Orsay,Octobre2009 S.Mazevet Introduction`alaphysiquedesplasmascours5:th´eoriecin´etique

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Introduction f(v) Th ´eorie

Equations fluide

Landau e−

Landau i

Introduction `a la physique des plasmas

cours 5: th ´eorie cin ´etique

S. Mazevet

Laboratoire de Structure Electronique D´epartement de Physiqu e Th´eorique et Appliqu´ee

Commissariat `a l’Energie Atomique Bruy`eres-Le-Chˆatel,France

Orsay, Octobre 2009

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Introduction f(v) Th ´eorie

Equations fluide

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Landau i

Table of contents

1 Introduction

2 Fonctions de distribution

3 Equations de la th ´eorie cin ´etique

Equation fondamentale Interpr ´etation

Collisions

4 D ´erivation des ´equations fluides

Premier moment Deuxi `eme moment

5 Oscillations plasma et amortissement de Landau

D ´erivation

Amortissement Landau: interpr ´etation physique

6 Amortissement Landau ionique

Fonction de dispersion plasma Relation de dispersion Ondes plasma

Onde acoustique ionique

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Equations fluide

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Landau i

Introduction

La th´eorie fluide que nous avons utilis´ee jusqu’`a pr´esent est la description la plus simple d’un plasma

Elle permet de d´ecrire la majorit´e des ph´enom`enes observ´es L’approximation fluide repose sur l’hypoth´ese suivant laquelle les particules pr´esentes dans le plasma sont `a l’´equilibre

Les vitesses moyennes sont alors repr´esent´ees par une distribution de Maxwell-Boltzman

On peut donc parler de temp´eratureT d´efinie `a partir de cette distribution

Les ´elements du fluide poss´edent une vitesse moyenneu

Dans la th´eorie fluide, les quantit´es d´ependent de quatre variables, x, y, x, t

Il faut que les conditions dans le plasma permettent un nombre suffisant de collisions pour que la distribution de Maxwell-Boltzman soit repr´esentative: ´equilibre thermodynamique local

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Equations fluide

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Introduction II

Lorsque les conditions de densit´e et de temp´erature dans le plasma sont telles qu’il n’y a pas assez de collisions, on ne peut plus utiliser une distribution de Maxwell-Boltzman

Ceci se produit lorsque la temp´erature est ´elev´ee ou la densit´e tr´es faible

Il faut alors consid´erer directement la fonction de distribution des vitessesf(v)

La description fluide ne distingue pas deux distributions non-Maxwellienne dont les int´egrales sont ´egales

La th´eorie cin´etique consiste `a appliquer directement les concepts de la physique statistique sur l’ensemble des particules represent´ees par une fonction de distribution

La th´eorie cin´etique est plus ´elabor´ee que la th´eorie fluide On doit retrouver cette derni`ere dans la limite o`u la distribution des vitesses peut ˆetre repr´esent´ee par une distribution de Maxwell-Boltzmann

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Fonctions de distribution

La densit´e est une fonction de quatre variablesn(r, t)

Lorsque l’on consid`ere la distribution des vitesses, nous avons 7 variables ind´ependentes: f =f(r,v, t)

f =f(r,v, t)repr´esente le nombre de particules parm³ `a la positionrau tempstavec des composantes de la vitesse comprisent entrev_xetv_x+dv_x,v_y etv_y+dv_y, v_z etv_z+dv_z

f(x, y, z, vx, vy, vz, t)dvxdvydvz (1) L’int´egrale de la fonction de distribution peut s’´ecrire de plusieurs facons

n(r, t) = Z ∞

−∞

dv_x Z ∞

−∞

dv_y Z ∞

−∞

dv_zf(r,v, t) (2)

= Z ∞

−∞

f(r,v,t)d³v (3)

= Z ∞

−∞

f(r,v,t)dv (4)

