Plongements quasiisométriques du groupe de Heisenberg dans $L^p$, d'après Cheeger, Kleiner, Lee, Naor

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Plongements quasiisométriques du groupe de Heisenberg dans L ^p , d’après Cheeger, Kleiner, Lee, Naor

Pierre Pansu

To cite this version:

Pierre Pansu. Plongements quasiisométriques du groupe de Heisenberg dans L ^p , d’après Cheeger, Kleiner, Lee, Naor. Séminaire de Théorie Spectrale et Géométrie de Grenoble, 2006, 25, pp.159-176.

�hal-00720346�

Plongements quasiisom´etriques du groupe de Heisenberg dans L ^p , d’apr`es Cheeger, Kleiner,

Lee, Naor

Pierre Pansu ^1,2∗

24 juillet 2012

ABSTRACT. This is a short survey of Cheeger and Kleiner’s nonembed- dability theorem for Heisenberg group into L

.

1 Introduction

Cet expos´ e porte sur une question de g´ eom´ etrie m´ etrique. Etant donn´ e un espace m´ etrique (X, d), ` a quelle condition peut on plonger de fa¸ con bilipschit- zienne l’espace (X, d

), 0 < α < 1, dans un espace mod` ele, par exemple, un espace de Banach d’usage courant ?

1.1 R´ esultats

D’une certaine fa¸ con, la question a ´ et´ e r´ esolue par P. Assouad.

D´ efinition 1 Un espace m´ etrique est doublant s’il existe une mesure µ et une constante C telles que pour toute boule B, µ(2B) ≤ C µ(B).

Exemple 2 Le groupe d’Heisenberg ( H , d) muni de sa m´ etrique de Carnot est doublant.

Th´ eor` eme 1 (P. Assouad, 1982, [As2]). Soit (X, d) un espace m´ etrique dou- blant. Alors pour tout α < 1 et tout p ≥ 1, (X, d

) admet un plongement bilipschitzien dans L

.

En fait, Assouad fournit un plongement en dimension finie. La constante de Lipschitz d´ epend de C, de α et de p. On va voir que cette d´ ependance est int´ eressante. On ne peut pas impun´ ement faire tendre α vers 1.

Elever une distance ` a une puissance < 1 fait disparaˆıtre toutes les courbes de longueur finie. On peut penser que celles-ci constituent un obstacle au plon- gement bilipschitzien. Apr` es l’espace euclidien (qui se plonge ´ evidemment), le

∗1

Univ Paris-Sud, Laboratoire de Math´ ematiques d’Orsay, Orsay, F-91405 ;

2

CNRS, Orsay, F-91405.

premier exemple d’espace doublant poss´ edant des courbes de longueur finie au- quel on pense est le groupe d’Heisenberg.

Th´ eor` eme 2 (J. Cheeger, B. Kleiner, 2006, [CK2]). Le groupe d’Heisenberg ( H , d) n’admet pas de plongement bilipschitzien dans L

.

Ce r´ esultat r´ epond ` a une question pos´ ee par A. Naor, elle-mˆ eme motiv´ ee par une conjecture venant de l’informatique th´ eorique. Comme on le verra plus loin, pour l’informatique, le th´ eor` eme de non plongeabilit´ e prend tout son sens quand on le confronte au r´ esultat suivant, qui pr´ ecise, dans le cas du groupe d’Heisenberg, le th´ eor` eme d’Assouad.

Th´ eor` eme 3 (J. Lee, A. Naor, 2006, [LN]). Il existe une m´ etrique invariante d

sur le groupe d’Heisenberg, ´ equivalente ` a d, telle que ( H , d

) se plonge isom´ etriquement dans L

.

1.2 Organisation de l’expos´ e

L’objet principal de ce la¨ıus est de raconter la preuve du th´ eor` eme 2. Si le fait que le groupe d’Heisenberg ne se plonge pas dans L

, p > 1, r´ esulte de m´ ecanismes classiques, il me semble que le cas p = 1 introduit des id´ ees nouvelles. Dans la foul´ ee, je pr´ esente des probl´ ematiques actuelles en informa- tique (je remercie A. Naor de me l’avoir patiemment expliqu´ e) et en th´ eorie des groupes.

