Caractérisation des isométries
Proposition 1 ([Gou, p. 329]). Soient E un espace euclidien (de dimension finie), et f:E →E de classeC1 telle que pour toutx∈E,dxf est une isométrie linéaire deE. Alorsf est une isométrie affine deE.
Preuve.
Étape 1. daf est une isométrie pour touta∈Edonc d’après l’inégalité des accroissements finis,kf(x)−f(y)k6 kx−yk pour tousx, y∈E. Soita∈E.daf ∈O(E)⊂GL(E)donc d’après le théorème d’inversion locale f induit un isomorphisme
f: a∈Ua−→f(a)∈Vf(a) x7−→X :=f(x),
et quitte à se restreindre à une boule centrée enf(a)et incluse dansVf(a), on peut supposerVf(a)convexe.
CommedXf−1= (dxf)−1est encore une isométrie, on a donc égalementkx−yk=kf−1(X)−f−1(Y)k6 kX−Yk=kf(x)−f(y)k pour tousx, y∈Ua.
Étape 2. Pour tousx, y∈Ua,
hf(x)−f(y), f(x)−f(y)i=hx−y, x−yi,
donc en différentiant par rapport à x,
∀h∈E, hf(x)−f(y),dxf(h)i=hh, x−yi puis, en différentiant par rapport à y,
∀(h, k)∈E2, hdxf(h),dyf(k)i=hh, ki.
D’où, puisquedxf etdyf sont des isométries,
∀h∈E, kdxf(h)−dyf(h)k22=kdxf(h)k22+kdyf(h)k22−2khk22
= 0.
df est donc constante surUa.
Étape 3. Soit A := {x ∈ E | dxf = d0f}. A est fermé (image réciproque du fermé {d0f} de Lc(E) par l’application continuedf), ouvert d’après la question précédente (pour touta∈A, a∈Ua ⊂A), et non vide (0 ∈A). E étant connexe, on en déduit que A=E. Ainsidf est constante, et df −d0f est nulle.
Par l’inégalité des accroissements finis, f −d0f est constante égale à (f −d0f)(O) =f(O). Finalement f(# —
OM) =f(O) +#—
f(# —
OM)pour toutM ∈E, où #—
f := d0f ∈O(E):f est une isométrie affine.
Références. [Gou, p. 329]
214 Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.
215 Applications différentiables définies sur un ouvert deRn. Exemples et applications.
[Gou] XavierGourdon: Analyse. 2ème édition.
benjamin.dadoun@ens-cachan.fr – v20140910 1/1
