Constructions d’espaces topologiques

Ecole Normale Sup´´ erieure – FIMFA – Ann´ee 2010-2011 Travaux dirig´es de Topologie et Calcul diff´erentiel Franc¸ois B´eguin

Feuille d’exercices n

4

Constructions d’espaces topologiques

1 -

Comparer la topologie usuelle deR² avec la topologie (dite faible) induite par les droites affines (munies de leur topologie usuelle), c’est `a dire la topologie induite par les familles d’applications iD : D ,→ R<sup>2</sup> o`u D parcourt l’ensemble des droites affines.

2 -

On consid`ereA={0,2} (muni de la topologie discr`ete) et l’application

ϕ:







A^N→[0,1], (ai)7→

+∞

X

i=1

ai

3ⁱ⁺¹.

On appelle ensemble de Cantor l’image de ϕque l’on note C. On munira A^N de la topologie produit etC de la topologie induite parR.

1. Montrer queϕd´etermine un hom´eomorphisme entre A^Net C.

2. Montrer queA^Nest hom´eomorphe `aA^N× · · · ×A^N

| {z } k fois

, quel que soit k≥1.

3. D´eterminer une surjection continue deA^N vers [0,1].

4. Conclure qu’il existe une application continue de [0,1] dans [0,1]^k, surjective. Autrement dit, il existe des courbes (dites de Peano), remplissant le cube de dimension k. Une telle application peut-elle ˆetre un hom´eomorphisme ?

3 -

Soitpun nombre premier etπn6m:Z/p^mZ→Z/pⁿZla projection canonique obtenue ne prenant les classes modulopⁿ(n, msont des entiers). Montrer que lesπn,mforment un syst`eme projectif d’espaces topologiques discrets. On note Zp:= lim

← Z/p^mZl’espace topologique limite projective desπ_n≤m. 1. Montrer queZp est normal.

2. Montrer que Zp est hom´eomorphe `a l’ensemble de Cantor triadique C d´efinit dans l’exercice pr´ec´edent (on pourra traiter par le casp= 2, et utiliser la question 1 de l’exercice 2)

4 -

Soit X un espace topologique et R une relation d´equivalence sur X. On note π: X →X/Rl’application canonique qui `ax∈X associe sa classe d’´equivalence [x]∈X/R.

1. Montrer qu’il existe un unique (`a hom´eomorphisme pr`es) espace topologiqueXe et application continue p : X → X, constante sur chaque classe d’´e equivalence de R, tels que pour toute application continue f :X→Y qui est constante sur chaque classe d’´equivalence deR, il existe une unique application continue¹ f˜: Xe → Y qui rel`eve f, c’est `a dire telle que f = ˜f ◦π. D´ecrire explicitement cette topologie. A quelle condition une applicationg:Xe →Z est-elle continue ? Montrer que sif est ouverte, ˜f est ouverte.

2. Montrer que siX est connexe alorsXe est connexe. Mˆeme question avec connexe par arcs.

3. Montrer que si X/R est s´epar´e alors le graphe R={(x, y), xRy} ⊂ X×X est ferm´e. Montrer que la r´eciproque est vraie si on suppose en plus queπ:X→X/Rest ouverte.

4. Donner un exemple d’espace s´epar´eX et de relation Rtels queX/Rsoit muni de la topologie grossi`ere.

Donner un exemple d’espace non-s´epar´e tel queX/Rsoit s´epar´e.

5 -

On munit le plan R² de la relation xRy si et seulement si x−y ∈ Z². On note T² l’espace topologique quotient² R²/R. On noteπ:R²→T² la projection canonique.

1. Soit Dα une droite de pente α ∈ R∪ {∞}. Montrer que si α ∈ Q∪ {∞}, π(Dα) est hom´eomorphe

`

a un espace topologique bien connu. Montrer que dans le cas contraire π(Dα) est dense dans T² et que π_|Dα :Dα→π(Dα) est une bijection continue. Est-ce un hom´eomorphisme ?

2. On fixe maintenant α∈R∪ {∞}et on munit T² de la relation [x]R⁰[y] si et seulement si il existe une droite de penteαdansR²telle que [x] et [y] sont dansπ(D). Montrer queR⁰est une relation d’´equivalence.

L’espace quotientT²/R⁰ est-il s´epar´e ? Identifier la topologie surT²/R⁰.

6 -

SoitX un espace topologique et f :X →Y une application continue.

1. Le cˆone sur X est l’espace topologique quotient C(X) := (X ×[0,1])/ (x,1) ∼ (y,1)

. Montrer que X s’identifie³ `a un sous-espace ferm´e de C(X) et que l’application (x, t)7→(f(x), t) induit une application continueC(f) :C(X)→C(Y), compatible avec la composition des applications et l’identit´e⁴.

2. La suspension de X est l’espace topologique quotient S(X) := (X ×[0,1])/R o`u R est la relation d’´equivalence engendr´ee par (x,1) ∼ (y,1) et (x,0) ∼ (y,0). Montrer que X s’identifie `a un sous-espace ferm´e deS(X) et que l’application (x, t)7→(f(x), t) induit une application continueS(f) :S(X)→S(Y), compatible avec la composition des applications et l’identit´e. Soit Sⁿ la sph`ere de dimension n. Identifier S(Sⁿ). Montrer queS(X)∼=C(X)/(X).

