UGA Mat404 2020
Contrôle continu du mercredi 11 mars, 7h30-9h30.
Documents interdits à l’exception d’une feuille manuscrite A4 recto-verso. Calculatrices autorisées.
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Ce sujet comporte 2 pages, le barême est indicatif et tiendra compte de la longueur du sujet.
Exercice 1 (4 pts)
SoitVl’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus 2. Soitϕ:V×V →Rdéfinie par
ϕ(P,Q) =P(1)Q(0)−P(0)Q(1)
1. Comparerϕ(Q,P)etϕ(P,Q). Montrer queϕest une forme bilinéaire. Est-elle symétrique ? Antisymétrique ? 2. Déterminer la matriceMdeϕdans la base canoniqueB= (1,X,X2)deV.
3. Montrer queB0= (X,X−1,(X−1)2)est une base deV.
4. Déterminer dans l’ordre de votre choix la matriceNdeϕdans la baseB0, la matrice de passagePde la baseBvers la baseB0et la matriceQ=tPMP.
Exercice 2 (8 points)
On se place dansV l’espace vectoriel des fonctions continues de[0,2]dansR. On définit la formeφ:V×V→Rpar :
φ(f,g) = Z 2
0
f(t)g(t)dt
1. Comparerφ(f,g)etφ(g,f). Montrer queφest bilinéaire. Est-elle symétrique ? Antisymétrique ?
2. SoitWle sous-espace vectoriel deVengendré par les fonctions f0:t→1, f1:t→t−1, f2:t→(t−1)2. Montrer queB= (f0,f1,f2)est une base deW.
3. Vérifier que f1estφ-orthogonale à f0etf2.
4. Calculer la matriceMde la formeφrestreinte àW dans la baseB.
5. Déterminer un réelctel que f0soitφ-orthogonal à f2−c f0. En déduire une baseB0deW qui estφ-orthogonale.
6. Déterminer la matrice deφdans la baseB0.
7. Soitqla forme quadratique associée àφ(on a doncq(f) =φ(f,f)pour f∈W). Soita,b,cles coordonnées de f dans la baseB. Exprimerqen fonction dea,b,c.
8. Réduire par la méthode de Gauss l’expression deqen fonction dea,b,c.
9. En déduire le rang, la signature deqet une baseq-orthogonale deW.
Exercice 3 (7 points)
Soita∈Run nombre réel et soitM∈M3(R)la matrice définie par
M=
a 0 −1
0 2 0
−1 0 −a
1. Donner la forme bilinéaireϕdont la matrice dans la base canonique estM.
2. Calculer le noyau de la forme bilinéaireϕet donner son rang.
1
3. SoitFle sous-espace vectoriel deR3engendré par le vecteurv=
1
−1 2
.Selon les valeurs du paramètrea, donner une base de l’orthogonal pourϕdeF.
4. Existe-t-il des valeurs deapour lesquellesv∈F⊥?
5. Donner la forme quadratiqueqassociée à la forme bilinéaireϕ.
6. Par l’algorithme de Gauss, réduire la forme quadratiqueq(on pourra distinguer les casa=0 eta6=0).
7. En déduire, selon les valeurs dea, la signature deq.
Exercice 4 (5 points)
SoitVunR-espace vectoriel.
1. Soitϕune forme bilinéaire surVtelle queϕ(x,x) =0 pour toutx∈V. Pourx,y∈V, développerϕ(x+y,x+y).
En déduire queϕest antisymétrique (c’est à dire que l’on aϕ(y,x) =−ϕ(x,y)pour tout(x,y)∈V2).
2. Dans la suite de l’exercice, on suppose queϕvérifie pour tous vecteursxetydeV siϕ(x,y) =0 alorsϕ(y,x) =0 (∗) On suppose dans cette question qu’il existez0∈V tel queϕ(z0,z0)6=0.
(a) Soitx∈V. On posea=ϕ(z0,x)etb=ϕ(z0,z0).
Montrer queϕ(z0,bx−az0) =0. En déduire queϕ(z0,x) =ϕ(x,z0).
(b) Soit(x,y)∈V2. Montrer qu’il existed∈Rtel queϕ(z0,dz0+y)6=0, puis qu’il existec∈Rtel que ϕ(cz0+x,dz0+y) =0 (on ne demande pas de calculercetd).
Développerϕ(cz0+x,dz0+y)etϕ(dz0+y,cz0+x). En déduire queϕ(x,y) =ϕ(y,x).
3. En conclure que siϕest une forme bilinéaire surV×V vérifiant la condition(∗), alorsϕest soit antisymétrique, soit symétrique.
2