Plan.

1. Introduction

2. Motivation provenant de la th´ eorie g´ eom´ etrique des groupes 3. Motivation provenant de l’informatique th´ eorique

4. R´ esultats ant´ erieurs sur le probl` eme de plongement 5. Preuve du th´ eor` eme de non plongement dans L

2 Motivation provenant de la th´ eorie g´ eom´ etri- que des groupes

La th´ eorie des groupes apporte des exemples (les groupes) d’espaces m´ etriques qui ne sont pas doublants, pour la plupart. N´ eanmoins, on va voir que les r´ esultats ci-dessus apportent un ´ eclairage utile.

2.1 Compression

D´ efinition 3 Une application f : X → Y entre espaces m´ etriques est un plon- gement uniforme s’il existe une constante C et une fonction φ tendant vers +∞

telles que pour tous x, x

∈ X ,

φ(d(x, x

)) ≤ d(f (x), f (x

)) ≤ C d(x, x

).

Th´ eor` eme 4 (G. Yu, 2000, [Yu]). La conjecture de Baum-Connes grossi` ere est vraie pour les groupes qui poss` edent un plongement uniforme dans un espace de Hilbert.

Th´ eor` eme 5 (M. Gromov, 2003, [Gr2]). Il existe des groupes de pr´ esentation finie qui ne poss` edent aucun plongement uniforme dans un espace de Hilbert.

Ceci motive l’´ etude d´ etaill´ ee des plongements uniformes et la terminologie suivante

D´ efinition 4 (M. Gromov, [Gr1]). Le plus grand φ qui convient dans la d´ efinition d’un plongement uniforme f est appel´ e la compression de f .

Question 5 Etant donn´ es un espace m´ etrique X et une classe d’espaces m´ etri- ques Y, quelle est la plus grande compression possible pour des plongements de X dans des ´ el´ ements de la classe Y ?

2.2 Exemples de plongements dans des espaces ` ^p

Th´ eor` eme 6 (J. Bourgain, 1986, [Bo2], R. Tessera, 2006, [Te]). Supposons qu’il existe un plongement d’un arbre r´ egulier dans `

de compression φ. Alors

Z

1

( φ(t)

t )

dt

t < +∞.

R´ eciproquement, toute fonction croissante satisfaisant Z

1

( φ(t) t )

dt

t < +∞

est major´ ee par la compression d’un plongement dans `

d’un espace m´ etrique quelconque tir´ e de la liste suivante : arbres r´ eguliers, r´ eseaux uniformes des groupes de Lie connexes, groupes hyperboliques, produits en couronne F o Z o` u F est un groupe fini.

Exemple 6 (Folklore). Les arbres se plongent dans `

avec compression φ(t) ≥ t

.

En effet, fixons une origine o ∈ T

et plongeons l’arbre T dans `

(T

) en en- voyant un sommet x sur la fonction caract´ eristique de la g´ eod´ esique de o ` a x.

Ensuite, on plonge `

(T

) dans `

(T

) de la fa¸ con ´ evidente. On obtient une compression t

.

Question 7 Est-ce que tous les plongements int´ eressants d’espaces m´ etriques dans `

sont obtenus de cette mani` ere, i.e. en passant par `

?

Pendant un certain temps, on aurait pu penser que oui. Par exemple, la Pro- pri´ et´ e A de Yu, qui donne une condition suffisante pour qu’un espace m´ etrique se plonge uniform´ ement dans L

, fonctionne de cette fa¸ con. Les r´ esultats com- bin´ es de Cheeger, Kleiner, Lee et Naor montrent que ce n’est pas le cas. On peut bien se plonger dans L

(apr` es remplacement de d par √

d) sans se plonger

dans L

.

3 Motivation provenant de l’informatique th´ eo- rique

Un plongement d’un espace m´ etrique fini dans l’espace euclidien ou/et dans

`

intervient souvent dans les algorithmes de base de l’informatique th´ eorique.

