (9),

nous obtenons :

Nous pouvons négliger le dernier terme du pre- mier membre. L’équation différentielle de la varia- tion de l’amplitude ^du champ électrique ^{induit est}

du troisième ordre :

OU

La complexité mathématique de la résolution des équations (9) ^et (13) ^{nous a conduit à} simplifier

le problème, ^en négligeant ^{le courant de} dépla-

cement.

11-2. Cas particulier ; ^{le courant de} déplacement

est négligeable.

La valeur absolue du rapport ^du

courant de déplacement ^{au courant} de conduction est de w Eo/Y. Dans les conditions de nos expé-

riences (w) # 27t. 2 . 108), ^ce rapport ^{est voisin}

de 2 j90y, ^{y étant} exprimé ^en mhos . m-1. Or, pour des pressions comprises, ^{entre 10-1 et 10-2 tor,}

y est de l’ordre de 102 03A9-1 m-1 ]11] : ^nous pouvons donc négliger ^{le courant de} déplacement ^{par rapport}

au courant de conduction.

Les équations ^{de Maxwell} s’écrivent alors : Soit :

Éliminons H entre ces deux équations : ^nous

obtenons l’équation différentielle du second ordre :

Pour r

0, ^le champ électrique ^{induit est} nul,

.E

0 ; pour ^r

R, E

ER. La solution de l’équa-

tion (18) ^{est bien connue dans le cas} d’une conduc- tivité constante [36]. ^Soit yo ^une valeur moyenne de la conductivité, qui ^ne dépend plus ^{de r :}

Nous connaissons les valeurs correspondantes ^du

) champ électrique induit. Pour simplifier, posons :

PR ^{est un} nombre sans dimensions. On a

où 8 serait la longueur caractéristique appelée

« pénétration » d’une onde plane équivalente pour des conditions de propagation identiques.

L’intégration ^de (18) ^{donne :}

avec

ER ^étant la valeur du champ électrique induit pour

r

R et Ji la fonction de Bessel d’ordre un.

L’équation différentielle (8) ^{devient :}

et

HR ^{étant le} champ magnétique ^{sur la} paroi ^interne

du cylindre ^de décharge (r

R). ^En portant (20)

dans (16), ^nous pouvons aussi écrire l’équation

définissant E :

En comparant (19) ^et (21), ^{on en déduit une}

relation entre ER ^et H R :

La figure ³ représente schématiquement ^{la ré-} partition ^des champs magnétique ^et électrique

dans le cylindre ^de décharge.

FIG. 3.

Répartition ^du champ magnétique H(r) ^{et du} champ électrique ^induit E(r) ^{dans la} décharge ^induite (X R).

Remarque 1 : La fonction de Kelvin d’ordre

zéro, Jo(p B/2013 j) ^{peut s’écrire sous la forme :}

ber _p et bei _p étant des fonctions réelles de la variable _p dont les développements ^en série entière s’écrivent :

Les valeurs de J1(p yi - j) s’obtiennent en déri- vant (23) :

d’où les expressions ^{nouvelles des} champs magné- tique ^et électrique :

Remarque ^{2 : Nous avons} calculé, ^à partir ^des

formules (20) ^et (22), les valeurs de H et de E pour ^{le cas} particulier d’une valeur moyenne de la

conductivité électrique ^yo

102 03A9-1 M-1 (9), (11),

et pour ^nos conditions d’expériences.

Soit :

avec

On obtient :

Dans l’équation (22), le facteur _Mo w)R /pr, ^dont l’équation ^aux dimensions est .L2 MQ-2 T-1, ^a

une valeur numérique ^de 4,055 henry . s-1. ^Écri-

vons p ^{= r} V f.Lo ÜJY 0 ^{sous la forme :}

et posons :

d’où :

Nous avons calculé les valeurs numériques ^{de :}

et

en donnant au rapport x

(r/R) six valeurs diffé- rentes, comprises ^{entre 0 et} 1, ^{soit 0}

0,2

0,4 - 0,6

0,8 ^{- 1. Les} résultats, ^{obtenus à} partir ^des

tables de Jahnke ^et Emde [20] ^sont groupés ^dans

le tableau 1. Les champs électrique ^{induit et ma-} gnétique ^{y sont donnés en} fonction du champ ^ma- gnétique ^{sur la} paroi interne du cylindre ^{de dé-} charge HR, lequel ^est égal ^au champ magnétique

extérieur [9]. ^.

