3- Thermodynamique appliquée aux turbomachines

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Bruno LODATO

3T - 2017-2018 1

Cours de Turbomachines - 2017 Copyright DEVAUX Catherine(IPSA-Paris)

Sommaire

1&2 – Introduction aux turbomachines

3 – Thermodynamique appliquée aux turbomachines 4 – Calcul des cycles d’adaptation

5 – Calcul des cycles d’adaptation (suite) 6 – Intégration des contraintes avionneurs

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3- Thermodynamique appliquée aux turbomachines

A- Equation d’état des gaz parfaits

B- Premier principe de la thermodynamique C- Second principe de la thermodynamique D- Thermodynamique monodimensionnelle E- Analyse des pertes internes

F- Théorème des quantités de mouvement

G- Thermodynamique des mélanges des gaz réels H- Modélisation de la combustion

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Objectifs

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3 – Thermodynamique appliquée

Chimie

Thermique

Mécanique

Thermomécanique

… Apprendre les outils

et principes de base

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Notations

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L’équivalence entre les unités SI et les unités anglo-saxonnes les plus couramment utilisées étant fournie en annexe 1 du Mémento

m : masse d'air (kg) Da : débit d'air (kg/s)

D : débit de gaz, somme du débit d’air et du débit de carburant (kg/s) Dc : débit de carburant, produit de la richesse

par le débit d’air (kg/s) Dr : débit réduit

Drs : débit réduit statique Drc : débit corrigé (kg/s)

P : pression totale, d’arrêt ou d’impact (Pa) Ps : pression statique (Pa)

T : température totale, d’arrêt ou d’impact (K) Ts : température statique (K)

V : vitesse (m/s) M : nombre de Mach

: dérivée temporelle de f

ρ: masse volumique (kg/m³) : volume (m³)

H : enthalpie massique (J/kg) Hr : enthalpie massique réduite (K) S : entropie massique (J/(kg . K)) Dyn : dynalpie (N)

U : énergie interne (J) E : énergie totale (J) Q : quantité de chaleur (J) Γ: travail (J)

W : puissance (W) η : rendement

Cp : capacité calorifique massique à pression constante (J/(kg . K))

Cv : capacité calorifique massique à volume constant (J/(kg . K))

R : constante spécifique des gaz parfaits (J/(kg . K)) γ: rapport Cp/Cv (adimensionnel)

α: richesse ou viciation de l'air :

débit de carburant rapporté au débit d'air t : temps (s)

A : section (m²)

Equation d’état des gaz parfaits

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3 – Thermodynamique appliquée -A- Equation d’état des gaz parfaits

Pour m = 1 kg d’air , M_air= 28,967 g/mol

avec R = 287,04 J/(kg . K)

Pa K

m³

kg/m³ Constante universelle des gaz parfait

e= 8,3145 J/(mol . K)

≈ 2 cal/(mol . K) e_{= R.}M_air

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Points de référence

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La condition normale de température et de pression, le point défini par :

Ps = 101325 Pa et Ts = 273,15 K

La condition moyenne de température et de pression en climat tempéré, dite condition standard ou condition ISA(International Standard Atmosphere) :

Ps = 101325 Pa et Ts = 288,15 K

Référence en thermodynamique

et en chimie

Référence en aéronautique

Enoncé du premier principe

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3 – Thermodynamique appliquée -B- Premier principe de la thermodynamique

 Système où la masse m est conservée J

Quantités de chaleur et de travail échangées entre le système et l’extérieur pour passer de l’état 1 à l’état 2.

Elles dépendent du chemin parcouru.

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Energie totale

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3 – Thermodynamique appliquée - B- Premier principe de la thermodynamique

J

Pour une transformation (cycle) fermée et réversible :

 évolution à altitude constante

Application du premier principe

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Pour une transformation réversible et adiabatique

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Pour une turbomachine

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=> Flux d’air

Γt: travail fourni par l’arbre d’entrainement = travail avec transvasement

Pour une turbomachine

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W_t: puissance avec transvasement D = m/t W

Pour une masse unité (m=1 kg) =>

(Γt–Γ) : travail de transvasement

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Capacités calorifiques massiques :

évolutions à volume ou pression constante

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Evolution

à volume constant :

Qv chaleur d’évolution à volume constant Cv capacité calorifique massique

à volume constant

Evolution

à pression constante :

Qp chaleur d’évolution à pression constante Cp capacité calorifique massique

à pression constante

L'air étant un gaz complexe non parfait, Cp dépend de la température statique Ts et de la viciation de l’air α (voir annexe 3 du Mémento).

