Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1
Ann´ee 2012-2013 Module MM020
Th´ eorie des Nombres - TD1 Rappels d’arithm´ etique ´ el´ ementaire
Exercice 1 : Trouver tous les entiersn∈Ntels queϕ(n) = 6. Mˆeme question avecϕ(n) = 12.
Caract´eriser les entiers n∈Ntels queϕ(n) ne soit pas multiple de 4.
Exercice 2 : Montrer quen=P
d|nϕ(d).
Exercice 3 : Soitn∈N,n≥2. Montrer queϕ(n)≥ log 22 lognn.
Exercice 4 : Soientd, m∈N. R´esoudre le syst`eme suivant, d’inconnuesx, y∈Z : pgcd(x, y) =d
ppcm(x, y) =m .
Combien de solutions obtient-on dans le cas o`u d = 12 et m = 11760 ? Et en g´en´eral, donner une formule pour le nombre de solutions du syst`eme.
Exercice 5 : SoitA un anneau commutatif. SoientI, J des id´eaux de Atels que I+J =A.
a) Montrer que pour tout m, n≥1, on a Im+Jn=A.
b) Montrer que l’on a des isomorphismes canoniques d’anneaux
A/(ImJn)−∼=→A/(Im∩Jn)−→∼= A/Im×A/Jn.
c) En d´eduire que si m1, . . . , mn sont des entiers deux-`a-deux premiers entre eux, alors on a un isomorphisme canonique
Z/(Y
i
miZ)−∼=→Y
i
(Z/miZ).
d) Pourn= 2 etn= 3, expliciter la r´eciproque de l’isomorphisme pr´ec´edent.
Exercice 6 : On dispose d’un certain nombre d’objets. On les range par paquets de 2, il en reste un tout seul. On les range par 3, il en reste 2. Par 4, il en reste 3. Par 5, il en reste 4. Par 6, il en reste 5. Quel est le nombre minimal d’objets dont on dispose ? Mˆeme question en allant jusqu’`a des paquets de 10, de sorte qu’il en reste 9. Et plus g´en´eralement, que dire si on va jusqu’`a des paquets den objets, de sorte qu’il en resten−1 ?
Exercice 7 : R´esoudre le syst`eme suivant, d’inconnue x∈Z :
2x≡4 [5]
4x≡5 [7]
3x≡1 [8]
.
Exercice 8 :
a) Soitn≥1. Combien l’´equationx2= 1 a-t-elle de solutions dans Z/nZ?
b) On pose n= 23275. Combien l’´equation x4 = 1 a-t-elle de solutions dans Z/nZ.
c) R´esoudrex2−4x+ 15 = 0 dans Z/45Z.
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Exercice 9 : D´eterminer le nombre de sous-groupes deZ/nZ, en fonction de la d´ecomposition de n en facteurs premiers.
Exercice 10 :
a) Soitn∈N. Montrer que l’on a un isomorphisme canonique de groupes : Aut(Z/nZ)∼= (Z/nZ)∗. b) Soient p, q deux nombres premiers. SoitG un groupe d’ordrepq. Montrer que
i) sip=q, alorsGest commutatif et soit G∼=Z/p2Z, soitG∼=Z/pZ×Z/pZ. ii) si p < q etp ne divise pasq−1, alorsG est commutatif et G∼=Z/pZ×Z/qZ.
iii) sip < q etpdiviseq−1, alors soitGest commutatif etG∼=Z/pZ×Z/qZ, soitGn’est pas commutatif et il est isomorphe `a l’unique produit semi-direct non trivial Z/qZ oZ/pZ. c) D´eterminer tous les groupes d’ordre 12, `a isomorphisme pr`es (on montrera d’abord qu’un tel
groupe est produit semi-direct d’un groupe d’ordre 4 et d’un groupe d’ordre 3).
Exercice 11 : Montrer qu’il existe des suites arbitrairement longues de nombres entiers cons´ecutifs non premiers.
Exercice 12 : On notepnlen-i`eme nombre premier, etπ(x) le nombre de nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux `a x.
a) Montrer que pn<22n.
b) En d´eduire un encadrement (grossier) de π(x).
c) Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 6k+ 5.
d) Montrer que si pgcd(a, b) = 1, tout diviseur premier impair dea2+b2 est congru `a 1 modulo 4.
e) En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 8k+ 5.
Exercice 13 : D´eterminer tous les entiers relatifsa, b tels que cos(2πab ) est rationnel.
[Indication : on pourra utiliser le polynˆomeX2−2 cos(2πab )X+ 1].
Exercice 14 :
a) SoitA un anneau principal.
i) Montrer queAest noeth´erien.
ii) On d´efinit
E :={(a);a∈A, a6= 0, ane se d´ecompose pas en produit d’un inversible par des irr´eductibles} . Montrer, en raisonnant par l’absurde, que E =∅.
iii) Soitp∈A irr´eductible. Montrer que (p) est un id´eal maximal, donc premier.
iv) En d´eduire que A est factoriel.
b) Montrer qu’un anneau euclidien est principal.
c) Donner un exemple d’anneau factoriel non noeth´erien.
d) Montrer que Z[i√
5] est un anneau int`egre noeth´erien non factoriel.
[Indication : d´ecomposer 9 en produit d’irr´eductibles dansZ[i√ 5]].
e) Donner un exemple d’anneau factoriel non principal.
f) On noteα:= 1+i
√19
2 etA:=Z[α].
i) On d´efinit, pour a∈A,N(a) :=aa. Montrer que pour tout a, b∈A\ {0}, il existeq, r∈A tels que (r = 0 ouN(r)< N(b)) et (aou 2as’´ecritbq+r).
[Indication : on pourra ´ecriret:= ab =x+yαavecx, y∈Q, et distinguer suivant la distance de y `a sa partie enti`ere].
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ii) Montrer que l’id´eal (2) de A est maximal.
iii) Montrer queAest principal.
iv) Montrer que dans un anneau euclidien B, il existe b ∈ B, b /∈ B∗, tel que B∗ ∪ {0} sur surjecte surB/(b).
v) Montrer queA∗ ={±1}.
vi) Montrer que pour tout x∈A, l’anneau A/(x) n’est pas isomorphe `aZ/2Z, ni `a Z/3Z. vii) Conclure que A est principal non euclidien.
g) Montrer que Z,k[X] (k est un corps) etZ[i] sont des anneaux euclidiens.
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