ECE2 Algèbre 1 - Espaces vectoriels - Généralités Septembre 2021 - EXERCICE1 -
Les ensembles suivant sont-ils des espaces vectoriels ? 1. L’ensembleDdes matrices diagonales d’ordre 3.
2. L’ensemble S des matrices triangulaires supé- rieures d’ordre 3.
3. L’ensembleT des matrices triangulaires d’ordre 3.
4. L’ensembleN des suites convergeant vers 0.
5. L’ensembleIdes suites divergeant vers+∞.
6. P0=©
P∈R[X]|P(0)=P′(0)=0ª 7. P1=©
P∈R2[X]|P′(0)=0ª . 8. P2=©
P∈R[X]|deg(P)⩾3ª. 9. F1=©
f∈F(R,R)|fest croissante surRª . 10. F2=©
f∈F(R,R)|fest paire surRª .
- EXERCICE2 -
Justifier que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels en déterminant une famille génératrice.
1. A=©
(x−y,x+y, 2x−3y), (x,y)∈R2ª 2. B=
x y z
∈M3,1(R)|
(−x+2y=y+6z y+3z= −2x
3. C=©
(x,y,z)∈R3|x+2y−3z=0ª
4. D=
x+z 2x−y z y−x z+2y x+z
0 2x x−z
, (x,y,z)∈R3
5. E=©
P(X)=a X2+(b−2a)X+a−b+c, (a,b,c)∈R3ª 6. F={P∈R3[X]|P(0)=P(1)=0}
- EXERCICE3 -
SoitAune matrice deM2(R). On considère les ensemblesE1(A) etE2(A) suivants : E1(A)={M∈M2(R);A M=M} et E2(A)={M∈M2(R);A2M=AM}
1. Montrer queE1(A) etE2(A) sont des sous-espaces vectoriels deM3(R).
2. Montrer que : E1(A)⊂E2(A) et que, siAest inversible, alorsE1(A)=E2(A).
3. On suppose dans cette question queA= µ1 1
0 1
¶ . (a) Déterminer une famille génératrice deE1(A).
(b) En déduire une famille génératrice deE2(A).
- EXERCICE4 -
On considère la matriceA= µ2 1
−1 2
¶
∈M2(R) etF={M∈M2(R)|AM−M A=0}.
1. Montrer queF est un espace vectoriel et queF=Vect (A,I2).
2. Montrer que pour tout entiern,An∈F.
3. En déduire que pour tout entiern, il existe deux réelsanetbntels queAn=anI+bnA.
- EXERCICE5 -
On considère l’ensembleG=©
(x,y,z)∈R3| −x+y−z=0ª . Montrer queG=Vect ((1, 1, 0); (1, 2, 1)).
- EXERCICE6 -
On considère l’ensemble Sn(R)=©
M∈Mn(R)|tM=Mª . 1. Montrer queSn(R) est un sous-espaces vectoriel deMn(R).
2. On supposen=2. Déterminer une famille génératrice deS2(R).
- EXERCICE7 -
1. DansM3,1(R), exprimer le vecteur
4
−1 1
comme combinaison linéaire des vecteurs
0 1 1
,
2 0
−1
,
2 1 1
.
2. DansM2(R), montrer que la matrice µ3 0
6 4
¶
n’est pas une combinaison linéaire des matrices µ2 1
3 0
¶ ,
µ1 −1
0 2
¶
? –1/2–
- EXERCICE8 -
Soienta,betcdes réels. On considère les matrices deM3(R) suivantes : I=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
J=
0 0 1 0 1 0 1 0 0
A=
0 1 0 1 0 1 0 1 0
Ma,b,c=
a b c
b a+c b
c b a
et F l’ensemble des matrices de la formeMa,b,c: F=©
Ma,b,c, (a,b,c)∈R3ª . 1. Montrer queFest un espace vectoriel.
2. ExprimerA2comme combinaison linéaire deI,AetJpuis montrer que :F=Vect¡ I,A,A2¢
. 3. La famille¡
I,A,A2¢
est-elle libre ? - EXERCICE9 -
Les familles suivantes sont-elles libres ou liées ? 1. ((4,−16, 10); (4,−5, 3)) dansR3.
2. ((−1, 0, 1); (1,−1, 1); (0, 1, 2)) dansR3. 3. ((1, 1, 1, 1); (1, 2, 3, 4); (1, 2, 8, 16)) dansR4. 4. ((2, 2, 2); (0, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1)) dansR3. 5. ¡
X2;X2+X+1¢
dansR2[X].
6. ¡
X2;X2−X;X2+X¢
dansR[X].
7. ¡
X2,X(X−2); (X−2)2¢
dansR2[X].
8.
µµ1 −2
0 1
¶
; µ−3 6
0 −3
¶¶
dansM2(R).
9.
µµ1 0 0 1
¶
; µ1 −2
0 1
¶
; µ3 6
0 −3
¶¶
dansM2(R).
Pour aller plus loin...
- EXERCICE10 -
On considère les ensembles Sn(R)=©
M∈Mn(R)|tM=Mª
etAn(R)=©
M∈Mn(R)|tM= −Mª . 1. Montrer queSn(R) etAn(R) sont deux sous-espaces vectoriels deMn(R).
2. Démontrer que pour toutM∈Mn(R), il existeS∈Sn(R) etA∈An(R) telles que :M=S+A.
On pourra supposer que cette relation est vérifiée pour trouver des candidats pour les matrices S et A.
- EXERCICE11 -
On rappelle que l’ensemble des suites numériquesRNest un espace vectoriel et on considère le sous ensemble R={(un)n∈N| ∀n∈N,un+2=4un+1−4un}
1. Montrer queRest un sous-espace vectoriel deRNen déterminant une famille génératrice.
2. Cette famille est-elle libre ? - EXERCICE12 -
On noteEl’espace vectoriel des applications deRdansRetFle sous-espace vectoriel deEengendré par les quatre fonctionsf0,f1,f2etf3définies par :
∀x∈R, f0(x)=1,f1(x)=x,f2(x)=ex,f3(x)=xex. On note :B=¡
f0,f1,f2,f3¢ .
1. Montrer que toutes les fonctions deFsont dérivables surR. 2. On souhaite montrer dans cette question que la familleB=¡
f0,f1,f2,f3
¢est une famille libre deF.
Pour cela, on considère (a,b,c,d)∈R4ethla fonction définie surRpar : ∀x∈R,h(x)=a+bx+cex+d xex. (a) Pour toutxréel, calculerh′(x),h′′(x) et vérifier que h′′′(x)=(c+3d)ex+d xex.
(b) Montrer que sih(x)=0 pour toutx∈R, alors les réelsa,b,cetdvérifient le système :
a+c = 0 b+c+d = 0 c+2d = 0 c+3d = 0 .
On pourra évaluer les fonctions de la question précédentes pour une valeur de x bien choisie.
(c) En déduire que queBest une famille libre deF.
–2/2–
