Un théorème des fonctions implicites pour les espaces d’applications <span class="mathjax-formula">$C^\infty $</span>

P UBLICATIONS MATHÉMATIQUES DE L ’I.H.É.S.

V ALENTIN P OÉNARU

Un théorème des fonctions implicites pour les espaces d’applications C

Publications mathématiques de l’I.H.É.S., tome 38 (1970), p. 93-124

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POUR LES ESPACES D'APPLICATIONS C

par VALENTIN POÉNARU (1) Faculté des Sciences d'Orsay

INTRODUCTION

Ce travail est un essai pour dégager un « vrai » théorème des fonctions implicites à partir des travaux de J. Mather sur la stabilité (structurelle) des applications C00

(voir [3], [4], [6]) et s'inspire d'une manière très essentielle de ses méthodes.

On rappelle que le théorème des fonctions implicites est faux, en général, pour les espaces de Fréchet (ou même les espaces nucléaires), en particulier pour les espaces d'applications infiniment différentiables d'une variété dans une autre.

On va considérer ici trois variétés G00 : X^, X, Y (disons compactes, en une première étape, puisque dans le cas localement compact les choses s'énoncent d'une manière moins jolie), un sous-groupe G c DiflF00 (X^), un sous-ensemble McC^XyY) et une appli- cation « différentiable » 0 : Gx M—"M ayant des propriétés qui généralisent légèrement celles d'une action de groupe. G et M ne sont pas localement des E.V.T., donc ce ne sont pas nécessairement des variétés infinies, mais ils satisfont seulement à quelques conditions très faibles qui sont toujours trivialement satisfaites pour les sous-variétés Fréchétiques des espaces d'application G'0. Ges propriétés seront explicitées au chapitre suivant et définissent ce qu'on va appeler les variétés faibles (il faudrait dire « très faibles »). O est assujetti, en plus, à quelques conditions « algébriques », plus ou moins raisonnables, en termes de structures de modules sur les anneaux de fonctions G°°. C'est le point de vue utilisé par Malgrange [i] et Mather [3], et qui nous semble pouvoir remplacer avanta- geusement, ici au moins, les E.V.T.

Notre résultat principal est que le théorème des fonctions implicites reste vrai pour les orbites de 0. Au moins dans le cas compact, on se refuse à mettre des topologies sur C^X, Y), mais on définit la « structure différentiable (faible) » par :

C00 (Z, C00 (X, Y) ) == 0°° (Z x X, Y).

Ceci fait que notre « théorème des fonctions implicites » est formulé d'une manière un peu inhabituelle, mais telle que, si G et M sont des variétés Fréchétiques, on retombe sur la formulation ordinaire.

(1) Ce travail a été effectué pendant que l'auteur était invité par la Scuola Normale Superiore, à Pisé.

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94 V A L E N T I N P O É N A R U

Comme cas particuliers on a le théorème de stabilité de Mather ([3], [4], [6]) et des théorèmes analogues pour les sections G⁰⁰ des fibres, des applications paramétrées,

« changements » de coordonnées plus généraux que Diffoo(X)xDiffoo(Y), etc.

Vu les conditions dans lesquelles on se place, notre théorème ne pourrait être déduit d'aucun résultat analogue, pour les « vraies » variétés de dimension infinie.

Dans un travail ultérieur on va donner, dans le même esprit, un théorème des fonctions implicites pour les espaces des germes d'applications G°°. Ceci montre en particulier que pour les germes paramétrés d'applications G⁰⁰, la stabilité infinitésimale entraîne la stabilité. On se propose aussi d'y montrer qu'un germe paramétré, stable :

(R-, o)x(R^ o)————^(R^ o)x(R^ o)———^(R^ o)

CR^ o)"

est caractérisé par la G^(R³⁹)-algèbre :

Go

(R^ x R^) /(7T(p)* (mGo° (R^ ) Go

(R^ x R^)

(où GQ° ( . . . ) = = les germes de fonctions G°° sur . . . , au point o).

* *

La notation G00 ( . . . , .. . ) est utilisée dans ce travail dans un sens un peu abusif.

Si P, Z sont deux variétés Fréchetiques, avec dim P = oo, dim Z < oo, G°° (P X Z, . . . ) doit être lu comme G^PxZ, . . . ) (c'est-à-dire C° en P et C00 en Z) sauf dans les parties que je vais expliquer maintenant, où il peut être lu comme G°'00, mais aussi comme G"", si l'on veut.

Il s'agit de la partie introductive du premier chapitre (jusqu'aux données fonda- mentales), du § i du chapitre II, sans le cas particulier 2, et aussi des §§ 2 et 3 du chapitre II.

Dans la démonstration du cas particulier 2 et du lemme 5 on utilise la division par une fonction continue r, « bien choisie » r : Z-^R, avec ^^(o)^^ et il n'y a pas moyen de choisir reG00. Donc tout ce qui dépend de cela est G°'00. (En fait, on pourrait adapter les arguments du chapitre III, pour prouver le corollaire 2 dans le cadre C00...)

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DÉFINITIONS ET ÉNONCÉS DES THÉORÈMES PRINCIPAUX EXEMPLES (cas compact)

On va considérer des variétés G00 Fréchétiques X, Y et par G°°(X, Y) on désignera l'ensemble des applications de classe G00 de X dans Y. Si Z est une troisième variété Fréchétique, une application Z—^G°°(X, Y) est par définition « différentiable » si l'appli- cation induite ZxX-^Y est de classe G^.

On pose donc, par définition :

C^Z, C^X, Y^C^ZxX, Y)

l'identification entre les deux termes provenant de l'égalité naturelle « ensembliste » :

/yXNZ _ _ Y X x Z

où A° = l'ensemble de toutes les applications de B dans A. Quelquefois, pour éviter les confusions, l'élément feÇY^71 sera désigné par [/] quand on le considère dans Y^7, mais souvent cela compliquerait trop les notations et le même/sera un élément de (Y^

et de Y^, à la fois.

D'une manière analogue, si k^o est un entier, on définit : G^Z.G^X.Y^cG^ZxX.Y), et ainsi de suite Si PcG°°(X,Y), une application /: Z-^P est dite différentiable si

Z->PcG°°(X,Y)

est différentiable. Si * est la variété constituée par un seul point, on peut identifier Z à C^*, Z), en englobant ainsi le point de vue de la différentiabilité « ordinaire » dans le nôtre.

Soient P.cC^X,, Y,) i=i, . . ., k et

0: P i X P 2 X . . . x P ^ ^ G ° ° ( X , Y ) .

0 est dite « différentiable » si pour toute variété Fréchétique Z et (p,eG°°(Z, P,), l'application suivante est différentiable :

cpi x... x cpL 0

Z -

———^ Pi x . . . x P^ —> G" (X, Y).

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96 V A L E N T I N P O É N A R U

En prenant ^eG°°(Z,, P,), Z=IIZ, ( z = i , . . . , / ; ) , y, : Z ^ Z,-^ P,, on en déduit que : n<pt -

IÏZ, —^ IIP, -^ G°°(X, Y) est aussi différentiable.

En particulier OeG^G^X', Y'), C^X, Y)) transforme les applications diffé- rentiables Z^C^X', Y') en applications différentiables Z—G^X, Y).

La composition d'applications différentiables est encore différentiable.

On va considérer les fibres tangents TX, TY, et pour /eG°°(X, Y) le fibre induit : /*TY-^X

r^y'TY) va désigner l'ensemble des sections G00 de /*TY, qu'on identifie avec le sous-ensemble de G^X, TY) formé par les applications T] : X—^TY qui rendent commu- tatif le triangle inférieur du diagramme suivant :

r^yTY) sera considéré avec sa structure naturelle de G°°(X, R)=C°°(X)-module.

(R désignera toujours la droite réelle.)

Si cpeG^R^G^Y)), ^eR et /M=[(p](^ ^), on définit :

T^Er-crTY)

comme étant l'application :

^]{t,x) d^

y !_, ' ——— • c T V

8t ~ât E l^ )1-

01 < = < o av t=t,

On va considérer une sous-R-algèbre ScG°°(X) et ^oo(/iltTY) comme S-module.