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Fonctions de distribution II

o`udvn’est pas un vecteur mais un ´el´ement de volume dans l’espace des vitesses

Sif est normalis´ee de facons `a d´efinir Z ∞

−∞

fˆ(r,v,t)dv= 1 (5) fˆest une probabilit´e et

f(r,v,t) =n(r, t) ˆf(r,v,t) (6) fˆ(r,v,t)est toujours une fonction `a sept variables car la forme ainsi que la densit´e peuvent changer dans l’espace et le temps fˆ(r,v,t)s’exprime en(m/s)⁻³

f(r,v,t)s’exprime ens³/m⁶

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Maxwell-Boltzmann

Une fonction de distribution importante est la distribution de Maxwell-Boltzmann

fˆm= m

2πk_BT ^3/2

exp(−v²/v_th²) (7) avecv= (v²_x+v²_y+v²_z)^1/2etvth= (2kBT /m)^1/2

En utilisant

Z ∞

−∞

exp(−x²)dx=√

π (8)

on peut v´erifier que

Z ∞

−∞

fˆ_mdv= 1 (9)

La distribution est normalis´ee

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Maxwell-Boltzmann: moyennes

Deux moyennes importantes, souvent calcul´ees pour la distribution de M.B., la vitesse moyenne et l’ecart quadratique moyen

permettant d’obtenir l’´energie cin´etique (voir cours 1) La deuxi`eme quantit´e( ¯v²)^1/2, l’´ecart quadratique moyen des vitesses s’obtient pour une dimension

( ¯v²) = Z ∞

−∞

m 2πkBT

1/2

v²exp

−v² v²_th

dv (10)

= Z ∞

−∞

m 2πk_BT

^1/2

v_th³y²exp(−y²)dy (11)

=

m 2πkBT

^1/2 v_th³

Z ∞

−∞

y²exp(−y²)dy (12) En int´egrant par partie

Z ∞

−∞

y²exp(−y²)dy = [−1

2yexp(−y²)]^∞_−∞− Z ∞

−∞

−1

2exp(−y²)dy

= 1 2

√π (13)

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Maxwell-Boltzmann: moyennes II

L’´ecart quadratique moyen est alors ( ¯v²) =

m 2πkBT

^1/2 v³_th1

2

√π (14)

( ¯v²)^1/2 =

rk_BT

m (15)

Ce r´esultat se g´en´eralise `a trois dimensions en notant que la fonction de distribution des vitesses est symm´etrique suivant vx, vy, vz.

( ¯v²)^1/2=

r3k_BT

m (16)

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Maxwell-Boltzmann: moyennes III

La vitesse moyenne¯vest d´efinie comme

¯ v=

Z ∞

−∞

vfˆ(v)d³v (17) Commefˆm est symm´etrique suivantvx, vy, vzl’int´egrale s’obtient en passant en coordonn´ees sph´eriques

¯

v = (m/2πkBT)^3/2 Z ∞

0

vexp(−v²/v²_th)4πv²dv (18)

= (πv_th² )^−3/24πv_th⁴ Z ∞

0

[exp(−y²)]y³dy (19) avecR∞

0 [exp(−y²)]y³dy= ¹₂, la vitesse moyenne est

¯

v= 2vth/√ π= 2

r2kBT

πm (20)

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Maxwell-Boltzmann: moyennes IV

La norme de la vitesse moyenne dans une direction a une moyenne diff´erente que la composante dans une directionv¯x= 0

|v¯x| = Z

|vx|fˆm(v)d³v (21)

= ( m

2πkBT)^3/2 Z ∞

−∞

dvyexp(−v_y² v_th² )

Z ∞

−∞

dvzexp(−v²_z v²_th)

× Z ∞

0

2vxexp(−v²_x

v²_th)dvx (22)

Les deux premi`eres int´egrales sont chacunes ´egales `a√ πv_th. La derni`ere int´egrale est ´egale `av_th²

La norme de la vitesse moyenne dans une direction est donc

|v¯x| = (πv²_th)^−3/2πv_th⁴ (23)

= (π)^−1/2vth=

2kBT πm

^1/2

(24)

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Maxwell-Boltzmann: moyennes V

En r´esum´e, une fonction de type Maxwell-Boltzmann (Gaussienne) poss´ede les propri´et´es suivantes

( ¯v²)^1/2 =

3k_BT m

1/2

(25)

|v|¯ = 2 2k_BT

πm 1/2

(26)

|v¯x| =

2k_BT πm

1/2

(27)

¯

vx = 0 (28)

