Etude du gain par mélange à deux ondes dans les systèmes à deux et trois niveaux

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Etude du gain par mélange à deux ondes dans les systèmes à deux et trois niveaux

M. Pinard, G. Grynberg

To cite this version:

M. Pinard, G. Grynberg. Etude du gain par mélange à deux ondes dans les systèmes à deux et trois niveaux. Journal de Physique, 1988, 49 (12), pp.2027-2035. �10.1051/jphys:0198800490120202700�.

�jpa-00210883�

Etude du gain ^par mélange à deux ondes dans les systèmes ^{à deux et trois}

niveaux

M. Pinard et G. Grynberg

Laboratoire de Spectroscopie Hertzienne de l’Ecole Normale Supérieure (*), Université Pierre et Marie Curie, 75252 Paris Cedex 05, ^France

(Reçu le 10 mai 1988, accepté le 18 aout 1988)

Résumé.

Nous étudions théoriquement ^le gain ^{dans un} processus d’interaction pompe-sonde pour des atomes à deux et trois niveaux. Cet effet, appelé ^encore mélange à deux ondes ou effet Rayleigh ^{stimulé, est}

étudié dans quatre situations : système ^{à deux} niveaux fermé et ouvert, système à trois niveaux en V et en

A. Nous envisageons ^une situation d’excitation non résonnante et nous nous limitons à des petites différences entre les fréquences des ondes sonde et pompe. Le calcul ^est fait à tous les ordres en onde pompe ^{et au} premier

ordre en onde sonde. Lorsque les deux faisceaux interagissent ^{sur la même} transition, ^une amplification

assistée par relaxation du faisceau sonde peut être observée. En revanche, lorsque les deux faisceaux

interagissent ^sur des transitions différentes possédant ^{un niveau commun, nous ne} prévoyons pas la possibilité

d’une amplification. Ce résultat nécessite un calcul à tous les ordres car à l’ordre le plus ^{bas de non} linéarité,

une amplification pourrait apparaître possible.

Abstract.

We theoretically investigate ^the gain ^{in a} probe-pump interaction in two-level and three-level atoms. This effect, also called two-wave mixing ^or stimulated Rayleigh scattering, ^is studied in four cases :

closed two-level atom, open two-level atom, V type three-level atom and 039B type three-level atom. We consider

a non-resonant interaction and we restrict the study ^to the situation where the frequency difference between the pump and the probe ^is much smaller than the frequency detuning ^from resonance. We perform ^a

calculation at all order in the pump beam intensity ^{and at} first order in the probe ^{beam. An} amplification ^{of the} probe ^{beam for a} sufficiently large pump beam intensity ^is predicted whenever the two beams interact on the

same transition. This amplification is relaxation-assisted. In the case of a closed two-level atom, amplification

can be due to collisional dephasing ^{or to} radiative relaxation (which ^{leads to an} hyper ^Raman excitation of the upper level). ^{In the case of an} open two-level ^atom and a A type three-level atom, optical pumping permits ^to

lower the pump beam intensity necessary ^to obtain amplification. On the other hand, when the pump and

probe beams interact on two different transitions sharing ^{a common} level, ^{we show that} amplification ^{is not} possible (this ^{situation occurs for} example ^{in the case of} cross-polarized pump and probe). It should be noticed that this conclusion requires ^an all order calculation in the pump beam intensity ^{since at} the lowest order of

non-linearity, ^a relaxation induced amplification might ^look possible. ^{For these} systems, ^{an extra} absorption

appears ^at the following ^{orders of} non-linearity ^which prevent ^the amplification ^{to occur.}

Classification

Physics ^Abstracts

32.80

42.65M - 42.65E

1. Introduction.

L’amplification d’un faisceau sonde dans un proces-

sus de mdlange a deux ondes a dtd dtudide _pour la

premiere ^{fois dans les} photordactifs [1] (1). ^{Cet effet}

(1) ^Il convient toutefois de noter que ^cet effet apparait ddja dans les courbes expdrirnentales de Wu et al. [2]

rdalis6es sur un jet atomique ^de sodium, ^{mais les auteurs}

ne commentent pas ^cette observation.

a ensuite 6t6 observ6 en utilisant comme milieu non

lin6aire la vapeur de sodium interagissant ^{avec une}

onde pompe ^non r6sonnante [3, 6]. ^{Ainsi, en} plagant

une cellule contenant du sodium et de l’hélium dans le bras d’une cavite en anneau, nous avons observe

une autooscillation unidirectionnelle induite _par

mdlange A deux ondes [4]. Cette autooscillation ne se produit qu’en presence ^{d’hélium et est donc un}

processus induit par collision. La frequence ^de

l’oscillation est ddcalde par rapport A ^la frdquence ^de

la pompe ^{et ce} d6calage ^est de l’ordre de l’inverse de

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0198800490120202700

2028

la dur6e de vie du niveau excite. Ces r6sultats

s’expliquent parfaitement. ^{En effet, on} peut ^montrer th6oriquement qu’un processus de relaxation peut induire un couplage ^{entre deux faisceaux lumineux}