Avec nos valeurs, l’expression numérique ^de 11 J o( PB V - j), qui figure dans les deux expres- sions de E et de H, ^{s’écrit :}

Pour les valeurs extrêmes, ^{nous trouvons :}

-

Sur l’axe (r

0) :

soit :

avec :

et Eo

^{0 soit} 80

^0.

-

Sur la paroi (r

R) :

comme IERI

3,441 IHPI, ^{si l’on} désigne par 03A6R

l’angle ^de phase ^{entre H R} et ^.ER, nous avons (voir plus ^loin) (15) : -

Dans le paragraphe ^suivant (11-3), ^{nous donne-}

rons une détermination numérique ^de l’angle ^de phase ^03A6R.

- Pour un point quelconque, par exemple

r

0,6 R, ^{on trouve :}

TABLEAU 1

Nous constatons que les valeurs numériques ^du

module de H prennent les valeurs croissantes de

IHI.min

^0,092 IHRI ^à IHRI quand ^{r croît de 0 à R,}

conformément au tracé de la figure ^{3. De} même, IEI prend les valeurs croissantes de zéro jusqu’à )ER)

^3,441 IHn[ ^pour.r

^{R. On trouvera .une}

méthode de calcul de HR ^au paragraphe III-2.

11-3. Détermination, ^en intensité et en phase, ^du champ électrique ER ^{induit sur la} paroi ^interne

du cylindre ^{où se} produit ^la décharge.

L’équa-

tion (22) peut ^{s’écrire sous la forme :}

Les fonctions de Kelvin figurant ^dans l’équa-

tion (27) peuvent ^{se mettre sous la forme} polaire [20] :

où b et fi ^sont des fonctions de la variable ^p.

Comme J(p y/- j) = J*(p viT), ^{où J* est la}

fonction conjuguée de J, l’équation (27) ^{devient :}

soit :

bn bol b1 Bo ^étant des fonctions de _PR.

Nous savons que les fonctions de Kelvin

JO(p V- j) ’et J1(p B/2013 j) ^sont des fonctions de Bessel dont les arguments ^{ont leur} phase égale ^à (n /4) ^ou (3/4) [39]. Nous pouvons donc déduire

FIG. 4.

Intensité et phase ^du champ électrique ^induit

sur la paroi ^de la chambre d’ionisation, d’après

Eckert[15].

193 de l’équation (28) l’angle ^de phase ^{entre ER et} Hn,

soit OR. On a :

OR ^{est une} fonction de _pn. Sur un diagramme ^des phases, ^{nous pouvons donner une} représentation

de ER ^{et de} HR [15]. ^{Donnons à .HR} la direction de l’axe des x positifs. ER y ^est défini, ^en intensité,

par le module de (28) ^{et en} phase ^par (29) (fig. 4).

Faisons tendre _PR vers zéro : Es ^{tend vers} ER(O) :

D’où:

Soit, ^{en module :}

il est bon de préciser quelques ^valeurs numériques (voir ^{aussi la} figure 4).

1

D’où:

Sur le diagramme ^des phases, ^{ER est alors sur}

l’axe des _y négatifs [( 03A6> R) 0 == - n /2] ; ^{ER est} purement imaginaire.

b) ^Si PR tend ^vers l’infini, IERI -> 0 et (03A6R -> 225o.

c) ^{Pour nos} conditions expérimentales, ^{si on sup-}

pose Yo _

102 03A9-1 m-1 (voir plus haut)

PR

5,886. ^De plus,

On trouve

D’autre part, nous avons vu que le champ ^induit

sur la paroi ^{a pour} expression :

soit :

d’où :