On va le voir pour le probl` eme Sparsest Cut.

3.1 La conjecture de Goemans et Linial

Le meilleur algorithme connu pour une r´ esolution approch´ ee de Sparsest Cut, SDP (je vais l’expliquer), donne, dans le pire des cas, pour un graphe ` a n sommets, une r´ eponse qui diff` ere de l’optimum d’un facteur au plus ´ egal ` a la constante L

d´ efinie comme suit.

Notation 8 On consid` ere tous les espaces m´ etriques ` a n points (X, d) tels que (X, d

) se plonge isom´ etriquement dans l’espace euclidien. Soit L

le plus petit L tel que tous ces espaces admettent un plongement L-lipschitzien et qui augmente les distances dans `

.

M.X. Goemans (en 1997, [Go]) et N. Linial (en 2002, [Li]) ont demand´ e si L

est born´ e ind´ ependamment de n.

En 2005, S. Khot et N. Vishnoi ont donn´ e un contre-exemple, [KV].

Les boules du graphe de Cayley du groupe de Heisenberg discret fournissent d’autres contre-exemples, plus naturels et ayant des propri´ et´ es suppl´ ementaires.

3.2 Sparsest Cut

Probl` eme 9 Sparsest Cut consiste ` a calculer la constante de Cheeger d’un graphe fini.

Une coupure dans un graphe pond´ er´ e G est une partition des sommets en G

= S ∪ S. ¯

Φ(S) = #∂S

#S # ¯ S . La constante de Cheeger de G est Φ

(G) = min

∅(S(G⁰

Φ(S).

Le calcul exact de Φ

est NP-difficile. Mais une coupure (presque) optimale est fr´ equemment utilis´ ee dans des algorithmes.

Arithm´ etisation Φ(S) =

P

aretesuv

m(uv)|1

(u) − 1

(v)|

P

u

P

v

|1

(u) − 1

(v)| .

Soit d(u, v) = |1

(u) − 1

(v)|. C’est une semi-distance sur G

, induite par une

application vers l’espace m´ etrique ` a 2 points {0, 1}. L’enveloppe convexe de ces

semi-distances est exactement l’ensemble des semi-distances plongeables dans

`

. Par cons´ equent,

Φ

= min

dplongeable dans`¹

P

aretesuv

m(uv)d(u, v) P

u

P

v

d(u, v)

= min{ X

aretesuv

m(uv)d(u, v) | d plongeable dans `

, X

u

X

v

d(u, v) = 1}.

3.3 Approche de Sparsest Cut par la programmation lin´ e- aire

Malheureusement, le probl` eme de d´ ecider si un espace m´ etrique fini est plon- geable ou non dans `

est NP-complet.

Relaxation. Oublions la condition de plongeabilit´ e dans `

. Cela ram` ene

`

a un probl` eme de programmation lin´ eaire, not´ e LP, pour lequel il existe des algorithmes polynˆ omiaux. Soit Φ

le minimum de ce probl` eme.

Th´ eor` eme 7 (J. Bourgain, 1985, [Bo1]). Tout espace m´ etrique ` a n points se plonge dans L

(et donc dans L

) avec distorsion au plus O(log(n)). C’est op- timal.

Corollaire 10

Φ

≤ Φ

≤ C log(n)Φ

,

ce qui montre que LP fournit une approximation de Φ

` a un facteur multiplicatif log(n) pr` es.

Preuve. La m´ etrique d

plongeable dans `

qui est O(log(n))-proche de la so- lution d de LP satisfait

Φ

≤ Φ(d

) ≤ C log(n)Φ

= C log(n)Φ

.

Proc´ edure d’arrondi. (N. Linial, E. London, Y. Rabinovich, 1995, [LLR]).

Le plongement de Bourgain est calculable en temps polynˆ omial, on peut en tirer une coupure S qui r´ ealise approximativement Φ

.

3.4 Approche de Sparsest Cut via la programmation semi- d´ efinie

Arithm´ etisation.

