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Introduction f(v) Th ´eorie
Equations fluide
Landau e−
Introduction `a la physique des plasmas
cours 7: th ´eorie cin ´etique
S. Mazevet
Laboratoire de Structure Electronique D´epartement de Physiqu e Th´eorique et Appliqu´ee
Commissariat `a l’Energie Atomique Bruy`eres-Le-Chˆatel,France
Orsay, Octobre 2010
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Introduction f(v) Th ´eorie
Equations fluide
Landau e−
Table of contents
1 Introduction
2 Fonctions de distribution
3 Equations de la th ´eorie cin ´etique
Equation fondamentale Interpr ´etation
Collisions
4 D ´erivation des ´equations fluides
Premier moment Deuxi `eme moment
5 Oscillations plasma et amortissement de Landau
D ´erivation
Amortissement Landau: interpr ´etation physique
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Introduction f(v) Th ´eorie
Equations fluide
Landau e−
Introduction
La th´eorie fluide que nous avons utilis´ee jusqu’`a pr´esent est la description la plus simple d’un plasma
Elle permet de d´ecrire la majorit´e des ph´enom`enes observ´es L’approximation fluide repose sur l’hypoth´ese suivant laquelle les particules pr´esentes dans le plasma sont `a l’´equilibre
Les vitesses moyennes sont alors repr´esent´ees par une distribution de Maxwell-Boltzman
On peut donc parler de temp´eratureT d´efinie `a partir de cette distribution
Les ´elements du fluide poss´edent une vitesse moyenneu
Dans la th´eorie fluide, les quantit´es d´ependent de quatre variables, x, y, x, t
Il faut que les conditions dans le plasma permettent un nombre suffisant de collisions pour que la distribution de Maxwell-Boltzman soit repr´esentative: ´equilibre thermodynamique local
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Introduction f(v) Th ´eorie
Equations fluide
Landau e−
Introduction II
Lorsque les conditions de densit´e et de temp´erature dans le plasma sont telles qu’il n’y a pas assez de collisions, on ne peut plus utiliser une distribution de Maxwell-Boltzman
Ceci se produit lorsque la temp´erature est ´elev´ee ou la densit´e tr´es faible
Il faut alors consid´erer directement la fonction de distribution des vitessesf(v)
La description fluide ne distingue pas deux distributions non-Maxwellienne dont les int´egrales sont ´egales
La th´eorie cin´etique consiste `a appliquer directement les concepts de la physique statistique sur l’ensemble des particules represent´ees par une fonction de distribution
La th´eorie cin´etique est plus ´elabor´ee que la th´eorie fluide On doit retrouver cette derni`ere dans la limite o`u la distribution des vitesses peut ˆetre repr´esent´ee par une distribution de Maxwell-Boltzmann
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Introduction f(v) Th ´eorie
Equations fluide
Landau e−
Fonctions de distribution
La densit´e est une fonction de quatre variablesn(r, t)
Lorsque l’on consid`ere la distribution des vitesses, nous avons 7 variables ind´ependentes: f =f(r,v, t)
f =f(r,v, t)repr´esente le nombre de particules parm3 `a la positionrau tempstavec des composantes de la vitesse comprisent entrevxetvx+dvx,vy etvy+dvy, vz etvz+dvz
f(x, y, z, vx, vy, vz, t)dvxdvydvz (1) L’int´egrale de la fonction de distribution peut s’´ecrire de plusieurs facons