3. SoitX, Y deux espaces topologiques,Aune partie non-vide deX etf :A→Y, une application continue.

Lerecollement de X sur Y parf est l’espace topologique quotient X∪fY := (Xa

Y)/ x∼f(x), x∈A .

1ceci est une caract´erisation de la topologie quotient par unepropri´et´e universelle

2c’est en fait le quotient par les classes d´equivalence de l’action naturelle dugroupe topologiqueZ²surR² que l’on note en g´en´eral simplementR²/Z².

3c’est `a dire qu’il existe un hom´eomorphisme entreXet un sous-espace deC(X).

4Ces propri´et´es deC(f) traduisent sa fonctorialit´e

i) Que peut on dire si il existe deux applications continuesg:X →Z,h:Y →Z qui v´erifieg(a) =h◦f(a) pour touta ∈A ? Montrer que si Z ⊂X est un sous-espace non-vide de X, l’espace quotient X/Z s’identifie `a un recollement.

ii) Montrer queX∪fY est connexe siX etY sont connexes. Mˆeme question avec connexe par arcs.

iii) Montrer que siAest ferm´e, alorsY s’identifie `a un sous-espace deX∪fY. Si de plusX, Y sont compacts, montrer queX∪fY est compact.

7 -

On consid`ere les espaces topologiques suivants :

1. A est l’espace topologique obtenu comme quotient de R (muni de la topologie usuelle) par le sous- ensembleZ (attention, il ne s’agit pas du groupe topologiqueR par son sous-groupe Z; il s’agit du quotient de l’espace topologiqueRpar son sous-ensembleZ) ;

2. B est l’espace topologique quotient du cercle unit´eS¹ par son sous-ensemble{1} ∪ {exp(2iπ/n), n∈ N^∗}

;

3. R1est le sous-espaces du plan euclidienR²donn´e par la r´eunion des cercles de rayonn∈Net tangents en (0,0) `a l’axey= 0 ;

4. R2est le sous-espaces du plan euclidienR²donn´e par la r´eunion des cercles de rayon 1/n(avecn∈N^∗) et tangents en (0,0) `a l’axex= 0 ;

5. W

ZS¹ est l’espace topologique donn´e par le recollement de X = `

ZS¹ sur le point Y = {pt} par l’unique applicationf :F→ {pt}o`uF=`

n∈Z{xn}est une r´eunion de points (on choisit exactement un point par cercle).

Dire lesquels de ces espaces sont hom´eomorphes entre eux.

8 -

L’espace projectif r´eel de dimensionnest l’espace topologique des droites vetcorielles de Rⁿ⁺¹ qui est, par d´efinition, l’espace topologique quotient

Pⁿ(R) := (Rⁿ⁺¹− {0})/R^∗

o`u le groupe multiplicatif R<sup>∗</sup> agit par multiplication scalaire. On d´efinit de mˆeme l’espace projectif com- plexe P<sup>n</sup>(C) := (C<sup>n+1</sup>− {0})/C<sup>∗</sup>. On note [x<sub>1</sub> : · · · : x<sub>n+1</sub>] la classe d’´equivalence dans P<sup>n</sup>(R) du point (x<sub>1</sub>, . . . , x<sub>n+1</sub>)∈R<sup>n+1</sup>(et de mˆeme dansC). On d´efinit aussiP^<sup>n</sup>(R) =S<sup>n</sup>/{±1}, o`u{±1}agit sur la sph`ere comme pr´ec´edemment. Enfin, on notera Bⁿ la boule unit´e ferm´ee de Rⁿ.

1. On identifie dans cette question R² `aC, etS¹ au cercle unit´e deC.

a) On consid`ere la fonction f(z) = z² (z ∈ S¹). Montrer que f d´efinit par passage au quotient un hom´eomorphisme deP^¹(R) surS¹.

b) A quel espace topologique bien connu` P¹(C) est-il hom´eomorphe ?

2. Montrer quePⁿ(R) etPⁿ(C) sont connexes par arcs.

3. Montrer que Pⁿ(R) et P^ⁿ(R) sont hom´eomorphes et qu’ils sont aussi hom´eomorphe `a l’espace quotient B<sup>n</sup>/∼, o`ux∼xpour tout x∈Bⁿ et x∼ −xpour tout x∈Sⁿ⁻¹ =∂Bⁿ. Quel r´esultat analogue peut-on

´

enoncer pourPⁿ(C) ?

4. Montrer quePⁿ(R) etPⁿ(C) sont compacts⁵.

5. SoitH un hyperplan deRⁿ⁺¹. Montrer que l’image deH dansPⁿ(R) est hom´eomorphe `aPⁿ⁻¹(R). Est-ce encore vrai pourPⁿ(C) ?

6. Montrer quePⁿ(C) peut s´ecrire comme une suite finie de recollements d’espaces topologiques bien connus (et bien compris).

7. (plus difficile) Montrer que Pⁿ(R) est m´etrisable. Qu’en est-il dePⁿ(C) ?

5On rappelle qu’un espace compact est s´epar´e par d´efinition