Φ(S) = P

aretesuv

m(uv)|1

(u) − 1

(v)|

P

u

P

v

|1

(u) − 1

(v)|

.

Relaxation. On autorise des fonctions x : G

→ L

et non seulement ` a valeurs dans {0, 1}, en gardant la contrainte

∀u, v, w ∈ G

, |x(u) − x(v)|

≤ |x(u) − x(w)|

+ |x(w) − x(v)|

,

satisfaite par les fonctions caract´ eristiques. Cela ram` ene ` a un probl` eme de pro- grammation semi-d´ efinie, not´ e SDP, pour lequel il existe des algorithmes po- lynˆ omiaux. Soit Φ

= Φ(x) son minimum.

Soit d(u, v) = |x(u) − x(v)|

. C’est une semi-distance sur G

, et d

est induite par un plongement dans l’espace euclidien. Par cons´ equent,

Φ

= min{ X

aretesuv

m(uv)d(u, v) | d distance, √

d plongeable dans L

, X

u

X

v

d(u, v) = 1}.

Clairement,

Φ

≤ Φ

≤ L

Φ

,

ce qui montre que Φ

est calculable en temps polynˆ omial ` a un facteur multipli- catif L

pr` es.

3.5 Estimation de L _n

Th´ eor` eme 8 (S. Arora, J. Lee, A. Naor, 2005, [ALN]). Soit (X, d) un espace m´ etrique ` a n points. On suppose que (X, d

) se plonge isom´ etriquement dans L

. Alors (X, d) se plonge aussi dans L

avec distorsion O( p

log(n) log(log(n))).

Remarque 11 C’est presque optimal, puisque l’ensemble des sommets du n- cube `

ne se plonge pas dans L

avec distorsion < √

n (Enflo, 1969, [En]).

Corollaire 12 L

= O( p

log(n) log(log(n))).

En effet, L

se plonge isom´ etriquement dans L

.

Remarque 13 La non plongeabilit´ e du groupe de Heisenberg entraˆıne une borne inf´ erieure sur L

. Cheeger, Kleiner and Naor annoncent qu’elle peut ˆ etre rendue effective. Conjecturalement, L

= Ω(log(log(n))

) pour un δ > 0.

Conclusion 14 L’approche SDP donne actuellement la meilleure solution con- nue du probl` eme Sparsest Cut g´ en´ eral. Dans le cas particulier o` u les poids sont tous ´ egaux, S. Arora, E. Hazan, S. Kale, 2004, [AHK] donnent un algorithme polynˆ omial diff´ erent qui calcule Φ

` a un facteur O( p

log(n)) pr` es.

4 R´ esultats ant´ erieurs sur la plongeabilit´ e qua- siisom´ etrique

4.1 Plongements dans ` ^p et L ^p , p > 1

Th´ eor` eme 9 (Semmes, 1996, [Se]). H ne se plonge pas quasiisom´ etriquement

dans un espace de Banach de dimension finie.

(Pauls, 2001, [Pa]). H ne se plonge pas quasiisom´ etriquement dans un espace de Hilbert, ni, plus g´ en´ eralement, dans un espace CAT (0).

(Cheeger-Kleiner, 2006, [CK2]). H ne se plonge pas quasiisom´ etriquement dans un espace de Banach qui poss` ede la propri´ et´ e de Radon-Nikodym.

D´ efinition 15 (Heinonen-Koskela, 1996, [HK]). On dit qu’un espace m´ etrique est PI s’il est doublant et s’il satisfait une in´ egalit´ e de Poincar´ e (1, p),

I

B

|f − I

B

f| ≤ const. diameter(B) I

2B

|∇f |

,

pour tous les sur-gradients |∇f | de f .

4.2 Propri´ et´ e GFDA

D´ efinition 16 Un espace de Banach V satisfait la condition GFDA (pour good finite dimensional approximation) s’il existe un syst` eme compatible de projec- tions π

: V → W

sur des espaces de dimension finie tel que

1. ||v|| = lim

||π

(v)||.