n(r, t) = Z ∞
−∞
dvx Z ∞
−∞
dvy Z ∞
−∞
dvzf(r,v, t) (2)
= Z ∞
−∞
f(r,v,t)d3v (3)
= Z ∞
−∞
f(r,v,t)dv (4)
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Introduction f(v) Th ´eorie
Equations fluide
Landau e−
Fonctions de distribution II
o`udvn’est pas un vecteur mais un ´el´ement de volume dans l’espace des vitesses
Sif est normalis´ee de facons `a d´efinir Z ∞
−∞
fˆ(r,v,t)dv= 1 (5) fˆest une probabilit´e et
f(r,v,t) =n(r, t) ˆf(r,v,t) (6) fˆ(r,v,t)est toujours une fonction `a sept variables car la forme ainsi que la densit´e peuvent changer dans l’espace et le temps fˆ(r,v,t)s’exprime en(m/s)−3
f(r,v,t)s’exprime ens3/m6
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Introduction f(v) Th ´eorie
Equations fluide
Landau e−
Maxwell-Boltzmann
Une fonction de distribution importante est la distribution de Maxwell-Boltzmann
fˆm= m
2πkBT 3/2
exp(−v2/vth2) (7) avecv= (v2x+v2y+v2z)1/2etvth= (2kBT /m)1/2
En utilisant
Z ∞
−∞
exp(−x2)dx=√
π (8)
on peut v´erifier que
Z ∞
−∞
fˆmdv= 1 (9)
La distribution est normalis´ee
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Introduction f(v) Th ´eorie
Equations fluide
Landau e−
Maxwell-Boltzmann: moyennes
Deux moyennes importantes, souvent calcul´ees pour la distribution de M.B., la vitesse moyenne et l’ecart quadratique moyen
permettant d’obtenir l’´energie cin´etique (voir cours 1) La deuxi`eme quantit´e( ¯v2)1/2, l’´ecart quadratique moyen des vitesses s’obtient pour une dimension
( ¯v2) = Z ∞
−∞
m 2πkBT
1/2
v2exp
−v2 v2th
dv (10)
= Z ∞
−∞
m 2πkBT
1/2
vth3y2exp(−y2)dy (11)
=
m 2πkBT
1/2 vth3
Z ∞
−∞
y2exp(−y2)dy (12) En int´egrant par partie
Z ∞
−∞
y2exp(−y2)dy = [−1
2yexp(−y2)]∞−∞− Z ∞
−∞
−1
2exp(−y2)dy
= 1 2
√π (13)
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Equations fluide
Landau e−
Maxwell-Boltzmann: moyennes II
L’´ecart quadratique moyen est alors ( ¯v2) =
m 2πkBT
1/2 v3th1
2
√π (14)
( ¯v2)1/2 =
rkBT
m (15)
Ce r´esultat se g´en´eralise `a trois dimensions en notant que la fonction de distribution des vitesses est sym´etrique suivant vx, vy, vz.
( ¯v2)1/2=
r3kBT
m (16)
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Equations fluide
Landau e−
Maxwell-Boltzmann: moyennes III
La vitesse moyenne¯vest d´efinie comme
¯ v=
Z ∞
−∞
vfˆ(v)d3v (17) Commefˆm est sym´etrique suivantvx, vy, vz l’int´egrale s’obtient en passant en coordonn´ees sph´eriques
¯
v = (m/2πkBT)3/2 Z ∞
0
vexp(−v2/v2th)4πv2dv (18)
= (πvth2 )−3/24πvth4 Z ∞
0
[exp(−y2)]y3dy (19) avecR∞
0 [exp(−y2)]y3dy= 12, la vitesse moyenne est
¯
v= 2vth/√ π= 2
r2kBT
πm (20)
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Equations fluide
Landau e−
Maxwell-Boltzmann: moyennes IV
La norme de la vitesse moyenne dans une direction a une moyenne diff´erente que la composante dans une directionv¯x= 0
|v¯x| = Z
|vx|fˆm(v)d3v (21)
= ( m
2πkBT)3/2 Z ∞
−∞
dvyexp(−vy2 vth2 )
Z ∞
−∞
dvzexp(−v2z v2th)
× Z ∞
0
2vxexp(−v2x
v2th)dvx (22)
Les deux premi`eres int´egrales sont chacunes ´egales `a√ πvth. La derni`ere int´egrale est ´egale `avth2
La norme de la vitesse moyenne dans une direction est donc
|v¯x| = (πv2th)−3/2πvth4 (23)
= (π)−1/2vth=
2kBT πm
1/2
(24)
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Equations fluide
Landau e−
Maxwell-Boltzmann: moyennes V
