I Une idée toute simple
L’idée du raisonnement par récurrence est simple et peut être imaginée ainsi :
Si l'on peut mettre le pied sur le premier barreau d'une échelle et
Si l'on peut passer d'un barreau quelconque à son suivant alors on peut mettre le pied sur n'importe quel barreau, aussi haut soit-il
II LE RAISONNEMENT PAR RECURRENCE EXPOSE SUR UN EXEMPLE
Le problème posé : Quels sont les entiers naturels n tels que 6n – 1 est divisible par 5 ?
La table des valeurs de la fonction f définie par permet d'observer que la propriété " est divisible par 8 "est vraie pour les premières valeurs de n.
On peut faire la conjecture que la propriété est vraie pour tout n de N.
Voici une méthode (il y en a d'autres), qui permet de le démontrer.
On identifie clairement la propriété qui doit être démontré.
On notera P(n)la propriété "6n – 1 est divisible par 5 ".
La démonstration : Elle se fait en deux étapes (plus une pour la conclusion) Les deux étapes étapes de la démonstration et
la conclusion
L'échelle, une image "parlante"
P(0) est vraie
90 – 1=0, c'est bien un nombre divisible par 8.
Initialisation On peut mettre le pied sur le premier échelon
Pour tout entier n fixé dans N,
si P(n) est vraie, alors P(n+1)est vraie.
On dit que P(n) est héréditaire dans N.
Hérédité On sait passer d'un échelon à l'autre
On peut dire que :
P(n) est vraie pour tout n de N.
Conclusion Donc on peut mettre le pied sur n'importe quel échelon, aussi haut soit-il.
Une démonstration de ce type s'appelle une démonstration par récurrence.
Elle se déroule en deux étapes : vérification que P(n) est vraie pour le premier indice (Initialisation) et démonstration que la propriété P est héréditaire et se termine par la conclusion.
III LE PRINCIPE DE RECURRENCE:Toute démonstration par récurrence s'appuie sur la propriété de l'ensemble N qui suitSoit I une partie de IN
Si les deux propriétés suivantes sont vraies
I contient l'entier 0
pour tout entier naturel n, si n est dans I,alors n+1 est dans I alors I=IN .
D'où le résultat (pour le démontrer, il suffit de considérer l'ensemble I des nombres n tels que P(n) est vraie) : Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier naturel nSi les deux propriétés suivantes sont vraies
P(0) est vraie
La propriété P est héréditaire dans Nalors P(n) est vraie pour tout n de N.
III DEUX EXEMPLES POUR BIEN COMPRENDRE Premier exemple: Q(n) est la propriété "6n+1 est divisible par 5"
Que peut-on dire de Q(n) ? L'image de l'échelle
Q(n) est héréditaire dans N. Démonstration Hérédité On sait passer d'un échelon à l'autre Pour tout entier n, Q(n) est fausse. pas d'initialisation
possible
On ne peut mettre le pied sur aucun échelon
Conclusion : ça na marche jamais
Second exemple : R(n) est la propriété "4n – 1 est divisible par 5"
Que peut-on dire de R(n) ? L'image de l'échelle
R(2) est vraie.
En effet 42-1=15, c'est bien un nombre divisible par 5.
Initialisation On peut mettre le pied sur un échelon (le premier ici)
Quel que soit n de N, R(n) n'est pas héréditaire. Pas d'hérédité On ne sait pas passer d'un échelon à l'autre
Conclusion : ça marche de temps en temps