2. ∀ > 0, pour tout suite ρ

d´ ecroissant vers 0, il existe N tel que chaque fois que deux vecteurs v et v

satisfont, pour i = 1, . . . , N , ||v|| − ||π

(v)|| <

ρ

||v||, ||v

||−||π

(v

)|| < ρ

||v

|| et ||π

(v) − π

(v

)|| < N

max{||v||, ||v

||}, alors ||v − v

|| < max{||v||, ||v

||}.

Exemples 17 1. Cette classe contient `

mais pas L

. En effet, GFDA ⇒ RNP.

2. Tout dual s´ eparable poss` ede une norme ´ equivalente qui est GFDA. En effet, d’apr` es Kadec et Klee, [Kad], [Kl], dans un dual s´ eparable, quitte

`

a changer de norme, la convergence faible et la convergence des normes entraˆıne la convergence forte.

Th´ eor` eme 10 (Cheeger-Kleiner, 2006, [CK1]). Les espaces PI dont les cˆ ones tangents ont une dimension de Hausdorff strictement sup´ erieure ` a leur dimen- sion topologique ne se plongent pas bi-lipschitz dans les espaces de Banach qui satisfont la condition GFDA. Noter qu’il existe des espaces PI qui se plongent dans L

.

4.3 Le groupe d’Heisenberg

D´ efinition 18 Le groupe d’Heisenberg H est le groupe de Lie de dimension 3 dont l’alg` ebre de Lie a pour base ξ, η et ζ tels que [ξ, η] = ζ. Les champs de vecteurs invariants ` a gauche ξ et η engendrent un champ de plans H . La distance de Carnot d(x, x

) est l’inf des longueurs des courbes tangentes ` a H joignant x ` a x

. L’homoth´ etie δ

est l’automorphisme induit par δ

(ξ) = tξ, δ

(η) = tη, δ

(ζ) = t

ζ. Elle multiplie les distances de Carnot par t.

La finitude de la distance de Carnot r´ esulte de la figure suivante.

!

x x’

x x

(x)

x

1 2

3

(x )₁

(x )₂ (x )₃

"

"

#"

$ #$

$

Remarque 19 1. d(x, x exp(t

ζ)) = td(1, exp(ζ)) = const. t.

2. volumeB(x, t) = t

volumeB(x, 1) = const. t

, donc la dimension de Haus- dorff est 4.

4.4 Non plongeabilit´ e du groupe de Heisenberg dans les espaces de Banach RNP

1. Un application lipschitzienne poss` ede des d´ eriv´ ees partielles horizontales presque partout.

Par d´ efinition de la propri´ et´ e de Radon-Nikodym.

2. Ces d´ eriv´ ees sont approximativement continues presque partout.

C’est g´ en´ eral pour les espaces doublants.

3. En un tel point x, d(f (x), f(x

)) = o(d(x, x

)) si x

est sur la droite verti- cale passant par x.

Soit x

= x exp(t

ζ), de sorte que d(x, x

) ∼ t. On joint x ` a x

par des courbes int´ egrales de ξ, η, −ξ, −η, d’extr´ emit´ es x = x

, x

, x

, x

, x

= x

comme indiqu´ e sur la figure ci-dessus. Alors

f (x

) − f (x) ∼ tξf(x), f (x

) − f (x

) ∼ −tξf (x), d’o` u

f (x

) − f (x) + f (x

) − f (x

) = o(t).

De mˆ eme f (x

) − f(x

) +f (x

) − f (x

) = o(t). En additionnant, f (x

) −f (x) = o(t). Ceci est incompatible avec une in´ egalit´ e de la forme k f (x

) − f (x) k≥

c d(x, x

).

5 Preuve de l’impossibilit´ e de plonger dans L ¹

Remarque 20 L

n’a pas la propri´ et´ e de Radon-Nikodym.

En effet, t 7→ 1

, R

→ L

( R

), est isom´ etrique, mais nulle part diff´ erentiable.

5.1 Sch´ ema de la preuve

1. A une application f : X → L

(Y, ν), on associe une famille canonique de sous-ensembles S ⊂ X , g´ en´ eralisant les ensembles de niveau.

