Correction
Exercice 2 :
On considère trois points A( 1 ; 2 ; 3), B(2 ; 0 ; 1), C( – 1 ; 1 ; 0) et D(4 ; 3 ; 2).
1. Montrer que les points A, B et C sont coplanaires.
La question est mal formulée car trois points sont toujours coplanaires.
Montrer que les points A, B et C définissent un plan.
Il faut donc vérifier que ⃗AB et ⃗AC ne sont pas colinéaires.
2. Montrer que l'équation cartésienne de (ABC) est 4x + 7y – 5z – 3 = 0.
Il suffit de vérifier que les coordonnées de A, B et C vérifient l’équation :
• 4 × 1 + 7 × 2 – 5 × 3 – 3 = 4 + 14 – 15 – 3 = 0 donc le point A appartient au plan.
• 4 × 2 + 7 × 0 – 5 × 1 – 3 = 8 + 0 – 5 – 3 = 0 donc le point B appartient au plan.
• 4 × ( – 1) + 7 × 1 – 5 × 0 – 3 = – 4 + 7 – 3 = 0 donc le point C appartient au plan.
4x + 7y – 5z – 3 = 0 est bien une équation cartésienne de (ABC).
3. Déterminer une équation paramétrique du plan (ABC).
⃗AB
(
2−10−21−3)
= ⃗AB(
−2−21)
et ⃗AC(
−1−11−20−3)
= ⃗AC(
−2−31)
et ⃗AB et ⃗AC ne sont pas colinéaires d’après la question 1 donc forment une base donc une équation paramétrique de (ABC) est donnée par :{
z=3−2x=y=1+t2−2−2t 't−3t−t 't 'avec t ∊ ℝ et t’ ∊ ℝ.
4. Déterminer une équation paramétrique de la droite (CD).
⃗CD
(
4−(−1)3−12−0)
= ⃗CD(
522)
donc une équation paramétrique de la droite (CD) est donnée par :{
x= −1+5y=z=21+2t ttavec t ∊ ℝ.
Exercice 2 : (deuxième version)
On considère trois points A( 3 ; 2 ; 1), B(2 ; 0 ; 1), C( – 1 ; 1 ; 0) et D(4 ; 3 ; 2).
1. Montrer que les points A, B et C sont coplanaires.
La question est mal formulée car trois points sont toujours coplanaires.
Montrer que les points A, B et C définissent un plan.
Il faut donc vérifier que ⃗AB et ⃗AC ne sont pas colinéaires.
2. Montrer que l'équation cartésienne de (ABC) est 2x – y – 7z + 3 = 0.
Il suffit de vérifier que les coordonnées de A, B et C vérifient l’équation :
• 2 × 3 – 2 – 7 × 1 + 3 = 6 – 2 – 7 + 3 = 0 donc le point A appartient au plan.
• 2 × 2 – 0 – 7 × 1 + 3 = 4 – 0 – 7 + 3 = 0 donc le point B appartient au plan.
• 2 × (– 1) – 1 – 7 × 0 + 3 = – 2 – 1 + 3 = 0 donc le point C appartient au plan.
2x – y – 7z + 3 = 0 est bien une équation cartésienne de (ABC).
3. Déterminer une équation paramétrique du plan (ABC).
⃗AB
(
2−30−21−1)
= ⃗AB(
−210)
et ⃗AC(
−1−31−20−1)
= ⃗AC(
−4−1−1)
et ⃗AB et ⃗AC ne sont pas colinéaires d’après la question 1 donc forment une base donc une équation paramétrique de (ABC) est donnée par :{
xy==z=1−t '3+t2−2t−t '−4t ' avec t ∊ ℝ et t’ ∊ ℝ.4. Déterminer une équation paramétrique de la droite (CD).
⃗CD
(
4−(−1)3−12−0)
= ⃗CD(
522)
donc une équation paramétrique de la droite (CD) est donnée par :{
x= −1+5y=z=21+2t ttavec t ∊ ℝ.
