PartieInterferencede deux ondes lumineuses: 1

(1)

Mamouni.ag@gmail.com Page 1

1 2

, :

1 1 '

:

1

1 Ondes cohérentes ondes incohére

s

ntes

l addition des amplitudes est possibles si les directio t D

h a

o n

p s

è t l

n e

s e

c i

a

ns des vecteures e e e so t r s r c e C c est réalisable

Partie

Interference de deux ondes lumineuses:



  

2 2

1 2 ( , ) c

’ .

.

i i i

très fréquent d ondes non polarisées dont les directions de propagation sont voisines Pour des ondes polarisées dont on sait que les directions de polarisation sont vois s

I E

ine

M t A

      ²

2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 2 1 2 1

1 2 1 2 2 1 2

os ²( ( )) 1, 2

2

1 3 ( ) ( , ) ( , ) ² ² 2

² ² 2

2 . . cos ( ( ) ( ( ) ( ))

( ) 2 cos ( ( ) ( (

i

i i

t M A i

I M E M t E M t E E E E

E E E E

I I E E t M M

I M I I I I t

 

   

  

   

         

        

       

     

     

   

 

1

¨ ( , )

1 2

2 1

1 2 1 2 1 2 1 2

max min

max min 1 2 1 2 1 2 1 2

) ( ))

( ) ( , ) 0

cos( 0 0 ' 0

2 2

1 5

2 2

T M t

M M

1-4 il y a interferences Si I M I I T M t

Or wt pour w d où la condition w

I I I I I I I I

I I

C I I I I I I I I I I

C



  

 

 

   

       

 

    

   

     





1 2

2 1

2

:

2 1 ( ) ( ) ( ) '

( ) ( )

' '

i i Si M

i

I I

I I

2- Condition de cohérence temporelle

M M M n est pas en

indépondante du temps

φ (M) O

O la phase de l'onde (i) à l'origine, varie de façon aléatoire en passant d un train d onde à

générale

  

 





 

  

 

( , ) 0 ( , ) 0

un autre

M t T M t

ondes incohérentes



     



Proposé par Abderrahman MAMOUNI Cpge lissandine _LAAYOUNE

(2)

Mamouni.ag@gmail.com Page 2 3

- 2

2 -

êm e va leu r a u co u rs d e la vib ra tio n φ (0 ) n 'est p a s fo n ctio n d u tem p s P o u r les ra iso n s p réced en tes les d eu x o n d es q u i s'in t

2 D a n s le ca s d es o n d es m éca n iq u es (a cco u stiq u es p a r exem p le) , la p h a se à l'o rig in e

g a rd e la m 

1

' '

2 4 _{S S M} : ' (1)

erferen t d o iven t être issu es d u êm e tra in d 'o n d e .O n p ro cèd e ,a lo rs, à la d ivisio n d e l'o n d e en d eu x o n d es seco n d a ires :

p a r d ivisio n d e fro n t d o n d e p a r d ivisio n d a m p litu d e

t tem p s m is p a r l o n d e en tre S et M p a ssa n t p a r S m





2

2 1

1 2

: ' ( 2 )

: '

(1) ( 2 ) ' :

(1)

S S M c

S S M S S M c

t tem p s m is p a r l o n d e en tre S et M p a ssa n t p a r S d u rée d u t ra in d o n d e

p o u r q u e et so ien t issu es d u m êm e tra in d o n d e il fa u t q u e

t t t

2 -5 (1 ) est in terp retée p lu tô t en term e d e lo n g u eu rs en m



   

1 2 1 2

. : :

:

3 0

3

c c c

c c

u ltip lia n t p a r c = c. t c l l lo n g u eu r d u tra in d 'o n d e ;

c. t d ifferen ce d es ch em in o p tiq u es d es d eu x tra jets O rd res d e g ra n d eu r L a ser H e-N e o rd in a ire l cm

lu m ière b la n ch e l m F en te

 





  

 







 :