Pour une distribution symm´etrique suivant les diff´erentes composantes dev, on introduit souvent la fonctiong(v)qui est fonction de la norme dev

Z ∞ 0

g(v)dv= Z ∞

−∞

f(v)d³v (29)

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Maxwell-Boltzmann: moyennes VI

Il est impossible de repr´esenter la fonctionf(r,v)`a un temps donn´etsauf si l’on r´eduit le nombre de dimensions

A une dimension, l’intersection de la surface avec les plans x=csterepr´esente les fonctions de distribution des vitessesf(vx) Les intersections avec les plansv_x=csterepr´esente le profile de densit´e des particules poss´edant une vitessevx

Si toutes les courbesf(vx)ont la mˆeme forme, la variation du maximum repr´esente la variation de densit´e

La projection des courbesf =cstedans le planx−vx donne la topographie de la fonction de distribution

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Equation fondamentale

L’´equation fondamentale devant ˆetre satisfaite par la fonction de distribution est l’´equation de Boltzmann

∂f

∂t +v.∇f+ F m.∂f

∂v = ∂f

∂t

c

(30) Fest la force agissant sur les particules

(∂f /∂t)_c est la variation temporelle def due aux collisions

∇repr´esente le gradient dans l’espace (x, y, z)

∂/∂vrepr´esente le gradient dans l’espace des vitesses

∂

∂v =xˆ ∂

∂vx

+ˆy ∂

∂vy

+ˆz ∂

∂vz

(31)

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Equation Boltzman: interpr ´etation

Pour interpr´eter l’´equation de Boltzmann, on pose la d´ependence explicite de la fonction de distribution sur les sept variables de temps, d’espace et de vitesse

df dt =∂f

∂t+∂f

∂x

∂x

∂t+∂f

∂y

∂y

∂t+∂f

∂z

∂z

∂t+∂f

∂vx

∂vx

∂t +∂f

∂vy

∂vy

∂t +∂f

∂vz

∂vz

∂t (32) Le premier terme repr´esente la d´ependence temporelle explicite de f

Les trois termes suivants repr´esententv.∇f En utilisant la troisi`eme loi de Newton

mdv

dt =F (33)

on remarque que les trois termes suivants sont simplement (F/m).(∂f /∂v)

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Equation Boltzman: interpr ´etation II

La d´eriv´ee totaledf /dtpeut ˆetre interpr´et´ee comme la vitesse de changement de la fonction de distribution dans un rep´ere se d´eplacant avec les particules (voir cours 3)

La diff´erence avec la th´eorie fluide se situe sur le fait que l’on doit maintenant consid´erer des d´eplacement dans l’espace `a 6

dimensions(r,v)

L’´equation de Boltzmann montre quedf /dtest nulle en l’absence de collisions

Comme les forces s’exercant sur les particules ne d´ependent que de retv, la densit´e de particules dans un ´el´ement de l’espace des phases est conserv´ee (elles sont soumises aux mˆemes forces) Lorsqu’il y a des collisions, les particules diffusent et la densit´e dans l’espace des phases change au cours du temps

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Equation de Vlasov

Lorsque les collisions sont n´egligeables et que les forces sont E.M., l’´equation de Boltzmann prend la forme suivante

∂f

∂t +v.∇f+ q

m(E+v×B).∂f

∂v = 0 (34)

C’est ce que l’on appelle l’´equation de Vlasov.

A cause de sa simplicit´e c’est l’´equation la plus utilis´ee dans la th´eorie cin´etique

Lorsque les collisions sont importantes il faut ajouter `a l’´equation de Vlasov la contribution de(∂f /∂t)_coll repr´esentant le

changement local de la fonction de distribution

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Equation de Vlasov: effet des collisions

Lorsqu’il y a des collisions avec des atomes neutres on peut ´ecrire ∂f

∂t

c

=fn−f

τ (35)

avecfn la fonction de distribution des atomes neutres etτ la fr´equence de collisions

Lorsque l’on consid`ere des collisions Coulombiennes, une forme approximative du terme collisionnel est donn´ee par

∂f

∂t

c

=− ∂

∂v.