En r´esum´e, une fonction de type Maxwell-Boltzmann (Gaussienne) poss´ede les propri´et´es suivantes
( ¯v2)1/2 =
3kBT m
1/2
(25)
|v|¯ = 2 2kBT
πm 1/2
(26)
|v¯x| =
2kBT πm
1/2
(27)
¯
vx = 0 (28)
Pour une distribution symm´etrique suivant les diff´erentes composantes dev, on introduit souvent la fonctiong(v)qui est fonction de la norme dev
Z ∞ 0
g(v)dv= Z ∞
−∞
f(v)d3v (29)
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Equations fluide
Landau e−
Maxwell-Boltzmann: moyennes VI
Il est impossible de repr´esenter la fonctionf(r,v)`a un temps donn´etsauf si l’on r´eduit le nombre de dimensions
A une dimension, l’intersection de la surface avec les plans x=csterepr´esente les fonctions de distribution des vitessesf(vx) Les intersections avec les plansvx=csterepr´esente le profile de densit´e des particules poss´edant une vitessevx
Si toutes les courbesf(vx)ont la mˆeme forme, la variation du maximum repr´esente la variation de densit´e
La projection des courbesf =cstedans le planx−vx donne la topographie de la fonction de distribution
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Equations fluide
Landau e−
Equation fondamentale
L’´equation fondamentale devant ˆetre satisfaite par la fonction de distribution est l’´equation de Boltzmann
∂f
∂t +v.∇f+ F m.∂f
∂v = ∂f
∂t
c
(30) Fest la force agissant sur les particules
(∂f /∂t)c est la variation temporelle def due aux collisions
∇repr´esente le gradient dans l’espace (x, y, z)
∂/∂vrepr´esente le gradient dans l’espace des vitesses
∂
∂v =xˆ ∂
∂vx
+ˆy ∂
∂vy
+ˆz ∂
∂vz
(31)
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Equations fluide
Landau e−
Equation Boltzman: interpr ´etation
Pour interpr´eter l’´equation de Boltzmann, on pose la d´ependence explicite de la fonction de distribution sur les sept variables de temps, d’espace et de vitesse
df dt =∂f
∂t+∂f
∂x
∂x
∂t+∂f
∂y
∂y
∂t+∂f
∂z
∂z
∂t+∂f
∂vx
∂vx
∂t +∂f
∂vy
∂vy
∂t +∂f
∂vz
∂vz
∂t (32) Le premier terme repr´esente la d´ependence temporelle explicite de f
Les trois termes suivants repr´esententv.∇f En utilisant la troisi`eme loi de Newton
mdv
dt =F (33)
on remarque que les trois termes suivants sont simplement (F/m).(∂f /∂v)
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Equations fluide
Landau e−
Equation Boltzman: interpr ´etation II
La d´eriv´ee totaledf /dtpeut ˆetre interpr´et´ee comme la vitesse de changement de la fonction de distribution dans un rep´ere se d´eplacant avec les particules (voir cours 3)
La diff´erence avec la th´eorie fluide se situe sur le fait que l’on doit maintenant consid´erer des d´eplacement dans l’espace `a 6
dimensions(r,v)
L’´equation de Boltzmann montre quedf /dtest nulle en l’absence de collisions
Comme les forces s’exercant sur les particules ne d´ependent que de retv, la densit´e de particules dans un ´el´ement de l’espace des phases est conserv´ee (elles sont soumises aux mˆemes forces) Lorsqu’il y a des collisions, les particules diffusent et la densit´e dans l’espace des phases change au cours du temps
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Equations fluide
Landau e−
Equation de Vlasov
Lorsque les collisions sont n´egligeables et que les forces sont E.M., l’´equation de Boltzmann prend la forme suivante
∂f
∂t +v.∇f+ q
m(E+v×B).∂f
∂v = 0 (34)
C’est ce que l’on appelle l’´equation de Vlasov.