Définition. — Une partie McG°°(X,Y) est appelée S-sous-variété si elle satisfait aux axiomes suivants :

SVo : Tout çeC^o, oo), M) peut s'étendre à un (DeG°°((—oo, +00), M).

SVi : Soit 9eG°°(R,M), ÇÊGOO(R, S) cGC O(RxX, R). On considère

^eG^^G^^Y)) définie par :

^x)=^{t,x),x).

Alors ^eG^R, M).

SVg : Soit/eM et ^eG°°([o, i], M), ( z = = i , . . ., k) tels que ^{o)=f. Il existe OeG°°(P, M) tel que <D(o, . . . , o, t,, o . . .0)=^).

SV3 : Si /eM, Z est une variété Fréchétique, yeG°°((Z,^), (M,/)), (^cZ) alors il existe un voisinage U de ^ dans Z et une application

$eG°°(U, G°°(I, M)) cG°°(UxRxX, Y)

telle que

(i) <S>(^t,x)=f{x).

(ii) $(^ o, x)=f{x), (D(^ i, x)=^, x).

En fait (faute d'un théorème de préparation « relatif », qu'on sait énoncer, mais non prouver, pour le moment) les seuls cas qu'on va considérer ici seront S^C^X) (et on dira qu'une G^X) -sous-variété est une variété faible) et S = R où RcC^X) représente les fonctions constantes.

Définition. — Soit McG°°(X,Y) une S-sous-variété, où ScG^X) est une R-sous-algèbre. On définit, pour /eM, T^Mcr°°(/*TY) comme étant l'ensemble de tous les To<per°°(/'TY) pour (peC°°((R, o), (M,/)).

D'après SVo et SV^ ceci est la même chose que de considérer les q/eG00^!, o), (M,/)).

TfM est un sous-S-module de r°°(/*TY). En effet, si

a=T^, p=To<p, (^eG⁰⁰»!, o), (M,/))

sont deux « vecteurs » de T^-M, alors a+Per°°(/*TY) est aussi dans T^.M, parce qu'on peut considérer un $eG°°(I2, M) (avec O^, o)==<p^), $(o, t)=^{t)) et en désignant par ^ la restriction de 0 à la diagonale de I2 on a : T^M9To^=a+(3. De même, si yeT^M, ï=To9, (peG°°((R, o), (M,/)), et ^eS, alors :

5.ï=ToteW^)eT^M.

A partir de maintenant, X et Y seront, sauf mention explicite du contraire, compactes.

On a alors :

Lemme 0. — a) G°° (X, Y) pour X et Y quelconques (pas nécessairement compacts) est une sous-variété faible {de G^X.Y)).

Si X et Y sont compacts et /eG^X, Y), alors :

T^X.Y^I^CTTY).

b) Diff^^C^^X) est une R-sous-variété et :

T^)Diff°°(X)= r^TX^T^G^X, X).

(Donc T^xîDiff^X) est néanmoins un G°°(X) -module.)

Les démonstrations sont triviales (pour a) on considère des petits arcs de géodésiques sur Y, qui définissent à partir de f une famille à un paramètre, etc.).

Dans le cas général T^G°°(X, Y) est plus petit que F^/TY). Ge dernier sera désigné par T^G^X.Y)) (l'espace tangent « formel »). Si McG^X.Y) est une S-sous- variété on définit, pour /eM le sous-module t^Mct^C^X, Y)=^oo(/'ltTY)D^I}M de la manière suivante : on considère des paires arbitraires (K, x) où K c X est un compact et xeK, ainsi que l'application :

r^cTTY) ^l r^{fïY\K)

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98 V A L E N T I N P O É N A R U

qui à (per°°(y*TY) attache le germe au point xeK. de la restriction <p|K. On désigne par

(^M\K^=g{K,x)(T,M)cr^(rTY\K).

Par définition :

t^M^^n^^-^T.MIK^DT^M où (K, A*) parcourt toutes les paires (K, x) possibles (K compact).

Si Y est localement compact, ce qui sera toujours le cas pour nous, les deux défi- nitions de T^G^X, Y), celle qu'on vient de donner, et celle donnée avant, coïncident.

Le point essentiel est que, de toute façon, si X et Y sont compactes : t^M=T^M

pour toute G°°(X)-sous-variété McC^X, Y). Ceci s'établit par partition G00 de l'unité, vu que T^M est un sous-G°°(X)-module de T^G°°(X, Y). De même si Z est quelconque et si l'on considère la G°°(Z xX)-sous-variété : G°°(Z, M) cG°°(Z xX, Y), FeG°°(Z, M) on a :

TFG^Z, M^TpG^Z, M).

On a une inclusion naturelle (« la complétion ») : i:T^M-^t^M

définie pour McG^X', Y'), S-sous-variété, X', Y7 étant quelconques. C'est un mono- morphisme de S-modules (où ScG^X') est une sous-R-algèbre). Si X', Y', X", Y"

sont des variétés quelconques, McG°°(X', Y'), NcC^X", Y") des R-sous-variétés, 0 : M->N une application différentiable, on peut définir pour chaque feM. un homo"

morphisme tangent :

T^):T,M->T^N

qui est une application R-linéaire. Il y a une façon (unique) pour passer aux complétés, ce qui nous définit un diagramme commutatif :

t,M ^ t,,,N

T,M ^ T^,N

Gomme on l'a vu, dans le cas compact il n'y a pas de différence entre T et T;

pour le théorème des fonctions implicites dans le cas localement compact, il faut utiliser T, plutôt que T (parce qu'on peut lui imposer plus facilement des conditions de finitude).

Enfin, pour X, Y quelconques et ^eG°°(X, Y) on va considérer l'homomorphisme canoniquement induit par g : g* : G^Y) -^ G^X).

On énonce maintenant :

Les données fondamentales pour le théorème des fonctions implicites (dans le cas compact). — On se donne : (X, Y, X^, M, G, 0, a,, b) (avec i=i, 2), où :

a) X et Y sont des variétés C00 et McG°°(X,Y) une G^X) -sous-variété (X, Y compactes).

(3) Xi est une variété G00 compacte et GcDiff°°(Xi) est un sous-groupe, tels que : (3-i : GcG°°(Xi,Xi) est une R-sous-variété.

(3-2 : G est un sous-ensemble complet de Diff^Xi), dans le sens suivant :

Si AcBcG^X'.Y'), avec X', Y' variétés G°° quelconques, on dit que A est un sous-ensemble complet de B si pour tout chemin continu : 9eC°(I, B) tel que (p(^)eA, si ^>o, on ait : 9(0) eA.

En général, un sous-groupe de Diff°°(Xi) avec les propriétés (3-i, (3-2 sera appelé « sous-groupe de Lie ».

y) Une application C00 : - ^ - - , ,

1 A 0 : G x M - > M telle que :

T-z : Pour tout feM, <^(X,),/)=/.

Y-2 : Soit H6Ga)(I,G), H(o)=id(Xi) un chemin G°° tel que :

^oH-

: i -^pyDiff^x^r^TXi)

soit dans (^'"(I, TypyG) (en fait, on verra au chapitre suivant que c'est toujours le cas, parce que G est un « sous-groupe de Lie »). Pour chaque /eM on définit l'application C°° :

<S>\Gxf=^f:G->M (€>,(id(Xi))=/), appelée l'orbite de f (par G).

On considère un chemin diffërentiable : FeC°°(I, M) tel que le diagramme suivant soit commutatif :

^ 'idIXi)0

^-l/

/ Tid(X,)*F(()

I——————>T^M

BF

8t

Alors, on a, pour chaque tel :

(D(H(^F(o))=F(^).

JLa notation — o H ~1 doit être comprise dans le sens suivant : dire que

v âH

AeG^I, Tid(x,)Diff°°(Xi)) est égal à —oH~1 signifie que, pour chaque xeX^, et tel

Cv

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ioo V A L E N T I N P O É N A R U âH

on a : "7)7 (^H (^)^)=A(^^ ce qui, dans un langage plus habituel est : BH " \

-^(^)=A(H(^),^).

