Nomme l'hypoténuse de chaque triangle.
Nomme tous les triangles rectangles codés et leur hypoténuse dans les figures suivantes.
a.
b.
Sans figure
a. NRV est un triangle rectangle en V. Nomme son hypoténuse.
b. AJT est un triangle rectangle d'hypoténuse [JT]. Quels sont les côtés de l'angle droit ?
a. KRS est un triangle rectangle tel que KR = 10 ; KS = 26 et RS = 24. L'hypoténuse de KRS est...
R.1 R.2 R.3
[KR] [RS] [KS]
b.
[OT] est l'hypoténuse du triangle...
R.1 R.2 R.3
SOT POT OSP
a. Construis un triangle ABC rectangle en A.
b. Construis, sur les côtés, les trois carrés extérieurs au triangle ABC.
c. Affiche leur aire.
d. Comment vérifier avec ces aires le théorème de Pythagore ?
Recopie et complète le tableau associé à cette figure.
a. b. c. d. e.
Aire bleue (cm2) 25 100 Aire verte (cm2) 16
Aire rose (cm2) 36 25
Côté du carré
bleu (cm) 15 13
Côté du carré
vert (cm) 12 16
Côté du carré
rose (cm) 12
Écris l'égalité de Pythagore pour les triangles rectangles suivants.
a. b.
c. XYZ tel que (XY)⊥(YZ). d. BRM rectangle en M.
Relie l'égalité au triangle correspondant.
LO² = LA² AO² • • AOL rectangle en O LO² LA² = AO² • • AOL rectangle en A LA² = LO² AO² • • AOL rectangle en L
Vocabulaire du triangle rectangle
18
Théorème de Pythagore
12
A
B
C A
B
C QCM
14 A
B
C
G
E F
B
C A
D E
N
K
M L
F
H
G
O
P S T
TICE Géométrie Dynamique 15
17 13
11
16
Recopie et complète les trois égalités correspondant à la figure suivante.
• RS² = …
• AR² = …
• AS² = ...
Sans figure
a. Recopie et complète, sachant que BLE est un triangle rectangle en L.
LB² = … EB² = … LE² = ...
b. Écris trois égalités analogues correspondant au triangle DUR, rectangle en R.
Relie l'égalité au triangle correspondant.
MI² = ME² − IE² • • MIE rectangle en M IE² − EM² = MI² • • MIE rectangle en E MI² = ME² IE² • • MIE rectangle en I
a. ERT est rectangle en R.
Quelle égalité peut-on écrire ?
R.1 R.2 R.3
ER² ET² = TR² ER² RT² = TE² TR² ET² = ER² b. Si MK = 8, alors MK²...
R.1 R.2 R.3
≈ 2,8 = 16 = 64
c. Si ZE² = 20, alors ZE...
R.1 R.2 R.3
= 10 = 400 ≈ 4,5 d.
RM = ...
R.1 R.2 R.3
5,8 cm environ 4 cm 8 cm
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 48 mm et AC = 64 mm.
Calcule la longueur de l'hypoténuse [BC].
EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 33 mm et EG = 56 mm.
a. Construis ce triangle en vraie grandeur.
b. Calcule la longueur FG.
Calcule la longueur KM. (Donne une valeur approchée au mm près.)
Qui dit vrai ?
Recopie et complète les égalités associées à la figure suivante.
EF² = ...² ...² FG² = ...² − ...² EG² = ...² − ...² EG² = ...² ...² GH² = ... EH² = ...
20
A R
S
23
24
QCM 22 21
27
G H
E F
R
P
M 3 cm 5 cm
26
La diagonale d'un
carré de côté 5 cm mesure
7 cm...
Sûre que non ! M
L
K
6 cm 4 cm
25 19
Un terrain de football rectangulaire a pour longueur 120 m et pour largeur 90 m.
Calcule la distance séparant deux points de corner diagonalement opposés.
RST est un triangle rectangle en R tel que TS = 10 cm et RT = 7 cm.
Calcule la longueur du côté [RS]. (Donne une valeur approchée au mm près.)
Calcule la longueur JH.
NPV est un triangle rectangle en P tel que PV = 3,5 cm et NV = 6 cm.
a. Construis ce triangle en vraie grandeur.
b. Calcule la longueur PN. (Donne une valeur approchée au mm près.)