A cause de sa simplicit´e c’est l’´equation la plus utilis´ee dans la th´eorie cin´etique
Lorsque les collisions sont importantes il faut ajouter `a l’´equation de Vlasov la contribution de(∂f /∂t)coll repr´esentant le
changement local de la fonction de distribution
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Equations fluide
Landau e−
Equation de Vlasov: effet des collisions
Lorsqu’il y a des collisions avec des atomes neutres on peut ´ecrire ∂f
∂t
c
=fn−f
τ (35)
avecfn la fonction de distribution des atomes neutres etτ la fr´equence de collisions
Lorsque l’on consid`ere des collisions Coulombiennes, une forme approximative du terme collisionnel est donn´ee par
∂f
∂t
c
=− ∂
∂v.
d <∆v>
dt f
+1 2
∂2
∂v∂v :
d <∆v∆v>
dt f
(36) Equation (36) est l’´equation de Fokker-Planck
d<∆v>
dt repr´esente le changement moyen de la vitesse moyenne d’une particule du plasma due aux collisions Coulombiennes
d<∆v∆v>
dt est le coefficient de diffusion des vitesses
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Equations fluide
Landau e−
Equation de Vlasov: effet des collisions II
En consid´erant les collisions coulombiennes entre les ´electrons et les ions, on peut exprimer l’´equation de Fokker-Planck en fonction du logarithme Coulombien (consid´erant seulement les collisions `a angles faibles)
d <∆v>
dt =−niZ2e4lnΛ
4π20m2v3v (37) d <∆v∆v>
dt =−niZ2e4lnΛ
4π20m2v3 (Iv2−v.v) (38) avecIle tenseur unit´e
L’´equation de Fokker-Planck devient alors ∂fe
∂t
c
=niZ2e4lnΛ 4π20m2
∂
∂v.
Iv2−vv v3 .∂fe
∂v
(39) Cette forme ne prend en compte que les collisions entre electrons et ions
Une forme plus g´en´erale, prenant en compte les collisionse−eet e−ipeut ˆetre d´eriv´ee
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Equations fluide
Landau e−
Equations fluides: premier moment
Les ´equations fluides d´eriv´ees dans le cours 3 sont des moments de l’´equation de Boltzman
∂f
∂t +v.∇f+ F m.∂f
∂v = ∂f
∂t
c
(40) En int´egrantR
dvet en consid´erant la force de Lorentz, l’´equation de Boltzmann devient
Z ∂f
∂tdv+ Z
v.∇f dv+ q m
Z
(E+v×B).∂f
∂vdv= Z ∂f
∂t
c
dv (41) Le premier terme devient
Z ∂f
∂tdv= ∂
∂t Z
f dv= ∂n
∂t (42)
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Equations fluide
Landau e−
Equations fluides: premier moment
Commev est une variable ind´ependante, elle n’est pas affect´ee par l’op´erateur∇
Z
v.∇f dv=∇.