La figure ⁴ donne le lieu du point représentatif

de ER ^{sur le} diagramme ^des phases quand pR varie de zéro à l’infini, selon Eckert [13]. Quand pR croît à partir ^de zéro, ^il apparaît ^une composante ^réelle

de ER, qui passe par ^un maximum pour pR

2,5

et 03A6R

²⁴⁰⁰ environ. Cette partie ^réelle disparaît quand ^{pn tend vers} l’infini. Nous ^avons indiqué

sur ce graphique ^le point correspondant ^{à nos con-}

ditions expérimentales ; ^ses coordonnées ont été calculées précédemment

III. CALCUL

DE LA DENSITÉ ÉLECTRONIQUE ^n.

111-1. Équation ^{de diffusion des} électrons.

Le processus dominant de perte des électrons dans tout l’espace ^{de la} décharge ^{induite est la} diffusion ambipolaire. ^{Dans cette} région, contrairement au cas de la colonne positive, il y ^a de forts gradients

de l’intensité du champ électrique, donc de l’éner-

gie des électrons. En tout point ^du cylindre ^de décharge, ^la fréquence d’ionisation _par électron, ^vi,

et le coefficient ^de diffusion ambipolaire ^{Da dé-} pendent, pour ^une pression ^{donnée du} gaz, de l’in- tens-ité du champ électrique ^induit (et ^{non de la} phase) ^{en ce} point.

Puisque ^{varie avec} r, le rapport ( vi /Da) ^est

indirectement une fonction de r. ( vi /Da) ^est appelé

« fonction d’ionisation ^» de la décharge.

L’état de régime stationnaire de la décharge ^se traduit, d’après Schottky [32], par la relation :

n étant la densité électronique. ^{Soit :}

Pour simplifier l’intégration ^de l’équation ^diffé-

rentielle (33), ^nous adopterons l’approximation ^de

Herlin et Brown [19], ^en supposant que la fonction d’ionisation (vi JDa) peut s’exprimer ^{sous la forme :}

oc étant une constante, que ^nous définirons plus loin, ^{A un} coefficient positif, ^introduit pour des raisons de commodité. La solution de l’équa-

tion (33) ^est alors la fonction : où

Dans l’équation (35), Cl ^et C2 ^{sont des cons-}

tantes arbitraires (réelles ^ou complexes), Jo ^{est la}

fonction de Bessel de première espèce ^d’ordre zéro, No(x) ^est la fonction de Neumann d’ordre zéro.

Pour déterminer C1 et C2, ^te.nons compte ^des

conditions aux limites : sur l’axe (r

0),

nDa

(nDa)o, ^{sur la} paroi (r

R) ^nDa

^{0. Par} suite, nous avons :

et

194

La solution de l’équation différentielle (33) ^est

donc :

(37) ^devient identique ^à l’expression ^donnée par

Schottky [32] ^{dans le cas de} la colonne positive :

Da

(Da) o ^{et oc}

^{0 :}

CALCUL DU COEFFICIENT oc.

tl est déterminé par le rapport de la valeur de (vi/Da) ^donnée

par (34) à la valeur de sa dérivée par rapport à r,

sur la paroi :

Soit :

ou

Les valseurs de vi et Da peuvent être mesurées par introduction de sondes dans le plasma [8], [11], [19], [38], ^{ou calculées} par la théorie cinétique ^des

gaz [1], [16].

L’expression (34) ^{doit être surtout} satisfaite au

voisinage ^des parois, ^{où le} champ électrique ^induits

donc le phénomène d’ionisation, ^{sont les} plus

intenses.

Comme ( vi /Da) ^{est une} fonction de r par l’inter- médiaire de IEI (38) peut ^{s’écrire sous la forme :}

Il est plus ^facile de calculer cette relation _que

(38), ^car la détermination expérimentale ^de ( vi /Da)

en fonction de JEJ ^ne présente ^pas de difficulté [19], [25]. (Pour le calcul de dIE/dr, ^voir plus loin).

Dans le cas particulier ^de l’amorçage ^{des dé-} charges annulaires, ^Eckert [13] ^a montré par des

exemples ^que l’approximation faite pour (34) ^est parfaitement ^valable.