d <∆v>

dt f

+1 2

∂²

∂v∂v

d <∆v∆v>

dt f

(36) Equation (36) est l’´equation de Fokker-Planck

∂<∆v>

∂v repr´esente le changement moyen de la vitesse moyenne d’une particule du plasma due aux collisions Coulombiennes

d<δvδv>

dt est le coefficient de diffusion des vitesses

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Equation de Vlasov: effet des collisionsII

En consid´erant les collisions Coulombiennes entre les ´electrons et les ions, on peut exprimer l’´equation de Fokker-Planck en fonction du logarithme Coulombien (consid´erant seulement les collisions `a angles faibles)

d <∆v

dt =−niZ²e⁴lnΛ

4π²₀m²v³v (37)

<∆v∆v>

dt =−n_iZ²e⁴lnΛ

4π²₀m²v³ (Iv²−v.v) (38) avecIle tenseur unit´e

L’´equation de Fokker-Planck devient alors ∂f_e

∂t

c

=n_iZ²e⁴lnΛ 4π²₀m²

∂

∂v.

Iv²−vv v³ .∂f_e

∂v

(39) Cette forme ne prend en compte que les collisions entre electrons et ions

Une forme plus g´en´erale, prenant en compte les collisionse−eet e−ipeut ˆetre d´eriv´ee

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Equations fluides: premier moment

Les ´equations fluides d´eriv´ees dans le cours 3 sont des moments de l’´equation de Boltzman

∂f

∂t +v.∇f+ F m.∂f

∂v = ∂f

∂t

c

(40) En int´egrantR

dvet en consid´erant la force de Lorentz, l’´equation de Boltzmann devient

Z ∂f

∂tdv+ Z

v.∇f dv+ q m

Z

(E+v×B).∂f

∂vdv= Z ∂f

∂t

c

dv (41) Le premier terme devient

Z ∂f

∂tdv= ∂

∂t Z

f dv= ∂n

∂t (42)

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Equations fluides: premier moment

Commev est une variable ind´ependante, elle n’est pas affect´ee par l’op´erateur∇

Z

v.∇f dv=∇.

Z

vf dv=∇.(n¯v)≡ ∇.(nu) (43) o`u nous d´efinissons la vitesse moyenneucomme la vitesse du fluide Le troisi`eme et quatri`eme termes sont nuls

Pour le troisi`eme terme Z

E.∂f

∂vdv= Z ∂

∂v.(fE)dv= Z

S∞

fE.dS= 0 (44) L’int´egrale est nulle sif →0plus vite quev⁻² lorsquev→ ∞ Il est n´ecessaire que la fonction de distributionf soit de carr´e int´egrable pour que l’´energie soit finie donc ce terme est nul

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Equations fluides: premier moment

Pour le terme d´ependant du champ magn´etique on a Z

(v×B).∂f

∂vdv= Z ∂

∂v.(fv×B)dv−

Z f ∂

∂v×(v×B)dv= 0 (45) La premi`ere int´egrale peut ˆetre convertie en une int´egrale de surface donc l’int´egrale est nulle

Le deuxi`eme terme disparait car(v×B)est perpendiculaire `a

∂/∂v

En l’absence de collision permettant la recombinaison o`u l’ionisation le nombre de particules reste constant

Le premier moment de l’´equation de Boltzmann permet donc de retrouver l’´equation de continuit´e

∂n

∂t +∇.(nu) = 0 (46)

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Equations fluides: deuxi `eme moment

Le deuxi`eme moment de l’´equation de Boltzmann

∂f

∂t +v.∇f+ F m.∂f

∂v = ∂f

∂t

c

(47) s’obtient en multipliant parmvet en int´egrant suivantR

dv m

Z v∂f

∂tdv+m Z

v(v.∇)f dv + q Z

v(E+v×B).∂f

∂vdv

= m

Z v

∂f

∂t

c

dv (48) Le terme du membre de droite repr´esente le changement de moment du aux collisions: Pij

Pour les collisions ´electron-ion, ce terme s’exprime en fonction de la fr´equence de collisionν_ei

Pei=mn(vi−ve)νei (49) Effet des collisions introduit dans l’´equation fluide (cours 3)

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Equations fluides : deuxi `eme moment II