non r6sonnants [3, ^7, 8]. ^{En l’absence de} relaxation,

les deux faisceaux se propagent ind6pendamment,

mais lorsqu’on ^{introduit un} gaz tampon, ^un couplage

entre les deux ondes apparait qui peut ^{conduire dans} certains cas a une amplification. ^{Ce resultat est}

surprenant ^{car le} premier effet des collisions est

d’augmenter 1’absorption. N6anmoins, ^{dans le cas}

d’un syst6me ferm6 a deux niveaux, ^le gain ^{du a ce}

terme de couplage peut ^etre sup6rieur ^a 1’absorption

et peut ^donc conduire a une amplification. ^{Dans ce}

cas, 1’amplification de l’onde faible E2 peut ^etre

expliqude ^comme provenant ^{de la} diffraction de l’onde intense El ^sur le r6seau d’atomes excites cree par les ondes El ^et E2. L’amplification ^{maximum est}

obtenue lorsque ^l’onde diffractde est en phase ^avec E2. ^{Pour cela, il faut} que le reseau d’atomes excitds soit ddphas6 par rapport ^{au reseau lumineux. Ceci}

ne se produit ⁿⁱ lorsque w 1= w 2 ^car le r6seau est

stationnaire, ^{ni en} 1’absence de relaxation car

1’atome, qui n’est pas port6 r6ellement dans le niveau excite, ^suit adiabatiquement ^les variations du

champ 6lectromagn6tique [3].

Par contre en presence de collisions (Qp # ⁰ ),

1’atome peut etre r6ellement excit6 et le r6seau

atomique ^{6volue avec un} temps ^de r6ponse qui ^est

de l’ordre de la dur6e de vie du niveau excite. Dans

ce cas (et quand w I :A Cù2) Ie ^r6seau d’atomes excit6s suit le réseau lumineux avec un certain retard et une

amplification ^est possible. Ce raisonnement est vala- ble pour ^un syst6me ^{fermd A deux niveaux} interagis-

sant avec deux ondes de meme polarisation.

Pour un tel systeme, nous avons 6galement ^montrd

par ^un calcul perturbatif que le gain ^{subsiste en}

l’absence de collisions [3]. ^{Le terme de} couplage qui apparaît à ^{l’odre 4} en ] E1 ] ^{est dû à} la cr6ation d’un r6seau d’atomes excitds _par un processus d’excitation

hyper ^{Raman A trois} photons (2).

Le but de cet article est d’6tudier th6oriquement

le transfert d’énergie ^{entre deux dndes non r6son-}

nantes interagissant ^{avec un} syst6me atomique. ^On

6tudie successivement le cas d’un syst6me ^{ferm6 à}

deux niveaux, ^{le cas d’un} syst6me ^{ouvert a deux} niveaux, celui d’un syst6me ^{a trois niveaux en V et}

enfin celui d’un syst6me A trois niveaux en A

(Fig. 1).

2. Description des situations envisagc-es.

On consid6re un ensemble d’atomes interagissant

avec deux ondes electromagnetiques El ^et E2 :

(2) ^{C’est une telle} amplification qui apparait ^{dans les} exp6riences de Wu et al. [2] ainsi que dans la thdorie de Mollow [9].

Fig. ^1.

Diff brents syst6mes consid6r6s dans cet article :

a) Atome A deux niveaux fermd.

b) Atome A deux niveaux ouvert (le systeme ^{dans le}

niveau a peut ^{retomber vers l’un} quelconque ^{des sous-}

niveaux du niveau fondamental).

c) Atome a trois niveaux en V.

d) ^{Atome A} trois niveaux en A.

[Different systems considered in this paper:

a) Closed two-level atom. The results for this system ^are given by (5) ^{in the} perturbative limit and by (22) ^{at all}

orders in Ei.

b) Open ^{two-level atom} (the ^{state a can} decay ^towards

one of the other ground ^state sublevel). The results for this system ^are given by (8) ^{at the} perturbative limit and by (28) ^at all orders in Ei.

c) ^V type three level atom. The results for this system ^are given by (10) ^{at the} perturbative ^{limit and} by (32) ^{at all}

orders in Ei.

d) A type three-level atom. The results for this system ^are given by (12) ^{at the} perturbative ^{limit and} by (40) ^{at all}

orders in E1.]

L’onde E1 qui ^{est intense a une} frequence WI et ^se propage suivant Oz (k1

(W 1/ c) ^{K ou K est le}

vecteur unitaire suivant Oz).

