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Optique ondulatoire - Cours 5 pdf

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Texte intégral

(1)

Optique ondulatoire :

interférences, interférométrie et polarisation

Table des matières

1 INTRODUCTION A L’OPTIQUE ONDULATOIRE 2

1.1 REPRESENTATION DE LA LUMIERE : CORPUSCULE, ONDE. 2 1.2 NOTION DE COULEUR, DE LONGUEUR D'ONDE, SPECTRE. 3 1.3 RAYONS LUMINEUX, CHEMIN OPTIQUE, SURFACE DONDE ET THEOREME DE MALUS 4 2 ONDES PROGRESSIVES 7

2.1 PROPAGATION ET EQUATION DONDES. 7

2.2 SOLUTION DE LEQUATION DONDE DE D’ALEMBERT SOUS LA FORME DES ONDES PLANES. 10

2.3 LA NATURE DE LONDE LUMINEUSE 16

3 ETUDE THEORIQUE DES INTERFERENCES A 2 ONDES 18

3.1 MODELE SCALAIRE DE LA LUMIERE ET ECLAIREMENT 18

3.2 CRITERES MINIMALES DINTERFERENCES 19

3.3 OBSERVATION DE LA FIGURE DINTERFERENCES A 2 ONDES 22 4 OBTENTION ET OBSERVATION DES INTERFERENCES A 2 ONDES 26

4.1 DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX AVEC DIVISION DU FRONT DONDE 26 4.2 NOTION DE COHERENCE ; FACTEUR DE VISIBILITE 30 4.3 INTERFEROMETRE DE MICHELSON : INTERFEROMETRE A DIVISION DAMPLITUDE 32 5 INTERFERENCES A N ONDES 37

5.1 INTERFERENCES DE SOURCES REGULIEREMENT ESPACEES : LE RESEAU 37 5.2 INTERFEROMETRE A N ONDES (INTERFEROMETRE DE FABRY-PEROT) 41 6 ETUDE DE LA POLARISATION 45

6.1 DEFINITION DE LA POLARISATION 45

6.2 POLARISATION DUNE ONDE PLANE PROGRESSIVE MONOCHROMATIQUE

ELECTROMAGNETIQUE 45

6.3 LA POLARISATION DE LA LUMIERE 50

6.4 POLARISEUR, ANALYSEUR, LOI DE MALUS 50

6.5 LAMES A RETARD, LAMES DEMI-ONDE, LAMES QUART DONDE 52 6.6 PRODUCTION ET ANALYSE DUNE LUMIERE TOTALEMENT POLARISEE 54

6.7 REPRESENTATION DE JONES 56

(2)

1 Introduction à l’optique ondulatoire

1.1 Représentation de la lumière : corpuscule, onde.

• Qu’est ce que l’optique?

L’optique est une branche de la physique qui s’intéresse à l’étude des phénomènes lumineux.

L’optique est principalement l’ensemble des phénomènes perçus par l’œil. (Perez, Faroux Renault, Optique Physique, Hecht)

• Domaine très large :

o Perception du monde qui nous entoure (formation des images) o Instruments d’optiques (jumelles, télescope, microscope, ...).

o Optique cohérente (interférométrie, hologramme)

o Propagation d’information via la lumière (optique intégrée).

o Sources lumineuses (laser, lampe Sodium, LED ...).

o Détecteurs (Caméra IR, photodétecteurs, cellules photovoltaïques, matériaux SC).

• Qu’est ce que la lumière?

Pendant plusieurs siècles deux tendances se sont affrontées: onde-corpuscule.

o Au 17ème et au 18ème siècle :

Corpusculaire pour expliquer la réflexion (Descartes, Newton) Ondulatoire pour expliquer la diffraction (Grimaldi, Huygens)

o Du 18ème au début du 20ème siècle :

Expériences validant l’aspect ondulatoire de la lumière (Fresnel, Maxwell) Expériences validant l’aspect corpusculaire de la lumière (Hertz, Einstein)

o Au 20ème siècle :

Dualité onde-corpuscule comme les électrons (deBroglie, Heisenberg, Dirac) Lumière = ondes et photons

• Quelques dates :

965-1039 : Alhazen, physicien arabe qui comprend le premier que l’œil n’émet pas des rayons venant scruter les objets mais que ceux-ci, éclairés par des sources, sont à l’origine de rayons rectilignes.

1609 : lunette astronomique de Galilée

Les premiers microscopes suivent les travaux de Kepler 1665 : découverte de la diffraction par Grimaldi

1672 : télescope de Newton

1673 : lois de Snell-Descartes et première théorie de l’arc-en-ciel.

1676 : mise en évidence de la vitesse de propagation de la lumière 1690 : vers la première théorie ondulatoire de la lumière Huygens 1802 : Explication de la diffraction par Fresnel

1849 : Expérience de fizeau pour mesurer la vitesse de la lumière

(3)

1870 : Théorie de Maxwell permettant d’unifier l’optique et les phénomènes électromagnétiques.

1901 : rayonnement du corps noir par Max Planck

1905 : notion de photon et au cours du 20ème siècle révolution de la mécanique quantique qui permet d’unifier l’aspect ondulatoire et corpusculaire de la lumière.

1.2 Notion de couleur, de longueur d'onde, spectre.

• La lumière visible fait partie d'une grande famille de phénomènes de même nature: les ondes électromagnétiques.

• Variation d'un champ électrique associé à une variation d'un champ magnétique, dans l’espace et dans le temps. Dans le cas d’une onde électromagnétique monochromatique (d’une seule couleur), on peut alors représenter l’onde lumineuse comme suit :

On a la relation qui lie la longueur d’onde et la période de l’onde λ = cT. C’est la longueur parcourue par l’onde pendant une période.

• L'œil est sensible aux radiations lumineuses dont la longueur d'onde est comprise entre 0.380 µm et 0.780 µm. Œil est un photodétecteur ayant une bande passante particulière.