Remarque importante. — Si 0 est une action de groupe, c'est-à-dire si on a y-1 et : Y-3 : <D(H,, 0(ïW))=<I)(H,oH,,/}

quels que soient H^, H^G, /eM, alors y-2 est satisfaite automatiquement. Ceci sera démontré au chapitre suivant. Dans un langage (trop) approximatif y-2 veut dire que la restriction de 0 à chaque sous-groupe à un paramètre de G, est une action de groupe.

La condition suivante dit que l'une des deux possibilités qu'on va désigner par 8') (le cas difficile) ou S") (le cas facile) est réalisée. Ceci va nous donner donc, en fait, deux théorèmes des fonctions implicites (très similaires d'ailleurs) dans le même énoncé. On insiste donc que de 8') ou 8") l'une soit réalisée (pas du tout « en même temps »).

8') Conditions de décomposition (en G°°(X) et G°° (Y)-modules) pour T^(X,)G. — On va supposer qu'il existe une décomposition de l'espace vectoriel T^(X,)G (car la seule structure existant a priori sur T^xjG est celle de sous-espace vectoriel de r°°(TXi)) en somme directe de deux sous-espaces vectoriels A, B :

T^)G==ACB, avec les propriétés suivantes :

8-1 : Les projections canoniques T^(X,)G->A et T^(X,)G-^B sont des appli- cations C00 : T^(X^)G -> C°°(Xi, TXi). Ceci implique qu'on a une décomposition cano- nique en somme directe d'espaces vectoriels :

C^Z, T^G^C^Z, ^©C^Z, B), pour toute variété Fréchétique Z.

On rappelle que T^.M a une structure canonique de C°°(X)-module, et par extension des scalaires, à partir de /* : G^Y) -> C°°(X), une structure « canonique » de G^-module.

On va supposer qu'il existe deux applications différentiables : a ^ G ^ x A ^ A

é:G°°(X)xB^B

qui définissent une structure de G°° (Y)-module sur A, une structure de G°°(X)-module sur B, et de plus, telles que

T^<S>,\A:A->T,M soit G00 (Y)-linéaire, et

T ^ ) ^ | B : B - > T ^ M soit G°°(X)-linéaire.

On énonce maintenant l'autre possibilité :

8") Conditions de décomposition (en G°°(X) et G^X)®^⁰⁰ (Y) -modules) pour T^^G.

On suppose une décomposition en somme directe : TH(X,)G=A®B

comme tout à l'heure, avec des conditions qu'on va définir.

On rappelle d'abord que si /eC⁰⁰ (X, Y) on peut lui associer graph(/)eG⁰⁰ (X, XxY) défini par :

(graph(/))M=(^)).

On remarque que l'application :

C ^ X ^ ^ G ^ X x Y ) est différentiable et que graph(/) induit un homomorphisme :

(graph(/))- : G^XxY) -> G°°(X)

donc une structure de G°°(XX Y)-module sur T^.M. On remarque qu'il y a une inclusion canonique de laR-algèbre produit tensoriel (surR) de C^X) et C°°(Y), dans CO O(XxY) '

G^X)®^00^ ^ G00 (XxY) ce qui nous permet de définir :

g^^graph^lG^X^G^Y) : G°° (X) ®n C⁰⁰ (Y) -> G^X).

On a :

gr(/)(yM®^(j/))=ç(^)./^(^) (produit dans G°°(X));

gr(/) définit une structure de C^X)®^00 (Y) -module surT^M. En notation symbolique : grC/^idÇG^X))®/*.

On va supposer l'existence de deux applications différentiables : Û 2 : GO O( X ) x GO O( Y ) x A - ^ A

é:G°°(X)xB-^B

qui définissent des structures de C00 (X) ®a C00 (Y) et G00 (X)-modules sur A, B, telles que T^)^|A, T^)^|B soient G°° (X) ^ G00 (Y) et G°°(X)-linéaires.

s) Conditions definitude. — On rappelle qu'un S-module est dit/m s'il a un nombre fini de S-générateurs.

s-i : On considère une variété Fréchétique Z et FeG^Z, M) cC^ZxX, Y).

On remarque que (sans aucune hypothèse sur X, Y), TpG^Z, M) et TpG^Z, M) sont des G^ZxX) -sous-modules de r°°([F]*TY), où [F] : Z x X ^ Y est l'application attachée à F.

On va supposer que TpG^Z, M) est toujours un G°°(ZxX)-module fini (donc, 101

i02 V A L E N T I N P O É N A R U

puisqu'on est dans le cas où X, Y sont compacts, et TpG°°(Z, M^^TpG^Z, M), que ce dernier est G^ZxX^fini).

En particulier, on suppose que T^M (^eM) (donc TyM, puisqu'on est dans le cas compact) est C^X^fini.

Dans le « cas difficile » 8') et seulement dans ce cas, on a besoin d'une seconde condition de finitude, désignée par s-2 :

e-2 : Si Z est une variété Fréchétique, a^ induit une structure de C°°(Zx Y)-module sur G^Z, A). Cette structure est définie comme suit :

Si ^eC^ZxY) et (peG°°(Z, A), on définit ^.cpeG°°(Z, A) par

^.9)(^=^^9^)=^^(z),9^)).

On va supposer que G°°(Z,A) est toujours G°°(ZxY)-fini, en particulier que A est C^Y^fini.

Ceci termine la description des données fondamentales (X, Y, X^, M, G, 0, ^, b) (avec i==i ou 2). Avant d'énoncer le théorème des fonctions implicites, qui utilise seulement ces données, on va décrire un cas un peu moins général, intermédiaire entre les données fondamentales et les applications décrites plus loin.

Les données spéciales (dans le cas compact). — On se donne (X, Y, X^, M, G, L, 71:2, TT^) qu'on décrit. X, Y, X^, M, G sont comme avant, mais (3) est remplacé par :

Pi) On donne des « projections » G°° :

et une application de « relèvement » (graphe!) : LeG^M.C^X.X^)) telle que :

Pi-i : Si geM., les diagrammes suivants sont commutatifs : X,

Us) / \"t

x '—î^ ^>x

Pi-2 : Si HeG, geM. l'application suivante est dans M :

Y ^l Y H. y 7T», y A. ——> Ai ——> Ai ——> Y .

Alors 0(H, ^)===7i;2oHoL(^) définit une application dijférentiable :

< D : G x M - > M

telle que 0,(id(Xi), g)==g. On définit l'orbite 0^ comme avant.

On remplace y) par :

Yi) Condition de compatibilité. — Pour tout /eM, HeG : L(0(H,/))==HoL(/).

Ceci implique que 0 est une action de groupe puisque :

(D(H,,(D(H,,/))=^oH,oL((D(H,,/))=Tr,oH,oH,oL(/)=0(H,oH,,/).

Enfin, on remplace 8') par :

§1) Conditions de décomposition spéciales (cas difficile). — On commence par remarquer que TC^ et TT^ induisent par extension de scalaires à partir de T^ : C°° (X) -> G00 (Xi) et

^ : G°°(Y) -> G°°(Xi) des structures de G°°(X) et G°° (Y)-module sur le C^X^) -module T^(Diffoo(X,))-^oo(TX,).

A priori T^p^GcT^x^Diff^Xi)) n'est rien de plus qu'un sous-espace vectoriel.

On va supposer qu'il existe une décomposition directe (vectorielle) : T^)G=A®B

telle que les projections sur A, B soient différentiables, comme avant, et que AcT^xjDiff^Xi) et BcT^x,)DifF°°(Xi) soient respectivement des sous-C^Y) et sous-G°°(X)-modules. Il en résulte alors (démonstration facile laissée au lecteur, qui va remarquer à cette occasion pourquoi on veut que L(/) soit une section de la projection n^) que, pour chaque ,/eM :

Typy<I),|A:A^T,M et :

T^<D,[B:B^T,M sont respectivement G°° (Y)-linéaires et G°°(X)-linéaires.

