Ondes sphériques transversales solides polarisées rectilignement

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Ondes sphériques transversales solides polarisées

rectilignement

A. Foix

To cite this version:

ONDES

_SPHÉRIQUES

TRANSVERSALES SOLIDES

POLARISÉES

RECTILIGNEMENT

Par A. FOIX.

Sommaire. 2014 Dans le

cas où ces ondes sont divergentes, leur _{équation permet} de voir très simplement

comment l’électromagnétisme et _{l’optique physique peuvent} bien se _rapporter à des _phénomènes de même nature.

Il y a une différence entre ces ondes solides et ce _qu’on appelle ondes _sphériques naturelles. L’équation de ces ondes solides divergentes doit être celle des ondes élémentaires dans _{l’application} du _{principe d’Huygens-Fresnel,} ce _{qui permet,} dès lors, d’étudier _{théoriquement} la diffraction en un

point aussi _près ou _{aussi loin que l’on veut de} l’onde, c’est-à-dire de l’écran, sans être en désaccord

avec la théorie _{électromagnétique} de la lumière. On démontre

_qu’il

existe des ondes solides

sphé-riques

transversales dans

_lesquelles

toute surface

sphérique

solide

_ayant

_l’origine

_pour centre oscille

sans déformation

₍₁₎

autour d’un même axe _{OZ que} nous

_appellerons

axe de

_{polarisation. (Il s’agit}

d’ondes infiniment

_petites.)

On

_peut

_{dire que de} telles ondes sont

_{polarisées rectilignement.}

Nous étudions ici leur

_propagation,

nos coordonnées sont les coordonnées

_{géographiques,}

l’axe de

_polarisation

rappelant

l’axe du monde.

Ceci

_posé,

u

_désignant

le

_déplacement

en un

_point

d’une

_sphère

d’onde,

nous avons

trouvé,

à

_partir

des lois de

l’élasticité,

t étant le

_temps,

r _{le rayon de} la

_sphère

d’onde

et E la colatitude d’un

_point

de cette dernière

_(2),

@

tandis que cp

et ~

sont des fonctions arbitraires

respectivement

de V t - _r et de V t + _r et que

9’

et

_~’

sont leurs _{dérivées par}

_rapport

aux mêmes

binômes. Enfin V est la vitesse de

_propagation

des ondes.

_Évidemment,

le

_déplacement

est

_tangent

au

_parallèle

de son

_{point d’application {3).}

D’ailleurs,

la formule

₍₁₎

satisfaisant aux

équa-tions de la

_propagation

des ondes

électromagné-tiques

(1) Comme cela se produit pour les ondes planes.

(2 ) Autrement _dit, s est l’angle que fait le rayon, qui passe par ce _point de l’onde, avec l’axe de polarisation.

(3) Il suffit de le démontrer pour un _point de _{l’équateur,}

puisque chaque sphère d’onde tourne d’un seul bloc et que, par suite, uf. =

,équateur sin 8.

La déformation se réduit à un cisaillement (c’est-à-dire

div. u = _o), car il _s’agit d’onde de _rotation; le _glissement est

à _{l’équateur}

Les surfaces d’onde sont donc soumises à un effort

tangen-tiel F = p.. G, y étant le module de cisaillement; le mouvement d’un élément de volume de densité p, compris entre deux

sphères d’onde infiniment voisines, conduit alors à une

équation différentielle d’où l’on déduit _{l’expression} à laquelle

u

_peut

aussi bien être l’un des deux vecteurs

carac-térisant ces ondes.

_Enfin,

u devant

_toujours

être

fini,

et même _{nul pour} r =

o, il faut que les

fonc-tisons ?

et

_{- ~1)}

arbitraires soient les

mêmes,

d’où

₍₄₎

exprimant

alors la transformation d’une onde

conver-gente

en onde

_{divergente après}

_{passage par} le

_foyer.

