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Université Claude Bernard–Lyon I CAPES de Mathématiques : Oral Année 2005–2006

Le¸con 30 : groupes du parall´ elogramme, du rectangle, etc.

Difficult´es de la le¸con

• D’abord, donner une définition opérationnelle d’un parallélogramme, d’un rectangle, etc. : ensemble de 4 points, ensemble de 4 segments, réunion de 4 segments (i.e. un seul ensemble de points), ou enveloppe convexe des sommets ? Quelle que soit la définition, il faut savoir qu’une isométrie préserve les sommets, le centre de gravité, les côtés et les diagonales.

• D’autre part, il faut une démarche pour déterminer le groupe des isométries.

– Pour rechercher les isom´etries positives, on cherche des contraintes.

– On n’oublie pas de v´erifier que les isom´etries candidates conviennent.

– Le lemme 2^◦(a) est bien utile pour limiter les ´etudes de cas.

0^◦ Pr´erequis

On fixe un plan affine euclidien. On suppose connaˆıtre :

• quelques notions de base sur les groupes,

• quelques notions de base sur les plans affines euclidiens,

• en particulier, ses isom´etries (classification des isom´etries ayant un point fixe).

1^◦ Parall´elogrammes

(a) Strat´egie recommand´ee

Il faut donner une définition des parallélogrammes et s’y tenir : si on définit un parallélogramme comme un ensemble formé de quatre segments (voir la le¸con “polygones réguliers”), il faut alors démontrer qu’une isométrie qui conserve le parallélogramme conserve l’ensemble de ses sommets.

Dans cette le¸con-ci, je conseille de définir un parallélogramme comme un ensemble non ordonné de quatre points. Concrètement, je conseille de dire les choses suivantes :

1. On définit un parallélogramme par [définition ci-dessous].

2. On peut alors définir les diagonales comme les segments qui contiennent le centre de gravité, et les côtés.

3. Une isométrie f conserve un parallélogramme P si f (P) = P. Les isométries qui conservent P forment un groupe.

4. Comme une isométrie est affine, si f (P) = P, alors f fixe le centre de gravité de P. Par la même propriété, elle envoie une diagonale sur une diagonale, et, par complément, un côté sur un côté.

Les détails, fort pesants, suivent. Savoir répondre à une question du jury là-dessus...

(b) Parall´elogrammes

Définition On appelle parallélogramme non plat une partie P du plan formée de quatre points, telle qu’il existe une bijection

φ : {1, 2, 3, 4} −→ P

i 7−→ Ai

satisfaisant : A^−→1A2=A^−→4A3 et A^−→1A2,A^−→1A3 non colin´eaires.

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Attention ! Avec des polygones moins réguliers que les parallélogrammes, cette définition n’est pas opérationnelle. Voir la “flèche”, le quadrilatère non convexe de G. Chevalier.

Convention Si P est un parall´elogramme non aplati et si φ est comme dans la d´efinition, i.e. P = {A3, A4, A2, A1} et A^−→1A2=A^−→4A3, on notera P = A1A2A3A4.

Remarque Si P est un parallélogramme non aplati, il y a 8 applications φ comme dans la définition. Si on représente φ par la suite ordonnée (A1, A2, A3, A4), ou plus simplement, 1234, les autres sont 2341, 3412, 4123, 4321, 3214, 2143, 1432.

Il y a donc 8 fa¸cons de noter un parall´elogramme {A3, A4, A2, A1} selon la convention.

(c) Cˆot´es et diagonales

Lemme Si P est un parallélogramme non aplati, le centre de gravité de P est le milieu d’exactement deux segments ayant pour extrêmités des éléments de P.

Définition On appelle segment porté par une partie, tout segment dont les extrêmités appar- tiennent à la partie. Parmi les segments portés par un parallélogramme, les deux segments du lemme sont appelés diagonales, les autres sont appelés côtés.

Démonstration. Soit φ comme dans la définition. L’égalité A^−→1A2=A^−→4A3= −A^−→3A4 permet de montrer que les milieux O de [A1A3] et O⁰ de [A2A4] co¨ıncident.¹ Par associativité du barycentre, le point O = O⁰ est le centre de gravité de P.

Pour montrer la deuxième partie, il suffit de vérifier que les 4 segments portés par P autres que [A1A3] et [A2A4] ne contiennent pas O. Ici, on utilise le fait que P n’est pas aplati.

(d) Conservation d’un parallélogramme - propriétés de base

Définition Pour P une partie du plan, on dit qu’une application f conserve P si f (P) ⊂ P . Lemme L’ensemble des isométries qui conservent une partie P est un sous-groupe du groupe des isométries. Si f est une isométrie qui conserve P et P est fini, on a : f (P) = P.

Démonstration. Test du sous-groupe, injectivité des isométries, bijectivité d’une injection d’un ensemble fini dans lui-même.