Remarque.

^{Dans l’étude} qui précède, ^nous

avons supposé ^{nulle la} composante ^du champ ^élec- trostatique. ^{’Il est} intéressant de chercher ce que devient l’équation différentielle (33) ^si l’on suppose que, ^à l’intérieur du cylindre ^de décharge, ^{il existe}

la composante ^d’un champ électrique continu, Eo, dirigé suivant l’axe z’z.

Dans ce cas, les électrons sont perdus par dif- fusion et mobilité. Soient D le nouveau coefficient de diffusion et y le coefficient de mobilité. D n’est fonction que de ^r, mais n est alors une fonction de r

et de z. L’état de stabilité du plasma [38] ^{est défini}

par la relation :

A étant le Laplacien de la fonction (nD).

Séparons les variables r et z en posant :

On obtient les deux équations :

kx ^{étant la constante de} séparation.

Il est difficile de trouver la solution analytique

de l’équation (41) quand ^{oc est} quelconque. ^Nous

avons résolu cette équation ^{dans le cas} particulier

où ce = 2 :

La solution de (41) ^{est alors la fonction :}

où W est une fonction hypergéométrique ^con-

fluente [40], ^{à condition} que la condition suivantè soit satisfaite :

D’autre part, la solution de (42) ^{est :}

où C est une constante.

Par suite, la solution de l’équation (40) ^{est de la}

forme :

Les conditions aux limites sont :

nD

0 pour ^z

0 ou z =- --+ l, par exemple (l ^{est la} demi-longueur de la chambre d’ionisation).

Soit :

d’où :

nD

0 pour r

R. On peut calculer ainsi les constantes kl ^et A. ^Par exemple, pour k, > 1,

II I-2. Détermination ^du champ électrique ^induit

sur la paroi.

^{Notre but est} d’établir la relation

qui ^lie le module du champ ^{induit ER sur la} paroi

195 interne du cylindre ^de décharge ^au rayon R ^{de ce}

cylindre. ^A partir ^de l’équation (36) ^et de la condi- tion à la limite ⁿ

0 pour r = .R (recombinaison

sur les parois), ^{nous obtenons :}

Portons les valeurs de A et de a données _{par les} relations (34) ^et (38) ^dans (43) :

-

Si (djelidr)

0, ^cette expression ^{de R devient} identique à celle donnée par Schottky ^{dans le cas}

de la colonne positive [32]. ^{La valeur de} (dIEI Idr)

à la paroi ^{est ici un} paramètre supplémentaire ^dans

la relation entre .R et IEPI, paramètre que ^nous allons déterminer.

a) ^{CALCUL DE} (d[E[ /dr)R.

Portons la valeur du champ électrique : ^E

IEI. (cos > + i ^sin 03A6)

dans l’équation (17).

La partie ^{réelle de} l’équation ^{obtenue est :}

pour r

R,

ou

Donnons à (.ER/Hx) ^{et OB} les valeurs fournies par les équations (28) ^et (29). Nous obtenons :

Appelons f (pR) ^la quantité du second membre entre crochets :

f (PR) peut ^{être calculé} numériquement (voir 11-3).

Dans notre cas particulier, ^{nous avons trouvé,} pour R

1,5.10-2 m, pR

5,886, bo

10,718, bi

10,100 ^{et Oa}

²²⁸⁰ 56’ 22", ^{d’où :}

La figure ⁵ représente ^la courbe de variation de f (PR) ^en fonction de _pR, selon Eckert [15]. ^Pdur

pR

0, f (o)

1. La fonction f (PR) ^{conserve cette}

valeur unitaire tant que pn ^est compris ^{entre 0}

et 1,4. Or, ^{nous avons vu dans le} paragraphe ^11-2

que (PR/V2) = (R/D), D ^{étant la «} pénétration »

d’une onde plane ayant ^des équations ^de propa-

gation identiques ^{à celles de l’onde} cylindrique

que ^nous édutions. f ( pR)

¹ correspond ^{à 8} > R.