S’il ne

_s’agit

_que d’ondes

_{divergentes produites}

par

exemple

par une source

_placée

au centre, on a

simplement

r - 1 - - -,1

Enfin,

s’il

_s’agit

d’ondes à vibrations

harmo-niques,

on a

/ ~ - 1

~. étant la

longueur

d’onde,

tandis que a

et y

sont des constantes. De sorte _{que les formules}

₍₃₎

et

₍₄₎

deviennent

se réduit _{(1) pour} un _point de _{l’équateur.} Je fis cette théorie

en _{1896, ignorant} celle de KIRSCHOFF (Itlathematische Opitk,

I 8g I , p. 15). Le raisonnement que nous venons de résumer est calqué sur celui que nous avions fait déjà en ₁₈₉₀ pour établir l’équation des ondes dans un fluide _parfait, inexactement présentée dans un cours _{d’acoustique.} De là l’identité de l’équation de propagation des ondes _sphériques sonores et

de celle de _Ucqjatenr.

(4) En développant, dans cette expression,

j ( F"t - r ), et _cp’(Vt+r)

par la série de Taylor suivant les puissances de r, on a 1

--u s’annule donc pour r = o.

312

la formule

_{(5) représentant}

un

_système

d’ondes

sta-tionnaires.

Passage

d’une onde

_sphérique

_par le

_foyer.

-Considérons,

sur un même

_{trajet rectiligne}

AOB,

A et B étant de

_part

et d’autre du

_foyer

0.

~

/X

_Fig. 1.

10 Une onde

_convergente

_harmonique

se

propa-geant

de A en

_0,

et d’abord en A à une distance r

du _centre, très

_grande

vis-à-vis de la

_longueur

d’onde. On a

_alors,

_{d’après (5),}

en

_négligeant

le

terme en

1-

1

20 L’onde

divergente

se

_propageant

de 0 en B

qui

succède à l’onde

_convergente

_{précédente. Lorsque}

cette onde

_divergente

arrive en B à une distance r’

également

très

_grande

vis-à-vis de

~,

nous avons,

pour cette

onde,

Comparons

les

_phases

de ces deux ondes à celle

d’une onde

_plane

allant de A en B. Les

_points

A

et B étant de

_part

et d’autre de

_0,

les sens

_positifs

de u, et de u,; sont

_{opposés, puisqu’ils}

doivent

correspondre

à un même sens de rotation. Il en

résulte que pour faire la

comparaison précédente

il

faut,

dans

_{(5~), changer ui}

en -

u,;. Le _passage par

le

_foyer

est donc

_accompagné

d’un

_changement

de

signe,

c’est-à-dire pour une vibration

_harmonique,

d’une avance de marche d’une

_{demi-longueur}

d’onde.

On arrive donc au même résultat _que celui de

_Gouy

dont les formules se déduisent des nôtres en _y

faisant sin s =

i, mais

qui,

de ce

_fait,

ne satisfont

pas à la condition

(2)

de

_divergence

nulle.

_Gouy

a retrouvé

_{expérimentalement}

cette avance de marche

_(5),

vérifiant ainsi les formules

₍₃₎

et

_(5).

Voici d’autre

_part

une vérification

_{particulière}

de

la f ormule

_{(6) :}

.

Appliquons

cette formule à des ôndes

électro-magnétiques

très

_près

du centre de

_façon

_que

soit

négligeable,

nous retrouvons les formules de l’état

stationnaire;

celle de

_Laplace

ou celle du

_potentiel

vecteur _{suivant que la} source est un élément de

courant

ou un aimant élémentaire de moment

parallèles

à l’axe de

_{polarisation.}

On arrive au

même _{résultat pour} une distance

_quelconque

en

supposant

que dans la formule

(6)

la

fréquence

devient de

_plus

en

_{plus petite.}

Appliquée

aux ondes lumineuses _où, au

_contraire,

A

est

_{négligeable,}

la formule

₍₆₎

donne

.

l’

Dans cette formule

₍₇₎

est inscrite la loi

photo-métrique.

Mais sin e

_paraît

en contradiction avec ce

fait que, dans les ondes

_sphériques

lumineuses

natu-relles,

l’intensité est constante sur une même

_sphère

d’onde. C’est

_{l’objection}

_{que m’avait faite H.} Poin-caré il y a

_plus

de

_quarante

ans

_(6).