3 1

3 2

3 3 ' , , '

' ( 1)

3 4 1 '

s d e Yo u n g

c'est le p h én o m èn e d e d iffra ctio n l

l in terferen ce en tre d eu x o n d es n ecessite a u m o in s q u elles se ren co n tren t ceci n est p o ssib le q u e d a n s leu r zo n e d e reco u vem en t vo ir fig

E n fa isa n t élo ig n er l ecra n



  ( ) ,

'

3 4 2

3 - 4 - 3

D p o u r le m êm e a n g le d e d évia tio n l'im a g e su r l écra n d evien t p lu s g ra n d e d ista n ce en tre fra n g es i lo rsq u e a le ch a m p d e reco u vrem en t

d ista n ce en tre fra n g es i

i rep résen te la d ista n ce , su r l'ecra n , en tre

 

 

 



 

 

 

1 2 0

0 2 1

1 3 ( )

( ) 2 ( 1 co s ( ( ) ( ))

( ) )

i i

d eu x fra n g es su ccessives d e m êm e n a tu re L a rela tio n d e la q u estio n d evien t o n d es co h éren tes I I I

I M I M M

o r M reta rt d e p h a se en tre le p o in t S (p a ssa n t p a r S et M

 



   

  

(3)

 0

2 1 2 1 2 1

0 0

1

2 2 2

2

1 2 1

2 2 2

( ) . ( ) ( )

2 2

( ) ( ( ) ( )

² ²

( ) ( 1 ) ( 1 )

2 ² ² 2 ² 2 ²

( 1 )

2 ²

i i i i i i

a

ie r

i i

ch em in o p tiq u e (S S M )= L

M reta r d te m p o r el c L

T cT

M M L L n S M S M

a x a x a a x

S M x D D D a u 1 o r d re

D D D D

d e m êm e S M D a x S M S M

D

  

     



 

 

 

    

     

        

  



0 0

2 2

a x D

a x x D

D i i a

P a rtie 2 :

L es p a rticu les a u ssi in ter fèren t

 

 



   

1-1 Effet photoélectrique : Entre une plaque métallique P et une anode G, on établit une différence de potentiel V. Un rayonnement électromagnétique de fréquence et d'intensité frappe alors la cathode P. Dans certaines conditions, on constate alors l'apparition d'un courant électrique dans le circuit, ce qui implique une émission d'électrons de la plaque P vers l'anode G. Einstein suppose que l'énergie du champ incident est distribuée en paquets d'énergie, appelés photons d'énergie = ℎ .

1-2 -1 Apparition des petites taches lumineuses sous forme de grains sur l’écran

1-2-2 Le principe d’incertitude d’Heisenberg ∆ ∆ ≥ interdise la détermination exacte de la position d’une particule (ici le photon) .Sinon → +∞ donc on ne pas prévoir la position de l’impact d’un photon

1-2-3

1-3 L’intensité lumineuse ( k. ²⃗ ) en un point M sur l’écran mesure la probabilité de présence ( | | ) du photon en ce point (un point plus lumineux est un point où la probabilité de trouver le photon est grande)

Donc ² correspond à la densité de probabilité | |

(4)

5 15

15 1

1 .

0

38 780

( )

3

- 4 . : second

,

1, 9.10 3, 9

1.10 /

.10

t t t

t

nm nm

pour une source de puissance P mW relativement faible

on a n Valeur t

P P

P n h où n nombre de photon emis par n

h hc

n photon s

Le nombre emis dans des ondes optiques









 

 





 

 





12 9

Re : 10 5, 0210

’

2 - 1 - 2 2 1

1

t

Interferenc

r

D

ès grande donc impossible de distinguer les photons m

ualité onde c

u orpuscule

arque Pour les rayons X m n

Louis De Broglie

a

a proposé l idée de la d ali es des ondes de t

té m ière

 ^



 

  



- :

,

.