(4)

• Description de la lumière : 3 domaines

DO>>λ DO≈λ DO<<λ

Description Rayon Onde Photon

Application Formation des images

Interférence – diffraction

Effet photoélectrique

• Plan du cours et TD

Rappel de l’optique géométrique pour la notion de rayon lumineux utile à notre cours Optique Géométrique pour 2 TD

Optique ondulatoire : les interférences (la diffraction sera vue l’an prochain) 6 TD Polarisation de la lumière : 2 TD

1.3 Rayons lumineux, chemin optique, surface d’onde et théorème de Malus

1.3.1 Le rayon lumineux

Le rayon lumineux est à la base de toute l’optique géométrique que vous avez étudiée l’an dernier. C’est une notion intuitive :

On peut les considérer comme la trajectoire de l’énergie lumineuse. Le problème est que l’on ne peut pas isoler les rayons lumineux. Si on cherche à isoler un rayon d’un faisceau, on est limité par la diffraction. ‘

Dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne droite.

1.3.2 Le chemin optique

• Milieu homogène :

Considérons un rayon lumineux AIJB, comportant plusieurs tronçons AI, IJ, JB dans des milieux homogènes d’indice différents n1, n2, n3 séparés par des dioptres. Par définition le chemin optique AB, noté (AB), l’expression (AB) = n1AI + n2IJ + n3JB

(5)

• Milieu inhomogène

Dans le cas où le rayon lumineux allant de A à B se propage dans un milieu inhomogène caractérisé en chaque point par son indice n(r), le chemin optique (AB) est défini par l’intégrale curviligne :

( ) ( )

pAB

AB =

n r dlG

où dl est l’élément d’arc le long de la courbe suivie par la rayon lumineux

• Interprétation :

Le chemin optique est donc une mesure en unité de longueur du temps mis par la lumière pour de propager de A en B.

• Attention

Pour définir le chemin, il faut être dans un milieu tel que l’on puisse définir l’indice du milieu en tout point quelque soit la direction de propagation de la lumière.

1.3.3 Surface d’onde

• Définition

Etant donnée une source lumineuse S, on appelle surface d’onde le lieu des points M tel que le chemin optique (SM) soit constant, ce chemin optique étant compté le long des différents rayons lumineux issus de S.

• Exemple 1 :

• Exemple 2 :

(6)

Soit une source S placée dans un milieu transparent homogène. Les rayons lumineux se propagent en ligne droite. Un miroir est éclairé par cette source. Calculons les chemins optiques et regardons les surfaces d’onde.

(SM1)= n [SI1+I1M1] or si on trace S’ le symétrique de S par rapport au miroir, soit l’image de S par le miroir, on en déduit immédiatement

(SM1) = n [S’I1+I1M1] = (S’M1)

Il en est de même pour le chemin optique (SM2). On en déduit donc que les surfaces d’onde après réflexion sur le miroir sont des sphères centrées sur S’, l’image de S.

1.3.4 Théorème de Malus

• Enoncé :

Dans les exemples précédents, les rayons lumineux sont normaux aux surfaces d’onde. Ce résultat est général et s’énonce ainsi : après un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions les rayons lumineux issus d’une source ponctuelle sont normaux aux surfaces d’onde.

• Remarque :

o Ce résultat est fondé sur le principe de Fermat

o Le théorème de Malus permet de donner une définition plus précieuse des rayons lumineux.

o Ce concept va bien sûr jouer un rôle fondamental dans l’étude de l’optique ondulatoire de la lumière que nous allons aborder.

o C’est peut-être le lien le plus direct entre l’optique ondulatoire et l’optique géométrique.

o Un point A’ est une image réelle d’un point A à travers un système optique (Σ) si le chemin optique (AA’) est indépendant du rayon lumineux traversant (Σ).

• Exemple 1 :

• Exemple 2 :

(7)

2 Ondes progressives

2.1 Propagation et équation d’ondes.

2.1.1 Qu’est ce qu’une onde ?

• Onde à la surface de l’eau

• Onde à 1 dimension

o Onde transverse qui se propage le long d’une corde

o Onde longitudinale : le son, une surpression qui se propage

• Définition : c’est un champ scalaire ou vectoriel dont les dépendances spatiales et temporelles sont couplées par des équations aux dérivées partielles de temps et

(8)

d’espace. On va se limiter dans ce chapitre à des champs scalaires décrits par l’équation d’onde de d’Alembert.

• Conséquence : ce sont des phénomènes où le théorème de superposition s’applique.

2.1.2 Equation d’onde de d’Alembert

2.1.2.1 Equation d’onde unidimensionnel de d’Alembert

• L’onde sonore qui se propage dans le cas ci-dessus selon une seule direction, ou encore l’onde de propagation le long de la corde sont toutes des ondes solutions de l’équation d’onde unidimensionnel de d’Alembert :

2 2

2 2 2

1

x c t

ψ ψ

∂ = ∂

∂ ∂

où c est la vitesse de propagation de l’onde.

• On peut vérifier l’homogénéité de cette équation.

c dépend du milieu de propagation et du système étudié.

o Dans le cas de la corde c2 =T µ avec T la tension de la corde et µ la masse linéique de la corde.

o Pour le son 2 1

s

c = µ

Χ avec µ la masse volumique moyenne de l’air et XS, le coefficient de compressibilité isentropique.

o Dans le cas des ondes lumineuses dans le vide : 2

0 0

c 1 ε µ

= avec

7 1

0 4 10

µ = π× Hm la perméabilité du vide

12 1

0 8,854187816 10 F m.

ε = × la permittivité du vide

et la quantité transportée est un champ électromagnétique. On reviendra sur la description de l’onde lumineuse à la fin du chapitre.

• Réversibilité de l’équation d’onde

2.1.2.2 Généralisation à trois dimensions

• On généralise à 3 dimensions l’équation unidimensionnel de d’Alembert en considérant une onde qui évolue dans les 3 directions simultanément. En coordonnées cartésiennes, les variables x, y, z doivent apparaître symétriquement pour les trois dimensions.

