Feuille d’exercises 5 : Algèbre tensorielle

Université Lille I Année 2013-2014

M2.SMI Outils mathématiques pour la mécanique

Feuille d’exercises 5 : Algèbre tensorielle

Exercise 1. Les coordonnées cylindriques dans R³ sont données par Φ : (r, ϕ, z)7−→(x, y, z),

avec

x=rcosϕ y=rsinϕ.

— Calculer la matrice jacobienne.

— Interpréter les vecteurs colonnes de la matrice jacobienne en fonction d’un repère mobile.

— Calculer le jacobien, c.a.d. le déterminant de la matrice jacobienne.

— Déterminer les points où le jacobien s’annule.

— Décrire les variables r, ϕ, z comme fonctions des variables x, y, z.

Exercise 2. Les coordonnées cylindriques dans R³, réstreintes à r = c > 0 (constant) four- nissent une nappe cylindrique de rayon r. Déterminer une nappe maximale. Est-ce qu’on peut décrire le cylindre de rayon r tout entier à l’aide d’une seule nappe ?

Exercise 3. Les coordonnées sphériques dans R³ sont données par Φ : (r, ϑ, ϕ)7−→(x, y, z),

avec

x=rcosϑcosϕ y=rcosϑsinϕ z =rsinϑ.

— Interpréter les variables ϑ et ϕgéographiquement.

— Calculer la matrice jacobienne.

— Interpréter les vecteurs colonnes de la matrice jacobienne en fonction d’un repère mobile.

— Calculer le jacobien, c.a.d. le déterminant de la matrice jacobienne.

— Déterminer les points où le jacobien s’annule. Décrire les variablesr, ϕ, ϑcomme fonc- tions des variables x, y, z.

Exercise 4. Les coordonnées sphériques dansR³, réstreintes àr=c >0(constant) fournissent une nappe sphérique de rayonr. Déterminer une nappe maximale. Est-ce qu’on peut décrire la sphère de rayonr toute entière à l’aide d’une seule nappe ?

Exercise 5. Soit e₁, e₂, e₃ une base de R³ et f le tenseur covariant de degré 1 défini par f(e1) = 1, f(e2) = −1, f(e3) = 2.

(i) Soitv =e₁−e₂+ 4e₃; calculer f(v).

(ii) Quelles sont les composantes de f dans la base duale associée à la base donnée ?

(iii) Soient b₁ =−e₁, b₂ =−e₂, b₃ =e₃. Justifier que c’est une base. Écrire les matrices de passage, trouver les nouvelles composantes de v et de f, et calculer f(v) dans les nouvelles bases.

Exercise 6. À partir de la définition du produit vectoriel, établir les propriétés du produit vectoriel rappelées en cours :

1. v∧w+w∧v = 0.

2. v∧w= 0⇐⇒ v etw linéairement dépendants.

3. hv∧w, vi=hv∧w, wi= 0

4. Lorsqu’on inverse l’orientation de X, le signe du produit vectoriel change.

5. La longueur |v ∧w|de v∧w est l’aire du parallélogramme engendré parv et w.

6. hu∧v, wi=|uvw|=hu, v∧wi :produit triple 7.



 v¹ v² v³



∧



 w¹ w² w³



=

v¹ w¹ e¹ v² w² e² v³ w³ e³ 8. hv₁∧w₁, v₂∧w₂i=

hv₁, v₂i hv₁, w₂i hw₁, v₂i hw₁, w₂i 9. (u∧v)∧w=hu, wiv− hv, wiu

10. (v₁∧w₁)∧(v₂∧w₂) = |v₁, v₂, w₂|w₁− |w₁, v₂, w₂|v₁

Exercise 7. Soit A_i,j (16 j, k 6n) un système de n² nombres réels et soit A: Rⁿ×Rⁿ →R défini par

A(x, y) = A_i,jxⁱy^j.

(i) Est-ce un tenseur ? Si oui, quelle est sa variance et quel est son degré ?

(ii) Supposons A_i,j =A_j,i (16j, k 6n). Est-ce que cette propriété est conservée par les changements de base ?

(iii) Même question lorsque A_i,j +A_j,i = 0 (16j, k 6n).