Le premier terme s’´ecrit m

Z v∂f

∂tdv=m∂

∂t Z

vf dv=m∂

∂t(nu) (50) avecula vitesse moyenne du fluide

La troisi`eme int´egrale devient Z

v(E+v×B).∂f

∂vdv= Z ∂

∂v.[fv(E+v×B).dv] (51)

− Z

fv ∂

∂v.(E+v×B)dv− Z

f(E+v×B). ∂

∂vv.dv Les deux premiers termes s’annullent pour les mˆemes raisons que pr´ec´edemment

En remarquant que∂v/∂vest le tenseur identit´e q

Z

v(E+v×B).∂f

∂vdv=−q Z

(E+v×B)f dv=−qn(E+u×B) (52)

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Equations fluides : deuxi `eme moment III

Pour ´evaluer le terme restant, il faut consid´erer quev est une variable ind´ependante

Z

v(v.∇)dv = Z

∇.(fvv)dv (53)

= ∇.

Z

fvvdv (54)

= ∇.nvv (55)

En s´eparantven une partie moyenneuet une partie thermiquew v=u+w, on obtient

∇.nvv=∇.(nuu) +∇.(nww) + 2∇.(n(u ¯w) (56) Le deuxi`eme terme correspond au tenseur de stressP

le premier terme donne

∇.(nuu) =u∇.(nu) +n(u.∇)u (57)

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Equations fluides : deuxi `eme moment III

L’´equation de Boltzmann peut donc s’´ecrire m∂

∂t(nu)+mu∇.(nu)+mn(u.∇)u+∇.P−qn(E+u×B) =Pij

(58) En utilisant l’´equation de continuit´e pour les deux premier termes on obtient l’´equation fluide

mn ∂u

∂t + (u.∇)u

=qn(E+u×b)− ∇.P+Pij (59) L’´equation fluide d´ecrit le mouvement du flux de moment

Le mouvement du flux d’´energie s’obtient en prenant le moment suivant de l’´equation de Boltzmann en multipliant par ¹₂mvvet en int´egrant surv

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau

L’´equation de Vlasov peut ˆetre utilis´ee pour d´eterminer l’´effet de la distribution des vitesses sur les ondes plasmas d´ecrite dans le cours 4

On consid`ere un plasma uniforme avec une distribution f0(v)et sans champs ext´erieursE0= 0etB0=0

On suppose une perturbation de la fonction de distribution

f(r,v, t) =f0(v) +f1(r,v, t) (60) Commev est une variable ind´ependante on ne peut plus lin´eariser et l’´equation de Vlasov s’´ecrit

∂f₁

∂t +v.∇f1− e

mE1.∂f₀

∂v = 0 (61)

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau II

On consid`ere les ions fixes et les ondes comme planes suivant x

f1≡e^i(kx−ωt) (62)

L’´equation de Vlasov donne alors

−iωf1+ikvxf1 = e mEx

∂f0

∂vx

(63) f1 = ieE_x

m

∂f₀/∂v_x ω−kvx

(64) L’´equation de Poisson donne

0∇.E1 = ik0Ex=−en1 (65)

= −e Z Z Z

f1d³v (66)

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau III

En utilisant l’expression def1 on obtient 1 =− e²

km0

Z Z Z ∂f₀/∂v_x ω−kvx

d³v (67)

Le facteurn0peut ˆetre retir´e de l’int´egrale si l’on remplacef0par une fonction normalis´eefˆ0

1 =−ω² k

Z ∞

−∞

dv_z Z ∞

−∞

dv_z Z ∞

−∞

∂fˆ₀(v_x, v_y, v_z)/∂v_x ω−kvx

dv_x (68) Sif0 est une fonction du type Mazwell-Boltzmann, il ne reste qu’une fonction `a une dimensionfˆ0(vx)et la relation de dispersion est alors

1 = ω² k²

Z ∞

−∞

∂fˆ0(vx)/∂vx

vx−(ω/kv)dvx (69) A cause de la singularit´e, l’int´egrale doit ˆetre trait´ee comme une int´egrale de contour dans le plan complex de la variable v

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau IV

Landau a ´et´e le premier `a traiter cette int´egrale

Il a trouv´e que la singularit´e entraine un effet important sur les relations de dispersion qui n’´etaient pas trait´e par la th´eorie fluide Une relation de dispersion approximative peut ˆetre obtenue en consid´erant une vitesse de phase ´elev´ee et un amortissement faible La relation de dispersion est alors

1 = ω_p² k²



P Z ∞

∞

∂fˆ0/∂v

v−(ω/k)dv+iπ ∂fˆ0

∂v _v=w/k



 (70) o`u nous avons pos´ev≡vx

P est la valeur principale de Cauchy. Elle correspond `a une int´egration suivant l’axe r´eelxen excluant la r´egion autour du pole.