Gomme pour les données fondamentales, au lieu de S[ on peut avoir une autre possibilité :

S^) Conditions de décomposition spéciales (cas facile). — On peut considérer : TTή^: G^X^RG^Y^G^Xi)

ce qui induit une structure de C^X^BG00 (Y) -module sur r°°(TXi). On demande qu'il existe une décomposition en somme directe vectorielle :

T^G=A®B

où A est un C^X)®^00 (Y) -sous-module de T^)Diff00 (X^) = r°° (TXi) et B un G°°(X)-sous-module. Il résulte alors que T^x^y est G^X)®,^ (Y) -linéaire sur A et G°°(X)-linéaire sur B. (On considère ici la structure de C^X^RC^ (Y) -module sur T^M induite par :

id(X)®/" : C^X^BG^Y) -> G°°(X)).

On demande enfin que les conditions de finitude de tout à l'heure restent satisfaites.

m

io4 V A L E N T I N P O É N A R U

On peut formuler maintenant le théorème des fonctions implicites (dans le cas compact) :

Théorème 1. — Soient (X, Y, X^, M, G, 0, a^ b) {avec i=i, 2) comme dans les données fondamentales, en particulier McG°°(X,Y), GcDiff°°(Xi) et feM

0^ : G->M.

(Z, ^o) va désigner un germe de variété Fréchétique autour du point ^eZ.

Les trois conditions suivantes sont équivalentes :

I. (/ est « infinitésimalement stable »). — L'application linéaire, tangente à O à l'origine (id(Xi)) :

ïidCX,)0/-

T^,G^^T/M—>o est surjective.

II. (/ est « (structurellement) stable »). — Si j : (Z, ^) -> (M.,f) est un germe d'application G00, il existe un « relèvement », germe d'application G°° :

^:(Z,^)^(G,id(X,))

tel que le diagramme suivant soit commutatif :

III. (/est « homotopiquement stable »). — Si j\ : (Z, ^) -^ (C1°°(I, M), 1 ->/eM) (donc Jl(^o)=le chemin constant de valeur /) est un germe d'application G00, tel que pour tout -seZ, ,7i(^)(o)==/, alors il existe un relèvement, germe d'application C00 :

^(Z^-^G^G),!-^^))

tel que pour tout ^eZ, ^(^)(o)=id(Xi) et que le diagramme suivant soit commutatif : C^G)

Z-———^G°°(I,M)

J'i

(où O^.: G00^, G)-^G00^, M), désigne, par abus de notation, l'application qui à 7]eG°°(I,G) associe I - ^ G ^ M ) .

Remarques. — Les implications IIoIII=î>I sont très faciles. Les chapitres suivants sont consacrés à la démonstration de I=>III.

104

Exemples. — i° On se place dans le cadre des données spéciales (cas facile). On prend M^C^^Y), Xi==XxY, ^ et ^ les projections naturelles :

X XxY<^^

Pour geC^^Y), L (^) == graphie G" (X, XxY).

On considère un « sous-groupe de Lie » GiCDiff°°(X) tel que T^/x)GiCTX soit un sous-C^X) -module (exemples : Gi={id(X)} ou Gi=Diff°°(X)).

On définit G c Diff00 (X x Y) comme étant le sous-ensemble des HeDiff°°(XxY) tels qu'il existe un H^eGi rendant le diagramme suivant commutatif :

X x Y X

X x Y —> X

On considère les sous-espaces vectoriels A, B c T(X X Y) définis comme suit A=r°°(^TY).

Pour définir B, on considère :

^TX^I"^ TX

X x Y On a une application linéaire :

X

(TTCJTCÎTX)* : F^TX) -^ r°°(7rîTX) et par définition :

B = Image(T^ | ^TX)* (T^G^ c F" (^TX).

Clairement, B est un C°°(X)-module, A un CCO(X)®BCCO(Y)-module, et : Ty(xxY)G==A©B (somme directe).

On va expliciter l'application tangente :

Tid(x.ï)<I>/ : Ty,x,ï)G -^ T^C-CX, Y).

On commence par remarquer que (T'K^T^TX)* est un monomorphisme, donc, si ÇeB, ((TTrJîtîTX^-^^eTa^GiCr^^X) est bien défini. Alors :

(TM(XXY)<IY | B) (Ç) =T/o ((Tït, 17tîTX)*)-M.

IffS

14

io6 V A L E N T I N P O É N A R U

Si 7]eA on a un diagramme commutatif qui définit (T^(xxY)(Ï)/?|A)(73)e^'co(/*TY)

COmme Suit : aranhff) YI TTT

X ^^raph(^ X x Y —^-> ^TY ^T7rl > TY

(Tid(XxY)^/|A)(^i)

Clairement, toutes les conditions des données spéciales (cas facile!) sont vérifiées. On laisse au lecteur le soin d'énoncer le résultat.

2° On va généraliser le cas G^=={id(X)} de l'exemple précédent. On pourrait ici aussi appliquer le cas facile, mais on va procéder d'une autre manière. On considère une fibration C00 : TT : Y-->X et G°°(X, Y)D M^r^Tr). On se place dans les conditions des données spéciales (cas difficile!) avec Y==X^, 7^==7r, 7T;2=id(Y), 'L{g)=g (ger^Çn)), G c Diff°° (Y) le sous-groupe des difféomorphismes H qui respectent la fibration, c'est-à-dire tels que :

X ^- Y

[^iw I¹¹ X <^- Y soit commutatif.

On a T^(Y)G==Ker(TY -^ TX) cTY (l'espace tangent aux fibres!). T^G- est un G00 (Y) -module fini, et par définition T^(Y)G==A, o=B. Si ^eT^y^G, on définit t^W ^•- x ^ Y -^ K.rT.cTY

Ti^Y)0/^)

Toutes les conditions des données spéciales (cas difficile!) sont clairement vérifiées.

3° X', Y', P sont trois variétés compactes et X=X'xP, Y=Y'xP; C^X^DM est défini comme l'ensemble des applications / qui rendent le diagramme suivant commutatif :

On remarque que M est difféomorphe à G°°(X, Y'), et que c'est une C^X) -sous-variété.

On prend (en se plaçant dans le cadre des données spéciales, cas difficile) X i = X ' x Y x P X ' x P = X

Y'xP=Y

On définit une inclusion

i : G^P, Diff^X^xDif^Y')) -^Diff^X'xY'xP)

de la manière suivante : si T^C^P, Diff(X')xDiff(Y')) est définie par x->^[x), y^'p^y}. alors ^eDiff^X'xY'xP) est :

^)(^J;^)=(^W,<(^)^).

G c Diff00 (X' X Y' x P) sera l'image de i (G est difféomorphe à G00 (P, Diff00 (X') x Diff00 (Y') ) ).

L e G ^ M ^ G ^ X ' x P ^ X ' x Y ' x P ) ) est définie comme suit. Si /eM, xeK, j^eY,

W^P)=^f^P),p).

On considère X ' x Y ' x P ^ X'xY' et ^(X'xY^cTCX'xY'xP). On remarque que :

^

(T(Xl))D^

(^)=c

(P, r°°(T(x'xY'))).

On considère enfin :

ce qui nous permet d'identifier F^TX'), F^TY') avec des sous-espaces vectoriels de r-CnX'xY')), donc A=CO O(P, ^00(TY')), B=GOO(P, ^20(TX/)) avec des sous- espaces vectoriels de F00 (7^)., Clairement :

A n B =0£r°°(TXi) A+B=T^G.

A est un C00 (Y)-module fini, B un G00 (X)-module (fini) et toutes les conditions des données spéciales (cas difficile) sont vérifiées. On explicite ici seulement T^x^p pour ÇeA, ^eB (on choisit la notation telle que f(x, p)={fy{x), p}). On remarque que Ti^^cC^G^TY)) est tel que cp^)eT^Y, où opeT^^.

Alors si ÇeG°°(P,TY), 7]eCOO(P, TX) on aura : X -^ TX -^> TY

et :

(Tid(X,)^/(^))^

X -^> Y -^> TY

(Tid(X^/(^

107

io8 V A L E N T I N P O É N A R U

Pour dim P == o, on retrouve le théorème de stabilité de Mather, qui est à l'origine de notre travail.