Correction. (i) C’est la forme bilinéaire sur Rⁿ dont la matrice [A(ei, ej)] dans la base canonique e₁, . . . , e_n coïncide avec la matrice [A_i,j]. C’est donc un tenseur covariant de degré 2.

(ii) La condition de symétrie Ai,j =Aj,i (16j, k 6n) dit que la matrice [Ai,j]est symé- trique d’où A est une forme bilinéaire symétrique sur Rⁿ. Cette condition est conservée par les changements de base. En effet, soitf₁, . . . , f_n une autre base, et soit P = [π_i,j]la matrice de passage de telle sorte que

f_j =X π_i,je_i.

Alors la matrice de la forme bilinéaire symétriqueAdans la basef₁, . . . , f_nest la matrice

tP AP

qui est bien symétrique.

(iii) De même, la condition d’antisymétrie A_i,j =−A_j,i (16j, k 6n) dit que la matrice [A_i,j] est antisymétrique d’où A est une forme bilinéaire antisymétrique sur Rⁿ. Cette condition est également conservée par les changements de base.

Exercise 8. Calculer le volume du parallélépipède engendré par(2,1,0), (1,3,1), (5,2,1).

Exercise 9. Calculer le centre de gravité d’un secteur circulaire de rayonaet d’angle au centre 2α.

Exercise 10. Calculer le centre de gravité d’un corps homogène limité par le paraboloïde x²+ 2z² = 4y

et le plan y= 2.

Correction. La forme normale de l’ellipse x²+ 2z² = 4y₀ dans le plan y=y₀ >0 est x²

4y₀ + z² 2y₀ = 1, et l’aire de cette ellipse vaut 2√

2πy₀. Ainsi la forme volume du corps homogène en discussion s’écrit 2√

2πydy. Par conséquent, son volume vaut 2√

2π Z 2

0

ydy= 4√ 2π.

Pour des raisons de symétrie, le centre de gravité se trouve sur l’axe des y, et la valeur de sa y-composante est

2√ 2πR2

0 y²dy 4√

2π = ¹₂ Z 2

0

y²dy= ⁸₆ = ⁴₃.

Exercise 11. Soit a un nombre réel non nul. Calculer le moment d’inertie par rapport à la droite y=xde la figure limitée par l’hyperbole xy = 4 et les droites x=a et y=a.

Correction. Effectuons le changement de repère

s=x−y, t=x+y.

Alors l’hyperbole xy= 4 s’écrit

4xy= (x+y)² −(x−y)² = 16 d’où

t²−s² = 16.

De même, la droite x=a resp. la droite y=a s’écrit sous la formes+t= 2a resp. t−s= 2a.

Dans le plan des s, t, l’axe focal est l’axe des t, et les deux sommets de l’hyperbole sur l’axe focal sont les points (0,±4). Les deux droites s+t = 0 et t−s = 0 sont les deux asymptotes de l’hyperbole. Le point (0,4) appartient aux droites s+t = 4 et t−s = 4, et le point (0,−4) appartient aux droites s+t =−4 et t−s =−4. Dans ces cas, c.a.d. lorsque a=±2, la figure en discussion dégénère en un point. De même, lorsque a = 0, la figure en discussion n’est pas bornée.

Supposonsa 6= 0. Alors la droites+t= 2a rejoint l’hyperbolet² =s²+16au point

a²−4

a ,^a2_a⁺⁴ , et la droite t−s= 2a rejoint l’hyperbole t² =s²+ 16 au point

4−a² a ,^a2_a⁺⁴

. L’intégrale à calculer :

— 0 < a < 2 : La droite t = s+ 2a rejoint l’hyperbole au point 4−a²

a ,^a2_a⁺⁴

, entre les abscisses 0 et ^4−a_a², la densité ρ est donnée par l’expression ρ(s) = √

s²+ 16−s−2a, et, par symétrie, le moment d’inertie cherché vaut

2 Z ^4−a

2

a 0

√s²+ 16−s−2a

s²ds. (1)

— −2< a < 0: La droitet =−s+ 2a rejoint l’hyperbole au point

a²−4

a ,^a2_a⁺⁴

, entre les abscisses 0 et ^a2_a⁻⁴, la densité ρ est donnée par l’expression ρ(s) =−s+ 2a+√

s²+ 16, et, par symétrie, le moment d’inertie cherché vaut

2 Z ^a

2−4 a 0

√

s²+ 16−s+ 2a

s²ds. (2)