Elle est

illusoire,

car cette

_propriété

de la lumière

(5) Il est vrai avec de la lumière naturelle considérée actuel-lement comme de la lumière _polarisée dont l’état de

polari-sation _change constamment. De sorte _{que sin} e doit être remplacé dans _(5’) et _{(5 ")} par la moyenne quadratique de sin e quand l’axe de _{polarisation prend} toutes les _positions dans l’espace, c’est-à-dire par

3 ~

Ce qui justifie dans une certaine

mesure les _{expressions adoptées} par Gouy. En fait, ce _qu’on

appelle communément lumière naturelle ne constitue pas véritablement des ondes, mais un effet moyen d’une

succes-sion de trains d’ondes différemment _polarisées. C’est ce _que ne remarque pas Gouy. En traitant ces ondes naturelles

comme de véritables ondes sur _lesquelles l’intensité serait

constante, il est en contradiction avec la théorie électroma-gnétique de la lumière : L’intensité à la surface d’une onde

sphérique à vibrations _rectilignes transversales ne _peut pas être constante en tous les points de cette onde.

.

(6) J’avais _communiqué mes calculs à H. Poincaré en

’

naturelle est un effet moyen, l’état de

_polarisation

changeant

constamment

_(Cf.

_{note p.}

_3I2).

D’ailleurs,

la

_{proportionnalité}

de l’intensité à sin2 £ z _{se retrouve}

dans certaines

_propriétés

des ondes

_divergentes

lumi-neuses que l’on

peut produire

par

ré f raction

à travers

une lentille,.

Voici,

par

exemple,

le cas d’une onde

plane polarisée rectilignement

tombant normalement

sur la surface

_plane

d’une lentille

_{plan-concave.}

Nous montrons d’abord _{que la} direction de la

Ui bration

_électrique

à la

_surface

d’une onde

_plane

ré f ractée

est I’ intersection du

_plan

de cette onde et du

plan

de vibrations

_{relati f}

à l’onde incidente

corres-pondante.

En

effet,

_d’après

la théorie de la réfraction vitreuse le

_rapport

de

_{l’amplitude}

de la vibration réfractée

à celle de la vibration incidente est :

10 Dans le cas de vibrations

_{perpendiculaires}

au

plan

d’incidence et _pour un _rayon

_passant

du verre

dans l’air

ietr étantles

_angles

d’incidence et de

_{réfraction, r}

> i.

20 Dans le cas de vibrations

_parallèles

au

_plan

d’incidence

On en déduit

Soient maintenant

_{x 0 y}

_{e t x 0 y’}

les

_plans

de l’ onde incidente et de l’onde

réfractée,

_{y0y’ le plan}

d’inci-dence

_(Ox

est

_{perpendiculaire}

à ce

_plan).

Soit enfin Oz la direction de

_propagation

de l’onde incidente, OV étant la vibration incidente de z0 V le

_plan

de vibration incident.

Décomposons

la vibration OV en deux

_autres,

OA

_{perpendiculaire}

au

_plan

d’incidence et OB dans

ce

_plan.

Considérons de même les _deux compo-santes OA’ et OB’ suivant Ox et

_Oy’

de la vibration réfractée

OV’,

nous avons,

_d’après

les formules

précédentes,

Projetons

le

_rectangle

A’V’B’ O sur le

_plan

de

l’onde incidente

_x0y,

on obtient

_A’V1B10.

Les

_composantes

de

_OV,

sont

alors,

d’une

_part,

et, d’autre

_part,

la

_projection

de OB’ sur

_Og,

soit

OV,

est donc dans la direction de OV. Par

consé-quent

OV’ est à l’intersection du

_plan

de l’onde

réfractée et du

_plan

de vibration incident

_qui

est ici le

_plan

_prajefant.