On peut considérer aussi l'action des groupes Diff°°(X) ou Diff°°(Y) sur G^XxY), ainsi que beaucoup d'autres variations sur les mêmes thèmes, qu'on ne va pas regarder ici en détail.

Dans le dernier chapitre on va indiquer comment on peut traiter de la même manière le cas localement compact, et dans un autre travail on va s'occuper du cas germifié.

DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES (Théorème i)

i. Le théorème de préparation différentiable.

On va donner ici, pour le théorème de préparation différentiable, un énoncé un peu plus général que d'habitude, ayant l'avantage d'englober le théorème de préparation (différentiable) de Weierstrass-Malgrange-Mather ([i], [2], [4]) sous sa forme « habi- tuelle », et en même temps un théorème de « contraction adéquate » de [3], dans une version où tout ce qui y est continu devient ici différentiable.

On commence par considérer deux germes de variété Fréchétiques (Z^, ^), (Zg, ^), deux variétés compactes X, Y et deux germes d'applications G00 :

(^.^(Z^^G^X.Y).

Par définition :

C^(Z,xX, Y)=C^(Z^ G^X, Y^lmC^U, G^X, Y)) où U parcourt une base du filtre des voisinages de ^eZg.

F définit un homomorphisme :

G^xX^G^xY) et {g, F) un homomorphisme :

G^(Z,xY)-^C^(Z,xX) q u i a ÇeC^(Z2,Y) associe

Z,xX -gw> Z,xX'______.\xY —i-, R

<P(S)

Par ev(^) on désigne l'homomorphisme « d'évaluation » de l'application Z , - > . . . au point ^eZ^.

109

V A L E N T I N P O É N A R U

On a un diagramme commutatif d'homomorphismes de R-algèbres : G^(Z,xX) ^- G^(Z,xY)

ev(;2-i) ev(^)

GOO(X) <-

iw

G⁰⁰ (Y)

Enfin on va supposer que g a la propriété suivante : il existe un R1^ = espace euclidien de dimension N<oo et une factorisation :

^XR1^

proj

où ^Z^-^ZgXR¹^ est un difféomorphisme de Z^ sur un (germe de) sous-variété de Z^xR^

On dira que g est de noyau de dimension finie. Ge sera notamment le cas si dim Zi<oo et dimZ2<oo ou si Z^Z^Zg, ^=id(Z).

Théorème de préparation G°°. — Soient A un G^ZgXY) -module fini, G un C'^ÇÏ^x'K)'module fini et a : A->G une application linéaire compatible avec <p. (Un homo- morphisme qui est C^(ZgXY) -linéaire pour la C^Z^xY) -structure de module sur G, définie par extension des scalaires à partir de cpj

Si a(A)+9(Ker(ev(^)))G=G

alors : a(A)==G.

La démonstration sera donnée au chapitre III.

On a :

Cas particulier 1. — Prenons X = Y = u n point. On trouve le :

Théorème de préparation de Weierstrass-Malgrange-Mather « habituel ». — Soit g : (Zi, ^ -> (Zg, ^2) un germe d'application G⁰⁰, de noyau de dimension finie, entre germes de variétés Fréchétiques. Soit mC^ (Z^) c C^ (Z^) V idéal maximal de Vanneau local C^Z^), A^ un

G^.^-module fini : ^{l l}

g-:C^)->CW

l) homomorphisme canonique et a : Ag—^A^ un homomorphisme compatible avec g*, tel que : a(A,)+^(mC^Z,))A,=A,

alors a(A2)=Ai.

Cas particulier 2 (théorème de Mather de [3] sous une forme « plus » différentiable).

— On prend Z i = Z = = Z 2 , ^==id(X), ^ = = ^ o = ^ e Z = u n germe de variété Fréchétique quelconque. On a 9== F*.

On considère une fonction G ° : 7 ' : Z - > R , telle que r~l(o)=^. Par abus de notation, on désigne par la même lettre l'élément de C^(ZxY) défini par :

Z x Y - ^ Z - ^ R .

Si ^eKe^G^ZxX) e^ G°°(X)), alors on peut facilement donner un sens à : cp^-^eG^ZxX)

à condition de « bien choisir » r, en fonction de ^. (On en laisse le soin au lecteur qui doit se rappeler ici la convention sur la notation C00 faite dans l'introduction.) Donc :

^cp(r).(9(r)-1.^), ce qui montre que :

cp(Ker(C^(ZxY) ^ C^Y^G^ZxX^Ker^ZxX) ^ G^X)).

On peut énoncer alors :

Soit F : (Z, ^o) -> G^X, Y) un germe d'application C00, auquel on attache : G^(ZxX) ^- C^(ZxY)

ev(2o) ev(2-o:

G^X) < F(go)* G00 (Y)

G et A sont des G ^ ( Z x X ) et G^°(ZxY)-modules finis respectivement, oc : A->G un homomorphisme compatible avec F* == y. Si :

a(A)+(Ker(G^(ZxX) -^ G^{O O}(X)))C=C alors on a aussi a(A)==G.

2. Un Ïemme algébrique»

Le théorème de préparation sera nécessaire pour traiter le « cas difficile », 8'), S^).

Pour le « cas facile », S"), Sg7), on aura besoin de quelque chose beaucoup moins profond, qu'on va expliquer ici.

On considère comme tout à l'heure un germe d'application C°° : F ^ Z . ^ - ^ G ^ X . Y ) .

En se plaçant dans le cadre des données fondamentales, on remarque que C^(Z, A) possède une structure de C^(Z, G^X^RG^Z, G00 (Y))-module, définie comme suit : si <P^(Z, A), ^C^(Z, C^X)), 7ieG^(Z, G°°(Y)),

111

"a V A L E N T I N P O É N A R U alors (4>8)7i).9eC^(Z,A) est défini par

((^).<p)(^=(<K<)®7)^)).y(^).

On remarque aussi que F induit un homomorphisme

id(G°°(ZxX))®P : G^(ZXX)®BG^(ZXY) -> G^(ZxX) et qu'on a un diagramme commutatif :

G,"(ZxX)®BG^(ZxY) ^> C^(ZxX)

ev(2-o) ev(zo)

C^X^BG^Y) ^d0FW. GOO(X) on a :

£^^ 2. — Soient A un G^(ZxX)®RG^(ZxY)-m^fe, G un C^{ZxX.)-module fini, a : A-^G MTZ homomorphisme compatible avec id®F*. *Sï :

a(A)+(Ker(G^(ZxX) ^ ^(X))) .G=C.

^Iforj a(A)==G.

Démonstration. — D'après le lemme de Nakayama, il suffit de montrer que oc(A) cG est un sous-G^(ZxX)-module, ce qui s'obtient en considérant sur A la structure de G^(ZxX)-module induite par

j : C^(ZxX) ->G^(ZxX)®nC^(ZxY)

(où y(^)==^®i) et en remarquant que a est G^(ZxX)-linéaire (si A est muni de la structure de G^(ZxX) -module qu'on vient de décrire). Dorénavant on s'occupe seulement du cas difficile. Le cas facile se traite d'une manière tout à fait analogue, seulement, au lieu d'utiliser le théorème de préparation, on le remplace par le lemme i.

3. Equations différentielles dépendant du temps.

On rappelle le théorème fondamental (d'existence, unicité, etc.) pour les équations différentielles dépendant du temps :

« Soit X une variété G°° compacte et ÇeC^R, r°°(T, X)). Il existe un HçeG^R.Diff^X)), unique, tel que :

(i) H(o)=id(X) âH,

(i1) -^(^^-^H^^.^eTH^oX,

égalité qu'on écrit aussi sous la forme :

___^TJ-l-..!:

m,

et Hs -("

112

Hç sera appelé « l'intégrale » de (l'équation différentielle dépendant du temps) Ç.

La correspondance Çl-^Hç établit un difféomorphisme (i.e. une correspondance biunivoque, G00 dans les deux sens) :

G°°(R, r^TX)) ^ C^R, o), (Diff°°(X), id(X))) cG°°(R, Diff°°(X)).

