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Submitted on 1 Jan 1932
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Application du principe d’Huyghens au calcul de réflecteurs pour ondes ultracourtes
René Darbord
To cite this version:
René Darbord. Application du principe d’Huyghens au calcul de réflecteurs pour ondes ultracourtes.
J. Phys. Radium, 1932, 3 (3), pp.105-115. �10.1051/jphysrad:0193200303010500�. �jpa-00233086�
I.E JOURNAL DE
PHYSIQUE
ET
. LE RADIUM
APPLICATION DU PRINCIPE D’HUYGHENS AU CALCUL DE RÉFLECTEURS
POUR ONDES ULTRACOURTES
Par RENÉ DARBORD.
Sommaire. 2014 La combinaison de la forme générale du principe d’Huyghens et du prin- cipe de la conservation de l’énergie permet de résoudre le problème suivant :
Etant donnée une onde électromagnétique tombant obliquement sur un écran réflé- chissant, quel est le champ électromagnétique diffracté à distance par un élément de cet écran, dans la direction correspondant à la réflexion suivant les lois de l’optique géomé- trique ?
La loi élémentaire que l’on obtient permet de calculer l’efficacité de réflecteurs para-
boliques pour ondes ultracourtes.
SÉRIE VII. TOME III. MARS 1932. N° 3.
Introduction. - Le 31 mars i931, les Laboratoires du Matériel Téléphonique ont présenté officiellement une liaison téléphonique entre Calais et Douvres, réalisée avec des ondes entretenues de 18 cm de longueur d’onde (1). Ces ondes étaient produites à l’aide
d’une variante du procédé de Barkhausen et Kurtz (’). Les antennes émettrices (et récep- trices) étaient des doublets de 2 cm de long.
La puissance rayonnée est faible, de l’ordre du quart de watt. On a donc concentré les ondes en plaçant les doublets au foyer de réflecteurs paraboliques de révolution. Le diamètre de ces réflecteurs est égal à 3 mètres, c’est-à-dire à 16 fois la longueur d’onde; le phéno-
mène de diffraction joue donc un rôle fondamental.
Le but de cet article est de montrer comment l’efficacité des projecteurs paraboliques a
été calculée. On a tenu compte de la diffraction et de la nature du rayonnement émis par le doublet. Le calcul de la diffraction se présente ici sous une forme relativement nouvelle.
Dans les problèmes classiques concernant la lumière, les angles d’incidence et de diffraction sont généralement petits.D’autre part,on ne se préoccupe pas de la valeur absolue du champ
diffracté. Dans ces conditions, l’application du principe d’Huyghens ne présente que des diffi- cultés d’ordre mathématique. Pour étudier un réflecteur à ondes ultra-courtes il faut préciser
la forme particulière sous laquelle le principe d’Huyghens doit être appliqué.
Nous voulons connaître le champ produit à distance, suivant l’axe, par le miroir para-
bolique. La première question qui se pose est la suivante :
Etant donnée une onde électro-magnétique de composante électrique h tombant sur un
élément ds de surface réfléchissante, quel est le champ électrique h’ diffracté par cet élément à la distance D, dans la direction correspondant à la réflexion suivant les lois de
l’optique géométrique?
(1) Voir l’Onde électrique, février i!)32.
(9) Voir R. Mesny, Les ondes électriques courtes, p. 110.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0193200303010500
Diffraction par une ouverture. - Considérons d’abord un faisceau de lumière ren-
contrant normalement un écran E percé d’une ouverture Q (fig. 1). On se propose de recher-
cher l’éclairement en un point quelconque M d’un écran F parallèle à l’écran E et situé au-
delà de l’ouverture Q.
. Fig. 1.
D’après la forme générale du principe d’lluyghens, l’éclairement de chaque point de
l’écran F est le même que si chaque élément ds de l’ouverture Q était une source. Posons que le champ électromagnétique diffracté par chaque élément ds, dans les directions voisines de la direction du faisceau incident, est proportionnel à la surface de l’élément.
Le champ reçu en un point M de l’écran F est égal àla résultante des champs diffractés
par tous les éléments de l’ouverture. Il faut calculer les différences de phase entre les
rayons qui arrivent au point M.