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1

x y z c t

ψ ψ ψ ψ

∂ ∂ ∂ ∂

+ + =

∂ ∂ ∂ ∂

• Cette équation à 3 dimensions est l’équation d’onde tridimensionnel de d’Alembert.

Elle s’écrit habituellement en utilisant l’opérateur Laplacien noté∇2. Dans le système de coordonnées cartésiennes, on a l’équivalence suivante :

2 2 2

2

2 2 2

x y z

∂ ∂ ∂

∇ ≡ + +

∂ ∂ ∂

L’équation d’onde s’écrit alors :

(9)

2 2

2 2

1 c t ψ ψ

∇ =

2.1.2.3 Théorème de superposition

• La forme de la fonction d’onde différentielle est compatible avec le principe de superposition. En effet si ψ1et ψ2 sont deux solutions distinctes de l’équation d’onde, il en résulte que (ψ12) est aussi une solution. En effet, si :

2 2

1 1

2 2 2

1

x c t

ψ ψ

∂ = ∂

∂ ∂ et

2 2

2 2

2 2 2

1

x c t

ψ ψ

∂ = ∂

∂ ∂

Alors en additionnant ces deux expressions, on obtient :

2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2 2 2

1

x x c t t

ψ ψ ⎛ ψ ψ ⎞

∂ ∂ ∂ ∂

+ = ⎜ + ⎟

∂ ∂ ⎝ ∂ ∂ ⎠et

( ) ( )

2 2

1 2 1 2

2 2 2

1

x c t

ψ ψ ψ ψ

∂ + ∂ +

∂ = ∂

• Cela établit que (ψ12) est aussi solution. La signification concrète de ce principe est que lorsque deux ondes séparées arrivent et se superposent à un même endroit de l’espace, elles s’ajoutent ou se soustraient simplement l’une à l’autre sans que cela ne détruise ou même ne dérange aucune d’entre elles. En tout point de la région de superposition, la perturbation résultante est la somme algébrique des ondes individuelles présentes à cet endroit. Une fois sortie de la région où les deux ondes coexistent, chacune continue son chemin sans avoir été perturbée par la rencontre précédente.

C’est ce phénomène de superposition qui sera à l’origine des interférences.

(10)

2.2 Solution de l’équation d’onde de D’Alembert sous la forme des ondes planes.

2.2.1 Onde Plane Progressive

2.2.1.1 Définitions

• Onde plane progressive dans la direction x : c’est un phénomène physique caractérisé par une grandeur dont la variation dans le temps dépend de la quantité x

t±c où t représente la variable de temps, x une variable d’espace et c la vitesse de propagation de l’onde. La fonction qui représente cette grandeur est la fonction d’onde notée :

t x ψ⎜ ±c

⎝ ⎠

• C’est probablement l’exemple le plus simple d’ondes à 3 dimensions. Elle existe à un instant donné lorsque toutes les surfaces d’onde forment un groupe de plans parallèles entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation ici x.

• Ces perturbations sont étudiées pour plusieurs raisons, notamment parce qu’il est facile de produire de la lumière sous forme d’onde plane au moyens de dispositifs optiques.

• On va voir que ces ondes sont une solution générale de l’équation d’onde aux dérivées partielles de d’Alembert.

2.2.1.2 Recherche de la solution générale

• Faisons le changement de variable : u = x-ct et v = x+ct dans l’équation aux dérivées partielles de D’Alembert :

u v

x u x v x u v

ψ ψ ψ ψ ψ

∂ =∂ ∂ +∂ ∂ =∂ +∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

u v

c c

t u t v t u v

ψ ψ ψ ψ ψ

∂ =∂ ∂ +∂ ∂ = − ∂ + ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

On fait de même pour les dérivées secondes.

2 2 2 2

2 2 2 2

x x x u v u v u v u v

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

∂∂ =∂∂ ∂⎛⎜⎝ ∂ ⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝= ∂∂ +∂∂ ⎞⎛⎟⎜⎠⎝∂∂ +∂∂ ⎞⎟⎠= ∂∂ +∂∂ + ∂ ∂∂

(11)

2 2 2 2

2 2 2

2 c c c c c 2 c 2 2c

t t t u v u v u v u v

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

∂∂ = ∂∂ ∂⎛⎜⎝ ∂ ⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝= − ∂∂ + ∂∂ ⎞⎛⎟⎜⎠⎝− ∂∂ + ∂∂ ⎞⎟⎠= ∂∂ + ∂∂ − ∂ ∂∂

• On reporte ces expressions dans l’équation d’onde de d’Alembert.

2 2 2

2 2 2

1 4 0

x c t u v

ψ ψ ψ

∂ − ∂ = ∂ =

∂ ∂ ∂ ∂

• Cette équation s’écrit aussi bien :

u v 0 ψ

∂ ∂⎛⎜ ⎞ =⎟

∂ ⎝ ∂ ⎠ Ce qui montre que la fonction

v ψ

∂ ∂ est indépendante de u. C’est donc une fonction quelconque de v, ce qui s’écrit :

( ) v h v ψ

∂ =

En intégrant cette équation à u fixé et en notant g(v) une primitive de h(v), il apparaît une « constante d’intégration » c'est-à-dire une fonction quelconque de u :

( )

u v, f u( ) g v( )

ψ = +

Soit :

( )

x t, f x ct( ) g x( ct)

ψ = − + +

• Les fonctions f et g sont deux fonctions arbitraires.

• La solution générale de l’équation d’onde unidimensionnel de d’Alembert est la somme de deux ondes planes progressives

2.2.1.3 Interprétation de la solution f(x-ct)

• Il est remarquable que le champ d’une onde plane progressive ne dépende que de deux variables x et t que par l’intermédiaire d’une unique variable x-ct. Cela confère à l’onde plane progressive des propriétés importantes.