2. f est ` a variation born´ ee si et seulement si presque tout S est de p´ erim` etre fini.

3. (Franchi, Serapioni, Serra-Cassano, 2001, [FSS]). Si S ⊂ H est de p´ erim` etre fini, alors, en presque tout point, les dilat´ es par δ

de S convergent vers des demi-espaces verticaux.

4. Au voisinage des bons points, ` a petite ´ echelle, f factorise approximative- ment par H /[ H , H ], ce qui l’empˆ eche d’ˆ etre bilipschitzienne.

5.2 Distances de coupure

D´ efinition 21 Une semi-distance de coupure ´ el´ ementaire sur X, c’est d

(x, x

) = |1

(x) − 1

(x

)|

o` u S ⊂ X est une coupure. Une semi-distance de coupure est une somme de semi-distances de coupure ´ el´ ementaires, i.e.

d(x, x

) = Z

{S}

d

(x, x

) dµ

(S) o` u µ

est une mesure sur l’ensemble des coupures.

Une r´ ef´ erence g´ en´ erale sur les distances de coupure est [DL].

Lemme 22 (P. Assouad, 1977, [As1]). Une semi-distance d sur X est induite par une application f : X → L

(Y, ν) si et seulement si c’est une semi-distance de coupure.

Preuve du lemme d’Assouad, ⇐. Supposons que d est une semi-distance de coupure. Fixons une origine o ∈ X . Soit S(x) l’ensemble des coupures qui s´ eparent x de o. Alors x 7→ 1

plonge (X, d) isom´ etriquement dans L

({S}, µ

).

5.3 La mesure de coupure

D´ efinition 23 L’´ epigraphe d’une fonction u : Y → R est E

= {(y, t) ∈ Y × R | t

u(y) > 1}.

t

y

u

y

E t E

E_u E_v v

Lemme 24 Si u, v ∈ L

(Y, ν), ||u − v||

= (ν ⊗ dt)(E

∆E

).

Preuve du lemme d’Assouad, ⇒. Soit f : X → L

(Y, ν). A chaque (y, t) ∈ Y × R , correspond une coupure S(y, t) = {x ∈ X | (y, t) ∈ E

} = {x ∈ X | t

f (x)(y) > 1}. Soit µ

= S

(ν ⊗ dt). Alors pour tous x, x

∈ X ,

d(f (x), f (x

)) = ||f (x) − f (x

)||

= (ν ⊗ dt)(E

∆E

)

= Z

Y×R

|1

(y, t) − 1

(y, t)| dν(y) dt

= Z

Y×R

|1

(x) − 1

(x

)| dν(y) dt

= Z

{S}

|1

(x) − 1

(x

)| dµ

(S).

5.4 Variation born´ ee

On rappelle que si h est une fonction lisse sur un ouvert U de R

, aire(graphe(h)) =

Z

p 1 + |∇h|

∼ V ol(U ) + ||Liph||

.

Toute limite L

de fonctions h de norme ||Liph||

born´ ee conduit ` a une surface d’aire finie. Cela a conduit Tonelli ` a la

D´ efinition 25 Soient X et Y des espaces m´ etriques. Une application L

f : X → Y est ` a variation born´ ee si c’est la limite L

d’une suite de fonctions localement lipschitziennnes h

telles que Liph

reste born´ e dans L

. La borne inf´ erieures des limites des R

Liph

sur toutes les approximations h

s’appelle la variation de f .

Un sous-ensemble S ⊂ X a un p´ erim` etre fini si sa fonction caract´ eristique 1

est ` a variation born´ ee. Le p´ erim` etre de S est ´ egal ` a la variation of 1

.

Pour les fonctions BV ` a valeurs r´ eelles, la formule de la coaire donne variation(h) =

Z

R

p´ erim` etre({h > t}) dt.

Cela s’´ etend aux applications X → L

(Y, ν) comme suit.

Th´ eor` eme 11 (Cheeger-Kleiner, [CK2]). Soit X un espace PI. Soit f ∈ L

(X, L

(Y, ν)).