— a > 2 : La droite t = −s+ 2a rejoint l’hyperbole au point

a²−4

a ,^a2_a⁺⁴

, entre les abscisses 0 et ^a2_a⁻⁴, la densité ρ est donnée par l’expression ρ(s) =−s+ 2a−√

s²+ 16, et, par symétrie, le moment d’inertie cherché vaut

2 Z ^a

2−4 a 0

−s+ 2a−√

s²+ 16

s²ds. (3)

— a < −2 : La droite t = s+ 2a rejoint l’hyperbole au point

4−a²

a ,^a2_a⁺⁴

, entre les abscisses 0 et ^4−a_a², la densité ρ est donnée par l’expression ρ(s) =−√

s²+ 16−s−2a, et, par symétrie, le moment d’inertie cherché vaut

2 Z ^4−a

2

a 0

−√

s²+ 16−s−2a

s²ds. (4)

Nous constatons que l’intégrale (1), avec −a substitué à a et ^a2_a⁻⁴ à ^4−a_a², donne l’intégrale (2), ce qui doit évidemment être le cas, pour des raisons de symétrie ; de même, l’intégrale (3), avec

−a substitué à a et ^4−a_a² à ^a2_a⁻⁴, donne l’intégrale (4).

Pour calculer ces intégrales, nous constatons :

d ds

s

3(s²+ 16)³² − 2

15(s²+ 16)⁵²

=s²√

s²+ 16

Exercise 12. Montrer qu’une matrice réelle quelconque s’écrit comme somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.

Exercise 13. Calculer : _dt^d(a_ib_jc^k); _dt^d(a_i,jb_j +c_i,jd^j);

∂

∂x^j (A_i,jxⁱx^j); _∂x^∂k(A_i,jxⁱx^j); _∂x^∂j∂x^{2 k}(A_i,jxⁱx^j); _∂xj∂x^∂3k∂x^`(A_i,jxⁱx^j).

Correction. On applique systématiquement la loi de dérivation d’un produit de deux fonctions.

Cela donne :

d

dt(a_ib_jc^k) = _dt^d(a_i)

b_jc^k+a_{i dt}^d(b_j)

c^k+a_ib_{j dt}^d(c^k)

d

dt(a_i,jb_j+c_i,jd^j) = _dt^d(a_i,j)

b_j +a_{i,j dt}^d(b_j)

+ _dt^d(c_i,j)

d^j +c_{i,j dt}^d(d^j)

∂

∂x^j A_i,jxⁱx^j

= _∂x^∂j(A_i,j)

xⁱx^j+A_i,jδ^i,jx^j +A_i,jxⁱ

∂

∂x^k A_i,jxⁱx^j

= _∂x^∂k(A_i,j)

xⁱx^j+A_i,jδ^i,kx^j +A_i,jxⁱδ^j,k

∂²

∂x^j∂x^k A_i,jxⁱx^j

= _∂x^∂j ∂

∂x^k A_i,jxⁱx^j

= _∂x^∂j

∂

∂x^k(A_i,j)

xⁱx^j +A_i,jδ^i,kx^j+Ai,jxⁱδ^j,k

= _∂x^∂j

∂

∂x^k(A_i,j) xⁱx^j

+_∂x^∂j A_i,jδ^i,kx^j

+_∂x^∂j A_i,jxⁱδ^j,k

=

∂²

∂x^j∂x^k(A_i,j)

xⁱx^j + _∂x^∂k(A_i,j)

δ^i,jx^j+ _∂x^∂k(A_i,j) xⁱ + _∂x^∂j(A_i,j)

δ^i,kx^j+A_i,jδ^i,k + _∂x^∂j(A_i,j)

xⁱδ^j,k+A_i,jδ^i,jδ^j,k

= ∂²

∂x^j∂x^k(Ai,j)

xⁱx^j + _∂x^∂k(Ai,j)

δ^i,jx^j+xⁱ + _∂x^∂j(A_i,j)

δ^i,kx^j+xⁱδ^j,k +A_i,j δ^i,k +δ^i,jδ^j,k

∂³

∂x^j∂x^k∂x^` A_i,jxⁱx^j

= _∂x^∂j ∂

∂x^k

∂

∂x^` A_i,jxⁱx^j

= _∂x^∂j

∂

∂x^k

∂

∂x^`(Ai,j)

xⁱx^j+Ai,jδ^{`,i</sup>x<sup>j</sup>+Ai,jx<sup>i</sup>δ<sup>`,j}

etc.