2 1 2 ( ) _DE

onde corpuscule

les particules peuvent suivant les circonstances se comporter soit comme des particules soit comme des ondes

p mv est valable dans le cas où la particule est non relativiste v c h

 mv

     

      

 

2 1 2 2 3 2

2 0

2 2

0

2 2 2 3 2 2 1

4

2 2 2

0

2 1 3 1 ' ² .

4

² 4

1

= A ( ) ( ) ( ) 2 3 2

2 2

2

2 . 1

1 16

ε ε

ε

e e

P

e é

e

h mv L MT d autre part on a F e q F L ML T

r

E e ML T

r

avec q h m ML T A ML T L MT M

A m e pour A

h

     

 



  

 



  



 



  

 

          

  

  



     

   



 

     

 





¹⁹

2 1 3 2 2

5 1

0

2

; = 10, 9.10 1

2 1 3 2 ( ) 1

0

² ( 1) . 3, 4710 .

4 .

0,1 '

1 0, 34

2 2 1

ε

e é

c e

J

B q h m LT M L T

v e pour B A N m s

h

Avec la valeur imposé à la constante B v c l éléctron est bien non relativiste

E m v eV

v

         











     



 

         

 



   

 



 

6 1

10

3 3 2 4, 35.10 . 0,1.

1, 67.10

c é

DB é

On a E m s c électron non relativiste

m

h m

m v

v





     

 

(5)

10

'

:

' 10

D B

DB

Pour prévoir si l effet quantique est observable ou non on com pare à la longueur caracteristique du cristal en effet le param étre a de la m aille du cristal est tel que a de l ordre de centaines de pm soit a effet observable

*



 



  

2 2 1 : '

2 2

DB

t

C onséquence = apparition des franges d'interferences

E Inteferences ato

n Rem arque : on peut aboutir au m êm e résultat en com parant la gra de

u e

m

n iq

t ues

ur à

c

tom b s p

o

Aspect co p scular us l ef et de la gf s

i

ire rav att

ec

ion A







8

:

( :

1 ² 2 2

2

. 1, 6.10

2 2

DB

N e

N e N e N e N e

A A

D B D B

N e N e

A

apparition de franges

2-2-2 Pour que le quantum subisse la diffraction il faut que le diam étre b ) du diaphragm m e soit

T EC m v m gd p m gd M gd

N h h N

M gd M gd m

N C o

ondulatoire



 

  ^





     

    

 : 2.10 ⁶ 100

2

’

0, 47

2 3 1

,

’ ’

’ ½

D B DB

n

A l équilibre chaque degré de liberté quadratique contribue à l énergie m oyenn du systèm e par k

Théorèm e d équiparti

O

t

clusio C

ion

n b m fois D IFF

de l énergie

RA TI N

b



 

 

   

   

  





1 8

2 2 3 2 :

3 3

1 1

² 3. ²

2 2

2 2 3 3

3 3

2, 5 1, 765 . 1,1310

300

A

c N e th

N e N e

A D B

N e th N e N e

th D B

th

m T

N e gaz parfait m onoatom ique 3 degré de liberté quadratique

K T K N T

E m v K T v v

M h N

h h

m v m K T M K T

T m K v m s m

T K v

 



 



  

   

        

      

   

  



 ¹ ¹¹

2

611, 41 . 3, 26 10

, '

3 3 . .

2 2 4

3 1, 25

D B

A N e N e

th N e N e N e

N e N e A

m s m

Si T l effet quantique est m oins observé

K T K T N v M

v v v v T

m M K N

T m K

 





 



 

        

 

 

(6)

’ 2 2

1 5

DB

écessité de REFROIDIR les atomes pour obtenir des longueurs d onde suffisamment importantes où

n N

leur caractère ondulatoire pourra se manifester est en donc on a interêt à utiliser des particules do

 m

 



'

' 8

' '

'

' ' 9

2 2 6 1 . 1, 2210

( ) ( 0 ; 0 ;

) 5.10

DB

DB DB

DB

DB DB

' DB

t la masse est la plus petite possible

D i a

i m

a D

d di

ln ln(i)+ ln(a) - ln(D) dD da a et D sont connus avec une

i

precision suffisante i m

i Commentaire Δλ et λ

 



 



      

     

   

2 2 6 2 ’ .