-X _{Fig. 2.}

Calculons encore

OV’,

on a

y étant

l’angle

xOV. On en déduit

Ceci

_posé,

nous _{remarquons que l’onde}

incidente,

sur la face courbe de la

lentille,

onde

_{qui provient}

déjà

d’une

_première

réfraction sur la face

_plane

de

cette

lentille,

est

_plane

et

_{rectilignement polarisée}

comme l’ onde

_primitive,

et

_{que l’intensité}

lumineuse est

simplement

réduite dans le

_rapport

de n2 à

_(n

+

_{1 )2,}

n étant l’indice du verre. En

_chaque

_point

de la surface courbe de la

lentille,

la direction de la vibration réfractée

_émergente

est l’intersection du

plan tangent

à la

_sphère

d’onde réfractée et du

_plan

de vibration incident. Celui-ci

_ayant

une direction

fixe,

l’onde réfractée est

_polarisée

selon notre défi-nition

_{parallèlement}

à un

_plan

fixe.

Soit

_cPy

le

_plan

de l’onde incidente

_passant

_par le

point

M d’incidence sur la face courbe de la

_lentille,

PF l’axe

_principal,

F le

_foyer

_{principal (1).}

Le

_point

M étant commun à l’onde

_plane

inci-dente et à l’onde

_sphérique

réfractée

_émergente,

FM

_prolongée

est _{le rayon} réfracté

_{correspondant}

et MPF est le

_plan

d’incidence,

le rayon

incident,

non

figuré,

étant

_parallèle

à PF.

_Supposons

_que

(7) Plus exactement F est le _point de rencontre du rayon

réfracté émergeant avec l’axe _{principal, point qui} est toujours

le même lorsque i et r sont constants : remarque qui aura

314

sur l’onde incidente les vibrations soient

_parallèles

à

_Px,

xPF sera le

_plan

équateur.

Dans le

plan

de

l’onde,

menons

_Pr~

per-pendiculaire

à

Px,

Py

sera

_parallèle

à l’axe de

polarisation,

et

_l’angle

MPy

est

_égal

à

_l’angle

y

de la

_{figure précédente.}

En effet,

MP,

intersection de l’onde

_plane

incidente et du

_plan

d’incidence

MPF,

fait avec la

vibra-tion incidente

_l’angle

= _go°- y car,

_d’après

la

_figure

pré-cédente,

la vibration

inci-dente OV fait l’angle y Fig. 3.

J

avec la normale

0~ au

plan

d’incidence,

ou

l’angle

avec le

plan

d’incidence,

c’est

_{précisément l’angle}

MPx de la

figure

3. ,

Enfin,

menons Mm

_{perpendiculaire à}

Px,

l’angle

MFm = 0 est

l’angle

du rayon réfracté et de

l’équa-teur, c’est la latitude du

_point

M sur la

_sphère

d’onde

_polarisée

_émergente;

on a

donc,

2

Tout ceci étant

établi,

_appliquons

la formule

_(8),

qui

nous donne

_{OV’ ~,}

c’est-à-dire une

_quantité

pro-portionnelle

à l’intensité lumineuse sur l’onde

sphé-rique émergente,

on a

Mais le trièdre FMPm

_rectangle

suivant le dièdre d’arête

Fm,

projection

de MF sur

_{l’équateur}

_xPF,

nous

_donne,

en

_remarquant

_que

_l’angle

MFP = _r-

i,

que

l’angle

dièdre d’arête PF est

égal

à ~ 2013 y,

et

_qu’enfin,

dans ce

_trièdre,

les sinus des

angles

des

faces sont

_{proportionnels}

aux sinus des

angles

dièdres

_opposés

et, en

_remarquant

_que OV2 est _{constant et que,}

pour tous les

points

tels.

que M

qui

sont à

l’inter-section de la face courbe de la lentille et de l’onde

plane

Pxy,

on a i = const., _r = const., et

qu’ainsi

le facteur

_{multiplicateur}

de sin2 1 -- _{est constant,}

qu’enfin

ces

_différents

_points

sont bien sur une même

onde

_{sphérique ,}

on voit que l’intensité est bien de

l’un à l’autre

_{proportionnelle}

à sin2 E

_(8).

L’objection

de H. _{Poincaré n’est donc pas}

valable

_(9).