Exercise 14. (i) Soit y ∈ R³. Montrer que J_y(v) = y∧(v ∧y) (v ∈ R³) définit un tenseur symétriqueJy: R³ →R³; ici “symétrique” signifie que, relativement au produit scalaire ordinare h ·, · i, l’application linéaireJ_y vérifie l’identité

hJ_y(v), wi=hv, J_y(w)i,

quels que soientv, w∈R³.

(ii) SoitBun “solide” constitué d’un nombre fini de pointsy_ν de massesm_ν. Le tenseur d’inertie deB est défini parP

m_νJ_yν. Dans quels repères ce tenseur est-il symétrique ?

Correction. (i) En utilisant les lois que vérifie le produit vectoriel, voir ex. 6 ci-dessus, on trouve :

hJy(v), wi=hy∧(v∧y), wi

=hhy, viy− hy, yiv, wi

=hy, vihy, wi − hy, yihv, wi

=hv, J_y(w)i

(ii) D’après ex. 7 (ii), la symétrie est conservée par les changements de repère. Le tenseur d’inertie de B est donc symétrique dans un repère quelconque.

Exercise 15. SoitX un espace vectoriel réel de dimension n <∞, et notonsX^∗ l’espace dual, c.a.d. X^∗ = Hom(X,R), muni de la structure d’espace vectoriel réel évidente. Par rapport à une base deX, un élément quelconque f deHom(X^∗, X)est caractérisé par n² nombres réels.

Quelle est la loi de transformation de ces nombres relativement à un changement de base ? Quelle est la variance du tenseur

T_f: Iso(Rⁿ, X)−→Rⁿ

2

qui en résulte ?

Correction. C’est un tenseur qui est contravariant de degré 2. En effet, soit b₁, . . . , b_n une base de X et b¹_∗, . . . , bⁿ_∗ la base de X^∗ qui est duale à la base b1, . . . , bn. Soit ϕ: Rⁿ → X le repère linéaire (c.a.d. isomorphisme linéaire) associé à cette base par les identités

ϕ(e_i) =b_i (16i6n).

Le tenseur T_f associe à ce repère linéaire la matrice T_f(ϕ) =^ϕZ =_ϕ

z^i,j

caractérisée par les identités

f(b^j_∗) = ^ϕz^i,jb_i (16j 6n). (5) Soit c₁, . . . , c_n une autre base de X, et soit ψ: Rⁿ →X le repère linéaire associé à cette base ; c’est caractérisé par les identités

ψ(e_k) =c_k, 16k6n.

Notons c¹_∗, . . . , cⁿ_∗ la base de X^∗ qui est duale à la base c1, . . . , cn. Soit T_f(ψ) =^ψZ =_ψ

z^i,j ,

de telle sorte que

f(c^j_∗) =^ψz^i,jc_i, 16j 6n. (6) La matrice

ψ⁻¹◦ϕ=A=









a¹₁ . . . a¹_n

· . . . ·

· . . . · aⁿ₁ . . . aⁿ_n









est la matrice de passage de la base c₁, . . . , c_n à la base b₁, . . . , b_n, soit

b_k =a^j_kc_j (16k6n) c^j_∗ =a^j_kb^k_∗ (16j 6n).

Alors, quel que soit j₂, 16j₂ 6n,

ψz^j1,j2c_j1 =f(c^j_∗²) = f(a^j_k²

2b^k_∗²) =a^j_k²

2f(b^k_∗²) =a^j_k²

2

ϕz^k1,k2b_k1 =a^j_k²

2

ϕz^k1,k2a^j_k¹

1c_j1. Par conséquent, la loi de transformation cherchée s’écrit sous la forme

ψz^j1,j2 =a^j_k¹₁a^j_k²₂^ϕz^k1,k2, 16j1, j2 6n.

D’après la définition générale d’un tenseur, il s’ensuit que le tenseur T_f qui en résulte est contravariant de degré 2.