Nous choisirons le système de référence 0 x y z comme il est indiqué sur la figure 1. Les
coordonnées d’un élément ds situé en un point A de l’ouverture Q sont (x, y, 0). Soit D la
distance des deux écrans. Les coordonnées d’un point M de l’écran F sont (~, ~, D).
Si la distance D est grande par rapport aux dimensions de la figure de diffraction
sur l’écran F, on peut écrire que les cosinus directeurs de la droite OM sont égaux à
Alors, lorsque les rayons diffractés par deux éléments, situés respectivement en 0 et
en A, arrivent en M, leur différence de phase est :
Si on choisit comme origine la phase du rayon diffracté par le centre 0, la phase du
rayon diffracté par l’élément situé en A est :
Il résulte de ce qui précède que l’onde électromagnétique qui arrive en ou, pour préciser, sa composante électrique, est donnée par l’intégrale
cl’où
en posant
Nous allons calculer la constante k en appliquant le principe de la conservation de
l’éiieigie : nous écrirons que la puissance qui tombe sur l’écran F est égale à la puissance qui traverse l’ouverture Q. En d’autres termes, nous nous proposons de trouver la formule donnant le champ diffracté par chaque élément ds, en combinant la forme générale du principe d’IIuyghens et le principe de la conservation de l’énergie.
Ouverture circulaire. - Pour simplifier, considérons une ouverture circulaire,
de rayon R. Il suffit de calculer les valeurs de u sur l’axe 0‘ S (voir fig. 1), puisque 00’
est un axe de révolution. Comme ’1) = 0, et comme par symétrie , 0 :
>
avec
Pour cette intégration, on se reportera par exemple au cours classique de Bouasse (Diffraction, p. 44). En posant :
on trouve :
Ji (m) est une fonction de Bessel de première espèce ; l’indice indique qu’elle est
d’ordre un.
Calcul de k. - Nous sommes maintenant en mesure d’écrire le principe de la conser-
vation de l’énergie. D’après le théorème de Poynting, l’énergie passant par seconde à travers l’ouverture Q est proportionnelle à :
en appelant h l’amplitude de la composante électrique (ou magnétique) de l’onde incidente.
De même, l’énergie tombant par seconde sur l’écran F est proportionnelle à
L’amplitude du champ électrique est la même pour chaque couronne de l’écran ~’,
centrée sur 0’ ; d’après la formule (3) elle est égale à k P. La surface de chaque couronne
est 2 z 1. dç. Seul le centre de l’écran est sensiblement éclairé, ce qui permet d’étendrG rinté- grale jusqu’à un rayon infini, quoique les calculs supposent que la direction des rayons cliflractés s’écarte peu de la direction 00’ ; en particulier, on suppose que le vecteur de
Poynting est perpendiculaire à l’écran F.
Ecrivons l’égalité des expressions (5) et (6) en tenant compte de la formule (4). On
trouve
A est une constante numérique donnée par :
En s’appuyant sur les relations :
on démontre que :
Cette formule permet (1) de calculer A2 :
Par conséquent, k est donnée par la formule simple
L’étude de la diffraction par une ouverture circulaire conduit donc à la loi de diffraction élémentaire suivante :
Si une ouverture percée dans un écran reçoit normalement un faisceau parallèle de composante électrique h, le champ électrique diffracté par chacun de ses éléments ds, dans
une direction voisine de la direction correspondant à la propagation rectiligne à travers.
l’écran, est égal, à la distance D, à
Nous venons d’étudier le cas d’un faisceau parallèle tombant normalement sur une ouverture circulaire. Nous examinerons maintenant le cas d’un faisceau para.llèle tombant obliquement sur un écran rectangulaire.
Ecran rectangulaire. - Considérons un faisceau parallèle rencontrant obliquement (figure 2) un petit écran réfléchissant E de forme rectangulaire. Recherchons l’éclaire- ment en un point quelconque M d’un écran F perpendiculaire à la direction de réflexion.
D’après la forme générale du principe d’Huyghens, l’éclairement de chaque point de
l’écran F est le même que si chaque élément ds de l’écran E était une source. Posons que le
champ électromagnétique diffracté par un élément ds, dans les directions voisines de la
direction de réflexion, est proportionnel à la surface de l’élément.
Le champ reçu en un point M de l’écran F est égal à la résultante des champs diffractés
par tous les éléments de l’écran. Il faut calculer les différences de phase entre les rayons
qui arrivent au point M.