En

résumé,

ce facteur _{sin s que} l’on retrouve aussi

bien en

Électromagnétisme

_qu’en

_Optique,

sert de

trait d’union entre ces deux sortes de

_phénomènes

et révèle un même mécanisme de

_propagation

défini

par la formule

(6 ) .

Ce facteur sin E ne

_{dépen d}

_pas

de la

_{fréquence qui,}

_pour les

_phénomènes

électro-magnétiques,

est nulle ou relativement

faible,

tandis

que celle de la lumière est

toujours

très élevée. La formule

_(6),

_par son second facteur

_qui,

au

contraire,

dépend

essentiellement de la

_fréquence,

nous fait

comprendre l’effet

de variation de

celle-ci,

de cette

métamorphose,

peut-on

dire

_qu’est

le _passage de

l’électromagnétisme

à la lumière.

Le doublet de Hertz

produit

également,

comme on

_sait,

une onde

_{représentée}

_par

_{l’expression}

_(6).

(8) Nous insistons sur ce _{fait que les} points en _question

sont sur une même onde _{rigoureusement sphérique.} Pour des points correspondant à des incidences différentes, on trouve que l’intensité varie encore de l’un à l’autre à peu près

comme _{sin2 s,} l’erreur étant déjà de 5/Iooe quand l’angle d’incidence atteint cela _{pourrait-on croire parce que,} pour ces points, l’onde n’est pas rigoureusement sphérique.

Mais, même dans le cas où la lentille est _supposée avoir un

foyer principal rigoureux, les choses se _compliquent. La

vibration, en un _point de la surface des ondes sphériques rigoureuses est, en admettant la loi _{photométrique :}

R _{étant le rayon de l’onde} et p la longueur du rayon

lumi-neux du _{point correspondant, depuis} son _émergence sur la

surface courbe de la lentille _{jusqu’au foyer,} tandis que i et r

sont toujours les _angles d’incidence et de réfraction de ce

rayon sur cette face courbe. La condition de _stigmatisme de la lentille donne

., .

f étant la distance focale _principale et n l’indice du verre.

Dès lors, u n’est proportionnel à sin s _{que pour} i constant. Pour i _{variable, l’expression} de la vibration relève de solutions sphériques plus générales. (Cf. BORN, Optik, et Handbuch der physik). Dans tous les cas nous _{voyons bien que}

l’inten-sité à la surface des ondes sphériques polarisées n’a pas l’uniformité que lui supposait H. Poincaré.

(9) Nous avons voulu voir ce _{que dit H. Poincaré} au _sujet

des ondes sphériques dans son traité sur la théorie mathé-matique de la lumière : _lorsqu’il arrive (2, p. 101) à _{l’équation} de Hertz, qui est précisément l’équation (6) de ce texte,

Poincaré formule encore la même _{objection que celle qu’il} m’adressait _cinq ans plus tard _{quand je} lui faisais _part de

mon travail : « La distribution très _{particulière que} vous

supposez est évidemment _possible, mais ce n’est pas celle qui est réalisée dans les ondes _sphériques lumineuses

natu-relles, car l’intensité _{n’y est pas uniforme,} elle est propor-tionnelle au carré de la distance à l’axe de rotation. » L’erreur

Le

_principe

_d’Huygens

et les ondes

_sphériques

solides. ^- On

peut

montrer que la formule

_(4),

équation

de

_propagation

des ondes

_sphériques

_solides,

peut

être utilisée dans

_{l’application}

du

_principe

d’Huygens

à une onde

_plane

à

_polarisation

recti-ligne,

et conduit

_{rigoureusement}

aux lois de

propa-gation

de cette onde

_plane.

Autrement

dit,

si la vibration sur l’onde

_plane

est

_F(Vt),

on trouve

_qu’en

un

_point

à la distance 1 due

l’onde,

la vibration résul-tante

_envoyée

par l’ensemble des ondes élémentaires

est

_F(Vt-I)

_{rigoureusement,}

_F(Vt)

étant arbitraire et 1 aussi

_grand

ou aussi

_petit

_que l’on veut.