'

DB sont de l'ordre de grandeur Aspect indéterministe de la mécanique quantique

La longueur d onde trouvée est comparable aux dimensions interatomiques dans un cristal Le comportement ondulatoire de la m



  

' 1

' '

' 1

' '

’ .

2 2 6 3 '( ) 1, 63

'( )

'( ) '( ) 0, 782

';

A DB

Ne Ne DB Ne DB

DB

Ne DB DB

atière est donc bien révélé par l expérience hN

h h

v Ne ms

m v Ne m M

h v Ne

v Ne v Ne ms

m

* Sur une direction orthogonal à xx Au niveau de la fent

  



        

     



1 '

. .

2 2 2

. .

0,13 0,13 .

2 . 2 . 2 .

2 2

y Ne Ne y Ne Ne

A A A

Ne Ne

Ne Ne Ne DB

e la position de la particule, qui la traverse ,est déterminée avec une incertitude y b

On a p y m v y m v sinθ. y

N N N

v on a donc v m s

M sinθ. y M θ.b M 



 

          

       



 

  

1

6 4 '( )

189 '( ) 1, 91 ·

2 ( ) ( )

2 2 7 _DB :

v Ne

D d mm v Ne m s Comparable à la vitesse trouvée par la relation de de Broglie relation approvée

est calculée via une approche classique TEC pour calculer v puis relation de g d D TEC entre S et O





 







  





' '

2 2 8

DB DB

de Broglie le calcul de set effectué par une approche ondulatoire i D

a

La fente source diffracte les atomes pour avoir des directions incidentes diverses lors de leur arrivée sur les deux fentes

garantit un éclairem

  

 

 .

– ,

–

ent cohérent des deux fentes

2-2-9 On peut citer comme facteurs qui limitent la visibilité des interférences : largeur de la fente source qui induit une distribution des vitesses transverses

largeur finie des fentes qui module la figure d interférence par un terme de la forme sinc, ’ ²()

(7)

3 23

2.3.1 24

2

12.10 .60

1, 2.10 6, 0210

' '

.3.2

F F

A

m M Kg

N

Surface d un héxagone Surface d un pentagone

2.3.Interférences de grosses particules



   



18

2

20 12 72 , 59 ² 1, 42.10 ²

' 4 ² "

.3.

6

3 2.76

,

2

. ² "

0 7

3

2

4

’

DB

D

p

B h

h pm

mv d

A cette petite longueur d onde correspondra des petites La surface de la molécule est donc

S S S a m

D autre part S r d d diamètre du ballon

d S nm









 



   

 





 



' ( )

100

dimensions caractéristiques des phénomènes ondulatoires Necessité d un dispositif pas ordinaire pour mettre en évidencele phénomène ondulatoire le réseau de diffraction de période a nm

placé après des fent



 

2 3 4

1, 656

DB

DB DB DB

DB DB

es collimatrices

h v v

mv v v

pm

   



  

       

  

(8)

2 4 5

( )

: ( ) 1 (

max

max max

Soit δ la difference de marche maximale au delà de laquelle il y a brouillage entre deux ondes issues de 2 fentes successives au point M

Soit l la longueur de cohérence on a l δ et p δ critére semi empirique de brouil

 

   

min max

2

max min

2 min max

2

) 1

( ) 1

4, 6 2.3.6. '

2.3.7.

max max

moy

max max max

moy

DB max

DB

lage

δ δ

δ δ δ

l δ l

A N l pm

l intérêt du sélecteur mécanique de vitesse En fin la lon

d gueur de co c

est v onc

héren e

 

   



  

 

    



  









 

';

Les deux fentes de collimation permettent de donner au faisceau une bonne dispersion angulaire pour la diffraction

Sur une direction orthogonal à xx Au niveau de la fente la position de la particule, qui la traverse ,e





6

'

. .