• Remarquons que :

( , ) ( ) 0 x 0, x

x t f x ct f c t t

c c

ψ = − = ⎜⎝ − ⎜⎝ − ⎟⎠⎟⎠=ψ ⎜⎝ − ⎟⎠

• Cela signifie que si on connaît seulement l’évolution au cours du temps de la perturbation au point 0 (où à une position donnée), alors l’évolution de la corde au cours du temps est connue en tout point.

• De même en remarquant que :

( )

( ) ( )

( , )x t f x ct( ) f x ct 0 x ct,0

ψ = − = − − =ψ −

On montre que la connaissance de la perturbation sur tout l’espace à un temps t donné (ici l’instant initial 0) alors on détermine complètement le déplacement de la perturbation à tout instant. L’allure de la corde à un instant t > 0 s’obtient par simple translation de la perturbation par la longueur ct. Ainsi, une onde plane progressive de

(12)

la forme ( , )ψ x t = f x ct( − )représente la propagation sans déformation d’un signal à la vitesse c dans le sens des x croissants.

• De même, une onde plane progressive de la forme ( , )x t g x ct( )

ψ = + représente la propagation sans déformation d’un signal à la vitesse c dans le sens des x décroissants

• Nous venons donc d’interpréter la célérité c d’une onde

2.2.2 Onde Plane Progressive harmonique

2.2.2.1 Définition

• On l’appelle encore, onde plane progressive sinusoïdale. Dans le cas de l’optique on utilise souvent le terme d’onde plane progressive monochromatique car elle ne concerne qu’une seule couleur.

• Ce sont des ondes planes progressives telles que :

( )

( )

( , )x t Acos x t

ψ = ω c

• La fonction cosinus varie entre +1 ou -1. A est donc la perturbation maximale de l’onde et est appelée amplitude de l’onde.

• ω est appelée la pulsation propre. Son unité est rad/s.

kx−ωtest la phase de l’onde.

• Elles constituent une classe d’onde particulière. En effet à x fixé, f(x-ct) est une fonction du temps t. Si elle est périodique cette fonction peut se décomposer en série de Fourier. Sinon, le théorème de réciprocité de la transformée de Fourier montre qu’elle peut être considérée comme une somme de fonctions sinusoïdales du temps.

Ainsi, la connaissance du comportement de cette classe d’onde revêt un caractère général.

2.2.2.2 Propriétés

• Elles s’écrivent également sous la forme :

( )

( , )x t Acos kx t

ψ = −ω

Avec k=ω/c.

k a pour dimension l’inverse d’une longueur et kx s’exprime en radian.

• On définit le vecteur d’onde k dont la projection sur ux est k.

• Soit un vecteur unitaire u dans une direction quelconque. Une onde plane progressive harmonique se déplaçant dans la direction u tel que k = ku s’écrit :

( )

( , )r t Acos .k r t ψ G = G G−ω

• Double périodicité : en considérant x ou t fixés, on obtient une perturbation sinusoïdale. L’onde est à la fois périodique dans le temps et dans l’espace.

(13)

o Périodicité spatiale : la période spatiale est appelée longueur d’onde et est notée λ. Par définition, une augmentation ou une diminution de x par une quantité λ laisse ψ inchangé. C'est-à-dire que :

( )

( , )x t x ,t ψ =ψ ±λ Et donc que :

2 / k= π λ (k et λ sont des grandeurs positives)

o Périodicité temporelle : la périodicité temporelle est notée T. Elle correspond au temps que met le cycle complet pour défiler devant un observateur stationnaire et se répéter dans le temps. On a donc :

( )

( , )x t x t T,

ψ =ψ ±

Et donc :

2 /T ω = π o On en déduit que :

λ =cT

C'est-à-dire que pendant la période temporelle T de l’onde, l’onde s’est déplacée de sa périodicité spatiale λ.

2.2.3 Ondes sphériques

L’onde plane est certes un cas très simple à décrire mais n’est pas physiquement satisfaisant. En effet, l’onde plane (harmonique ou pas) peut se déplacer sans changer de profil. Clairement, l’idée d’une perturbation ondulatoire dont le profil ne serait jamais altéré laisse quelque part à désirer.

De plus l’onde plane s’étend dans tout l’espace. Dans chaque plan on a donc une énergie infinie.

2.2.3.1 Faits expérimentaux

(14)

• Ballon qui se gonfle et se dégonfle

• Un point source lumineux

2.2.3.2 Définition

Une onde est sphérique si la fonction d’onde peut être mise sous la forme ψ(r,t), dans laquelle r =(x2+y2+z2)1/2 désigne la distance du point M considéré à une origine O où se trouve la source de perturbation. A chaque instant, cet état est le même en tout point de la sphère de centre O et de rayon r.

2.2.3.3 Solution générale

On cherche une nouvelle classe de solution de l’équation d’onde de d’Alembert tridimensionnelle

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1

x y z c t

ψ ψ ψ ψ

∂ ∂ ∂ ∂

+ + =

∂ ∂ ∂ ∂ ou encore

2 2

2 2

1 c t ψ ψ

∇ =

∂ qui s’écrit sous la forme ( , )ψ r t avec r =(x2+y2+z2)1/2.

On en déduit que :

2 2 2 1/ 2

1 2

2 ( )

r x x

x r x x y z r r r

ψ ψ ψ ψ

∂ =∂ ∂ = ∂ = ∂

∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂

De même :

r y

y r y r r

ψ ψ ψ

∂ = ∂ ∂ = ∂

∂ ∂ ∂ ∂

r z

z r z r r

ψ ψ ψ

∂ =∂ ∂ = ∂

∂ ∂ ∂ ∂

On calcule les dérivées secondes :

( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1

r 1

x x x x x x x x

x x x r r r r r r r r r r r r r r r r

ψ ψ ψ ψ ⎛ ∂ ⎞ ψ ψ ⎛ ⎞ ψ

∂∂ =∂∂ ∂⎛⎜⎝ ∂ ⎞⎟⎠= ∂∂ ⎛⎜⎝ ∂∂ ⎞⎟⎠= ∂∂ +⎜⎝ ∂∂ + ∂ ⎟⎠∂∂ = ∂∂ + ⎜⎝ − ⎟⎠∂∂

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1

y y

y r r r r r

ψ ψ ⎛ ⎞ ψ

∂∂ = ∂∂ + ⎜⎝ − ⎟⎠∂∂ ;