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau V

L’int´egrale s’´evalue en utilisant une int´egration par partie Z ∞

−∞

∂fˆ0

∂v dv

v−(ω/k) =

"

fˆ0

v−v_φ

#∞

−∞

− Z ∞

−∞

−fˆ0dv (v−v_φ)²(71)

= Z ∞

−∞

fˆ0dv

(v−v_φ)² (72) Nous avons donc une moyenne de(v−vφ)⁻² sur la fonction de distribution

La partie r´eelle de la dispersion de relation est donc 1 = ω_p²

k²(v−v_φ)⁻² (73) Comme nous avons obtenu la relation de dispersion en posant vφ>> v, on peut effectuer un d´eveloppement limit´e

(v−vφ)⁻²=v_φ⁻²

1− v vφ

−2

=v⁻²_φ 1 +2v vφ

+3v² v_φ² +4v³

v³_φ +...

!

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau VI

Les termes impaires disparaissent lorsque l’on prend la moyenne sur fˆ₀

Nous obtenons donc

(v−vφ)⁻²≡v_φ⁻² 1 +3v² v_φ²

!

(74) En prenant une distribution de Maxwell-Boltzmann pourfˆ₀ et v≡v_xon a `a une dimension

1

2mv²_x=1

2k_BT_e (75)

La relation de dispersion devient alors 1 = ω_p²

k² k² ω²

1 + 3k²

ω² k_BT_e

m

(76) ω² = ω²_p+ω_p²

ω² 3kBTe

m k² (77)

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau VII Lorsque la correction est petite on peut remplacerω²parω_p²et nous retrouvons

ω²=ω²_p+3kBTe

m k² (78)

C’est la relation de dispersion obtenue dans l’approximation fluide avecγ= 3

Pour ´evaluer l’effet de la partie imaginaire dans la relation de dispersion on n´eglige dans un premier temps la correction thermique sur la partie r´eelle

En utilisant un d´eveloppement limit´e, la relation de dispersion devient alors

1 = ω²_p

ω² +iπω_p² k²

∂fˆ₀

∂v |_v=v

φ (79)

ω²_p = ω²



1−iπω²_p k²

"

∂fˆ₀

∂v

#

v=v_φ



 (80)

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Landau e−

Landau i

Oscillations plasmas et amortissement de Landau VIII En consid´erant la partie imaginaire comme ´etant petite, on peut

´ecrire

ω²=ω_p²



1 +iπω_p² k²

"

∂fˆ0

∂v

#

v=v_φ



 (81) Sifˆ0 est une distribution de Maxwell-Boltzmann `a une dimension on a

∂fˆ0

∂v = (πv_th² )^−1/2 −2v

v²_th

exp −v²

v²_th

(82)

= − 2v

√πv_th³ exp −v²

v_th²

(83) En prenantvφ=ωp/kdans le coefficient mais en gardant la correction thermique dans l’exposant on obtient

Im(ω) =−π 2

ω_p³ k²

2ωp

k√ π

1 v³_thexp

−ω² k²v_th²

(84)

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Oscillations plasmas et amortissement de Landau IX

Im(ω) = −√ πωp

ωp

kv_th ³

exp −ω²_p k²v²_th

! exp

−3 2

(85) Im

ω ωp

= −0.22√ π

ω_p kvth

³ exp

−1 2k²λ²_D

(86) Il y a donc un amortissement des ondes plasma qui n’est pas dˆu aux collisions, c’est l’amortissement de Landau

Cet effet est connect´e `af₁qui repr´esente la distortion de la fonction de distribution par l’onde plasma

Cet effet a ´et´e d´emontr´e de mani`ere math´ematique avant d’avoir

´et´e observ´e en laboratoire (1950)

Cet effet s’observe aussi pour la formation des galaxies o`u les

´etoiles sont consid´er´ees comme des atomes interagissant par le biais de la force gravitationnelle plutot que E.M.