Proposition Soit P un parallélogramme non aplati et f une application affine bijective qui conserve P. Alors f fixe le centre de gravité de P, envoie une diagonale de P sur une diagonale et un côté sur un côté.

Démonstration. Par hypothèse, f induit une bijection sur l’ensemble fini P. Puisque f est affine, elle préserve le barycentre. En particulier, O est fixé par f et l’image d’un segment porté par P est porté par P. Le milieu de l’image d’une diagonale est l’image du milieu, donc c’est O, donc l’image d’une diagonale est une diagonale. Par suite, l’image d’un côté est un côté.

(e) Parall´elogrammes particuliers

Définition Un parallélogramme non aplati est un rectangle (resp. un losange) si ses côtés consécutifs (ayant un point commun) sont perpendiculaires (resp. isométriques). C’est un carré si c’est un rectangle et un losange.

Proposition Un parall´elogramme non aplati est

(i) un rectangle si et seulement si ses diagonales sont isom´etriques.

(ii) un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.

1 −→

A1A4=A^−→1A2+A^−→2A3+A^−→3A4=A^−→2A3, puis,A^−→1O=¹₂ A^−→1A3= ¹₂ A^−→1A4+₂¹ A^−→4A3=¹₂ A^−→1A4+¹₂ A^−→1A2=

−→

A1O⁰.

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D´emonstration. (i) Un triangle est rectangle SSI il est inscrit dans un demi-cercle.

(ii) La médiatrice d’un segment est d’une part l’ensemble des points équidistants des extrêmités du segment, d’autre part la droite perpendiculaire au segment qui contient son milieu.

Remarque Il y a une dualit´e entre “le” rectangle et “le” losange, qu’on utilisera plus tard :

segments rectangle losange

côtés perpendiculaires isométriques diagonales isométriques perpendiculaires 2^◦ Deux lemmes triviaux mais utiles (le premier plus que l’autre)

(a) Isom´etries directes et indirectes

Lemme Soit G un sous-groupe du groupe des isométries du plan, G⁺ le sous-groupe de G formé des isométries de déterminant 1. Si G \ G⁺ contient un élément s, les applications f 7→ s ◦ f et f 7→ s⁻¹◦ f sont des bijections réciproques entre G⁺ et G \ G⁺.

Utilisation : si on connaˆıt G⁺ et card(G⁺) ´el´ements de G \ G⁺, on connaˆıt donc G entier.

(b) Cas de figures semblables

Lemme Soit P et P⁰ deux parties finies du plan, et h une similitude qui envoie bijectivement P sur P⁰. Alors l’application

f 7→ hf h⁻¹

est un isomorphisme du groupe des isométries de P sur celui de P⁰. 3^◦ Groupe des isométries d’un parallélogramme

(a) Soit P = ABCD un parall´elogramme non aplati qui n’est ni un losange, ni un rectangle.

Une isométrie qui conserve P fixe le centre de gravité O de P. C’est donc une rotation de centre O ou une réflexion d’axe contenant O.

(b) Une isom´etrie qui fixe O envoie A sur A⁰ ∈ {A, B, C, D} tel que OA = OA⁰. Or, puisque P n’est pas un rectangle, OA 6= OB et OA 6= OD. Donc A⁰ est A ou C.

(c) Comme une rotation est déterminée par son centre et l’image d’un point, une rotation qui conserve P est l’identité ou la symétrie de centre O.

Inversement, comme les diagonales de P se coupent en O, la sym´etrie de centre O conserve P.

(d) Supposons qu’il existe une réflexion qui conserve P. Si A est fixe, l’axe de la réflexion est (OA) = (AC), donc C est fixe. Par complément, B et D sont permutés. Comme B et D ne sont pas sur (AC), c’est que (BD) est perpendiculaire à l’axe de la réflexion, donc que P est un losange. Contradiction.

(e) Ainsi, le groupe d’un parallélogramme qui n’est ni rectangle ni un losange contient l’identité et la symétrie centrée au centre de gravité. Il est isomorphe à Z/2Z.

4^◦ Groupe des isom´etries d’un losange et d’un rectangle

(a) Soit L = ABCD un losange qui n’est pas un rectangle. Les arguments de (a), (b) et (c) ci-dessus s’appliquent encore, donc le groupe des rotations qui conservent L le groupe formé par l’identité et la symétrie sO de centre O.

(b) La caractérisation de la médiatrice permet de vérifier que les deux réflexions s1et s2d’axes les diagonales conservent le losange.

(c) Par le lemme utile 2^◦(a), le groupe des isom´etries qui conservent L est de cardinal 4.

(d) On constate que les trois éléments non triviaux de ce groupe sont d’ordre 2, ce qui permet d’affirmer qu’il est isomorphe à Z/2Z×Z/2Z. On peut aussi donner un isomorphisme explicite : s1 7→ (1, 0), s2 7→ (0, 1), sO 7→ (1, 1).