Z
vf dv=∇.(n¯v)≡ ∇.(nu) (43) o`u nous d´efinissons la vitesse moyenneucomme la vitesse du fluide Le troisi`eme et quatri`eme termes sont nuls
Pour le troisi`eme terme Z
E.∂f
∂vdv= Z ∂
∂v.(fE)dv= Z
S∞
fE.dS= 0 (44) L’int´egrale est nulle sif →0plus vite quev−2 lorsquev→ ∞ Il est n´ecessaire que la fonction de distributionf soit de carr´e int´egrable pour que l’´energie soit finie donc ce terme est nul
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Equations fluide
Landau e−
Equations fluides: premier moment
Pour le terme d´ependant du champ magn´etique on a Z
(v×B).∂f
∂vdv= Z ∂
∂v.(fv×B)dv− Z
f ∂
∂v(v×B)dv= 0 (45) La premi`ere int´egrale peut ˆetre convertie en une int´egrale de surface donc l’int´egrale est nulle
Le deuxi`eme terme disparait car(v×B)est perpendiculaire `a
∂/∂v
En l’absence de collision permettant la recombinaison o`u l’ionisation le nombre de particules reste constant
Le premier moment de l’´equation de Boltzmann permet donc de retrouver l’´equation de continuit´e
∂n
∂t +∇.(nu) = 0 (46)
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Equations fluide
Landau e−
Equations fluides: deuxi `eme moment
Le deuxi`eme moment de l’´equation de Boltzmann
∂f
∂t +v.∇f+ F m.∂f
∂v = ∂f
∂t
c
(47) s’obtient en multipliant parmvet en int´egrant suivantR
dv m
Z v∂f
∂tdv+m Z
v(v.∇)f dv + q Z
v(E+v×B).∂f
∂vdv
= m
Z v
∂f
∂t
c
dv (48) Le terme du membre de droite repr´esente le changement de moment du aux collisions: Pij
Pour les collisions ´electron-ion, ce terme s’exprime en fonction de la fr´equence de collisionνei
Pei=mn(vi−ve)νei (49) Effet des collisions introduit dans l’´equation fluide (cours 3)
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Equations fluide
Landau e−
Equations fluides : deuxi `eme moment II
Le premier terme s’´ecrit m
Z v∂f
∂tdv=m∂
∂t Z
vf dv=m∂
∂t(nu) (50) avecula vitesse moyenne du fluide
La troisi`eme int´egrale devient Z
v(E+v×B).∂f
∂vdv= Z ∂
∂v.[fv(E+v×B)].dv (51)
− Z
fv ∂
∂v.(E+v×B)dv− Z
f(E+v×B). ∂
∂vv.dv Les deux premiers termes s’annullent pour les mˆemes raisons que pr´ec´edemment
En remarquant que∂v/∂vest le tenseur identit´e q
Z
f(E+v×B).∂v
∂vdv=q Z
(E+v×B)f dv=qn(E+u×B) (52)
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Equations fluide
Landau e−
Equations fluides : deuxi `eme moment III
Pour ´evaluer le terme restant, il faut consid´erer quev est une variable ind´ependante
Z
v(v.∇)dv = Z
∇.(fvv)dv (53)
= ∇.
Z
fvvdv (54)
= ∇.nvv (55)
En s´eparantven une partie moyenneuet une partie thermiquew v=u+w, on obtient
∇.nvv=∇.(nuu) +∇.(nww) + 2∇.(n(u ¯w) (56) Le deuxi`eme terme correspond au tenseur de stressP
le premier terme donne
∇.(nuu) =u∇.(nu) +n(u.∇)u (57)
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Equations fluide
Landau e−
Equations fluides : deuxi `eme moment III
L’´equation de Boltzmann peut donc s’´ecrire m∂
∂t(nu)+mu∇.(nu)+mn(u.∇)u+∇.P−qn(E+u×B) =Pij
(58) En utilisant l’´equation de continuit´e pour les deux premier termes on obtient l’´equation fluide
mn ∂u
∂t + (u.∇)u
=qn(E+u×b)− ∇.P+Pij (59) L’´equation fluide d´ecrit le mouvement du flux de moment
Le mouvement du flux d’´energie s’obtient en prenant le moment suivant de l’´equation de Boltzmann en multipliant par 12mvvet en int´egrant surv