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1

z z

z r r r r r

ψ ψ ⎛ ⎞ ψ

∂∂ = ∂∂ + ⎜⎝ − ⎟⎠∂∂ . Le laplacien s’écrit alors :

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

1 2

1 x 1 y 1 z

r r r r r r r r r

ψ ψ ψ ψ

ψ

∇ = ∂ + ⎜⎝ − + − + − ⎟⎠ ∂ = ∂ + ∂

or 2 2

( )

2 2

2 1 r

r r r r r

ψ ψ ψ

∂ + ∂ =

∂ ∂ ∂

(15)

d’où 2

( )

2

( )

2 2 2

1

r r

r c t

ψ ψ

∂ ∂

∂ = ∂ .

D’après la résolution de l’équation d’onde unidimensionnel de d’Alembert, on en déduit que :

( )

, f r

(

ct

)

g r

(

ct

)

r t r r

ψ = + +

2.2.3.4 Interprétation

• Le premier terme représente une onde sphérique progressive divergente alors que le second terme représente une onde sphérique progressive convergente

• On trouve des ondes sphériques harmoniques. Elles s’écrivent alors :

( )

r t, Acos

(

kr t

)

ψ = r −ω

• Onde sphérique quasi-plane :

Lorsqu’un front d’onde sphérique se propage vers l’extérieur, son rayon augmente.

Assez loin de la source, le front d’onde ressemblera à une portion d’onde plane.

2.2.4 Notations complexes

• Pour faciliter les calculs, on utilise la notation complexe qui est parfaitement adaptée au formalisme mathématique des ondes.

• Soit une onde décrite par :

(

M t,

)

A M( ) cos

( ( )

M t

)

ψ = ϕ −ω

Où A(M) est l’amplitude ϕ(M) la phase au point M,

ω la pulsation liée à période T, et à la longueur d’onde λ =cT = 2πc/ω. La fonction φ(Μ,t) = ϕ(M) - ωt porte le nom de fonction de phase, ou phase lorsqu’aucune confusion n’est à craindre avec ϕ(M).

On utilise très souvent la notation complexe pour représenter une telle vibration en écrivant :

( )

ψ = ℜe ψ avec ψ

(

M t,

)

= A M( ) exp

(

i

(

ϕ

( )

M ωt

) )

(16)

• Exemple : cas de l’onde plane progressive harmonique :

( )

( )

( , )x t Aexp i kx t

ψ = −ω

Reportons cette expression dans l’équation d’onde de D’Alembert. Pour cela nous devons calculer les dérivées partielles alors :

( )

x t, ik

( )

x t,

x

ψ ψ

∂ =

∂ et 2

( )

2x t, k2

( )

x t,

x

ψ ψ

∂ = −

∂ Et

( )

x t, i

( )

x t,

t

ψ ωψ

∂ = −

∂ et 2

( )

2x t, 2

( )

x t,

t

ψ ω ψ

∂ = −

∂ On en déduit que k=ω/c.

• Cette représentation va nous accompagner tout au long de nos prochains chapitres sur l’étude des interférences des ondes lumineuses.

2.3 La nature de l’onde lumineuse

• C’est une onde électromagnétique qui se propage à la vitesse c sans support. La polarisation est donnée par la direction du champ électrique E.

o c = 299792456 m.s-1(3.108 m.s-1) o 7 fois le tour de la terre en 1s.

o Distance terre-soleil en ≈ 8 min

• L’équation d’onde est vérifiée à la fois pas le champ électrique E et le champ magnétique B. C’est une conséquence des équations de Maxwell qui régissent les lois de l’électromagnétisme.

• Les 4 équations de Maxwell :

0

0 0 0

0

divB divE

B E

rot E

rot B µ j µ

t t

ρ ε

ε

⎧ =

⎧ = ⎪

⎪ ⎪

⎨ = −∂ ⎨ ∂

⎪ ∂ ⎪ = +

⎩ ⎪⎩ ∂

JG JG

JG JG

JJJGJG

JJJGJG G

En combinant ces 4 équations on obtient :

2 2

2 2 2

2 2 2 2

0 0

1 1 1

et avec

E B

E B c

c t c t ε µ

∂ ∂

∇ = ∇ = =

∂ ∂

JG JG

JG JG

• Il est important de remarquer que les grandeurs transportées sont des grandeurs vectorielles. Cette notion est à l’origine de ce qu’on appelle la polarisation.

• Pour une onde lumineuse progressive monochromatique (équivalent d’harmonique pour la lumière),BJG G=k/ω∧JGE

et donc k, E, B forment un trièdre direct.

• Dans le cas simple qui va nous intéresser jusqu’au chapitre sur la polarisation, on sera dans le cadre d’une onde avec une polarisation rectiligne, c'est-à-dire que la direction du champ E est fixe dans le temps.

(17)

• Dans le cas général, la lumière est une superposition d’ondes avec diverses polarisations. Dans le cas de la superposition d’une trentaine d’ondes telle que la précédente, voilà ce qu’on devrait dessiner pour rendre compte de la polarisation de l’onde, c'est-à-dire l’évolution de l’extrémité du vecteur E, dans le temps et dans l’espace.

• Evidemment, la description d’une telle onde est beaucoup trop compliquée. On va s’intéresser dans toute la partie du cours sur les interférences au cas des ondes planes avec une polarisation rectiligne. On s’intéressera au chapitre 6 à l’étude de la polarisation et on verra comment modifier cette polarisation et la fixer.

(18)

3 Etude théorique des interférences à 2 ondes

• Introduction :

On dit qu’il y a interférences entre 2 ondes, lorsque l’intensité de l’onde résultant de la superposition de ces 2 ondes n’est pas la somme de leurs intensités. C’est un phénomène que l’on retrouve bien sur en optique mais encore pour les ondes sonores et les ondes mécaniques.