Alors f est ` a variation born´ ee si et seulement si µ

-presque toute coupure est de p´ erim` etre fini. De plus

Z

{S}

p´ erim` etre(S) dµ

(S) = Z

Y

variation(f (·, y)) dν(y) ≤ const. variation(f ).

5.5 Mauvais points

D´ esormais, X = R

ou X = H . Un demi-espace dans H est l’image r´ eciproque de R

par un homomorphisme de groupes H → R (il est born´ e par un plan ver- tical).

Notation 26 Pour S ⊂ X , x ∈ ∂S, soit

α(S, x, r) = min

Hdemi−espace passant parx

I

B(x,r)

|1

− 1

|.

On dit qu’un point x est (, R)-mauvais pour S, et on note x ∈ Bad

(S), s’il existe r < R tel que α(S, x, r) > .

Pour tout S, le p´ erim` etre de S est une mesure ||∂S|| sur X , port´ ee par la fronti` ere de S. On peut la restreindre aux mauvais points. Etant donn´ ee une mesure µ sur l’ensemble des coupures de p´ erim` etre fini, la mesure du mauvais p´ erim` etre λ

est d´ efinie sur une fonction continue u par

Z

X

u(x) dλ

(x) = Z

{S}

Z

Bad_,R(S)

u(x) d||∂S||(x) dµ(S).

Th´ eor` eme 12 (Franchi, Serapioni, Serra-Cassano, 2001, [FSS]). Soit S un en- semble de p´ erim` etre fini dans H . Le p´ erim` etre de l’ensemble Bad

(S) tend vers 0 quand R tend to 0.

Corollaire 27 Soit µ une mesure sur l’ensemble des coupures de p´ erim` etre fini.

La masse totale de la mesure λ

tend vers 0 quand R tend to 0.

5.6 Approximation d’une mesure de coupure par une me- sure port´ ee par les demi-plans

Soit µ une mesure sur l’ensemble des coupures de p´ erim` etre fini, soit d

la semi-distance correspondante. Etant donn´ es x ∈ X et r > 0, soit δ

d

la distance distance compos´ ee avec l’homoth´ etie de rapport r et de centre x.

Th´ eor` eme 13 (Cheeger-Kleiner). Pour presque tout x ∈ X, il existe des me- sures µ

port´ ees par les demi-espaces telles que ||

δ

d

− d

|| tend vers 0 dans L

(X × X ).

Preuve. Par diff´ erentiation de la mesure du mauvais p´ erim` etre, on obtient pour presque tout x un ensemble de mesure presque pleine dans la boule B(x, r) de points o` u la plupart (au sens de µ) des coupures sont proches de demi-espaces.

Pour une telle coupure S, on choisit le demi-espace HS(S) le plus proche de S,

et on pose µ

=

(HS ◦ δ

)

µ.

Preuve du th´ eor` eme de non-plongement. Si f : H → L

est un plon- gement bilipschitzien, de mesure de coupure µ, d

(x

, x

) = d(f (x

), f (x

)) ≥ const.d(x

, x

), donc

1

r δ

d

(x

, x

) ≥ const.d(x

, x

).

En revanche, une distance de coupure concentr´ ee sur les demi-espaces satisfait d

(x

, x

) = d

(x

mod Z( H ), x

mod Z( H )).

Deux telles semi-distances ne peuvent pas ˆ etre L

-proches.

5.7 La normale unitaire d’un ensemble de p´ erim` etre fini

On donne la preuve du th´ eor` eme 12. Ici, X = R

or H . Soit S ⊂ X un ensemble de p´ erim` etre fini. On utilise la formule de la divergence pour d´ efinir la normale au bord. Dans H , la divergence d’un champ de vecteurs horizontal est d´ efinie comme suit : φ = φ

ξ + φ

η, div(φ) = ξφ

+ ηφ

.

Lemme 28 (De Giorgi, 1954, [DG]). Il existe un champ de vecteurs unitaire (horizontal) mesurable ν tel que pour tout champ de vecteur ` a support compact (horizontal) φ,

− Z

S

div(φ) = Z

X

hν, φid||∂S||.