J/(kg . K)

Propriétés des chaleurs spécifiques Cp et Cv

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Les relations de Mayer :

γdépend de la température statique Ts et de la viciation de l’air α (voir annexe 4 du Mémento).

pour les gaz parfaits et les gaz "semi parfaits" comme l'air

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Définition de l’énergie interne U, de

l'enthalpie H et de la température totale T

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Evolution

à volume constant :

Pour un gaz parfait

Energie interne U :

Pour un gaz réel

Définition de l’énergie interne U, de

l'enthalpie H et de la température totale T

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Evolution

à pression statique constante :

Pour un gaz parfait

Enthalpie massique statique H(Ts,α) :

Pour un gaz réel

L’annexe 5 du Mémento présente l’évolution de H en fonction de la température statique Ts et de la viciation de l’air α, au travers de l’enthalpie massique réduite Hr, enthalpie rapportée à la constante des gaz parfaits R.

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Définition de l’énergie interne U, de

l'enthalpie H et de la température totale T

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Enthalpie massique totale H(T,α) :

Application du premier principe aux écoulements permanents

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Or travail avec transvasement :

Or : D’où : A partir de :

Avec : = puissance de quantité de chaleur

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Application aux turbomachines

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Pour les compresseurs ou les turbines adiabatiques :

Pour les échangeurs ou les chambres de combustion :

Pour les tuyères ou les manches d’entrée d’air :

Fonction entropie S

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3 – Thermodynamique appliquée -C- Second principe de la thermodynamique

1^erprincipe appliquée à une transformation réversible sur un piston, transformation réalisée à volume constant :

=>

Avec

= 0

On introduit la fonction d’état, appelée entropie: tel que :

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Fonction entropie S

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3 – Thermodynamique appliquée - C- Second principe de la thermodynamique

Pour une transformation réversible, la valeur ne dépend que de l'état initial 1 et de l'état final 2.

Comme à volume constant, s’écrit :

Pour un gaz parfait

Pour un gaz réel

Second principe de la thermodynamique

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L’entropie d'un système isolé ne peut que croître : elle reste constante en l'absence d'irréversibilités.

Dans un système fermé :

est l’énergie dissipée par les irréversibilités

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Application du second principe

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Pour une transformation gazeuse réversible :

D’où :

Or : d’où

Donc :

Application du second principe …

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On obtient :

D’où :

Conclusion : - l'apport de travail se traduit nécessairement par une augmentation de la pression,

- les irréversibilités se traduisent par une chute de pression.

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Diagramme entropique

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Diagramme de Mollier - les isothermes, courbes à température

constante définies par : T = T0 - les isentropes, courbes à entropie constante définies par : S = S0 - les isobares, courbes à pression totale constante définies par : P = P0 et dans le diagramme isentropique :

S0 T0

P0

Application au cycle d’un moteur : Sans perte

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Compresseur (P0 à P3)

Turbine (P3 à P5) Chambre de combustion

(T3 à T4)

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Application au cycle d’un moteur : Avec perte

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Compresseur (P0 à P3)

Turbine (P3 à P5) Chambre de combustion

(T3 à T4)

=> augmentation de l’entropie entre chaque plan

Températures statique et totale

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3 – Thermodynamique appliquée -D- Thermodynamique monodimensionnelle

Si le système ne reçoit ni chaleur, ni travail, alors l'enthalpie totale est conservée,



car ne dépend que de la température et de la viciation

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Températures statique et totale Cas des gaz parfaits

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3 – Thermodynamique appliquée - D- Thermodynamique monodimensionnelle

Définition du Mach

L’annexe 8 du Mémento présente l’évolution de cette fonction pour différentes valeurs de Mach et de γ.

Pressions statique et totale Cas des gaz réels

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Soit la transformation isentropique entre l'état "statique" et l'état "total".

D’où : ou bien

avec :

En annexe 6 du Mémento.