^L’onde E2 qui ^est

d’intensit6 faible A une frdquence w2 et ^{son vecteur} d’onde k2 ^{fait un} petit angle 0 ^{avec la direction}

Oz. Les fr6quences w, ^et W2 ^sont voisines d’une

fr6quence atomique wo ^{mais les} désaccords 6i =

w 0 - w sont supposes ^tres grands devant les largeurs Doppler ^et homog6nes ^{de la} transition. Le but de cet

article est d’6tudier le transfert d’6nergie ^{entre les}

ondes Ei ^et E2 dans diff6rents syst6mes atomiques,

pour des ondes qui ^{sont soit de mdme} polarisation,

soit de polarisations orthogonales. On calculera donc le gain pour 1’onde E2 ^en presence ^{de 1’onde}

intense Ei. On 6tudiera en particulier ^{comment le} gain ^{varie en} fonction du taux de collisions d6phasan-

tes et en fonction de la puissance ^de 1’onde pompe.

Quatre configurations ^ont ete 6tudi6es en d6tail.

2.1 SYSTTME A DEUX NIVEAUX FERMf. - Dans la

premiere configuration (Fig. la), ^le syst6me ^atomi-

que ^{est un} syst6me ^a deux niveaux ferm6. Ce

syst6me ^est constitue par ^un niveau fondamental b et un niveau excit6 a de durde de vie Ta ^{1. Le niveau}

excite ne peut par emission spontan6e que retomber

sur le niveau fondamental b. Le taux de relaxation de la coherence optique r ab ^en presence ^{de relaxa-}

tion collisionnelle s’£crit :

ou j3 ^decrit l’élargissement de la raie par collisions, p est ^la pression du gaz. On suppose, dans ^toute la

suite, que ^le d6placement ^{de la raie} peut ^etre négligé. ^{Dans cette} configuration, les ondes El ^et E2 ^ont bien entendu la meme polarisation.

2.2 SYSTTME A DEUX NIVEAUX OUVERT. - Dans la seconde configuration (Fig.1b), les ondes El ^et E2 ^{ont meme} polarisation ^{mais le} syst6me atomique

est ouvert, c’est-A-dire que le niveau excité peut retomber sur d’autres niveaux ou sous-niveaux que le niveau inf6rieur b. Par exemple, ^{c’est le cas d’une}

transition J =1, m = -1-> J = 0 interagissant ^avec

deux ondes El ^et E2 ^{de meme} polarisation ^circulaire

droite. Le niveau excite peut ^{retomber sur le niveau} b de depart, mais aussi sur les sous-niveaux m

0 et m

+ 1 qui n’interagissent pas ^avec El ^et E2. ^Nous

avons fait le calcul dans le cas de cette transition.

Dans le cas d’un sys6me ^{ouvert, on sait} que l’on peut modifier la population du niveau infdrieur meme si on n’excite pas rdeflement le niveau excit6 A

cause du processus de diffusion Rayleigh. Ce proces-

sus est responsable ^du pompage optique ^{du niveau}

fondamental. On s’attend donc a avoir du gain

meme en 1’absence de collision. D’autre part, ^les

taux de relaxation du niveau fondamental dtant tr6s faibles devant le taux de relaxation de la population

du niveau excite Ta, ^{on s’attend dans ce cas A ce} que

1’amplification ^se produise pour des valeurs de l’intensitd du faisceau _pompe beaucoup plus ^faibles

que celles envisagdes pour ^un syst6me ^fermd.

2.3 SYSTEME A TROIS NIVEAUX EN V.

Dans cette

configuration (Fig.lc), ^le syst6me atomique ^est

constitud par ^un niveau fondamental b et deux niveaux excitds a et a’ de meme parite. ^L’onde El ^est supposde interagir uniquement ^sur la transition b - a tandis que 1’onde E2 interagit uniquement ^sur

la transition b - a’. On suppose que les deux niveaux

a et a’ ne peuvent ^se desexciter qu’en ^{retombant sur}

le niveau b.

Dans ce syst6me, ^les collisions détruisent les cohdrences optiques P ab et p a, b mais aussi la cohe-

rence pa’a susceptible ^d’induire le processus d’ampli-

fication. En presence ^des collisions, ^{les taux de}

relaxation r ab’ r a’ b ^et r aa’ ^sont respectivement

notes :

2.4 SYSTEME A TROIS NIVEAUX EN A.

Dans cette

configuration (Fig.ld), ^le syst6me atomique ^est

constitud par deux niveaux inf6rieurs b et b’ et un

niveau sup6rieur ^{a. L’onde} El interagit ^{sur la transi-}

tion b-a et l’onde E2 ^sur la transition b’-a. On consid6re un syst6me ouvert, c’est-A-dire que ^le niveau a peut ^se desexciter vers d’autres niveaux que les niveaux b et b’. C’est par exemple ^{le cas d’une}

transition 1-0 interagissant ^{avec deux ondes} El ^et E2 respectivement polarisdes a, ^{et a-.} Nous avons

d’ailleurs effectud les calculs dans le cas de cette transition. Dans ce système, ^{comme dans la seconde} configuration envisagée, ^le pompage optique joue

de faqon ^{dvidente un role} important.