Preuve. Pour une fonction lipschitzienne h, la formule de la divergence entraˆıne

| Z

S

h div(φ)| ≤ ||φ||

Z

X

Liph.

Cela montre que φ 7→ − R

S

div(φ) est une mesure de Radon ` a valeurs vecteo- rielles dont la masse est born´ ee par la variation de (h). Ce fait s’´ etend aux fonction ` a variation born´ ee, en particulier ` a 1

. Dans ce cas, la mesure de Ra- don est absolument continue par rapport ` a la mesure de p´ erim` etre, et ν est sa densit´ e (Riesz).

5.8 Rectifiabilit´ e des ensembles de p´ erim` etre fini

Lemme 29 (Ambrosio, 2001, [Am]). En ||∂S||-presque tout point x, la ||∂S||- mesure d’une boule B(x, r) est ∼ r

.

Cela entraˆıne que les fonctions mesurables comme ν sont approximativement continues presque partout.

Par compacit´ e, on peut extraire une sous-suite convergente des dilat´ es δ

(S).

La limite est une ensemble E de p´ erim` etre localement fini. Les normales uni-

taires convergent aussi ||∂S||-presque partout, donc la normale unitaire de E est

presque partout constante.

Lemme 30 Un ensemble E de p´ erim` etre localement fini dont la normale uni- taire est presque partout ´ egale ` a ξ est un demi-espace (vertical).

En effet, si on se d´ eplace depuis l’origine, dans les deux sens le long des orbites de η, et positivement le long des orbites de ξ, on atteint exactement tous les points d’un demi-espace (vertical).

Cela compl` ete en gros la preuve du th´ eor` eme 12. Franchi, Serapioni and Serra-Cassano vont plus loin dans la th´ eorie de la rectifiabilit´ e.

Th´ eor` eme 14 (Franchi, Serapioni et Serra-Cassano, 2001, [FSS]). A un en- semble de mesure de Hausdorff 3-dimensionnelle nulle pr` es, le bord d’un en- semble de p´ erim` etre fini est une r´ eunion d´ enombrable de morceaux compacts de surfaces d´ efinies par des ´ equations g = 0 de classe C

, dont le gradient horizon- tal ne s’annule pas.

Appendice : R´ eduction du non plongement des boules au non plongement de ( H , d)

Proposition 31 L’impossibilit´ e de plonger le groupe d’Heisenberg dans L

en- traˆıne que L

tend vers +∞.

Preuve. Le lemme suivant remonte ` a S. Kakutani (et r´ esulte du lemme 22).

Lemme 32 (S. Kakutani, 1939, [Ka]). L’ensemble des semi-distances plon-

geables dans L

est ferm´ e. De plus, un espace semi-m´ etrique X se plonge isom´ etriquement dans L

si et seulement si tout sous-ensemble fini de X se plonge isom´ etriquement

dans L

.

Supposons que la boule de rayon n de ( H

, d

) admette un plongement L- bilipschitzien dans L

. Comme les distances induites d

sont born´ ees, on peut supposer qu’elles convergent simplement vers une distance d

. Alors d

se plonge dans L

, elle est L-´ equivalente ` a d

. Donc ( H

, d

) admet un plongement L- bilipschitzien dans L

.

Lemme 33 (S. Kakutani, 1939, Bretagnolle, Dacunha-Castelle, Krivine, 1966, [BDK]). Tout ultraproduit d’espaces L

est ` a nouveau un espace L

.

En particulier, tout cˆ one asymptotique de L

est isom´ etrique ` a L

. Par cons´ equent, un plongement bilipschitzien (ou quasiisom´ etrique) de ( H

, d

) dans L

donne un plongement bilipschitzien de ( H , d) dans L

, contradiction.

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Pierre Pansu

Laboratoire de Math´ ematiques d’Orsay UMR 8628 du CNRS

Universit´ e Paris-Sud

91405 Orsay C´ edex, France

pierre.pansu@math.u-psud.fr

http://www.math.u-psud.fr/∼pansu