Calcul de longueurs
a. Le triangle MNP est rectangle en M avec MN = 5,2 m et MP = 4,8 m.
Calcule une valeur approchée au dixième de NP.
b. Calcule RT dans le triangle RST, rectangle en T tel que ST = 60 mm et RS = 10,9 cm.
c. Calcule BC. Donne une valeur approchée au centième près.
MER est un triangle rectangle en E.
Recopie et complète le tableau suivant, qui présente plusieurs cas possibles. (Tu écriras le détail de tes calculs et tu donneras une valeur approchée au dixième si nécessaire.)
n°1 n°2 n°3 n°4 n°5
MR ... ... 5,3 cm 9,1 cm 7 m
RE 15 cm 36 cm ... 9 cm ... m
ME 8 cm 7,7 dm 2,8 cm ... 53 cm
Théo veut franchir, avec une échelle, un mur de 3,50 m de haut devant lequel se trouve un fossé rempli d'eau, d'une largeur de 1,15 m.
a. Fais un schéma de la situation.
b. Il doit poser l'échelle sur le sommet du mur.
Quelle doit être la longueur minimum de cette échelle ? Arrondis au cm.
Un massif de fleurs a la forme d'un triangle rectangle et le jardinier veut l'entourer d'une clôture. Au moment de l'acheter, il s'aperçoit qu'il a oublié de mesurer un des côtés de l'angle droit.
Les deux seules mesures dont il dispose sont, en mètres : 6,75 et 10,59.
Aide le jardinier à calculer la longueur de la clôture qu'il doit acheter.
Le cric d'une voiture a la forme d'un losange de 21 cm de côté.
À quelle hauteur soulève-t-il la voiture lorsque la diagonale horizontale mesure 32 cm ?
33
30
31 29
34
36 M
E
R
3,6 cm
J
H
8,5 cm I 28
32
A
B
C 5,2 cm
35
32 cm
L'arc pour enfant La corde élastique au repos a une longueur de 60 cm.
a. Quelle est la nouvelle longueur de la corde si on l'écarte de 11 cm en la tirant par son milieu ? Arrondis au cm.
b. Il est conseillé de ne pas tirer la corde de plus de 8 cm.
Quel est, en cm, l'écartement maximal conseillé ?
On considère cette figure où AB = 1,5 cm ; AD = 6 cm et BC = 12 cm.
a. Calcule BD2. b. Calcule DC.
L'aire de RIEN
a. Reproduis cette figure en vraie grandeur.
b. Les longueurs NR et EI sont-elles égales ? Justifie ta réponse.
c. Calcule l'aire du quadrilatère RIEN.
À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, construis la figure de l'exercice 29 puis vérifie les résultats obtenus.
Pour une bonne partie de pêche au bord du canal, il faut un siège pliant adapté ! Nicolas est de taille moyenne et, pour être bien assis, il est nécessaire que la hauteur de l’assise de son siège soit comprise entre 44 cm et 46 cm.
Voici les dimensions d’un siège pliable qu’il a trouvé en vente sur Internet :
• longueur des pieds : 56 cm ;
• largeur de l’assise : 34 cm ;
• profondeur de l’assise : 31 cm.
L’anglêACE est droit et ABDC est un rectangle.
La hauteur de ce siège lui est-elle adaptée ?
Voici l'énoncé d'un problème attribué à Léonard de Pise, dit Fibonacci, mathématicien italien du Moyen Âge.
Une lance, longue de 20 pieds*, est posée verticalement le long d’une tour considérée comme perpendiculaire au sol. Si on éloigne l’extrémité de la lance qui repose sur le sol de 12 pieds de la tour, de combien descend l’autre extrémité de la lance le long du mur ?
*Un pied est une unité de mesure anglo-saxonne valant environ 30 cm.
39
TICE Géométrie Dynamique 40
41
42 37
38 A B
C
D
56 cm
31 cm 34 cm
A
B
C
D
E
F G
H
??
R I
E
N 13,5 cm
10,5 cm
6 cm
EFG est un triangle rectangle en E tel que EG = 7 cm et̂FGE= 45°.
a. Calcule la mesure de l'angle
̂EFG.
b. Calcule, en justifiant, le périmètre du triangle EFG.