Nous choisirons le système de référence 0 x y z de la façon suivante :
l’axe 0 z est dirigé suivant la direction de réflexion ;
l’axe 0 ,y se confond avec un des deux axes de l’écran rectangulaire; il est normal au, plan de la figure 2 ;
l’axe 0 x est perpendiculaire aux deux autres ; le plan x 0 z est le plan de la figure.
(t) Jo (m) et Ji f ~) étant les fonctions de Bessel de première espèce, d’ordre 0 et d’ordre 1 : :
L’écran rectangulaire se trouve dans le plan y ; ses côtés ont les longueurs ga et 2b {figure 3).
Fig. 2.
Les coordonnées d’un élément ds situé en un point A de l’écran E sont (~x, y, z). Soit D la distance des deux écrans. Les coordonnées d’un point M de l’écran F sont (5, 1J, D).
~
_
Fig. 3.
Si le rayonnement diffracté n’est sensible qu’au voisinage de la direction de réflexion,
~’est-à-dire si la distance D est grande par rapport aux dimensions de la figure de diffraction
sur l’écran F, on peut écrire que les cosinus directeurs de la droite 0M sont égaux à :
Alors, on trouve facilement que lorsque les rayons diffractés par deux éléments, situés respectivement en 0 et en A, arrivent en M, leur différence de phase est
Si on choisit comme origine la phase du rayon OM, la phase du rayon AM est : 1
Il résulte de ce qui précède que l’onde électromagnétique qui arrive en M ou, pour pré- ciser, sa composante électrique, est donnée par l’intégrale :
ou, en développant et en tenant compte des conditions de symétrie :
Comme précédemment, nous allons calculer la constance k en appliquant le priîîcipe
de la conservation de l’é?îergie. Nous écrirons que la puissance qui arrive sur l’écran E se
retrouve sur l’écran F (1).
Pour calculer P, remplaçons A par sa valeur (8) et ds par d~x dy cos i (en appelant i l’angle d’incidence). Posons :
on trouve, après intégration :
Nous sommes maintenant en mesure d’écrire le principe de la conservation de l’énergie.
D’après le théorème de Poynting, l’énergie tombant par seconde sur l’écran E est propor- tionnelle à :
h 2 . S co s i (mil)
en appelant h la composante électrique (ou magnétique) de l’onde incidente et S = 4 ab la surface de l’écran E.
De même, l’énergie tombant par seconde sur l’écran F est proportionnelle à :
D’après la formule (9), k P est l’amplitude du champ tombant en un point M de l’écran F, et dt . d-~ est la surface d’un petit élément de l’écran placé en ce point. Seul le centre de l’écran est sensiblement éclairé, ce qui permet d’étendre l’intégrale précédente à tout le plan de l’écran, quoique les calculs supposent que la direction des rayons diffractés s’écarte peu de la direction 0 z,
Ecrivons l’égalité des expressions (li) et (12) en tenant compte de la formule (10) :
En simplifiant, et en tenant compte de la formule :
on trouve :
Diffraction par un écran. - L’étude de la diffraction par un écran réfléchissant
rectangulaire conduit donc à la loi de diffraction élémentaire suivante (fig. 4) :
Si un élément d’écran, de surface ds, reçoit un faisceau de composante électrique h, le~
e) Nous supposons le pouvoir réflecteur de l’écran réfléchissant E égal à l’unité.
champ électrique diffracté par cet élément, dans une direction voisine de la direction de réflexion est égal, à la distance D, à ~ - .
ds’ :7= ds cos i représente la projection de l’élément ds sur un plan perpendiculaire à la
direction de réflexion.
Il est évident que l’orientation de ce
champ h’ est la même que celle du champ h"
qui serait réfléchi si les lois de l’optique géométrique étaient applicables.
Ce résultat a été établi en considérant
un écran rectangulaire. L’étude d’un écran
circulaire conduirait encore à la formule (13).
En effet, nous avons étudié précédemment la
diffraction par une ouvertu>.e circulaire d’un faisceau parallèle tombant normaleiiieiii et
nous sommes arrivés à la formule (7). Or,
on peut se rendre compte que les deux pro- blèmes de la diffraction par un écran et par
une ouverture se traitent mathématiquement de la même façon. De plus, il est facile de
reprendre, dans le cas de l’incidence oblique, l’étude de la difflaction par une ouverture
circulaire, étude que nous avons faite dans le cas de l’incidence et de montrer que la généralisation de la formule (7) conduit à la formule (13).