Dans ces quatre configurations, 1’excitation est

suppos6e ^non r6sonnante (I ð i 3c ku ), ^{mais la diff6-}

rence de frequences 103B41 - 03B421 ^est suppos6e ^tr6s petite ^{devant le} d£saccord Bi I (i = 1, 2). ^L’onde E2, d’intensitd faible, ^est suppos6e ^{non saturante,}

c’est-A-dire _{que la} frdquence ^{de Rabi} n2

d’E2/h

est tr6s petite devant le disaccord 1821 (d’ ^est

1’616ment de matrice du dip6le dlectrique ^{entre les}

niveaux relies par E2). Pour calculer la r6ponse atomique, ^{on se} limite donc a l’ordre un en champ E2. Par contre, pour l’onde intense El, ^{on fera le}

calcul en deux temps : ^{dans le} paragraphe III ; ^{on se}

limitera d’abord A un calcul A l’ordre 3 en El (on

suppose bien entendu que nl = de,lh « 181 1) ^tan-

dis que dans le paragraphe IV, ^la r6ponse atomique

est calcul6e a tous les ordres en 1 Ell.

Pour simplifier ^{la sommation sur les vitesses, on}

suppose que 1’effet Doppler residuel kOu est tr6s

petit ^{devant tous les taux} de relaxation atomique r a’ r b’ rab.

3. Résultats perturbatifs à ^{l’ardre 3} en I Ell.

Le syst6me atomique ^{est soumis a l’action d’un} champ El d’amplitude E1 ^{et de} polarisation el ^et d’un

champ E2 d’amplitude 82 ^{et de} polarisation e2, le champ total s’écrit:

La polarisation atomique s’exprime ^{en fonction des} susceptibihtds ^non lindaires x 1 ^et X 2 ^sous la forme :

X2 ^est calcul6 en r6solvant 1’equation de la matrice

2030

densite _p perturbativement ^{a l’ordre 3 en} 81 ^{et à}

l’ordre 1 en 82. ^{On en ddduit la} partie imaginaire X 2. de X 2 qui ^est proportionnelle ^au coefficient

d’amplification par unitd de longueur - k2 X2 (k2 = ’021C)-

3.1 SYSTTME FERMÉ A DEUX NIVEAUX. - Dans le

cas de ce syst6me, ^{on obtient} [3] :

ou X0, la susceptibilitd lindaire, ^est egale ^à

N d2/E0 ^{h52 (N est le} nombre d’atomes par unitd de

volume).

Le premier ^terme correspond ^a 1’absorption

lin6aire du faisceau E2. ^Le premier ^{effet bien connu}

des collisions d6phasantes ^est d’augmenter 1’absorp-

tion lin6aire. Le second terme peut ^{etre soit} positif

soit n6gatif ^{selon le} signe ^de (w1 - to 2) 8 2. ^{Ce terme}

n’existe qu’en presence ^{de collision} (pp =A 0). ^Une amplification ^n’est susceptible ^{de se} produire que si le second terme est n6gatif, c’est-A-dire si

8 1 - (B 2 - ð 1) ^est n6gatif. ^{En outre, il faut} que ^le second terme soit sup6rieur ^au premier, ^ce qui

conduit à :

A pression suffisamment dlev6e (03B2p > r a), l’inégali-

te pr6c6dente ^{devient :}

Cette indgalit6 peut ^etre v6rifide meme lorsque 03A91 I ð11 ] car I ð 11 1 ^{est tr6s grand devant Ta. Lors-}

que ^ces conditions sont verifies, ^une amplification

de l’onde E2 par mdlange A deux ondes apparait possible.

3.2 SYSTÈME OUVERT A DEUX NIVEAUX. - Les deux ondes Ei ^et E2 ^{de meme} polarisation ^circulaire

droite interagissent ^{sur la} transition b-a reliant le sous-niveau m = - 1 du niveau infdrieur b au niveau

supdrieur ^a qui ^{est un niveau de moment} cindtique

nul. Le syst6me ^{b-a est un} syst6me ^{ouvert car}

l’atome excitd dans le niveau a peut ^{retomber avec} des probability 6gales ^dans les trois sous-niveaux Zeeman. Le calcul A la limite de Kerr en l’absence de collisions de X 2 ^{nous donne :}

ou Tp ^{est le temps de pompage dgale à} (n f r ab) /2 ð f ^et _yg ^{est le taux de} relaxation du niveau fondamental. Le premier ^terme correspond ^à 1’absorption ^{lin6aire. Le} premier ^{effet de l’interac-}

tion avec l’onde intense Ei ^{est de} diminuer la

population du sous-niveau m = - 1 par pompage

optique ^et donc de diminuer 1’absorption pour l’onde E2. ^{Le second} terme, qui peut ^etre ndgatif ^si 8 1 (B 2 - 5 1 ) ^est ndgatif, correspond ^{a la creation}

d’un reseau de population ^{module dans le niveau}

fondamental. Ce terme, ^{dans le cas} d’un syst6me

ouvert, ^{existe en} 1’absence de collisions car on peut creer un reseau reel dans le niveau fondamental sans

avoir de reseau reel dans le niveau excite. On voit que le second terme est sup6rieur ^au premier lorsque :

D’autre part, la formule (8) ^{a ete dtablie en}

supposant le pompage optique ^non saturd, ^c’est-a- dire Fp yg. ^{Comme le} param6tre Fab/ 18 1 ^est petit (typiquement de l’ordre de 10-3), ^{on voit} qu’on peut ^avoir amplification de l’onde E2 ^sans

saturer le pompage optique. D’apr6s (9), l’amplifica-

tion est susceptible ^{de se} produire lorsque 12, ^{1 est} sup6rieur ^a ,/615 1 yg, ^{ce qui} correspond ^{a des}

intensitds _pompes beaucoup plus ^faibles que pour ^un

syst6me ^fermd.