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Equations fluide
Landau e−
Oscillations plasmas et amortissement de Landau
L’´equation de Vlasov peut ˆetre utilis´ee pour d´eterminer l’effet de la distribution des vitesses sur les ondes plasmas d´ecrite dans le cours 4
On consid`ere un plasma uniforme avec une distribution f0(v)et sans champ ext´erieurE0= 0etB0=0
On suppose une perturbation de la fonction de distribution
f(r,v, t) =f0(v) +f1(r,v, t) (60) Commev est une variable ind´ependante on ne peut plus lin´eariser et l’´equation de Vlasov s’´ecrit
∂f1
∂t +v.∇f1− e
mE1.∂f0
∂v = 0 (61)
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Equations fluide
Landau e−
Oscillations plasmas et amortissement de Landau II
On consid`ere les ions fixes et les ondes comme planes suivant x
f1≡ei(kx−ωt) (62)
L’´equation de Vlasov donne alors
−iωf1+ikvxf1 = e mEx
∂f0
∂vx
(63) f1 = ieEx
m
∂f0/∂vx ω−kvx
(64) L’´equation de Poisson donne
0∇.E1 = ik0Ex=−en1 (65)
= −e Z Z Z
f1d3v (66)
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Equations fluide
Landau e−
Oscillations plasmas et amortissement de Landau III
En utilisant l’expression def1 on obtient 1 =− e2
km0
Z Z Z ∂f0/∂vx ω−kvx
d3v (67)
Le facteurn0peut ˆetre retir´e de l’int´egrale si l’on remplacef0par une fonction normalis´eefˆ0
1 =−ω2 k
Z ∞
−∞
dvz Z ∞
−∞
dvz Z ∞
−∞
∂fˆ0(vx, vy, vz)/∂vx ω−kvx
dvx (68) Sif0 est une fonction du type Mazwell-Boltzmann, il ne reste qu’une fonction `a une dimensionfˆ0(vx)et la relation de dispersion est alors
1 = ω2 k2
Z ∞
−∞
∂fˆ0(vx)/∂vx
vx−(ω/kv)dvx (69) A cause de la singularit´e, l’int´egrale doit ˆetre trait´ee comme une int´egrale de contour dans le plan complex de la variable v
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Equations fluide
Landau e−
Oscillations plasmas et amortissement de Landau IV
Landau a ´et´e le premier `a traiter cette int´egrale
Il a trouv´e que la singularit´e entraine un effet important sur les relations de dispersion qui n’´etaient pas trait´e par la th´eorie fluide Une relation de dispersion approximative peut ˆetre obtenue en consid´erant une vitesse de phase ´elev´ee et un amortissement faible La relation de dispersion est alors
1 = ωp2 k2
P Z ∞
∞
∂fˆ0/∂v
v−(ω/k)dv+iπ ∂fˆ0
∂v v=w/k
(70) o`u nous avons pos´ev≡vx
P est la valeur principale de Cauchy. Elle correspond `a une int´egration suivant l’axe r´eelxen excluant la r´egion autour du pole.
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Equations fluide
Landau e−
Oscillations plasmas et amortissement de Landau V
L’int´egrale s’´evalue en utilisant une int´egration par partie Z ∞
−∞
∂fˆ0
∂v dv
v−(ω/k) =
"
fˆ0
v−vφ
#∞
−∞
− Z ∞
−∞
−fˆ0dv (v−vφ)2(71)
= Z ∞
−∞
fˆ0dv
(v−vφ)2 (72) Nous avons donc une moyenne de(v−vφ)−2 sur la fonction de distribution
La partie r´eelle de la dispersion de relation est donc 1 = ωp2
k2(v−vφ)−2 (73) Comme nous avons obtenu la relation de dispersion en posant vφ>> v, on peut effectuer un d´eveloppement limit´e
(v−vφ)−2=vφ−2
1− v vφ
−2
=v−2φ 1 +2v vφ
+3v2 vφ2 +4v3
v3φ +...
!
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Equations fluide
Landau e−
Oscillations plasmas et amortissement de Landau VI
Les termes impaires disparaissent lorsque l’on prend la moyenne sur fˆ0
Nous obtenons donc
(v−vφ)−2≡vφ−2 1 +3v2 vφ2
!