En ce qui concerne l’optique, historiquement le phénomène d’interférences a été résumé de façon spectaculaire par l’équation :

lumière + lumière = obscurité

C’est ce phénomène qui a mis en évidence l’aspect ondulatoire de la lumière.

• Plan du chapitre :

Modèle utilisé pour décrire les interférences Notion d’éclairement

Etude de la figure d’interférences à 2 ondes.

3.1 Modèle scalaire de la lumière et éclairement

3.1.1 Modèle scalaire de la lumière

• L’approximation scalaire consiste à dire que la propagation de la lumière dans un milieu homogène ou non homogène peut être décrite par une grandeur scalaire. Attention, cela n’implique pas que l’on renonce à s’intéresser aux propriétés vectorielles des ondes lumineuses, comme nous le verrons au chapitre 6 consacré à la polarisation. Ce modèle suppose seulement que les différentes composantes des champs sont indépendantes. Dans le cadre de l’étude des interférences, on va figer la polarisation de l’onde, et l’onde lumineuse sera donc décrite par une grandeur scalaire. Nous nous intéresserons uniquement à différents termes E(M,T) dans le même état de polarisation u.

• On écrira donc que : E(M,T) = E(M,t) u.

Dans le cas d’une source étendue, c'est-à-dire constituée de plusieurs points repérés par un indice (i), les amplitudes instantanées sont additives :

E(M,t)=ΣEi(M,T) 3.1.2 Notion d’éclairement

• L’optique s’appuie de façon essentielle sur l’expérience et sur ce que l’œil voit. Or, compte-tenu des fréquences élevées (1015 Hz), un détecteur d’ondes lumineuses ne peut être sensible qu’à une moyenne temporelle. Cependant un détecteur linéaire qui serait sensible à E M t( , ) serait totalement inefficace car cette valeur moyenne est nulle. On utilise donc en optique des détecteurs quadratiques, sensible à E M t2( , ) .

• Bien-sûr, un photodétecteur a un temps de réponse et ne fait pas la moyenne dans le temps entre moins l’infini et plus l’infini, mais pendant une durée τ. Pour avoir une échelle de temps comparable, on définit l’éclairement comme étant l’énergie moyenne reçue par unité d’aire et de temps. L’éclairement est proportionnel au carré de l’amplitude du champ électrique. Pour nous, l’éclairement E(M) sera :

(19)

( )

M =2 E M t2( , )

E

• Le facteur 2 arbitraire permet de simplifier l’expression de l’éclairement pour une onde plane progressive monochromatique. En effet, avec :

(

,

)

( ) cos

(

M

)

E M t =E M ω φt− , nous obtenons :

( )

2 2( ) 0Tcos2

(

M

)

M E M t dt

T ω φ

=

E

( )

2 2( ) 2( )

2 E M T

M E M

= T =

E

• Notation complexe :

A une onde lumineuse réelle de la formeE M t

(

,

)

=E M( ) cos

(

ω φtM

)

, on associe une onde complexe de la formeψ

(

M t,

)

=E M( ) exp

(

i

(

ω φt M

) )

.

On a l’égalité : E M t( , )= ℜe

(

ψ

(

M t,

) )

et on remarque que :

(

M t,

) (

M t,

)

E2

( )

M

( )

M

ψ ψ = =E

• Temps de réponse caractéristiques de quelques détecteurs.

o Thermopile : 2 à 5 s o Photorésistance : 0,02 s o Photodiode de 10 ps à 10 µs.

o Photomultiplicateur : de 25 ps à 1 ms

Cela reste beaucoup plus long que la durée d’un cycle optique, même pour les plus rapides d’entre eux et beaucoup plus long que les durées des impulsions lasers ultra-brèves dont le record est inférieur à la fs.

3.2 Critères minimales d’interférences

3.2.1 Hypothèses

Considérons deux sources ponctuelles S1 et S2, monochromatiques de pulsations respectives ω1 et ω2. Un point M reçoit les 2 ondes :

( )

1 1

( )

1 1 1 1 1 1

01

, cos S 2 S M cos M

E M t E ωt φ π E ωt φ

λ

⎛ ⎞

= ⎜ − − ⎟= −

⎝ ⎠

( )

2 2

( )

2 2 2 2 2 2

02

, cos S 2 S M cos M

E M t E ω t φ π E ω t φ

λ

⎛ ⎞

= ⎜ − − ⎟= −

⎝ ⎠

3.2.2 Calcul de la figure d’interférences : méthode algébrique S1

S2

M

(20)

• D’après le théorème de superposition, les amplitudes instantanées émises par plusieurs sources sont additives, donc l’amplitude reçue au point M vaut

(

,

)

1

(

,

)

2

(

,

)

E M t =E M t +E M t .

• Calculons l’éclairement E(M) correspondant :

( )

M =2 E M t2( , ) =2 E12

(

M t,

)

+E22

(

M t,

)

+2E M t E1

(

,

) (

2 M t,

)

E

( )

M = 1+ 2 +4 E1cos

(

ω1t−φ1M

)

E2cos

(

ω2t−φ2M

)

E E E .

E1 et E2 représentent réciproquement l’éclairement en M, si elles étaient l’unique source présente.

Le terme mixte mesure les corrélations entre les ondes. Lorsque le terme n’est pas identiquement nul, on dit que les deux ondes sont corrélées : l’éclairement résultant de la superposition n’est pas la somme des éclairements et on dit alors que les deux ondes sont cohérentes. Dans le cas contraire, on dit que les deux ondes sont décorrélées ou encore qu’elles sont incohérentes.

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

1cos 1 1M 2cos 2 2M 2 1 2 cos 1 2 1M 2M

E ωt−φ E ω t−φ = E E ω ω+ t− φ +φ

( ) ( )

( )

1 2 2 1 2 1

2E E cos ω ω t φ M φM

+ − − −

• La valeur moyenne de cos

(

Ω −t φ

)

est nulle sauf pour Ω = 0. Le premier terme est donc toujours nul, et le second n’est non nul que si les pulsations des deux ondes sont égales.