(Donne une valeur approchée au dixième si nécessaire.)
Une échelle de 2,50 m est appuyée contre un mur vertical.
Le sommet de l'échelle atteint alors une hauteur de 2,35 m.
Mais l'échelle glisse, de 30 cm en hauteur.
De quelle distance a-t-elle glissé horizontalement ?
Un tunnel à sens unique, d'une largeur de 4 m, est constitué de deux parois verticales de 2,50 m de haut, surmontées d'une voute semi- circulaire de 4 m de diamètre. Un camion de 2,60 m de large doit le traverser.
Quelle hauteur maximale ce camion ne doit-il pas dépasser ?
Bricolage
Ludo a monté une armoire à plat, au sol, dans sa chambre. La notice indique les dimensions suivantes : 80 cm de large, 2,15 m de haut. Pour redresser l'armoire, Ludo appelle son frère qui se demande soudain si l'opération sera possible. En effet, chez Ludo, la hauteur sous plafond est de 2,20 m. A-t-il raison de s'inquiéter ?
Voici l'énoncé d'un problème.
ABC est un triangle tel que : BC = 25 cm ; AB = 24 cm et AC = 7 cm. Démontre que le triangle ABC est un triangle rectangle.
Quentin a rendu cette copie :
a. Explique pourquoi le raisonnement de Quentin est incorrect.
b. Recopie la démonstration de Quentin en la corrigeant.
Dans chacun des cas suivants, démontre que le triangle ABC est un triangle rectangle.
Précise à chaque fois en quel point.
AB AC BC
a. 52 cm 39 cm 65 cm
b. 3,25 m 3,97 m 2,28 m
c. 8,9 dm 3,9 dm 80 cm
Donne tous les triangles rectangles dont les mesures des côtés se trouvent parmi les valeurs suivantes.
L'équerre a ses limites !
a. Construis un triangle MNP tel que MN = 3 cm ; NP = 5 cm et PM = 4 cm.
b. Construis un triangle RST isocèle en R tel que RS = RT = 5 cm et ST = 7 cm.
c. En utilisant son équerre, Alexis prétend que ces deux triangles sont rectangles. Es-tu du même avis ? Détaille ta démarche.
Démontrer qu'un triangle est rectangle ou non
43
G E
F
45°
48
49
6 cm 8,2 cm 10 cm
1,8 cm 5 cm 8 cm
50 47
44
45
4 m
2,5 m
46
A sol B
C 1 m QCM
52
Sur un mur vertical, Arnaud a installé une étagère pour y poser un pot de fleurs.
Les mesures qu'il a utilisées sont les suivantes : AT = 42 cm ; AE = 58 cm et TE = 40 cm.
L'étagère d'Arnaud est-elle horizontale ? Justifie.
a.
R.1 R.2 R.3
AZT est
rectangle AZT n'est pas
rectangle On ne peut pas savoir b. Si SG² GK² = SK², alors SGK est rectangle...
R.1 R.2 R.3
en K en G en S
c. Si HT = 5,7 cm, HR = 9,5 cm et TR = 7,6 cm, alors RTH...
R.1 R.2 R.3
est rectangle
en T est rectangle
en H n'est pas
rectangle
Voici la copie d'Akino :
« AB² = 3,64²
AB² = 13,2496 AC² BC² = 0,27² + 3,65² AC² BC² = 0,0729 + 13,3225 AC² BC² = 13,3954
Donc AB² ≠ AC² BC². Comme l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, alors ABC n'est pas rectangle. »
Est-ce juste ? Justifie ta réponse et corrige cette copie le cas échéant.
Triangle rectangle ou pas ? Dans chacun des cas suivants :
• identifie le plus long côté du triangle EFG ;
• calcule, d'une part, le carré de la longueur de ce côté ;
• calcule, d'autre part, la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ;
• compare les résultats obtenus et conclus.
EF FG EG
a. 4,5 cm 6 cm 7,5 cm
b. 3,6 cm 6 cm 7 cm
c. 64 mm 72 mm 65 mm
d. 3,2 dam 25,6 m 19,2 m
Pour apprendre son métier, un apprenti maçon a monté un mur en briques, de 0,90 m de hauteur. Son patron arrive pour vérifier son travail : il marque un point B sur le mur, à 80 cm du sol, et un point A, à 60 cm du pied du mur. Il mesure alors la distance entre les points A et B et obtient 1 m.