Les instabilit´es du gaz d’´etoiles permet la formation de bras en forme de spirales. L’effet Landau limite ce processus

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Amortissement Landau: interpr ´etation physique

Pour interpr´eter l’amortissement de Landau, on remarque tout d’abord que la partie imaginaireIm(ω)est reli´ee au polev≡v_φ L’effet est donc reli´e aux particules dont la vitesse est proche de la vitesse de phase (particules resonnantes)

Ces particules se d´eplacent avec l’onde et ne voit pas le champ

´electrique variant rapidement

Elles peuvent donc ´echanger de l’´energie de mani`ere tr´es efficace avec cette onde

Analogie: un surfeur et une vague, autant d’´energie gagn´ee que perdue

Dans un plasma il y a des ´electrons plus rapides et des ´electrons moins rapides que la vitesse de l’onde

Pour une distribution Maxwellienne il y a plus d’´electrons lents que d’´electrons rapides, donc l’onde perd de l’´energie

Lorsque les particules se d´eplacent `av≡vφ,f(v)se trouve applatie

C’est la distortionf1(v)que nous venons de calculer

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Fonction de dispersion plasma

Les ´electrons ne sont pas les seuls particules `a pouvoir ˆetre r´esonnantes

Si la vitesse de phase de l’ondev_φ est suffisement petite pour ˆetre proche de la vitesse thermique, un amortissement de Landau `a

´egalement lieu pour les ions

Les ondes acoustiques ioniques sont fortement modifi´ees par l’amortissement Landau

Pour obtenir l’amortissement Landau ionique on repart de l’´equation de Vlasov et on consid`ere cette fois les ions et les

´electrons

∂f

∂t +v.∇f+ q

m(E+v×B).∂f

∂v = 0 (87)

En l’absence de champs magn´etique, en consid´erant un plasma uniforme avec une distributionf0(v)et une perturbation du premier ordref1(r,v,t)on a

fj(r,v, t) =f0j(v) +f1j(r,v,t) (88)

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Fonction de dispersion plasma II

L’´equation de Vlasov pour chaque esp`ecej (´electron, ions) est

∂f_1j

∂t +v_j.∇f_1j− q_j mj

E₁.∂f_0j

∂vj

= 0 (89)

Comme pour les ´electrons, il n’y a pas de lin´earisation en v On consid`ere comme pr´ec´edement une perturbation de forme sinusoidale suivantx,f1j ≡e^i(kx−ωt)

Ceci entraine

−iωf1j+ikωv_xjf_1j = q_j mj

E_x∂f_0j

∂vxj

(90) f_1j = iqjEx

m_j

∂f0j/∂vxj

ω−kv_xj (91) o`u nous avons introduit j pour repr´esenter l’esp`ecej de chargeqj

et massemj.

La perturbation en densit´e de l’esp`ecej est donn´ee par n_1j =

Z ∞

−∞

f_1j(v_xj)dv_xj=−iqjE m_j

Z ∞

−∞

∂f0j/∂vxj

ω−kv_xj dv_xj (92)

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Fonction de dispersion plasma III

En prenant pour fonction de distribution `a l’´equilibre une distribution de Maxwell `a une dimension

f0j = noj

v_thjπ^1/2e^−v2j/vthj2 vthj =

2kBTj

m_j ^1/2

(93) En introduisantvxj≡vj et la variables=vj/vthj on peut ´ecrire

n1j= iq_jEn_0j kmjv²_thj

√1 π

Z ∞

−∞

(d/ds)e^−s2 s−ζj

ds (94)

avec

ζj= ω kvthj

(95) ceci nous permet de d´efinir la fonction de dispersion plasma

Z(ζ) = 1

√π Z ∞

−∞

e^−s2

s−ζds (96)

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Relation de dispersion

Comme nous l’avons vu pr´ec´edement,Z(ζ)est une int´egrale de contour

Elle peut ˆetre ´evalu´ee `a partir de tables ou routines num´eriques Pour exprimern1j en fonction de Z(ζ)et obtenir la relation de dispersion, il faut prendre la d´eriv´ee par rapport `aζ