Voici cette démonstration :

Soit A le

_plan

de l’onde sur

_laquelle

la vibration est

supposée parallèle

à l’axe OX des coordonnées

rectangulaires

OX,

OY situées dans ce

_plan.

Les ondes

se

_propageant

dans le sens de la normale OP au

plan

A,

la vibration U’ en un

point

P tel que OP= 1

est

_dirigée

suivant

_PX1

_parallèle

à OX.

Soit du un élément infiniment

_petit

de A

_ayant

le

_point

_{M pour} sommet. Par raison de

_symétrie,

l’onde

_sphérique

élémentaire,

émise par cet

élément,

doit avoir un

_{équateur parallèle}

au

_plan

POX. Son axe de

_polarisation

Mm est donc

_{perpendiculaire}

à

_OX,

et la latitude 0 2 _pour la vibration use relative à cette onde élémentaire

_qui

arrive en P

est mPM. Cette vibration uo doit d’ailleurs être

proportionnelle

à da

et,

par

suite,

d’après

(4),

de la forme

L 1

r étant la distance PM

_{et y}

_(Vt

-

r)

une certaine fonction à déterminer de

_façon

_que la vibration résultante soit

_{F (Vi - 1). Ajoutons}

_{enfin que} uo

qui

est dans le

_plan

POX,

doit être

_{perpendiculaire}

à mP et doit faire un

_{angle aigu,}

fi,

avec

_PXI.

La résultante des vibrations élémentaires telles

que ue, dues à tous les éléments du

_plan

A,

est, par raison de

symétrie, dirigée

suivant

PXI.

Pour avoir sa valeur il suffit donc de faire la somme des

proj ections

- , - , . Il...,...--..

relatives à tous les éléments du du

_plan

A. Mais le

trièdre

_rectangle

POmM nous

donne, 8

étant

l’angle

OPM,

cos§==cos6cosb

d’où

- -- 1 l-,

Représentons chaque point

M du

_plan

_par ses

coordonnées

_polaires,

_{p=== OM} et w = XOM. Il vient

puisque

1>2 ~

_p2

-1- l~~ _et

_{que 1}

_{est constant.}

X,

1 °

Fig. G..

D’autre

_part,

il vient donc

Il

On en

déduit,

_{pour la}

résultante,

y -

r)

étant

_toujours

finie

_(c’est

ordinairement une

fonction

_périodique,

dans tous les cas c’est une fonc-tion définie pour un intervalle fini de la

_variable),

on a

et, par

suite,

, -1 1 -._ 1 ‘..

- 1

-L

0 Pour que

U 1=

U’,

il faut que l’on ait

>

ainsi que l’admettait Fresnel. La vérification de la

pro-pagation

des ondes

_planes

est donc

_{rigoureuse (1°).}

(1°) Dans _{l’application} du _{principe d’Huygens,} on sait que pour obtenir les lois exactes de la propagation, il faut attri-buer aux ondes élémentaires une _phase avancée

_{de 2}

sur

-celle de l’onde _origine. C’est cette difficulté _qui a conduit

Gouy à découvrir l’avance de marche au _foyer. Notre équa-ion _{(6), que} donne _{(4) lorsqu’il s’agit} d’ondes harmoniques,

en fournit une _{explication théorique puisque,}

pour r

très

grand, elle se réduit à

On voit qu’en employant la formule _(4), il _n’y a _pas à

introduire un _changement de _{phase inexplicable;} il _n’y a pas

non _plus de restriction à f aire sur la distance à laquelle se

316

On

_peut

_{dire que} le calcul

_précédent

démontre le

principe

de

_{Huygens-Fresnel}

_pour le cas des ondes

planes

sans aucune resfricfion

_quant

à la distance à

laquelle

on

_{l’apptique,}

et tel _que l’a formulé Fresnel. Il est d’ailleurs facile de

_{généraliser}

cette

démons-tration du

_principe

_{d’Huygens-Fresnel}

pour une

surface

_{quelconque :}

il suffit de

_compléter

celle

_qu’en

donne H. Poincaré

₍₁₁₎

en

_prenant

le rotationnel

sous les

_signes

du

résultat

_auquel

il

arrive,

le

champ

des

_{intégrales qui}

_y

_figurent

étant invariable

dans

_chaque

cas. Le

_principe

devient aussitôt évident

quel

que soit l’ordre de

grandeur

de~:’

Récipro-quement,

si l’on admet ledit

_principe,

on a là un contrôle de la formule

_(4).