Enfin, les théorèmes de Bridge et Dalhender (voir Bouasse, Diffraction, p. 35) per-
mettent de passer immédiatement du cas d’un écran circulaire au cas d’un écran elliptique.
On peut donc admettre que la formule (13) est générale. C’est cette formule que nous avons
appliquée pour étudier les réflecteurs paraboliques.
Étude des réflecteurs paraboliques. - Une autre base du calcul est la formule classique qui donne le champ h émis à quelque
«
distance d’un doublet (voir fig. 5).
Cette formule est exprimée en unités électro-magnétiques : .
P est la puissance rayonnée par le doublet.
(p la vitesse de la lumière.
r et 6 les coordonnées du point où l’on cal- cule le champ. ,
P our déterminer facilement la direction des
champs incident et diffracté, nous considére-
rons (fig. 6) un yecteur à de longueur unité ayant la même direction que le doublet émet- teur. La projection du vecteur A sur un plan perpendiculaire au rayon incident FM, est un
vecteur que nous appellerons a (’ ). Considérant le champ incident au point M comme un vecteur, on peut écrire : , ,
(1) Pour la simplicité de la figure 6, on a supposé le rayon incident dans le plan défini par . le doublet et l’axe du réflecteur.
Pour exprimer facilement le champ réfléchi fi" à la surface du miroir, nous tracerons
les vecteurs A’ et 1’, symétriques des vecteurs .1 et 1 par rapport au plan tangent T : *.
, Fig.6.
Le champ h’ diffracté à la distance D, dans la direction de l’axe, par l’élément ds placé
au point M est : . ri 1
s’est la projection de s sur le plan directenr P du paraboloïde.
On calculera le champ diffracté à la distance h par l’ensemble du paraboloïde en addi-
tionnant les champs diffractés par chacun de ses éléments. Ces champs’ arrivent en phase
si la distance D est assez grande.
Les champs élémentaires h’ n’ont pas la même direction. Il résulte des conditions de
symétrie que leur résultante est parallèle au doublet. Il suffit donc de calculer la compo- sante suivant Ox du champ élémentaire h’ et, tout d’abord, la composante du champ
réfléchi h" :
Il est iacile de calculer ~’x et on trouve finalement :
x et y sont les coordonnées du point M considéré et p - 2 f le paramètre de la parabole.
Lignes d’égale efficacité. -- Cette formule permet d’apprécier l’efficacité des différentes régions du réflecteur. Projetons la surface de celui-ci sur le plan x0y perpen-
diculaire à l’axe 0z du paraboloïde et découpons la projection en éléments égaux s’. L’effi- cacité du pinceau diffracté (parallèlement à l’axe) correspondant à chaque élément s’ est
proportionnelle au champ donc au champ h’’x. On peut tracer, dans le plan x0y des ligjzes d’égale Les lignes d’efficacité nulle sont les hyperboles équilatères repré-
sentées par la figure 7.
La composante hflx change de signe à la traversée de ces hyperboles, si bien que le réflecteur peut comporter des zones nuisibles représentées par des hachures. Les points A
et B correspondent aux intersections de la direction du doublet avec le réflecteur. L’exis- tence de zones nuisibles s’explique par la nature du champ que rayonne le doublet; elles
font qu’avec un doublet horizontal le faisceau est plus ouvert dans le plan horizontal que .dans le plan vertical. Dans les applications radiogoniométriques, il est donc indiqué de placer le doublet verticalement.
Nous avons tracé point par point les courbes d’égale efficacité. Le calcul est plus facile
si on exprime /t’Ix en fonction des coordonnées polaires du point 81’ (fig. 7), projection du point M sur lc plan x0y (fjg. 6)
Différentes lignes d’égale efficacité sont représentées par la figure 8. L’efficacité du centre du réflecteur a été prise égale à l’unité. Si l’on considère deux éléments du réflecteur
ayant des projections égales sur le plan directeur, l’une placée au centre, l’autre sur une ligne d’efficacité 0,5, la composante utile du champ diffracté à distance, suivant l’axe, par Ie second élément, est égale à la moitié de la composante diffractée par le premier.
