PARTICULE DANS UNE BOˆITE 1D
On consid`ere une particule de masse m dans une boˆıte de potentiel infinie de largeuradans la direction x. Il a ´et´e vu dans le cours que les solutions station- naires, fonctions propres de l’´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps, s’´ecrivent sous la forme suivante :
ψn(x,t) =p
2/asin(nπx/a)e−~iEnt avecEn =π2~2n2 2ma2
1. Pourquoi les fonctionsψn(x,t) sont-elles dites stationnaires ? Donner l’ex- pression d’une fonction d’onde g´en´eraleψ(x,t) solution de l’´equation de Schr¨odinger. Pour ´ecrire cela, quel principe de la m´ecanique quantique avez-vous utilis´e ?
2. Montrer que les fonctions d’onde ψn(x,t) forment une base orthonorm´ee dans l’espace des fonctions d’onde.
3. On consid`ere la particule dans un ´etat propre ψn. Calculer la position moyenne de la particule,< x >, et son ´ecart type ∆x. Calculer l’impulsion moyenne de la particule,< p >, et son ´ecart type ∆p. Calculer le produit
∆x∆p. Commenter.
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