Si , . = 0 (donc Ç est une fonction constante R->r°°(TX)) alors HçeC^R, Diff°°(X))^

est en plus un homomorphisme de groupes (un « sous-groupe à un paramètre de Diff°°(X), de générateur infinitésimal Çer°°(TX)). »

On donne maintenant le :

Lemme 2. — Soit GcDifF°°(Xi) un « sous-groupe de Lie » et ÇeG°°(R, T^)G).

Considérons l'intégrale H=HçeG°°(R, Diff(Xi)). Pour chaque teR on a H(^)eG, donc HçeG°°(R, G).

Démonstration. — On va commencer par montrer que, si ^eT^x)Gc P^TXi) et H^eG^R, Diff°°(Xi)) est le sous-groupe à un paramètre de générateur infinitésimal T), alors H.EG^R.G).

Par définition, il existe un ^eG°°((R, o), (G, id(Xi))) tel que — =•/]. Pour tout e>o on définit un chemin îpeeC°([o, oo), G) par : t < ï = o

(9s|[o,^)=^)

(?sl [^ 2 £ ] ) ( ^ ) = + ^ - £ ) o ^ ( £ ) = ^ ^ - £ ) o ^ ( s ) , . . .

(?S 1 W- l^h]){t)==^t-{k-l)z)o (y J[(^-2)£,(Z;~I)£](^- ! ) £ ) , . . .

Il est clair que lim 9g(^) == H.^) eDiff(Xi), et le fait que G est complet nous apprend que H^)eG.

Soit maintenant ÇeG°°(R, T^(X,)G), et pour chaque ^eR, le sous-groupe à un paramètre H^eG^R, o), (G, id(Xi))).

De nouveau, on définit pour tout e>o un (peeC⁰⁰^, oo), G) par : (?e|[o^])^)=H,(o)(0=id(X,)

(9j[(/;-l)£,/;s])^)=H^_^^-^-l)£)o(<pj[(A;-2)s,(À-l)£])(^-l)^^

II est clair que lim cpg(^)=H^), etc.

Lemme 3. — Si GcDiff(Xi) est un « sous-groupe de Lie » et H : ( R , o ) - > ( G , i d ( X , ) )

appartient à G°°(R, G), alors

^oH-^G^R.T^G).

Démonstration. — Soit t^eVi et :

H'^G^oH-^eG^R.G).

113

15

"4 V A L E N T I N P O É N A R U

Alors :

^.H-W^G.

Pour t==tQ on a la relation voulue, puisque H'(^)=id(Xi).

Lemme 4. — Soit GcDiff°°(Xi) un « sous-groupe de Lie », NcG°°(X,Y) une î^-sous-variété et

( D : G x N ^ N

une application différentiable telle que

(D(id(X,),/)=/;

et d>(H,, 0(H,,/))==<I)(H,oH,,/) {c'est-à-dire que $ est une action de groupes).

Alors, si ÇeC°°(I, T^(X,)G) et FeG^I, N) j^ ^fej ^ le diagramme suivant soit commutatif

^^(XiîG- y^ ^(X^^F

^<

(rô, comme avant O^.==(I)[GX/, ^

H,eG^OO((I,o),(G,id(X,))) est r intégrale de Ç), fe diagramme suivant est aussi commutatif

^F(o)

{c'est-à-dire que $(Hç(^), :F(o))=F(^), pour tout tel).

Démonstration. — Pour simplifier les notations, on va écrire <I>(H,/)==H-/, de telle sorte que l'on ait :

H^H./^H'oH)./.

On considère aussi :

TN= U T.NcG^X.TY).f £ N ' \ ? /

0 induit deux applications tangentes « partielles », correspondant aux deux variables H,/.

On aura

— : G x T N - > T N

ao

V

avec

â<D.

(H,T/N)=TH./N,

et qu'on écrit

y

^(H^)=Hx^.

ao

On remarque que — HxTN est un difféomorphisme de TN sur lui-même (il possède

" a<&

un inverse G°° qui est clairement — H^xTN).

V

On remarque aussi que « Xi » est une action de groupe, c'est-à-dire que id(Xi)Xiï)=ï)

HiXi(H2Xi7))=(HioH2)Xi7).

De même, on a

âO

0H : T G x N - ^ T N qui a la propriété

TH,^ TH,G=__ TH.GX/ a$ m "•

/ , ^

/ 8<S> \ (donc ^(TH,G,/)CTH,,GJ.

I

m^

'^'

On écrit symboliquement

a<l>

^W,f)^'x,f.

Notre hypothèse devient

^)X,F(<) = — ( < ) .8F (7r

On remarque enfin que Xi, Xg sont linéaires, dans les variables pour lesquelles cela a un sens.

Pour démontrer ce qu'on veut, il suffit de montrer que 8 {îî,W^(t))==oeT^.^.

et On a

0 m^t) Jt

âF

^ (H^(0. F(Q) - -^ xW + ïî,\t) x^(t).~8t

En différentiant Hç(^)•H^l(^)=id(Xl), on remarque que

^--TH^)°^°H^)=-TH^)o^).

275

ii6 V A L E N T I N P O É N A R U

(où Ç^er^TXi) et TH^^oÇ^) est induite par Faction, à gauche, de GcDiff°°(Xi) sur les champs de vecteurs sur X^).

Pour finir la démonstration, il faut noter l'identité suivante où HeG, ÇeT^/x)G, /eN (donc THoÇeTnG) :

(THoÇ)x,/=Hx,(Çx,/).

Ceci est immédiat, et en reprenant notre calcul, on a :

^(^^^^(O-H^^x^-^x.F^+^W)-^

4. Applications du théorème de préparation.

Soit (Z, ^o) un germe de variété Fréchétique. X', Y' seront deux autres variétés Fréchétiques. On rappelle qu'on a défini les germes d'application G°° de Z X X' dans Y', au point ^o, par :

C^(ZxX', Y')==C^(Z, C'CX', Y^lim C°°(U, C°°(X', Y')).

Zo £ U = voisinage de Zy

Le langage des sous-variétés, espaces tangents, etc., développé au premier chapitre, peut s'appliquer sans aucune difficulté aux espaces de germes G^ÇZxX', Y').

On se place maintenant dans le cadre des données fondamentales (dans le cas difficile, l'autre pouvant être traité de la même manière) et on considère une variété G°°

compacte P. On se donne

FEC^(Z, G^P, M ) ) = G ^ ( Z x P , M ) c C ^ ( Z x P x X , Y).

On considère la R-algèbre :

C^(Z, C^P, G ^ X ^ ^ C ^ Z x P x X )

et on remarque que C^(Z, G^P, M)) est une G^(ZxPxX)-sous-variété de G ^ ( Z x P x X , Y ) . On a ainsi un G^(ZxPxX)-module :°

TpG^(ZxP, M)=tpG^(ZxP, M)cr^([[F]]*TY)cG^(ZxPxX, TY) où [[F]]eC^(ZxPxX,Y) correspond à F.

On peut considérer l'espace vectoriel :

G^Zx^T^G)==C^ZxP.A)@C^Zx^K}

(somme vectorielle directe) et l'application R-linéaire :

TF : G^(ZxP, T^G) ->TpG^(ZxP, M),

définie comme suit : si Y]eG^(ZxP, T^x^G) et 7](^,^)eT^(x^G-, alors :

(^F ^ {^ p) = (T^(X,) ^ p)) ^ [^ P).

On remarque que, si T] est représentée par une vraie fonction T] : Z -> C°°(P, T^x^G), TF(T]) est une vraie fonction Z->G°°(P, C^OO(X, TY)) telle que la valeur de Tp(Y]) au

point ^;eZ est complètement déterminée par la valeur T](^). En particulier, T? induit une application linéaire :

Tp(^o) : C°°(P, T^)G) -> Tp^C^P, M) cG^P, C^X, TY))

qu'on laisse au lecteur le soin d'expliciter comme tout à l'heure, en termes d'application tangente à une certaine orbite.