3.3 SYSTTME A TROIS NIVEAUX EN V.

Pour ce

syst6me, ^{on obtient :}

Dans ce syst6me, le processus de gain provient ^de

la crdation d’un r6seau de coherence entre les niveaux a et a’, ^ces coh6rences relaxent avec un taux

r aa’ qui ^{determine la} largeur ^de la courbe de gain.

On voit que ^le gain ^n’est susceptible ^d’exister qu’en presence ^de collisions (yap :0 0) ^et qu’il ^est supdrieur

A l’absorption lin6aire si :

A pression ^6,levde (.Bp >> r a/2)’ il ^{faut que}

d2 1 2:::. -Sfraa’ 15 1 , condition que 1’on peut ^rdaliser meme lorsque d2l .--c I ð I ^{Le calcul} perturbatif ^à

l’ordre 3 semble indiquer qu’il peut y avoir amplifica-

tion de 1’onde E2 pourvu ue ð ð2 - ð1) ^soit n6gatif

et d2l 1 soit supérieur ^a 18 ^{I r a’ao Nous verrons que}

ce r6sultat ne subsiste pas dans le ^cas d’un calcul A

tous les ordres.

3.4 SYSTÈME EN A.

La resolution perturbative ^à

l’ordre 3 en champ ^des 6quations devolution de la matrice density donne pour X2" 1’expression ^sui-

vante :

On voit que l’interaction avec l’onde intense El augmente 1’absorption ^{lindaire. Cet effet est du au}

pompage optique qui ^{transfere les atomes du sous-}

niveau m = -1 vers les sous-niveaux m

0 et

m = 1. Le deuxi6me terme proportionnel ^a f2 2

existe meme en 1’absence de collisions. Il correspond

a la crdation d’un rdseau module de cohdrence Zeeman entre les sous-niveaux m = - 1 et m = + 1 dans le niveau fondamental. Ce terme est un terme de gain ^si 51 (52 - 61) ^est ndgatif ^{et il est} supdrieur ^à l’ absorption lin6aire si :

Cette indgalit6 ^{est v6rifide} pour des intensity tr6s faibles ne saturant pas le pompage optique (l2 f : 21 -3 1 yg x (15 1 )/(1’ab))- Cependant, le calcul fait

au paragraphe ^{suivant et} impliquant ^{les termes}

d’ordre sup6rieur ^en 03A91 ^montre que la conclusion concemant l’amplification ^{doit etre} reexamin6e.

4. Calcul a tous les ordres en 6X i.

Le calcul perturbatif ^{a l’ordre 3 en} l21 ^{effectud au} paragraphe pr6c6dent semblerait indiquer que ^{l’on a}

amplification ^{de l’onde} E2 ^{dans les} quatre configur-

ations 6tudides. Dans ce paragraphe, ^{nous allons}

discuter le r6sultat du calcul a tous les ordres en

03A91 qui ^montre qu’en ^{fait il ne} peut jamais y avoir

d’amplification lorsque ^les ondes pompe ^et sonde

interagissent ^sur des transitions differentes.

Pour calculer X2" ^{a tous} les ordres en n l’ ^{on utilise}

une m6thode perturbative. Cette m6thode consiste à calculer d’abord la matrice densite (0)p ^{a l’ordre zero}

en n 2- et ^{a tous} les ordres en n 1. (0) p ^est solution de

1’equation :

Ho ^est l’hamiltonien atomique, V, ^{ddcrit le} couplage

atomes-onde intense El ^et dp /dt I relax. d6crit 1’effet de la relaxation (emission spontan6e ^{+ collisions} d6phasantes). ^{Dans le cas des} configurations (1) ^et (3), ^{on est ramene au} probl6me ^d’un syst6me ^{a deux}

niveaux ferme interagissant ^{avec une} onde intense et la solution est bien connue [10]. On obtient :

avec

Dans le cas des configurations (2) ^et (4), ^{on est}

ramen6 a l’étude d’un syst6me ^{a deux niveaux}

)ouvert. ^{Si on suppose que Ta} > y g ^{et que} Fp est ^tr6s

petit ^devant Ta, ^on peut ndghger Ie niveau excit6 et

on obtient :

On cree aussi une coherence p ab qui ^{vaut :}

Connaissant (0)p, ^{on en ddduit} (1)p ^{en rdsolvant son} dquation devolution qui ^{s’écrit :}

ou V2 est l’hamiltonien d’interaction entre les atomes et l’onde E2. ^La resolution de cette equation ^est

laborieuse mais dvidente ; ^{elle nous donne en} par- ticulier la composante ^{de la} polarisation atomique

evoluant en exp - i (W 2 t - k2 - r ). ^A partir ^{de cette}

composante, ^{on obtient} X 2 et ^{donc sa} partie imagi-

naire X2". ^Nous ddtaillons maintenant les rdsultats dans les diverses configurations envisagdes.