(74) En prenant une distribution de Maxwell-Boltzmann pourfˆ0 et v≡vxon a `a une dimension
1
2mv2x=1
2kBTe (75)
La relation de dispersion devient alors 1 = ωp2
k2 k2 ω2
1 + 3k2
ω2 kBTe
m
(76) ω2 = ω2p+ωp2
ω2 3kBTe
m k2 (77)
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Equations fluide
Landau e−
Oscillations plasmas et amortissement de Landau VII Lorsque la correction est petite on peut remplacerω2parωp2et nous retrouvons
ω2=ω2p+3kBTe
m k2 (78)
C’est la relation de dispersion obtenue dans l’approximation fluide avecγ= 3
Pour ´evaluer l’effet de la partie imaginaire dans la relation de dispersion on n´eglige dans un premier temps la correction thermique sur la partie r´eelle
En utilisant un d´eveloppement limit´e, la relation de dispersion devient alors
1 = ω2p
ω2 +iπωp2 k2
∂fˆ0
∂v |v=v
φ (79)
ω2p = ω2
1−iπω2p k2
"
∂fˆ0
∂v
#
v=vφ
(80)
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Equations fluide
Landau e−
Oscillations plasmas et amortissement de Landau VIII En consid´erant la partie imaginaire comme ´etant petite, on peut
´ecrire
ω2=ωp2
1 +iπωp2 k2
"
∂fˆ0
∂v
#
v=vφ
(81) Sifˆ0 est une distribution de Maxwell-Boltzmann `a une dimension on a
∂fˆ0
∂v = (πvth2 )−1/2 −2v
v2th
exp −v2
v2th
(82)
= − 2v
√πvth3 exp −v2
vth2
(83) En prenantvφ=ωp/kdans le coefficient mais en gardant la correction thermique dans l’exposant on obtient
Im(ω) =−π 2
ωp3 k2
2ωp
k√ π
1 v3thexp
−ω2 k2vth2
(84)
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Equations fluide
Landau e−
Oscillations plasmas et amortissement de Landau IX
Im(ω) = −√ πωp
ωp
kvth 3
exp −ω2p k2v2th
! exp
−3 2
(85) Im
ω ωp
= −0.22√ π
ωp kvth
3 exp
−1 2k2λ2D
(86) Il y a donc un amortissement des ondes plasma qui n’est pas dˆu aux collisions, c’est l’amortissement de Landau
Cet effet est connect´e `af1qui repr´esente la distortion de la fonction de distribution par l’onde plasma
Cet effet a ´et´e d´emontr´e de mani`ere math´ematique avant d’avoir
´et´e observ´e en laboratoire (1950)
Cet effet s’observe aussi pour la formation des galaxies o`u les
´etoiles sont consid´er´ees comme des atomes interagissant par le biais de la force gravitationnelle plutot que E.M.
Les instabilit´es du gas d’´etoiles permet la formation de bras en forme de spirales. L’effet Landau limite ce processus
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Introduction f(v) Th ´eorie
Equations fluide
Landau e−
Amortissement Landau: interpr ´etation physique
Pour interpr´eter l’amortissement de Landau, on remarque tout d’abord que la partie imaginaireIm(ω)est reli´ee au polev≡vφ L’effet est donc reli´e aux particules dont la vitesse est proche de la vitesse de phase (particules resonnantes)
Ces particules se d´eplacent avec l’onde et ne voit pas le champ
´electrique variant rapidement
Elles peuvent donc ´echanger de l’´energie de mani`ere tr´es efficace avec cette onde
Analogie: un surfeur et une vague, autant d’´energie gagn´ee que perdue
Dans un plasma il y a des ´electrons plus rapides et des ´electrons moins rapides que la vitesse de l’onde
Pour une distribution Maxwellienne il y a plus d’´electrons lents que d’´electrons rapides, donc l’onde perd de l’´energie
Lorsque les particules se d´eplacent `av≡vφ,f(v)se trouve applatie
C’est la distortionf1(v)que nous venons de calculer