Universit´e Denis Diderot Paris VII Langage Math´ematique L1, 2011-2012
Feuille de TD n
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Quantificateurs
Exercice 1. Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.
1. ´Enoncer le th´eor`eme des valeurs interm´edaires.
2. La r´eciproque de ce th´eor`eme est-elle vraie ?
3. ´Enoncer ce th´eor`eme sans les quantifications relativis´ees.
Exercice 2.
1. Donner un ´enonc´e traduisant “La suite (un)n∈N est croissante”.
2. Donner un ´enonc´e traduisant “La suite (un)n∈N est major´ee”.
3. V´erifier que l’on a [(A ∧ B) ⇒ C] ⇔ [A ⇒ (B ⇒ C)].
Donner alors deux autres formulations du th´eor`eme “toute suite croissante major´ee converge”.
Exercice 3. Dans chacun des cas suivants, on demande un ´enonc´e synonyme de l’´enonc´e propos´e et ´ecrit exclusivement avec les symboles (ou les divers mots ou groupe de mots que ces symboles repr´esentent) suivants : les parenth`eses, les connecteurs et les quan- tificateurs, des variables, le symbole d’´egalit´e, ainsi que des symboles suppl´ementaires pr´ecis´es pour chaque ´enonc´es. En cas d’utilisation de nouvelles variables, on pr´ecisera le domaine auquel elles sont astreintes.
1. La variable A est astreinte `a l’ensemble des parties de R.
Symboles autoris´es : ∈,<.
Enonc´e propos´e : La partie A n’a pas de plus petit ´el´ement.
2. La variable A est astreinte `a l’ensemble des parties de R.
Symboles autoris´es : ∈,≤.
Enonc´e propos´e : La partie A n’a pas de plus petit ´el´ement.
3. La variablemest astreinte `aRet la variableAest astreinte `a l’ensemble des parties deR.
Symboles autoris´es : ∈,≤.
Enonc´e propos´e : Le r´eel m est la borne inf´erieure de la partie A.
4. La variablemest astreinte `aRet la variableAest astreinte `a l’ensemble des parties deR.
Symboles autoris´es : ∈,≤, >.
Enonc´e propos´e : Le r´eel m est la borne inf´erieure de la partie A.
5. Les variables A etB sont astreintes `a l’ensemble des parties d’un ensemble E fix´e.
Symboles autoris´es : ∈.
Enonc´e propos´e : Les partiesA etB sont disjointes.
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6. Symboles autoris´es : 0, ≤, ×.
Enonc´e propos´e : Tout nombre r´eel positif ou nul admet une racine carr´ee.´ 7. La variable f est astreinte `a l’ensemble des fonctions de Rdans R.
Symboles autoris´es : <, >,≤, ≥.
Enonc´e propos´e :f est croissante.
8. La variable f est astreinte `a l’ensemble des fonctions de Rdans R.
Symboles autoris´es : <, >,≤, ≥.
Enonc´e propos´e :f n’est pas croissante.
9. Les variables a, b,c etx sont astreintes `a R.
Symboles autoris´es : −, +, ×,2, 0.
Enonc´e propos´e : L’´equation´ ax2+bx+c= 0 n’admet aucune solution dans R.
10. Les variables a0, a1, . . . , ak, x sont astreintes `a C, k est un entier naturel non nul fix´e.
Symboles autoris´es : +, ×, 2,3, . . . ,n, 0.
Enonc´e propos´e : Le polynˆome´ akxk+ak−1xk−1+. . .+a1x+a0 n’a que des racines simples dans C.
Exercice 4. Dans chacun des cas suivants, donner un ´enonc´e synonyme de l’´enonc´e propos´e, qui ne comporte aucune variable muette.
Dans les cinq premiers ´enonc´es, toutes les variables sont astreintes `aR.
(a) (∀ε >0)(|x|< ε), (b) (∃ε >0)(|x|< ε),
(c) (∃c >0)(a+c=b), (d) ∃x∃y(x2+y2 =z),
(e) ∀y(|x|+|y|=|x+y|).
Dans l’´enonc´e suivant, toutes les variables sont astreintes `a N.
(f) n >1 et ∀u∀v[∃k(uv =kn) ⇒ (∃x(u=xn) ou ∃y(v =yn))].
Dans l’´enonc´e suivant,A d´esigne un ensemble fix´e.
(g) (∃x∈A)(∀y ∈A)(∀z ∈A)(y=xou z = x).