4.1 SYSTEME FERMÉ A DEUX NIVEAUX.

Pour cette configuration, ^{on obtient :}

avec

Cette formule montre que l’amplification ^{de l’onde}

E2 ^existe 6galement ^en l’absence de collisions.

2032

Cependant, lorsque Pp

0, ^{le terme de} gain ^varie

comme x2, c’est-A-dire ^comme 03A914 (a l’ordre le plus

bas en d2l). ^{Ce terme} correspond a la creation d’un rdseau rdel d’atomes excites par le processus de diffusion a trois photons [3, 7]. ^{Le second terme de}

la formule pr6c6dente ^{varie comme une courbe en} dispersion qui ^{est maximum} lorsque 15 1 - ’6 21 ^est

dgal ^{a :}

On voit donc que ^la largeur ^{de cette} dispersion ^varie

de 7B ^a T ab lorsque ^x varie d’une valeur tr6s petite

devant 1 A une valeur tr6s grande ^{devant 1.} Lorsque

x 1, ^{on est dans un} regime ^{de taux de} pompage ^et

on crde un reseau de population ; par ^contre lorsque

x > 1, ^{on est dans un} rdgime d’oscillation cohdrente,

les fonctions d’onde des niveaux a et b dtant

compl6tement mélangées par l’interaction ^avec le

champ pompe. Le maximum du gain A ^intensite

D2 ^{donn6,e est} égal à :

Pour qu’il y ait amplification, il faut que le second terme soit supdrieur ^au premier ; ^{il faut} donc que :

En 1’absence de collisions, ^{la condition} d’amplifi-

cation s’£crit :

Dès ue le ^taux de collision est supérieur ^a

/2r,b ,,

Ta I ¡; t ’ ^, la valeur de 1’intensite critique ^{est la}

meme que ^celle obtenue par ^un traitement pertur- batif a 1’ordre 3, c’est-à-dire que ^la condition d’ampli-

fication s’ecrit :

Le calcul exact a ^tous les ordres montre donc

qu’avec ^{ou sans} collisions une amplification par

mdlange a deux ondes est possible pour ^un syst6me

ferme a deux niveaux.

4.2 SYSTEME OUVERT A DEUX NIVEAUX.

Dans cette situation, ^{nous avons} montre au paragraphe

3.2 que le processus de gain ^{existe en} 1’absence de

collisions, le reseau reel dans le niveau fondamental 6tant cree par diffusion Rayleigh. ^{Dans ce} para-

graphe ou l’on tient compte ^{a tous} les ordres de

l’interaction avec l’onde El, ^{on se limitera au cas ou}

il n’y ^a pas de collisions, c’est-A-dire ou rab ^est dgal ^à (Ta ⁺ r b) /2. ^{Le but de ce calcul est} de verifier que le gain ^subsiste lorsqu’on ^tient compte ^{de la satu-} ration par l’onde intense. Dans ^ces conditions, ^on

trouve pour X 2 :

avec

On voit que ^{le terme de} couplage ^{est maximum}

lorsque 152 - 811 [ ^est dgal ^{a :}

Il ne faut pas oublier que ^ce calcul ndglige compl6te-

ment la contribution du niveau excite, ^ce qui ^est justifid ^{si x est tr6s} petit ^{devant un.} N6anmoins, compte ^tenu de la tres grande difference existant entre yg ^et Fab, Felargissement de la courbe de gain

n’est a priori pas négligeable lorsque ^x augmente.

La valeur du maximum de X 2. ^a intensit6 donnde vaut :

Pour qu’il y ait amplification, ^{il faut} que le ^terme de

couplage ^soit supdrieur ^a l’absorption lineaire, ^c’est-

a-dire :

Le terme du second membre de la formule (31) ^est

une fonction croissante de n 1 ^{variant entre 0 et une}

valeur asymptotique S / (r a ⁺ r b) qui par hypoth6se

est tr6s grande. On voit donc qu’il suffit que

x soit supdrieur ^{a 6} yg/ ^{5 1 pour que} X" ^{soit ndgatif}

et que l’on ait amplification. N6anmoms, ^on peut remarquer ^sur la formule (30) que xf passe par ^un extremum lorsque ² Tp/3

yg. Pour la valeur cor-

respondante ^de l’intensit6,, ^le gain ^{est maximum}

pour S2 - 61 = 2013 ² yg ^{et ce maximum vaut -} Xo/S.