Ainsi 2 ondes qui interfèrent ont nécessairement la même longueur d’onde.

• On en déduit qu’en fonction des éclairements :

( )

M = 1+ 2 +2 1 2 cos

( )

φM

E E E E E

Avec le déphasage φΜ définit par :

( ) ( )

( )

2 1

2 1 2 1

0

2

M M M S S π S M S M

φ φ φ φ φ

= − = − + λ − .

Pour alléger l’écriture, on introduit la différence de marche en M, notée δΜ telle que :

(

2

) (

1

)

M S M S M

δ = −

( )

2 1

0

2 cos S S 2 M

M φ φ πδ

λ

⎛ ⎞

= + + ⎜ − + ⎟

⎝ ⎠

1 2 1 2

E E E E E

Concrètement, la différence de marche δΜ dépend du point M. On s’attend donc à observer un éclairement non uniforme. Pour caractériser les observations, on définit les franges d’interférences comme les surfaces d’égal éclairement.

3.2.3 Critères de cohérence

• D’après la formule précédente, on pourrait s’attendre en éclairant un écran (E) à obtenir des zones plus ou moins éclairés. En général, il n’en est rien. Si on éclaire un écran (E) à l’aide de sources cohérentes monochromatiques S1 et S2, on obtient un éclairement qui est la somme des éclairements obtenus séparément avec chacune des sources :

( )

M = 1

( )

M + 2

( )

M

E E E

Autrement dit, le terme d’interférence est nul si l’on ne prend pas de précaution particulière.

(21)

• Pour interpréter qualitativement ce fait, il faut affiner le modèle des sources ponctuelles monochromatiques. Une fonction sinusoïdale du temps n’a évidemment aucune existence réelle, du fait de son extension temporelle infinie : une onde réelle a nécessairement un début et une fin. Les sources lumineuses apparemment monochromatiques n’émettent pas continument, mais sous la forme de trains d’onde. A l’intérieur de chaque train d’ondes, l’onde est correctement représentée par une onde monochromatique, mais la phase à l’origine φS varie aléatoirement d’un train d’onde au suivant. La durée moyenne d’un train d’onde, ou la durée moyenne entre 2 trains d’ondes, durées que nous supposerons égales valent typiquement τ = 10-11 s, pour une lampe spectrale classique. τ est donc grande devant la période T = 10-14 s, des ondes lumineuses, mais petite par rapport au temps de réponse τD des détecteurs, durée elle-même faible devant le temps d’intégration θ, durée sur laquelle s’effectue la moyenne E M t2( , ) qui définit l’éclairement.

• Le calcul de l’éclairement tel que nous l’avons effectué au paragraphe précédent est valable tant que les valeurs moyennes sont calculées à l’échelle des trains d’ondes, durée pendant laquelle φS1 et φS2 sont constantes. Alors l’éclairement définie avec une moyenne temporelle d’indice τ, s’écrit :

( )

2 1

2

0

2 E M 2 cos S S 2 M

τ

φ φ πδ

λ

⎛ ⎞

+ + ⎜ − + ⎟

⎝ ⎠

1 2 1 2

E E E E

Pour accéder à l’éclairement il faut poursuivre l’opération de moyenne temporelle sur la durée θ >>τ.

( )

2

( )

2 1

0

2 2 cos S S 2 M

M E M

τ θ θ

φ φ πδ λ

⎛ ⎞

= = + + ⎜ − + ⎟

⎝ ⎠

1 2 1 2

E E E E E

A l’échelle de θ, le déphasage pour deux sources distinctes varient aléatoirement dans l’intervalle [0,2π] lorsqu’on change de train d’onde. Donc :

2 1

0

cos S S 2 M 0

θ

φ φ πδ λ

⎛ ⎞

− + =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Il y a décorrélation des deux ondes. Ainsi nous venons d’interpréter l’incohérence de deux sources ponctuelles distinctes.

• Pour obtenir des interférences, il faut que les ondes qui se superposent soient issues d’une même source ponctuelle monochromatique. Pour observer des interférences, il faudra utiliser des dispositifs d’interférences qui opèrent une division de l’onde.

3.2.4 Calcul de la figure d’interférences : utilisation des complexes.

(22)

Considérons, comme précédemment deux sources ponctuelles S1 et S2, monochromatiques de pulsations respectives ω. Supposons de plus que ces deux sources soient 2 sources secondaires issues de la même source primaire. C'est- à-dire que l’on soit dans une situation où l’on peut observer des interférences au point M.

Soient E1(M,t), l’onde issue de S1 au point M et E2(M,t), l’onde issue de S2 au point M :

( ) ( )

1 , 1cos 1M

E M t =E ω φt

( ) ( )

2 , 2cos 2M

E M t =E ω φt

On leur associe respectivement les ondes complexes ψ1

(

M t,

)

et ψ2

(

M t,

)

telles que :

( ) ( ( ) )

1 M t, E1exp i t 1M

ψ = ω φ−

( ) ( ( ) )

2 M t, E2exp i t 2M

ψ = ω φ−

Alors l’onde résultante de la superposition des deux ondes en M s’écrit :

(

M t,

)

1

(

M t,

)

2

(

M t,

)

E1exp

(

i

(

t 1M

) )

E2exp

(

i

(

t 2M

) )

ψ =ψ +ψ = ω φ− + ω φ−

Et on calcule l’éclairement par :

( )

M =ψ

(

M t,

) (

ψ M t,

)

E

On obtient :

( )

M =

(

ψ1

(

M t,

)

+ψ2

(

M t,

) ) (

ψ1

(

M t,

)

+ψ2

(

M t,

) )

E

( )

M =

(

E1exp

(

i

(

ω φt 1M

) )

+E2exp

(

i

(

ω φt 2M

) ) ) (

E1exp

(

i

(

ω φt 1M

) )

+E2exp

(

i

(

ω φt 2M

) ) )

E

( )

M =

(

E E1 1+E E2 2+E E1 2

(

exp

(

i

(

φ2M φ1M

) )

+exp

(

i

(

φ1M φ2M

) ) ) )

E

( )

M = 1+ 2+2 1 2 cos

(

φ2M φ1M

)

E E E E E

On retrouve ainsi quelques secondes le résultat obtenu en réalisant le calcul algébrique.

