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Faculté des Sciences Appliquées

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Examen de Mécanique Rationnelle 1

N° : _ _ _ _ _

Année académique 2009-10

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^ère

session – 2 juin 2010

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• Indiquez NOM, PRENOM et numéro sur chaque feuille de papier ministre ainsi que sur l’énoncé et le brouillon.

• L’examen se déroule de 08H00 à 12H00.

• Ne sont autorisés que le matériel d’écriture et de dessin éventuel.

• Répondez aux questions 1 et 2 sur la même feuille de papier ministre.

• Répondez aux questions 3, 4 et 5 sur des feuilles de papier ministre séparée.

• Répondez à la question 6 sur la feuille d’énoncé.

• Déposez votre carte d’identité sur le banc.

• Attention : Indiquez les développements et justifications de vos réponses. Une réponse sans développement ou justification ne sera pas prise en compte !!!

Question 1 /3

Soit un point P décrivant une courbe au cours du temps.

Q1.1 : Ecrivez l’expression de sa position en coordonnées cylindriques.

Q1.2 : Etablissez (en partant de l’expression de sa position) l’expression de la vitesse et de l’accélération du point P en coordonnées cylindriques.

Q1.3 : En déduire la position, la vitesse et l’accélération (en coordonnée cylindrique) d’un point décrivant une trajectoire d’hélice circulaire de rayon R et de pas P. L’hélice est parcourue à vitesse angulaire ω constante.

Question 2 /3

L’énergie potentielle V(x) d’une particule P en fonction de sa position est donnée par : sin où (b>0). La masse de la particule est m.

Q2: Si on la place à l’instant t=0 en A tel que

, que doit valoir au minimum sa vitesse initiale dirigée vers les x positifs pour que la particule P atteigne la position B telle que

?

Question 3 /4

Un disque de rayon R muni d’une encoche radiale OX tourne à la vitesse angulaire (A l’instant t=0, les axes OX et OY sont confondus avec les axes fixes Ox et Oy). Dans cette encoche se trouve un point P qui peut se déplacer suivant la loi

1 sinΩ, où Ω est une constante.

Q3.1 : Déterminez les composantes dans OXY des vitesses relative, d’entraînement et absolue de P.

Q3.2 : Déterminez les composantes dans OXY des accélérations relative, d’entraînement, de Coriolis et absolue de P.

Q3.3 : Déterminez les instants auxquels s’annule la vitesse d’entraînement.

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session – 2 juin 2010

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Question 4 /4

Soit le système articulé suivant composé de 3 barres AB, BC et CD pesantes homogènes de masse m et de longueur L. La barre AB est articulée à un mur vertical par une rotule en A. La barre CD est articulée à un mur vertical par une rotule en D. La barre BC est liée aux barres AB et CD par des articulations. Le point B est lié à un ressort de constante de rappel k. L’extrémité supérieure du ressort est montée sur un rouleau de manière à garder le ressort toujours vertical. La position libre du ressort est obtenue pour 0. L’articulation A est soumise au moment de force M.

Q4.1 : Déterminez le potentiel du système complet.

Q4.2 : Quel moment de force M faut-il appliquer pour que la position d’équilibre corresponde à un angle de 30° ?

Q4.3 : Cette position est-elle stable ?

Question 5 /4

On désire étudier le mouvement d’une personne de masse m qui saute à l’élastique depuis un pont situé à une altitude h au dessus d’une rivière. L’élastique a une longueur statique (sans charge) L et une constante de rappel k.

On néglige la masse de l’élastique dans les calculs et on suppose que la vitesse initiale de l’individu est nulle. On vous demande d’effectuer les calculs en considérant un mouvement uniquement vertical. De plus, on néglige toute dissipation d’énergie. On assimile le sauteur à un point matériel.

Q5: A partir des équations du mouvement, déterminez l’altitude minimale atteinte par l’individu. Quelle est la pulsation du mouvement oscillant ?

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session – 2 juin 2010

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Question 6 /2

Soit un point P lié à la roue arrière du vélo représenté sur les schémas suivants. Le vélo se déplace dans un repère absolu oxy avec une vitesse constante.

Répondez aux questions suivantes en n’oubliant pas de justifier vos réponses. Les calculs ne sont pas demandés.

Q6.1 : Représentez sur le schéma suivant les trajectoires absolue, relative et d’entrainement de P.

Q6.2 : Représentez sur le schéma suivant les vitesses absolue, relative et d’entrainement de P.

Q6.3 : Représentez sur le schéma suivant les accélérations absolue, relative, d’entrainement et de Coriolis de P.