On remarque aussi que C ^ ( Z x P , A ) est un G^(ZxPxX)-module fini, C ^ ( Z x P , B ) un G^(ZxPxY)-module, TpC^ZxP, M) un G ^ ( Z x P x X)-module fini, (ïp| G^(Z x P, B)) un homomorphisme C^(Z x P X X)-linéaire, et (ïp) G^(Z X P, A)) un homomorphisme compatible avec

F* : G ^ ( Z x P x Y ) -> G ^ ( Z x P x X ) .

Enfin, on considère le G," (ZxPxX)-module TpC^ZxP, M)/TF(C^(ZXP, B)) et l'application P-linéaire : Tp définie par la composition d'applications :

G ^ ( Z x P , A ) -^> TpC^(ZxP.M) -^ TpG^(ZxP,M)/TF(C,o o(ZxP,B)).

_______i

On a le

Lemme 5. — Soient (Z, ^) un germe de variété Fréchétique et P une variété compacte.

Comme ci-dessus^ on considère un FeG^°(ZxP, M) et

TP : C^(ZxP, T^)G) -^TpG^(ZxP, M).

Si TF^O:) : C^P, T^G) -> T^C^P, M) est surjective^ alors Tp est aussi surjective.

Démonstration. — On considère le diagramme commutatif G ^ ( Z x P x X ) ^- G ^ ( Z x P x Y )

ev(zo)=Ev(2o) ev(2o)

CO O(PxX) ^^ C'ÇPxY)

auquel on peut appliquer le théorème de préparation (cas particulier 2).

On remarque que la surjectivité de Tp(^o) est la même chose que l'égalité suivante (qu'on va appeler (F)) :

(F) Tp(C^(ZxP, T^)G))+KerEv(^).TpG^(ZxP, M)=TpC^(ZxP, M).

Pour s'en convaincre on commence par considérer l'opération d'évaluation au point ^ (ev(^)) appliquée directement à TpG^(ZxP, M)cG^(Z, G°°(PxX, TY)). Je dis que

Ker(TpG^(ZxP, M) ^ Tp^G°°(P, M))=Ker Ev(^) .TpG^(ZxP, M), 117

"8 V A L E N T I N P O É N A R U

ce qui résulte du fait qu'un élément du premier membre de l'égalité peut être divisé par une fonction G0, bien choisie, r : Z - ^ R , telle que r-^o)^^. Dans ces conditions la surjectivité de Tp(^o) exprime, en passant au quotient (par ev(^)), la même chose que (F) exprime en termes de « classes adjacentes ».

(F) est aussi équivalente à :

T F ( C ^ ( Z x P , A ) ) + K e r E v ( ^ ) ( T p G ^ ( Z x P , M ) / T p ( C ^ ( Z x P , B ) ) )

= T p C ^ ( Z x P , M ) / T F G ^ ( Z x P , B ) . Le théorème de préparation nous dit que îp (donc ïp) est surjectif. q.e.d.

On aura besoin de deux corollaires du lemme 5 : Lemme 6. — Soit P compacte ; on considère un ^eM, tel que

Tid(x.)^:T^)G^T^M

soit surjective. Alors l'application induite par T^x)^ '"

T^G^P.T^G^C^P.T^M), définie par :

Y T,dOC ^O/-

P——T^G-^^T.M,

^fW est aussi surjective.

Démonstration. — On choisit p e ' P et on passe aux germes au point p, ce qui nous donne

(T;), : G;°(P, T^)G) - C;°(P, T,M).

Si l'on prouve que (^)p est surjective (pour chaque^), une partition C00 de l'unité, sur P, montre que T^ est surjective.

Mais la surjectivité de (^)p résulte du lemme précédent, en remplaçant (Z, ^) par (P,^), P (du lemme 5) par 0, F par l'application constante P-»-/, ce qui fait que :

TFG^P.IV^C^P.T^M).

Alors Tp devient (^)p et rp^o) devient T^x^f

Lemme 7. — Dans les conditions du lemme 5, on remplace la surjectivité de T^) par la condition suivante : il existe fe~M. tel que

(i) ^(x,)^ : ^(x,)0 -> T^M est surjective.

(ii) F^eG^P, M) est l'application constante P->f.

Alors TF est surjective.

Démonstration. — Si Tp(Zo) est surjective, on peut appliquer le lemme 5. Mais ïp^

est la même chose que T" du lemme 6, d'où le résultat.

118

FIN DE LA DÉMONSTRATION

i. Le théorème des fonctions implicites (théorème i).

On considère

j, : (Z, ^ -^ (G00»!, o), (M,/)), (I ->/)) comme au point III du théorème i. On a

jieG^ZxI.M) et on peut appliquer le lemme 7, avec j^=F, I=P.

On considère

^eT,^(ZxI, M)cr^([[jjrTY).

D'après le lemme 7, il existe un

peC^(ZxI,T^)G) tel que

o '''J,(P)=^.Â-

Pour chaque zeZ, on considère l'intégrale de p(,s)eG°°(I, T^(X,)G) H^, : (I, o) -> (G, id(X,)).

T^ est défini de telle façon que le diagramme suivant soit commutatif .y^dfx^G

^oHp^pM/

y^ ^dCX.^W^W

1——————————^IX^

^l

ê(

D'après la propriété y) des données fondamentales, on a

o(^))(o)=fH^^)=(^(^)^).

i20 V A L E N T I N P O É N A R U

On considère Hp^ : I->G (qui n'est pas nécessairement constant), qui a, d'après la formule ci-dessus, la propriété

0,H^^)=H^^)./=/, donc îî^Çt) •/==/. On définit alors

J, : (Z, ^ -^ G^OO((I, o), (G, id(X,))), (I -> id(X,))) par

(Ji^îW-H^^oH^^).

On a

(Ji(^) W o/= H,^) oH^) o/= H,^) ./^(^ {t) ; ce qui termine la démonstration du théorème i.

a. Le théorème de préparation.

On rappelle le théorème de division de Mather ([2], [4], [6]) : Théorème de division. — Soient Z une variété Fréchétique,

^^eG^Z) (z=o, ...,^-i) p-i et G°°(ZxR)3A=A(^)=^+ S hA^t\

i==0

II existe deux applications ÎL-linéaires et G00 :

Q ^ C ^ Z x R ^ G ^ Z x R )

roX . . . xr^ : G°°(ZxR) -> G

(Z) x . . . xC^Z) (p fois)

telles que :

(i) Si /eG°°(ZxR), ^ fl :

/(^ ^)=Ate ^).Q/te ^4-^ rj^)t\

(ii) ^ K c Z ^ / | K x R = o , alors Q / | K x R = o ^ r,|K=o.

Remarque. — La différentiabilité de Q, r, veut dire que si / dépend d'un paramètre, d'une manière G°°, Q^f dépend aussi d'une manière G°° du même paramètre, etc.

En revenant au théorème de préparation, on remarque que le lemme de Nakayama nous dit que oc(A)=G si G est C^Zg, G°°(Y))-fini.

Il suffit donc de prouver l'assertion suivante :

(W) : « Si G est un C^(Zi, G^X)) -module, fini, et G/(p(Ker(ev(^))).C est C^(Z2, G°°(Y))-fini, alors G est'G^Z^, G°°(Y))-fini. »

On peut factoriser 9 :

G^(Zi, C^X)) <^ G^(Z,, GOO(X)) ^- G^(Z,, G°°(Y))

ev(2-i) BV(^) ev^a)

GOO(X) <- ^id(C°°(X)) GOO(X) <- ^FW G^Y)

La propriété (W) étant clairement « associative » elle est prouvée pour cp si on la prouve séparément pour les carrés ci-dessus, correspondant à g* et à F*. (Ge sont en fait deux cas particuliers du problème général F : Zg -> id(X)eG°°(X, X), et g==id{Z^.)