2 2 2

7, 3.10

2 '.

2 . '

y F y F

F F

st déterminée avec une incertitude y b

On a p y m v y m v sinθ. y

θ rad

m vb v

m v b

v



 

          

   

 

  



1 1

( ) ( ) ( ) ( )

2.3.8.1.  M  S_S_n_ M  S_S M_n  S_S_n_ (S S_ _n) ₁

1

( ) ( )

n n

n

S M S M

S H HM



 

   (S M_n ) ( ' )

( )

H et S sur la même surface d onden

= a' sinθ

 



(9)

;

'

1 ( )

'

DB

DB p

DB

p p

P P

Les interferences sont constructives ssi δ (θ)= p. p

sin θ p.

a

Pour . sin θ pour des ordres raisonables

a

La position x d'une frange brillante est telle que tan(θ) x D l'interfrenge es

2.3.8.2.

2.3.8.3.



 





 

 

  





'

2 3 8 4

DB DB

P+1 P p+1 p

DB

D ((p+1).λ -p.λ t donc i= x -x = D (θ -θ ) =

a' i D.

a

Dans les deux cas on a un phénomène d'interference modulé par une diffraction

* La figure d'interfernce disparait plus vide , en s'éloignant du cen

  

  



2

.

2 3 8 5

2 2

4 1 ( , ) ( , )

4.

²

DB DB

DB

Aspec

i t probabiliste

t

des inte

e a

rfére d

nce

r

s q

e

u

n

a

f

n

e

t

l

i

re , lorsqu v

q

e v

Lorsqu vet v augmente l

M

longueur e cohé enc e e f t v v

v

est telle que représente l s

a densité de proba t

ue

b M t

 





  

 



  











1

2 4 2

2 4 3

, '

lité de trouver la particule au point M

Condition de normalisation La particule est surement quelques parts en un

Soient deux états

t

dynamiques différents décrits

n

par des

p d

fonct c

ion a

s e

d

oi e

n l' sp e

o de et





 







2

1 2

1 1 2 2

, . ,

, :

'

nécessairement non proportionnelles étant des nombres complexes non simultanément nuls nous construisons la combinaison linéaire

est alors une fonction d onde décrivant un état

 





   

1

2

1 1 1

2 2 2

* *

1 2 1 2 2

* *

1 2 1 2 2 1 2 1 2

2 4 4 1 ( , ) ² ²

2 4 4 2 ( , ) ² ²

2 4 4 3 ( ( , ) ( , ) ² ( ( , ) ( , ))( ( , ) ( , )))

( ² ² ( )) ( 2 cos )

.

P x t A

P x t x t x t x t x t x t

A A P P P P P

La nor

dynamique possible du système

 

  

     

     

              

           

1 2 1 2

1 2

2 cos

( )

2 malisation impose

P P P P

P M

P P P P







 

 

 

(10)

Mamouni.ag@gmail.com Page 10 from numpy import *

from matplotlib import pyplot as plt P1=0.6

P2=0.8

x=linspace(-pi,pi,500) def P(x):

return

(P1+P2+2*sqrt(P1*P2)*cos(x))/((sqrt(P1)+sqrt(P2))**2) plt.plot(x,P(x))

plt.grid() plt.show()

1

1 2 1 2

1

2 (1 cos ) 1 cos

( )

4 2

0 ( ) 1

( ) 0

2.4.4.4 P

Pour A A P P P M

P P M

P M

 



 

 

    

  

2-4-4-5

from numpy import *

from matplotlib import pyplot as plt x=linspace(-4*pi,4*pi,500)

def P(x):

return ((sinc(0.08*x))**2)*((1+cos(2*x))/2) def F(x):

return (sinc(0.08*x))**2 plt.plot(x,P(x))

plt.plot(x,F(x),linewidth=0.1, color='k') plt.grid()

plt.show()