4.3 SYSTTME A TROIS NIVEAUX EN V.

Dans le

paragraphe 3.3, ^{on a dtudid le} gain A ^{l’ordre 3 en} n1 ^en presence ^de collisions. Rappelons qu’en

l’absence de collisions, ^une amplification ^{ne saurait}

exister A cet ordre de perturbation. ^{Ce calcul} pertur- batif, qui ^{est a} priori valable si f2l -. 18 1 1 ^semble

indiquer ^la possibilite ^d’une amplification ^des que

03A912 > r a’ a I ð I. Cependant, le calcul a tous les ordres

nous montre qu’en presence ^de collisions, il y ^a deux

param6tres ^de saturation a considérer : x

n r/ ð 2

et s = D 12/Fa 15 qui ^est grand ^{devant x. Nous allons}

dtudier en detail le comportement de X 2 lorsque

x est suppos6 ^tr6s petit ^{devant 1 mais s} quelconque.

Dans ces conditions, ^{on obtient :}

où

et

On voit qu’outre ^le gain ^non lineaire induit par

pression (second ^{terme du crochet} proportionnel ^à yp), ^il apparait ^{un nouveau terme} d’absorption (troisi6me ^{terme du} crochet) ^variant comme n 4 ^Le

terme en absorption ^{est maximum} lorsque :

On voit que ^la position de la resonance est ddplacde

sous 1’action de 1’onde El qui ddplace ^{les niveaux b}

et a tandis que ^le niveau a’ n’est pas d6placd. ^Plus pr6cisdment, ^{le niveau a en} presence ^{de l’onde}

intense Ei ^non r6sonnante est deplace [11], ^son 6nergie ^devient Ea + Iínf/4 ð1, ^par consequent

0 a’a qui ^est 6gal ^a (Ea’ - Ea)/Ií ^devient

Wa’a - nf/4 ð1.

Les positions ^{des extrema du second terme du}

crochet de (32) ^sont modifides de la meme manure par 1’effet de deplacement ^{lumineux. Le terme} suppl6mentaire d’absorption apparait a l’ordre 4 en

03A91 ^{car il} provient de la creation d’une population

rdelle dans le niveau a par excitation lumineuse assistee par collision. Cette population ^{est donc à}

l’ordre le plus ^bas dgale A (nf/ðf)(f3p/ra). ^A

partir ^{de cette} population r6elle dans le niveau

excite ^on cree par effet Raman (Fig. 2) ^{un reseau de}

cohdrence entre les niveaux a et a’. C’est la diffrac-

Fig. ^2.

Origine ^{des termes} d’absorption ^{non lindaire} suppldmentaire pour E2 ^{dans le cas} d’un atome A trois niveaux en V. L’excitation assist6e par collision de ^a (Fig.

2a) ^est suivie d’un processus Raman ^{entre a et} a’ (Fig. 2b).

[Origin ^{of the non linear} extra-absorption ^{term of} E2 ^{for a V} type three-level atom. A collision-induced excitation of a (Fig. 2a) ^{is followed} by ^a Raman process between a and a’ (Fig. 2b).]

tion de l’onde El ^{sur ce r6seau} qui ^{induit un} champ E2 ^6voluant spatiotemporellement ^comme E2 ^mais

en opposition ^de phase. ^Il faut remarquer que le rapport ^{entre ce terme} d’absorption ^{et le terme de} gain ^{est de l’ordre de s} = n r/ r a ð ^{et qu’il n’est donc}

pas 16gitime ^{de le} negliger lorsque 03A912 > r a ⁵ (condi-

tion d’amplification ^{dans un} calcul limite a l’ordre

3).

Pour savoir si l’onde E2 peut ^etre amplifiée, ^{il faut}

calculer le maximum en fonction de A de la somme

des termes induits par pression. ^{Cette somme est}

maximum _pour:

Pour simplifier l’écriture des formules,, ^on pose y

2 y /13 ^{et on utilise a nouveau s}

nr/Fa ^6.

Avec ces notations, ^la position ^{des extrema s’écrit :}

Si on suppose ⁵ > 0, ^{les termes} induits par pression

du crochet de (32) ^valent pour d = 0394+ :

Le premier ^terme correspond ^a 1’augmentation ^de l’absorption ^{lindaire, le second terme} correspond ^à

la valeur extr6male de la difference entre le gain ^et 1’absorption ^non hndaire induites par collision. On

va montrer que le premier terme est toujours supdrieur ^au second. Le second est une fonction de

s, c’est-A-dire de nf qui ^{atteint sa valeur maximale}

2034

lorsque ^{s tend vers} l’infini. Cette valeur maximale est dgale ^{a :}

Il suffit donc de montrer que :

pour ^montrer que 1’effet global ^des collisions est

d’augmenter l’absorption. ^{Le facteur} r a/ r a’ a ^dtant

infdrieur a 2, ^il suffit de montrer :

pour ddmontrer l’indgalitd (38). La demonstration de cette indgalit6 ^est donn6e dans 1’appendice ^en

partant ^des definitions de y, .8 ^et 03B2’ [12] ^{et en}

utilisant l’inégalité ^{de Schwartz.}

Cette in6galit6,6tant ^{vérifiée, on en deduit} qu’il ^ne peut y avoir amplification ^{de l’onde faible} E2 ^{dans un} syst6me a trois niveaux en V lorsque l’onde pompe et l’onde sonde ont des polarisations ^crois6es.