Dans ces conditions, ^on _peut donc dire que l’absorp-

tion de l’onde cylindrique dans le tube de décharge

est négligeable.

FIG. 5.

Représentation ^de la fonction

dans le cas où la conductivité est uniforme, d’après

Eckert [15].

Avec nos conditions expérimentales, ^{ce cas se} produirait ^{pour un} rayon intérieur du tube de

décharge ^tel que R V m0 CiJy 0 1,4, ^soit

R 3,6 .10-3 mètre, ^{ou R} 3,6 millimètres.

Pour _pR > 3, F(PR) ^croît linéairement ^avec pR.

C’est sur cette partie de la courbe que ^{se situe le} point correspondant ^{à nos données} expérimentales :

b) EXPRESSION DONNANT Eg,.

Portons la valeur de (dlEl/dr)R ^donnée par (46) ^et (44) : l’expression définitive de la valeur de IEPL ^en

fonction de R est :

Pour une valeur particulière ^de pn, cette équa-

tion fournit la relation cherchée ^entre 1ER/ ^{et R.}

En effet, ^{nous savons} que la fonction d’ionisation

(vi/Da) peut ^être déterminée expérimentalement (voir III-1). ^{La valeur de Cp est donnée par} (29) ;

on déduit de ces résultats l’intensité JEp ^du champ électrique ^{induit sur la} paroi. ^{Les formules} (22) ^ou (27) permettent alors de calculer l’intensité HR ^du champ magnétique ^{sur la} paroi.

L’équation (19) donne ^{alors la} répartition ^du

196

charnp électrique ^{induit E ert tout} point ^du cylindre

de décharge, ^{dans le cas où} la conductivité Yo du gaz n’est _pas une fonction de r. Dans le cas con-

traire, l’équation (19) ^{ne donne} qu’une ^valeur approchée ^{de E} correspondant ^{à une} valeur moyenne de la conductivité.

Pour mémoire, citons la formule établie expéri-

mentalement par Babat [2], pour ^un cylindre ^de décharge de diamètre interne Oi

¹⁰ cm, ^et contenant de l’air à une pression p supérieure à

1 torr. Si P ^est la puissance (watts) ^{d’entrée de la} décharge, f ^la fréquence ^{du courant} électrique ^dans

la bobine d’excitation (hertz), ^le champ électrique

induit sur la paroi ^interne (volts/cm) ^est donné par la relation :

Dans notre cas, la puissance fournie à la décharge

par le générateur ^{H. F. est} de l’ordre de 11 watts ;

pour la fréquence i ^{== 195} mégahertz, ^nous aurions,

dans un cylindre ^{de Ci}

¹⁰ .cm, ^et pour ^une

pression p supérieure ^{à 1} torr, ER ~ ¹⁷⁵ V/cm.

Pour un cylindre ^{de d}

1,5 cm, ^ce champ ^se

réduirait à 33 V/cm.

111-3. Répartition ^{de la densité} électronique n

et de la conductivité y dans le gaz ionisé.

a) ^{D É-}

TERMINATION DE n.

Dans l’équation ^différen-

tielle (33), ^le produit (nDa) ^{est déterminé en fonc-}

tion de _{r ; ;} les termes ’yi et Da dépendent ^direc-

tement de l’énergie locale des électrons. Le coef- ficient de diffusion ambipolaire ^{Da est} donné par la relation d’Einstein. Adoptons les notations de Eckert [14], [15]. ^{Nous avons : ;}

U+ étant la mobilité de l’ion positif, ^{e la} charge

élémentaire de l’électron, ^wg l’énergie moyenne d’une particule du gaz, w l’énergie cinétique ^de

l’électron. D’autre part,

v. étant la vitesse moyenne de l’électron (23).

Puisque ^{T_ »} Tgaz, ^nous pouvons écrire (1) : Si ^{étant le «} paramètre ^de collision » (§1

0,1594

pour l’argon), ^{M et m les masses} de l’atome (ou ^de

l’ion positif) ^{et de} l’électron, le libre parcours moyen, Eef ^le champ électrique ^effectif.