Démonstration de (W) pour g*. — On factorise g :

Z, Z^xR^ Z.

pr

où î(^i)==(^25 0)3 et ^(Zl)cZ2xRN est un germe de sous-variété. Notre carré pour g*

se décompose alors :

G^(Z,,G°°(X)) ^- G^o^xR^C^X)) ^ G^(Z,,G°°(X))

ev(3i) ev(2a,0) ev(^)

G^ÇX) <- GOO(X) <- G^X)

F étant surjective, (W) est vraie pour le premier carré (trivialement). Par « associa- tivité », (W) est vraie pour le second carré, si elle est vraie pour N = i (ÎL^ == R). On considère :

t=:pro]. sur R r Z g X R x X — ^ R ,

^C^,o)(Z,xRxX)=G^,o)(Z2XR,GO O(X)).

On considère un G ^ ^ Z g X R x X ) -module fini ©, tel que Q/pr*(Ker ev(^))© soit G^(Z^ C^X^-fini (donc C^, G^X^/Ker ev(^)=G°°(X)-fini). On veut montrer que © est G^ZgXX^nni. Puisqu'il est G^o^xRxX^fini, on peut choisir des ai, . .., a^e© qui engendrent © sur G ^ o ^ x R x X ) et©/(pr)*Ker ev(%)© sur G^ÇX).

On peut écrire ^==S^^.+2^.a, avec ^eCOO(X), ^ç{prY{Ker ev(^)). Soit G^^)(Z2XRxX)9r(^, ^, ^)=det(S^-^M-Y^^, x)).

121

16

122 V A L E N T I N P O É N A R U

On a r.a,=oe© donc © est en fait un G^o^xXxR^r.G^^ZaXXxR-module) fini. G^o)(Z2XXxR)/r est un G," (Z^xX)-module, par

G^(ZaXX) -(p^. C^o^xRxX) —> C^,.,)(Z2xRxX)/r

et si l'on montre qu'il est C^(ZaXX)-fini, on a terminé. Mais d'après le théorème de division, chaque AeG^Z^xRxX) peut être écrit sous la forme :

h=Y.q^-\ ((pr)*A.)f

i=0

où < 7 e C ^ o ( Z 2 X R x X ) , h,eC^{Z,xX). Donc G ^ x R x C ) / ? est bien C^xX)- fini.

Démonstration de (W) j^r F*. — On utilise le

Lemme 8. — Soit X' C Y' une sous-variété fermée (peut-être à bord) de la variété locale- ment compacte Y'.

// existe une application linéaire, G00 :

E : C^X^-^G^Y') telle que, si /GG^X') : E/IX'=/.

Ce lemme devient trivial, une fois qu'on le démontre pour (— oo, o) c (— oo, 4- oo) (ce qui n'est pas trivial) et se trouve dans un travail de Seeley [5].

On considère maintenant le cas spécial où X est sous-variété de Y x R et F : Z —^ G^X, Y) l'application constante de valeur :

X c Y x R ^ Y . Notre F* s'obtient par la composition d'applications :

G ^ Z x Y ^ C ^ Z x Y x R ^ G ^ Z x X )

où l'on part d'une fonction (en fait d'un germe...) en {y, ^) qu'on considère en {y, ^ t) {t « muet »), et qu'on restreint, ensuite, aux (j/, t)eX (aux (j^, ^, ^)eXxZ). D'après le lemme 8, la dernière flèche est surjective, donc tout élément de G°°(ZxX) est de la forme 9^, t,y) \ Z x X ((peG^(ZxYxR)).

On considère comme tout à l'heure, un module ©, mais dans notre nouveau contexte. On écrit encore ^^S^.+SY^., où tëC^(ZxX) est la projection Z x X c Z x R x Y - > R , ^eG^Y), ^Ke/ev(^)C^(ZxX) (donc ^=^ ^)|ZxX, avec y^Ker ev(^)C^(ZxRxY).; ^{^ t^) =o).

On définit

r(^,j/)|ZxX=det(8^-^-Y^,

et, comme tout à l'heure, il s'agit de montrer que chaque A==A(^, ^ , j / ) [ Z x X peut être p-i

écrit sous la forme h=r+ï r^ avec q=q{^ t, y) \ Z x X , r,=r^y) \ Z x X . En oubliant les germifications et restrictions (à X), on a

p-i

rfc f, y) ==

+f^ -^+ pte ^ y)

avec pC^o? ^ j Qs = o- O11 peut appliquer une astuce connue [i]. En posant

^^(^o? • • ' • > ^-i))? et en appliquant le théorème de division dans ( Z x Rpx Y ) x R 3 on a

Pfe^ ^==(^+^v^^)^(^ v,j/, ^)+^H^, v,j^1

avec ^(^o, . . . ) = o = H i ( ^ , . . .). On a

p-i p-i

rfc ^)-(^+S v/)(i+^(^ v,j;, ^))+ S (H,(^ v^)+X,(^j/)-v,)^.

z =0 z =0

Le théorème des fonctions implicites habituel (et avec paramètres) nous dit que les équations H ^ + ^ z — ^ = o peuvent être résolues en v = v ( ^ ^ ) , fonction G00 (en fait v e C ^ ( Z x Y ) ) au voisinage de ^ = ^ ^=^(^05^) (pour tous les j^eY).

En substituant ces valeurs, F devient égal à un polynôme par lequel on « sait diviser », multiplié par une unité...

On passe ensuite au cas un peu plus général où X est sous-variété de YxR1^ et FeC^(Z, C^X, Y)) est l'application constante de valeur :

XcYxR^Y.

Pour chaque i^<r<N on considère YxR" -> YxR"~¹ et un voisinage compact, variété à bord de l'image de X dans YxR\ qu'on désigne par X,. On est réduit à une composi- tion d'étapes X,cX,_iXR -> X^_i qui sont du type précédent.

Dans le cas général, on considère un plongement e : X-^R1^ et un voisinage compact, variété à bord Q, de F(^)x^(X) c Y x R ^ On est réduit à la composition de deux cas, dont l'un est du type Z-^(plongements de X dans QJ (qui est trivial à cause de la differentiabilité de E, dans le lemme 8), et l'autre QcYxRN->Y qui est déjà traité.

123

CHAPITRE IV

LE THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES DANS LE CAS LOCALEMENT COMPACT

Si X, Y sont localement compactes, la théorie précédente s'applique encore, à condition de faire quelques changements « naturels », qu'on indique brièvement, en laissant les détails au lecteur.

D'abord on introduit dans G^X, Y) la topologie de Whitney qui est la conver- gence uniforme (avec toutes les dérivées partielles), « arbitrairement rapide » vers le point à l'infini (voir [3] pour plus de détails). On considère seulement les applications Z—G^X, Y) qui sont G00, et continues (en particulier ce sera le cas de O). Si en plus /eG°°(X,Y) est propre, cela suffit pour faire marcher le théorème de préparation.

Enfin X^ n'est pas compact, ce qui nous oblige à considérer des champs de vecteurs bornés (dans une métrique riemanienne qui rend X^ complet). Enfin, pour des raisons assez évidentes, nos conditions de décomposition, finitude, etc., sont exprimées en termes de fibres tangents formels T, et non pas en termes de T.

Le théorème i devient :

Théorème 2 (cas localement compact). — Supposons que /eMcC^X, Y) soit propre et que

_ ^(x^/ _

^(X^G————>T^M

soit surjective. Alors la condition III du théorème 1 est satisfaite (et réciproquement).

Faculté des Sciences d'Orsay, Département de Mathématiques.

BIBLIOGRAPHIE

[i] B. MALGRANGE, Ideals of dijferentiable functions, Tata Institute (1964), Oxford Univ. Press.

[2] J. MATHER, Stability of G00 mappings : I. Thé division theorem, Ann. of Maths, 87 (1968), 89-104.

[3] J. MATHER, Stability of C00 mappings : II. Infinitésimal stability implies stability ( à paraître).

[4] V. POENARU, Lectures on thé singularities of dijferentiable mappings, notes pour le Séminaire de Géométrie, Pisé,

^9-

[5] R. SEELEY, Extension of G00 functions defined in a half-space, Proc. Amer. Math. Soc., 15 (1964), 625-626.

[6] G. TOUGERON, Stabilité des applications differentiables, Séminaire Bourbaki, 336 (novembre 1967), i-i6.

Manuscrit reçu le 15 octobre 1969.