L'apprenti a-t-il construit un mur parfaitement perpendiculaire au sol ? Justifie.
On considère le parallélogramme STOP ci-dessous, dessiné à main levée.
Démontre que le parallélogramme STOP est un rectangle.
Construis en vraie grandeur un triangle OUI tel que : UI = 5 cm ; UO = 1,4 cm et OI = 4,8 cm.
a. Construis les points T et N symétriques respectifs des points U et I par la symétrie de centre O.
b. Quelle semble être la nature de NUIT ? Démontre ta conjecture.
54
55 51
T A
E
53
T
A
Z 3 cm
6 cm
8 cm
56
S
P O
7 cm T
5,25 cm 8,75 cm
57
P.1. Si un triangle a pour dimensions 10 cm, 9 cm et 8 cm, alors son hypoténuse est le côté de longueur 10 cm.
P.2. Si EF² est différent de EG² GF², alors EFG ne peut pas être un triangle rectangle.
P.3. Il suffit de connaitre la longueur d'un côté, dans un triangle rectangle isocèle, pour trouver les deux autres.
P.4. La diagonale d'un rectangle est supérieure à sa longueur.
Le mât d'une éolienne mesure 35 m de haut. On estime qu'à 80 m du centre des pales, le niveau sonore est juste suffisant pour que l'on puisse entendre le bruit qu'elle produit. Un randonneur dont les oreilles sont à 1,80 m du sol se déplace vers l'éolienne et s'arrête dès qu'il entend le bruit qu'elle produit (voir la figure suivante).
(La figure n'est pas à l'échelle.)
À quelle distance BC du mât de l'éolienne se trouve-t-il ? Donne une valeur approchée à l'unité.
Les plumeaux brisés
a. Un plumeau a été brisé par le vent. Son sommet touche la terre à 4 dm de la tige restée verticale, et la partie brisée de la tige mesure 6 dm. Quelle était la hauteur du plumeau avant qu'il se brise ?
b. Un autre plumeau a été brisé. Il mesurait 15 dm de haut et son sommet touche la terre à 9 dm de la tige restée verticale. À quelle hauteur a-t-il été brisé ?
Spirale de Pythagore
Les mesures de la figure sont en cm (la figure n'est pas en vraie grandeur).
a. Quelle est l'aire du carré violet ?
b. Procède de la même façon pour construire un carré d'aire 10 cm2.
a. Construis la figure suivante.
• M appartient à un cercle de diamètre [AB] et de centre O.
• La perpendiculaire à [OM] passant par M coupe (AB) en N.
b. Dans quels cas, ne peut-on pas construire le point N ?
c. Affiche les longueurs NA, NB et NM.
d. Affiche NM2 et NA × NB et déplace les points de la figure. Que peux-tu conjecturer ? e. Démontre que :
NM2 = (ON − OM) × (ON OM).
f. Déduis-en que NM2 = NA × NB.
g. Construis une figure sur ton cahier, en choisissant astucieusement les longueurs, de telle manière que la longueur de MN soit égale à
√
21 cm.Vrai ou Faux 58
59
80 m
Sol
1,80 m Une pale
Centre des pales
Mât
35 m
A
B C
61
1 1
1 1
1
60
TICE Géométrie Dynamique 62
A
O B M
N
Allumettes
Dans une boite d'allumettes de dimensions 5,3 cm × 3,6 cm × 1,5 cm, est-il possible de ranger une allumette mesurant 6,5 cm sans la briser ?
Cocktail
Un verre à cocktail est assimilé à un cône de révolution, de diamètre 8 cm et de génératrice 16 cm.
Quelle quantité de liquide peut-on y verser ? Tu donneras une valeur approchée au centilitre près.
Maya la chenille irait bien déguster la pomme rouge. Mais un mur, haut de 1,40 m et épais de 20 cm, l'en empêche. Il lui faut passer
« par-dessus le mur ».
Quelle est la longueur du plus court trajet ?
