Bifurcations de l’´ equation de Vlasov
J. Barr´e (Orl´eans), D. M´etivier (Los Alamos), Y. Yamaguchi (Kyoto).
Equation de Vlasov : Equation cin´etique pour la densit´e position-vitessef(x,v,t), d´ecrit des syst`emes de particules domin´es par un ”champ moyen” (6= domin´es par les collisions → Eq. de Boltzmann).
Exemples : Syst`emes auto-gravitants, plasmas, ondes + particules, dynamique des fluides 2D. . .
∂tf +v∂xf
| {z }
transport
−∂xΦ[f]∂vf
| {z }
interaction
= 0, Φ[f](x) = Z Z
V(x−y)f(y,v,t)dy dv
| {z }
potentiel champ moyen
.
Question : D´ecrire et classifier les bifurcations de ce type d’´equation.
Description des r´ esultats principaux
Sp´ecificit´es : → difficult´es particuli`eres, bifurcations inhabituelles.
1. Trajectoire des particules sous-jacentes→ possibilit´e de r´esonance avec le mode instable.
2. Structure Hamiltonienne non canonique d´eg´en´er´ee→ beaucoup de quantit´es conserv´ees (Casimirs).
•R´esonance forte→ cas connu, r´eduction `a une ”forme normale”de dimension infiniequi d´ecrit l’interaction mode instable / particules r´esonantes : Mod`ele `a une Onde.
•Un nouveau cas : R´esonance faible+ ”m´elange” modes instables / Casimirs.
→forme normale de dimension 3, avec une trace des Casimirs
Hamiltonien H=Z
22
2 −Z3Z1−1
2λ2Z12−Z13 Z3=Casimir.
-1 -0.5 0 0.5 1
x -0.4
0 0.4
v
→ La classification progresse !