Z⁰(ζ) = 1

√π Z ∞

−∞

e^−s2

(s−ζ)²ds (97) Une int´egration par partie done

Z⁰(ζ) = 1

√π

"

−e^−s2 s−ζ

#∞

−∞

+ 1

√π Z ∞

−∞

(d/ds)(e^−s2)

s−ζ ds (98) Le premier terme est nul et on peut donc ´ecrire

n1j = iq_jEn_0j

kmjv_thj² Z⁰(ζj) (99)

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Relation de dispersion II

En consid´erant maintenant l’´equation de Poisson 0∇.E=ik0E=X

j

qjnj (100)

On obtient l’´equation de dispersion k²= ω_p²

v²_theZ⁰(ζe) +X

j

Ω²_pj

v²_thjZ⁰(ζj) (101) O`u nous avons introduit la fr´equence plasma ionique (cours 4)

Ωpj≡ n0jZ_j²e² 0Mj

!^1/2

(102) On retrouve la relation de dispersion ´etablie pour les ´electrons et un terme ionique suppl´ementaire

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Relation de dispersion: ondes plasma

En consid´erant des ions infiniment lourdsM_j→ ∞c’est `a dire Ω_pj = 0, on a

k²= ω_p²

v_the² Z⁰(ζe) (103) On retrouve l’expression pour les ondes plasmas ´electroniques Nous avions pr´ec´edement obtenu pour les ´electrons, eq.(69),

1 = ω² k²

Z ∞

−∞

∂fˆ₀(v_x)/∂v_x

vx−(ω/kv)dv_x (104) Ces deux expresions sont ´equivalentes lorsquef0eest une

distribution de Maxwell-Boltzmann

La relation de dispersion contient l’effet Landau pour les ´electrons

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Relation de dispersion: onde ionique et amortissement Pour obtenir les ondes ioniques, on repart de la relation de dispersion

k²= ω_p²

v²_theZ⁰(ζe) +X

j

Ω²_pj

v²_thjZ⁰(ζj) (105) On consid`ere que la vitesse de phase ioniqueω/kest tr´es inf´erieure

`

a la vitesse thermique ´electroniquev_the

Doncζe=ω/kvtheest tr´es petit et l’on peut poserZ(ζe) =−2en n´egligeant l’amortissement de Landau pour les ´electrons

Ceci reste justifi´e car la d´eriv´ee def0eest faible pr´es du maximum des ondes ioniques

La relation de dispersion devient alors λ²_DX

j

Ω²_pj

v²_thZ⁰(ζ_j) = 1 +k²λ²_D (106) avecλ²_D=v²_the/(2ω_p)

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Relation de dispersion: onde ionique et amortissement II

Le termek²λ²_D repr´esente la d´eviation de la quasineutralit´e.

L’´equation de dispersion pour les ions est donc λ²_DX

j

Ω²_pj

v²_thZ⁰(ζ_j) = 1 (107) Lorsque l’on ne consid`ere qu’une seule esp´ece ionique on a alors

λ²_D Ω²_p

v²_thi = ₀k_BT_e n0ee²

n_0iZ²e² 0M

M 2kTi

=1 2

ZT_e Ti

(108) Dans la limite o`uk²λ²_D<<1 la relation de dispersion devient alors

Z⁰ ω

kv_thi

= 2Ti

ZT_e (109)

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Relation de dispersion: onde ionique et amortissement III

R´esoudre cette ´equation est non-trivial. Un r´esultat analytique peut ˆetre obtenu dans la limite ζ >>1correspondant `a un rapport des temp´eratures ´elev´e.

Dans ce cas on obtient pour la partie r´eelle ω²

k² = Zk_BT_e+ 3k_BT_i

m (110)

Dans la r´egion o`u1< θ <10avecθ=ZT_e/T_i, etζ >>1 l’amortissement ionique est donn´e par la relation

−Im(ω)

Re(ω) = 1.1θ^7/4exp(−θ²) (111) Un r´esultat exacte est obtenu en r´esolvant directement la relation de dispersion en utilisant la fonctionZ⁰(ζj)