Le bon format
Pour répertorier ses moniteurs, un brocanteur relève leurs caractéristiques, notamment leurs longueurs et leurs largeurs :
L
1 = 30,6 cm etl
1 = 23 cm ;L
2 = 34,6 cm etl
2 = 26 cm.Or, dans son logiciel, la taille des moniteurs est répertoriée selon la diagonale des écrans en pouces.
a. Sachant qu'un pouce (noté 1") vaut 2,54 cm, retrouve les tailles
d
1 etd
2 des moniteurs, en pouces, arrondies à l'unité.b. Le brocanteur va recevoir un nouveau moniteur de 21". Il veut retrouver ses dimensions
l
etL
. Son employé lui dit : « C'est simple car il n'existe qu'un seul rectangle de diagonale donnée. ». Prouve qu'il a tort.On sait d'autre part que :
L
= 43
l
(tu pourras utiliser43 ≈ 1,33) Trouve alors les valeurs
l
etL
.Une corde de longueur L (en mètres) est tendue horizontalement entre deux points A et B.
On ajoute 1 mètre à cette corde : elle n'est donc plus tendue entre les points A et B. On la retend en la tirant, par son milieu, vers le haut.
On s'intéresse à la hauteur qu'atteint le milieu de la corde allongée quand elle est retendue.
Montre sur plusieurs exemples (avec plusieurs valeurs de L) que, plus la proportion de corde ajoutée (1 mètre) par rapport à la longueur de corde initiale (L) diminue, plus cette hauteur augmente.
(Tu exprimeras cette proportion sous forme de pourcentage.)
66
64
16 cm 63
65
d L
l
67
5,8 cm A
B H C
6 cm
4,5 cm 7,5 cm La pièce d'une maison a la forme d'un pavé
droit dont les dimensions sont : AB = 5 m ; BC = 2,5 m et DE = 4 m.
Joris doit amener un câble du point A au point L, milieu de [CF]. Il hésite entre les deux possibilités représentées ci-dessous, où G est le milieu de [DC].
en bleu, de A vers G puis de G vers L ; en violet, de A vers C puis de C vers L.
a. Dans quel cas utilisera-t-il le moins de câble ? Justifie.
b. Construis sur une même figure, à l'échelle 1/100, les faces ABCD et CDEF.
Représente les deux possibilités pour le passage du câble.
c. Joris peut-il utiliser encore moins de câble ? Sur la figure précédente, représente le passage du câble de longueur minimum. Justifie ton tracé et calcule cette longueur.
Dans un quadrillage
Les triangles RAP et ZUT sont-il rectangles ? Si oui, précise en quel point et justifie ta réponse.
ABC est un triangle tel que : AC = 7,5 cm ; BH = 5,8 cm ; CH = 4,5 cm et AH = 6 cm, avec H ∈ [BC].
a. Fais une figure en vraie grandeur.
b. Démontre que ACH est rectangle en H.
c. Calcule le périmètre et l'aire du triangle ABC.
La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur, les points M, H et T sont alignés et on dispose des longueurs suivantes :
AH = 46 mm ; HT = 23 mm ; MH = 92 mm.
a. Calcule la longueur AT puis la longueur AM.
b. Démontre que le triangle MAT est rectangle en A.
c. Calcule l'aire du triangle MAT de deux façons différentes.
Dans un logiciel de géométrie dynamique, affiche la grille et masque les axes.
a. En utilisant le quadrillage, construis un rectangle ABCD tel que : AB = 10 et AD = 4.
Place un point E sur le côté [BC] et affiche l’angle ̂AED.
b. Le triangle AED peut-il être rectangle ? Si oui, pour quelle(s) valeur(s) de BE ?
c. Démontre que, pour les valeurs que tu as trouvées, le triangle AED est effectivement rectangle.
d. En t’aidant de la figure dynamique, à partir de quelle valeur de la largeur AB ne peut-on plus trouver de tels triangles rectangles ? e. Pour cette valeur limite, quelle est la position du point E ?
f. Construis alors la figure correspondante et explique simplement pourquoi le triangle AED est rectangle.
70
71
TICE Géométrie Dynamique 72
M
A
H T
69 68
A B
D C
E F
G L
A
R
P a.
Z
U
T b.
A B
C
D E