Aux fréquences élevées, ^{ce dernier est} défini par la relation (8) :

La fréquence de collision vc est déterminée à

partir de la théorie cinétique des gaz. Par exemple,

Loeb [23] l’exprime, ^{dans le} système ^c;. g. s., ^sous la forme :

k étant la constante de Boltzmann.

Dans l’argon, pour p = 2,15. 10-2 torr,

À ,-...~ 0,24 ^cm. On obtient alors une fréquence ^de

collision Vc

53,2.106 s-1, ^{si nous} supposons que le _gaz se trouve à la température ^du laboratoire

(293 -K).

D’autre part, ^À

vm/vC, ^{v. étant} la vitesse moyenne de l’électron. Soit :

Portons les valeurs des .Eef et _{de À que} nous venons de définir, ^dans l’équation (49). ^{En résol-}

vant par rapport à w, ^{nous obtenons :}

Par suite :

Soit

où (Da)o ^est la valeur de Da _pour ^r

0, ^et

Dans l’expression (37), remplaçons ^{la valeur}

de Da _par (50) ; ^{nous obtenons :}

nDa/(nDa)o

(nino) (1 ⁺ çE2)

no étant la densité électronique ^{sur l’axe du} cylindre ^de décharge. ^{Par suite :}

avec les conditions :

La relation (51) ^{donne la} répartition ^{de la den-}

sité électronique ^dans l’espace ^de décharge ^{en fonc-}

tion de l’intensité du champ électrique E, puisque

E 2= E. E*

IEI2; ^{E* étant} l’expression ^con- juguée ^{de E.}

Dans cette relation, ^{E est connu} d’après ^{la for-}

mule (22) (on ^se reportera ^{au tableau 1 et à} l’appli-

cation numérique ^du paragraphe 11-2), ^oc peut ^être déterminé expérimentalement ^à partir ^{de la for-}

" mule (39), Z, ^défini précédemment, ^se calcule aisé-

ment.

197 Pour nos conditions expérimentales, ^{dans le cas}

de l’argon :

Dans le cas de l’hydrogène, ^{pour une} pression

de 0,5 torr, ^{et une} pulsation co

¹⁰⁸ sec-1,

Eckert [15] ^{trouve n}

1,3.10’3 cm-3, pour ^une valeur de _wg de l’ordre de 0,04 ^eV.

b) DÉTERMINATION DE LA CONDUCTIVITÉ.

La conductivité du gaz ionisé a pour expression ^la

forme complexe (25), (31) :

Nous supposerons que le coefficient de collisions

élastiques ^{vc est constant.} La variation de y est alors identique ^{à celle de n. Par} suite, ^nous pouvons écrire :

’y(o) ^étant la valeur de la conductivité sur l’axe.

Donc, ^{dans le} cylindre ^de décharge, ^la répartition

de la conductivité du gaz suit ^une loi de variation

en fonction de r semblable à celle de la densité élec-

tronique, ^{et donnée} par (51). Les conditions aux

limites sont :

Les mesures effectuées par Dippel ^{et Tecken-} burg [11] à l’aide de sondes introduites dans des

cylindres ^{de verre contenant de} l’hydrogène ^{à la} pression ^{de 10-2} torr, ^{donnent un ordre de} gran- deur de la conductivité. Pour une excitation de haute fréquence ^{de 15} mégahertz (bobine ^{de dia-}

FIG. 6.

Répartition ^de la conductivité X(r), ^{de la tem-} pérature ^du gaz TG ^et de la densité de courant i dans la

décharge ^induite (À R), d’après ^{Babat [2].}

mètre (D

90 mm), le module de la conductivité était de l’ordre de 200 mhos. m-1 sur l’axe, ^{et de}

110 mhos. m-1 à 15 cm de l’axe (r ^{= 15} cm).

Nous avons schématisé sur là figure ^{6 la} répar-

tition dans le cylindre ^de décharge, de la conduc- tivité y du gaz ionisé, ^{de sa} température TG, ^{et de}

la densité de courant i, d’après (2) ^et (11).

Manuscrit _reçu le 26 septembre ^1962.

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