Dans l’´enonc´e suivant, les variables P et Q sont astreintes `a l’ensemble des fonctions polynomiales d´efinies sur R et `a valeurs r´eelles, les variables x et a sont astreintes `a R.
(h) ∃Q,∀x(P(x) = (x−a)Q(x)).
Dans l’´enonc´e suivant, les variables x, a, b et t sont astreintes `a R et f d´esigne une fonction d´efinie et continue surR et `a valeurs r´eelles.
(i) (∀x, f(x)≥0) et ∀a∀b(Rb
a f(t)dt= 0).
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Exercice 5. Les variables a, b, c, x, et y sont astreintes `a l’ensemble R des nombres r´eels. On consid`ere les trois ´enonc´es suivants :
U :∃x(ax2+bx+c= 0),
V :∀x∀y[(ax2+bx+c= 0 etay2+by+c= 0) ⇒ x=y], W :∃x∀y[(ax2+bx+c= 0) et (ay2+by+c= 0 ⇒ x=y)].
Pour chacun des huit ´enonc´es suivants, donner un ´enonc´e synonyme ne comportant au- cune mutification (ni explicite ni implicite) :
U;V ; W; U et V ; U et (non V) ; (non U) et V ;U et (non W) ; (non U) et W.
Exercice 6. Pour chaque sous-ensembleAde l’ensembleRdes nombres r´eels, on d´esigne par F(A) et G(A) les ´enonc´es suivants :
F(A) : (∀x∈A)(∀y)(y < x ⇒ y∈A) G(A) : (∀x∈A)(∃y∈A)(y < x)
dans lequelxety sont des variables astreintes `aRet<d´esigne la relation d’ordre stricte usuelle sur R.
1. Indiquer les variables libres (parlantes) et les variables li´ees (muettes) de F(A).
2. Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’´enonc´eG(A) est vrai ou non : – A =R,
– A =Q, – A = [0; 1], – A =]0; 1],
– A ={x∈R|(∃n∈N)(x= n1)}.
3. D´emontrer que la proposition suivante est vraie :
∀A(F(A) ⇒ G(A)).
4. D´emontrer, `a l’aide d’un contre-exemple, que la proposition r´eciproque est fausse.
5. Pour chacun des ´enonc´es suivants, indiquer, sans justification, s’il est synonyme de F(A), s’il est synonyme de G(A) ou s’il n’est synonyme d’aucun de ces deux
´enonc´es :
– A n’a pas de plus petit ´el´ement, – A est infini,
– A n’est pas minor´e,
– A n’a pas de borne inf´erieure,
– A n’est pas minor´e ou A n’a pas de borne inf´erieure,
– A est soit vide, soit un intervalle de R dont l’extr´emit´e gauche est −∞.
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Exercice 7. Dans cet exercice, on consid`ere des ´enonc´esA[x, y] `a deux variables qui sont astreintes `a l’ensembleRdes nombres r´eels et, pour chacun d’eux, six ´enonc´es clos obtenus en quantifiant ces variables de diverses fa¸cons. On demande d’indiquer pour chacun de ces ´enonc´es clos s’il est vrai ou non, sans donner de justification. On reproduira pour cela le tableau ci-apr`es et on inscrira dans chaque case vide V ou F selon que l’´enonc´e correspondant est vrai ou faux.
A[x, y] : sin(x+y) = sin(x) + sin(y) y=x2−x xy =x2−x
∀x∀yA[x, y]
∃x∀yA[x, y]
∀x∃yA[x, y]
∃x∃yA[x, y]
∀y∃xA[x, y]
∃y∀xA[x, y]
Exercice 8. On rappelle que R poss`ede la propri´et´e de la borne inf´erieure, c’est-`a-dire que toute partie non vide minor´ee de R a une borne inf´erieure. En d´eduire que toute suite de r´eels d´ecroissante et minor´ee est convergente.
Exercice 9. Montrer que pour toutes suites (un)n∈N et (vn)n∈N de r´eels, 1. si la suite (un)n∈N converge, alors elle est born´ee.
2. si lim
n→+∞un=l∈R et lim
n→+∞vn=l0 ∈R, alors
n→+∞lim un+vn =l+l0 et lim
n→+∞un·vn=l·l0. 3. si lim
n→+∞un= 0 et (vn)n∈N est born´ee, alors lim
n→+∞un·vn= 0.
4. si lim
n→+∞un=l avec l >0, alorsun >0 `a partir d’un certain rang.
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