Gain apporté par un réflecteur parabolique. - Il est possible maintenant de cal- culer le champ total produit à distance par le réflecteur, il suffit de prendre l’intégrale :
On trouve :
l~ es t le rayon de la circonférence qui limite le paraboloïde.
Cette formule permet de déterminer rationnellement un réflecteur parabolique. Le pro- blème se pose de la façon suivante : On consent à construire un réflecteur de rayon R;
comment faut-il choisir sa distance focale2
La discussion de la formule précédente montre qu’il faut prendre une distance focale f égale à la moitié du rayon dit, le foyer doit se ti-ouver dans le plaît d’ouverture du miroir. Cette solution évite l’existence de zones nuisibles. La condition précédente
n’est pas stricte; par exemple si l’on décide la construction d’un récepteur de 3 mètres de diamètre, la distance focale optima est égale à 0,75 m, mais si l’on adopte une
distance focale de 1 mètre, on perd seulement 4 pour 100 sur le champ par rapport à l’optimum.
D’un point de vue théorique on peut prendre le problème de la façon suivante : Etant donnée la distance focale, comment varie le champ quand on augmente le diamètre du réflecteur’?
Théoriquement, on a toujours intérêt à augmenter le diamètre, mais pratiquement, à partir d’une certaine limite, on gagne très peu. Considérons un réflecteur ayant une distance
focale de 1 mètre et une ouverture de 3 mètres. Si on augmente de plus en plus le diamètre,
on ne gagne que le facteur 2 sur le champ : on diminue l’influence de la diffraction, mais
4Qn introduit des zones nuisibles très importantes.
Fig. î.
Fig. 8.
Supposons donc la distance focale égale à la moitié du rayon de l’ouverture. La formule
précédende se simplifie :
Nous savons que le champ produit par le doublet seul est :
D
Le gain sur le champ dû au miroir parabolique est donc égal
à R.
Ce gain est égal aunojrzb7°e de lon,queurs d’onde comprises dans le demi-périmètre du réflecteur. Si f = 1 mètre,
.R = 1,50 m et 21 --.1~ cm, le champ rayonné par le réflecteur est 25 fois plus grand que celui rayonné par le doublet lui-même. Ce gain est considérable ; on peut s’en rendre compte
de trois façons.
11 Supposons un doublet, rayonnant 1/4 de watt, au foyer du réflecteur précédent.
Pour obtenir, sans réflecteur, le même champ, il faudrait une antenne rayonnant 156 watts.
2° Dans le cas d’ondes courtes de 18 mètres de longueur d’onde, il faudrait un réflecteur
parabolique de 300 mètres de diamètre pour obtenir le même gain.
3° Un rideau d’antennes parfaitement adapté, équivalent au réflecteur de 3 mètres
comporterait plusieurs centaines d’éléments.
L’ouverture totale du faisceau émis par le réflecteur parabolique est en effet très faible,
on peut l’estimer égale à quelques degrés, aussi bien dans le sens horizontal que dans le
sens vertical.
Valeur du champ à distance. - La formule qui donne le champ à distance peut se
mettre sous une forme plus commode. En exprimant la puissance P rayonnée par le dou- blet en watts et la distance D en km, la valeur du champ en millivolts par mètre, est égale
il :
Application : P = 0,25 rvatt, D ~ 40 km, 2 R = 300 cm, X ==18 cm.
On trouvez
h = 3 millivolts par mètre.
Naturellement, à la réception, l’emploi d’un miroir parabolique permet une concen-
tration d’énergie sur le doublet récepteur. Un miroir récepteur, identique au miroir émetteur
qu’on vient de calculer, fait encore gagner le facteur ~~ sur le champ. Le champ reçu par le doublet est égal à 75 millivolts par mètre. Avec un doublet récepteur de 2 cm de long, la
force électromotrice recueillie est égale à 1,5 millivolts.
Ces calculs montrent d’une façon précise l’avantage des ondes ultra-courtes. Dans
l’avenir, il sera avantageux de produire des ondes encore plus courtes, puisque le facteur
qui représente le gain sur le champ est, pour chaque réflecteur parabolique, émetteur ou récepteur, inversement proportionnel à la longueur d’onde.
Manuscrit reçu le 1 janvier 1932.