4.4 SYSTTME A QUATRE NIVEAUX EN A.

Pour ce

syst6me, la valeur de 2 " ^{a tous les ordres en} n 1 est dgale

avec

On voit donc qu’il existe aussi dans ce syst6me ^un

terme d’absorption suppldmentaire qui apparait ^à

l’ordre 4 en f2l. Contrairement au syst6me envisage

dans le paragraphe prdcddent, ^cette absorption ^sub-

siste en l’absence de collisions (p

0). ^Cette absorp-

tion est due a la cr6ation par diffusion Rayleigh

d’une population rdelle dans le niveau b’. Comme dans le syst6me prdcddent, ^le rapport ^{entre 1’extra}

absorption ^{et 1’extra} gain ^{est de l’ordre} de f2llyg ⁵

et il n’est pas Idgitime ^{de se} limiter a un calcul à l’ordre 3 des lors que f22::. 1 ’YgISI.

La somme des deux demiers termes de 1’equation (40) ^{est extr6male} lorsque 3 ^est egal ^{a :}

avec

Si on suppose ⁵ positif, le minimum de cette somme se produit pour d_ ^et la valeur de X2" ^{vaut en cet}

extremum :

Le calcul perturbatif (cf. paragraphe 3.4) prdvoit qu’il y ^a amplification des que s’ est supdrieur ^ou dgal A 1 ; ^{or s’ est} 6gal A (112)(Tp/yg)(8/Tab) ;

comme le rapport B/Fab ^{est de l’ordre de} 103, ^on’

voit que ^l’on peut satisfaire simultandment s’ > I,

Tp ^« yg. ^{On peut donc} supposer que le pompage

optique ^{est non sature} (F p yg) ; ^{dans ces condi-}

tions, la formule (42) ^{se réécrit:}

On a obtenu ^cette formule en supposant que

Fab ^et T ab, ^sont egaux. ^{Le second} terme est une

fonction monotone croissante qui ^{tend vers 1/2} lorsque ^{s tend vers l’infini. On voit donc} qu’a ^la

limite d’une tr6s grande ^intensite f2 2, F absorption ^de

l’onde E2 ^{est diminuee} par ^un facteur 2. Ce calcul ne

prdvoit donc pas ^une amplification de l’onde sonde

E2 ^{dans un} syst6me A ^{trois niveaux en A.}

5. Conclusion.

Les principaux rdsultats de ce travail sont donc les suivants :

-

Contrairement a ce que semble indiquer ^un

calcul au troisi6me ordre, ^une amplification par

mdlange a deux ondes n’est pas possible lorsque ^les

faisceaux pompe ^et sonde interagissent ^{sur des}

transitions diff6rentes. En particulier, il n’est pas

possible d’utiliser des polarisations orthogonales

pour ^ces faisceaux.

-

En revanche, ^une amplification ^est susceptible

d’exister lorsque ^les faisceaux pompe ^{et sonde}

interagissent ^sur la meme transition. Le calcul a tous les ordres en champ confirme alors les rdsultats du calcul a l’ordre le plus ^bas.

-

Dans le cas d’un syst6me ^{ouvert, le seuil} d’amplification apparait pour des intensitds du fais-

ceau pompe plus petites que dans le ^cas d’un systeme

ferme. Le maximum de 1’amplification ^se produit

alors pour ^un ddsaccord entre faisceau pompe ^et

sonde de l’ordre du temps de relaxation du niveau

fondamental.

Appendice.

La definition de la partie collisionnelle Tab de Tab ^est [12] :

N est le nombre de perturbeurs par unite de volume.

On int6gre ^{sur toutes} les valeurs du param6tre d’impact ^{b et de la} vitesse relative v. f (v ) ^{est la}

distribution de Maxwell-Boltzmann. _{cp est} le dépha-

sage de la coherence optique p ab produit par ^la collision.

On a de meme :

On voit donc que ^l’on peut ^ecrire r c , ra’ b

ou f (x ) ^et g (x) ^sont des fonctions complexes. ^En

utilisant les relations (44), (45), (46), (47) ^et (48), ^il

est facile de montrer, par ^une ddmarche s’inspirant

de [13], que :

En utilisant l’indgalitd ^{de Schwarz :}

et

On en ddduit donc que :

Comme nous avons suppose que ^{les trois taux de} relaxation rba, rca, b ^et rjg, ^{sont r6els, nous en}

ddduisons l’indgalit6 :

qui, compte ^{tenu de nos} definitions, ^{s’écrit :}

Bihliographie [1] ^{WHITE, J. D.,} CRONIN-GOLOMB, M., FISHER, ^{B. and}

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