3.3 Observation de la figure d’interférences à 2 ondes

3.3.1 Position du problème

• Considérons, comme précédemment deux sources ponctuelles S1 et S2, monochromatiques de même pulsation.

Supposons de plus que ces deux sources soient 2 sources secondaires issues de la même source primaire. C'est-à-dire que l’on soit dans une situation où l’on peut observer des interférences au point M. On considère de plus que les deux sources ont la même intensité et φS2 −φS1 =0

On a alors : E1

( )

M =E2

( )

M =E S1

S2

M

S1

S2

M

(23)

( ) (

2 1

)

2 1

0 0

2 2

2 2 cos M M 2 1 cos r r

M φ φ π π

λ λ

= + = +

E E E E , ou encore

( )

M =2

(

1 cos+

(

k r

(

2r1

) ) )

E E

• Conséquences immédiates :

o Lorsque k(r2-r1)=π [2π], cos ( - )

(

k r2 r1

)

= −1et donc E

( )

M =0.

On retrouve le fait que « lumière + lumière = obscurité ».

On dit que les 2 ondes interfèrent destructivement.

o Lorsque k(r2-r1)=0 [2π], cos ( - )

(

k r2 r1

)

= +1et donc E

( )

M =4E .

On observe donc également des zones de surintensité.

o La variation de l’amplitude ne dépend que de la distance (r2-r1). On en déduit que les zones d’égale intensité sont des hyperboloïdes de foyers S1 et S2.

• On va étudier deux cas limites : l’un dans un plan parallèle à la droite des sources, l’autre dans un plan perpendiculaire à la droite des sources.

• En toute rigueur : E M t1

(

,

)

=E0/ cosr1

(

ω φt1M

)

etE2

(

M t,

)

=E0/ cosr2

(

ω φt2M

)

. MaisE0/r1E0/r2. C’est ce qui nous a permis la simplification des calculs.

3.3.2 Observation transversale

• Dans un plan P, parallèle à S1S2, les franges sont des sections d’hyperboloïdes qui sont pratiquement des droites si r1 est voisin de r2 et que r1S S1 2.

• Evaluons (r2-r1) en fonction des coordonnées x, y, du plan P, situé à une distance D de S1S2, avec a la distance entre S1 et S2. Da.

• De plusD x D y . Alors la différence de chemin optique δ21=

(

S M2

) (

S M1

)

se calcule facilement. En effet :

(24)

( )

2 2 2 1/ 2

( )

2 2 1/ 2

1 2

/ 2 1 x a/ 2 y

S M x a y D D

D

⎡ − + ⎤

⎡ ⎤

=⎣ − + + ⎦ = ⎢⎢⎣ + ⎥⎥⎦

( )

2 2 2 1/ 2

( )

2 2 1/ 2

2 2

/ 2 1 x a/ 2 y

S M x a y D D

D

⎡ + + ⎤

⎡ ⎤

=⎣ + + + ⎦ = ⎢⎢⎣ + ⎥⎥⎦ Soit en tenant compte des ordres de grandeurs indiqués :

( )

2 2

( )

2 2

1 2

/ 2 / 2

1 2 2

x a y x a y

S M D D

D D

⎡ − + ⎤ − +

= ⎢ + ⎥= +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )

2 2

( )

2 2

2 2

/ 2 / 2

1 2 2

x a y x a y

S M D D

D D

⎡ + + ⎤ + +

= ⎢ + ⎥= +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Et donc :

( ) (

2

)

2

21

/ 2 / 2

2

x a x a ax

D D

δ = + − − =

Dans le plan (P), l’éclairement est donnée par :

( )

2 1 cos 2 1 2cos2 1 4 cos2

2 2

kax kax kax

M D D D

= + = + − =

E E E E

• La différence de chemin optique ne dépend que de x à ce degré d’approximation. On obtient donc des franges d’interférences rectilignes, parallèles à (Oy), c'est-à-dire perpendiculaire à S1S2.

3.3.3 Observation longitudinale

• Dans un plan (Q), perpendiculaire à la droite des sources, les franges sont des sections circulaires d’hyperboloïdes. Pour trouver l’expression de l’intensité au point M dans ce plan, calculons r1 et r2 en fonction de la variable ρ.

• Dans les conditions d’observation, on aura Dρ et Da

( ) ( )

( )

2 1/ 2 2 2 1/ 2

1 / 2 / 2 1 2

r D a D a / 2

D a

ρ ρ

⎡ ⎤

=⎣ − + ⎦ = − ⎢⎢⎣ + − ⎥⎥⎦

( ) ( )

( )

2 1/ 2 2 2 1/ 2

2 / 2 / 2 1 2

r D a D a / 2

D a

ρ ρ

⎡ ⎤

=⎣ + + ⎦ = + ⎢⎢⎣ + + ⎥⎥⎦ En tenant compte des ordres de grandeur :

( )

2

1 / 2

2 / 2

r D a

D a

= − + ρ

( )

2

2 / 2

2 / 2

r D a

D a

= + + ρ + On en déduit que :

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2 1 2 2

2 / 2 / 2

2 / 2 2 / 2 4 / 4

a a

r r a a

D a D a D a

ρ ρ ρ +

− = + − = −

+ − −

En simplifiant le dénominateur :

(25)

2

2 1 1 2

r r a 2

D ρ

⎛ ⎞

− = ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

Il en résulte que :

( )

2 1 cos 1 22

M ka 2

D

ρ

= +

E E

• La différence de marche ne dépend que de la distance à la droite (S1S2). Les franges d’interférences sont donc des anneaux.

1 TD avec interférences à trois sources

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