Analogie

avec les ondes

_{électromagnétiques.}

- On sait

que, dans les ondes

électromagnétiques,

il y a à la fois

_propagation

d’un vecteur

_magnétique

et d’un vecteur

_électrique

_{induit par le}

_premier

ou

réciproquement.

Nous avons vu _que l’un ou l’autre

de ces deux

_champs,

suivant la nature de la source

radiante,

est _{donné par la formule}

₍₆₎

et nous avons

désigné

ce

_champ

_par u. L’autre

_champ

consécutif U

est

_tangent

au méridien

_{correspondant}

lorsque

est

négligeable.

Son

_expression

se déduit de celle de u

par un calcul

_classique.

On obtient ainsi

K étant la constante

_{diélectrique,}

et en faisant dans la formule

₍₆₎

y = 2

pour

simplifier.

En

appliquant

2

cette dernière

_expression

à la diffusion de la

lumière,

(li) La démonstration de H. Poincaré se _rapporte à un

vecteur _divergent -

qu’il appelle potentiel lumineux -,

au lieu de se _rapporter au vecteur lumineux de _divergence nulle _qui en est le rotationnel _{(Théorie mathématique} de la

Iumière, 2, Chap. VII, § 98, p. 141 et suiv.).

on trouve, par un calcul

_classique

encore, la formule

bien connue de Lord

_Rayleigh.

Conclusions. - La formule

(1)

n’est évidemment

qu’une

solution

_{particulière}

des

_équations

diffé-rentielles

₍₂₎

de la

_propagation

des ondes

électro-magnétiques ;

elle en est même la solution

_sphérique

la

_{plus simple.}

Cette formule

₍₁₎

définit à la surface des ondes

_sphériques

la distribution de

_{l’énergie qui}

se

_rapproche

le

_plus

_possible

de celle des ondes

planes.

Comme pour ces dernières

_chaque

surface d’onde

_glisse

en

_quelque

sorte sur la voisine si l’on

assimile le vecteur

_électrique

ou le vecteur

magné-tique

suivant le cas, à un

_déplacement

vibratoire.

Cette formule

_exprime

la

_propagation

des ondes

sphériques

polarisées rectilignement

toutes les fois que celle-ci n’est pas

gênée,

soit par des

réflexions,

soit par des

réfractions,

soit encore _{par des}

diffrac-tions,

auquel

cas il faut faire

_appel

à des solutions

plus générales,

mais aussi

_plus

_{compliquées,}

des dites

équations

différentielles. Nous avons d’ailleurs vu

que cette

formule,

ou celles

₍₄₎

et

_{(6) qui}

en

_dérivent,

peut

être utilisée dans

_{l’application}

du

_principe

de

Huygens-Fresnel qui

permet

parfois,

comme en

diffraction,

d’éviter les dites solutions

_générales

si

compliquées.

Enfin,

fait

capital

à notre

avis,

les

formules (4) et (6)

expliquent

« merveilleusement » cet

effet

de la variation de

_fréquence,

cette

_{métamorphose}

qu’est

le passage de

l’électromagnétisme

à

_l’optique

physique :

elles en _sont, en

_quelque

sorte, le trait d’union. Le facteur sin 2

_indépendant

de la

_fréquence

que l’on retrouve dans les lois élémentaires de ces

deux

_parties

si différentes de la

_physique

montre bien

qu’il s’agit

toujours

de la même chose.

L’importance,

la nécessité de la considération de

ces ondes solides

_s’impose

donc : faute d’en tenir

compte

la théorie

_classique

de la

_diffraction

est en

désaccord avec la théorie

_{électromagnétique}

de la

lumière.