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(e) Soit à présent R = IJKL un rectangle qui n’est pas un losange. On pourrait s’en tirer avec des arguments analogues à ceux qui précèdent, mais on va procéder différemment.

Soit A, B, C, D les milieux de [IJ], [JK], [KL], [LI]. Avec 1^◦(e), on v´erifie que ABCD est

un losange. Par conservation du milieu, si une isom´etrie conserve R, elle conserve ABCD. _I ^J

K L

A B C

D

A pr´esent, soit I⁰, J⁰, K⁰, L⁰ les milieux de [AB], [BC], [CD], [DA]. Comme ci-dessus, si une isom´etrie conserve ABCD, elle conserve I⁰J⁰K⁰L⁰.

(f ) Or, on vérifie sans peine que l’homothétie h de centre O, centre de gravité de R, et de rapport 1/2, envoie R sur R⁰ = I⁰J⁰K⁰L⁰. Comme h commute à toute isométrie du plan qui fixe O, l’isomorphisme de 2^◦(b) est l’identité : les groupes de R et de R⁰ co¨ıncident. Les inclusions de (e) montrent que c’est aussi celui de L.

Au bilan, le groupe des isométries de R est le groupe d’ordre 4 engendré par les réflexions d’axes les médiatrices des côtés, qui sont les diagonales de L.

(g) Je ne sais pas expliquer a priori que tous les rectangles ont le mˆeme groupe de sym´etrie.

5^◦ Groupe des isom´etries d’un carr´e

(a) Soit C = ABCD un carré, O son centre de gravité. Une isométrie directe qui conserve C est une rotation de centre O. Elle est parfaitement déterminée par l’image d’un point, par exemple A, laquelle peut prendre 4 valeurs possibles. Il y a donc au plus 4 rotations qui conservent C.

Or, les rotations d’angles 0, ±π/2 et π conservent C, car les diagonales de C sont orthogonales et de mˆeme longueur. Par suite, il y a exactement 4 rotations qui conservent C.

(b) Les 4 réflexions d’axes les diagonales et les médiatrices des côtés conservent C, car C est un losange et un rectangle. Par le lemme utile de 2^◦(a), on a fait le tour de ces choses.

(c) Le groupe des isom´etries qui conservent C est donc d’ordre 8. On l’appelle groupe di´edral.

On montre qu’il est engendré par une rotation r d’angle ±π/2 et une réflexion s. On vérifie qu’il n’est pas commutatif : srs⁻¹ = r⁻¹. Il contient un sous-groupe distingué, isomorphe à Z/4Z (les rotations) et le quotient est isomorphe à Z/2Z.

(d) Le lemme 2^◦(b) donne une bonne raison a priori pour laquelle tous les carrés ont le même groupe d’isométries, car tous les carrés sont semblables.

6^◦ Compl´ements

(a) On peut savoir qu’il y a un seul autre groupe non abélien de cardinal 8, qu’on décrit par : Q = {±1, ±i, ±j, ±k}, où le produit est déterminé par : 1 est neutre, (−1) commute à tout le monde ((−1)i = i(−1) = −i, etc.), i²= j² = k² = −1, ij = −ji = k.

Le groupe du carr´e et le groupe Q ne sont pas isomorphes, car le groupe du carr´e contient 2

´el´ements d’ordre 4 (r et r³), alors que Q en contient 6 (±i, ±j et ±k).

(b) Montrons a priori que le groupe de n’importe quel rectangle s’injecte dans celui du carr´e.

Fixons une affinité a de rapport convenable qui transforme notre rectangle ABCD en un carré A⁰B⁰C⁰D⁰. Considérons alors l’application f 7→ af a⁻¹ définie sur l’ensemble des applications affines du plan. Si f conserve le rectangle, alors af a⁻¹ préserve les sommets du carré, comme dans le lemme 2^◦(b).

Or, toute application affine bijective qui préserve le carré est une isométrie, ce que l’on peut vérifier par exemple en considérant l’image du repère (O⁰,O^−→⁰A⁰,O^−→⁰B⁰) (où, bien sûr, O⁰ est le centre du carré A⁰B⁰C⁰D⁰). L’application f 7→ af a⁻¹ induit donc une injection des applications affines qui préservent un rectangle dans le groupe des isométries du carré.

(c) L’intérêt du point (b), c’est de fournir un traitement de la le¸con en sens inverse : du carré vers les parallélogrammes plus généraux.

En effet, connaissant le groupe du carré, il est facile de tester, pour g isométrie du carré, si a⁻¹ga est une isométrie du rectangle. Plus généralement, cette méthode marche pour n’importe quel parallélogramme.

(d) Noter que le groupe du carré décrit aussi les fa¸cons de numéroter les parallélogrammes (voir 1^◦(b)). Pouvez-vous l’expliquer à l’aide de (b) ?

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