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Pressions statique et totale Cas des gaz parfaits

En annexe 8 du Mémento. 31

Débit réduit

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Partant de la loi des gaz parfaits : Par définition, le débit réduit statique : Il ne dépend que du Mach et de γ

On a donc :

En étendant cette notion aux grandeurs totales et en supposant que γreste sensiblement constant entre Ts et T ,

le débit réduit Dr:

En annexe 7 du Mémento.

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Variation de la pression totale

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3 – Thermodynamique appliquée -E- Analyse des pertes internes

En reprenant les équations, on arrive à :

Avec :

De même :

D’où la relation :

-L’apport de travail accroît la pression totale,

-L’apport de chaleur se traduit par une baisse de la pression totale, -Les pertes internes se traduisent par une baisse de la pression totale.

Compression réelles adiabatiques

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3 – Thermodynamique appliquée - E- Analyse des pertes internes

1. A à A' : compression isentropique puis, A' à B : augmentation de la température sur une isobare,

2. A à B : compression réelle.

travail polytropique =>

travail des forces de viscosité

travail réel

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Détentes réelles adiabatiques

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Raisonnement identique (voir Poly)

Dans le cas d'une détente, le travail polytropique est donc supérieur au travail réel, contrairement au cas de la compression.

L'ensemble permet seul de réaliser un bilan énergétique correct.

Rendements isentropique et polytropique

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Le travail réel peut être comparé à deux types de travaux : le travail polytropiqueet le travail isentropique.

En conséquence, deux types de rendement peuvent être définis : - l'un qui compare le travail réel au travail isentropique que nous appellerons rendement isentropique,

- l'autre qui compare le travail polytropique au travail réel et que nous appellerons rendement polytropique.

Comparaison entre les rendements statique et total

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Rendements isentropique et polytropique

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Le travail réel peut être comparé à deux types de travaux : le travail polytropiqueet le travail isentropique.

En conséquence, deux types de rendement peuvent être définis :

- l'un qui compare le travail réel au travail isentropique que nous appellerons rendement isentropique, - l'autre qui compare le travail polytropique au travail réel et que nous appellerons rendement polytropique.

Comparaison entre les rendements statique et total

En pratique, nous n'utiliserons que les rendements en valeur totale

statique total

Rendements isentropiques

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Compression

Détente

Hypothèse gaz parfaits Cp faiblement variables Gaz réelles

Compression Détente

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Rendements polytropiques

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Compression

Détente

Compression

Détente

=> calculs plus complexes relation (Ps-Ts) est plus délicat

L'expression des pertes internes :

Compressions et détentes réelles

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Compression réelle :

Détente réelle :

Rendement =>

polytropique Rendement isentropique

Rendement =>

polytropique

Rendement isentropique

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Formules simplifiées en gaz parfaits

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Compression :

Détente :

Avec rendement polytropique

Avec rendement isentropique

Avec rendement polytropique

Avec rendement isentropique

Comparaison des différents rendements

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Compression :

Détente :

-Si est très faible, les deux rendements sont équivalents, -lorsque ∆Ts augmente le rendement isentropique est inférieurau rendement polytropique pour une compression

et supérieurpour une détente.

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La quantité de mouvement sortant de l'élément de surface dA est égale à (V.D) avec :

Le flux de quantité

de mouvement sortant de Σ:

Soit F l'effortexercé sur dA par le flux intérieur sur l'extérieur : F = FP(pression) + FV(viscosité ) avec : Le théorème des quantités de mouvement :

La dynalpie Dyn :

Fonction dynalpie Dyn

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3 – Thermodynamique appliquée - F- Théorème des quantités de mouvement

Fort utile pour calculer la poussée :

le flux de dynalpiesortant par une surface de contrôle fermée est nul.

Fonction dynalpie Dyn

En aérodynamique monodimensionnelle, la dynalpie sera définie par les relations suivantes :

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3 – Thermodynamique appliquée -G- Thermodynamique des mélanges des gaz réels

Mélange de gaz réels

Exemples :

- mélange de deux gaz non viciés : issu d’ un prélèvement d’air réalisé dans le compresseur haute pression (HP) et réintroduit dans le flux d’air secondaire (bypass)

mélange de deux gaz, l'un vicié et l'autre non, en sortie de la chambre de combustion :

les gaz viciés issus de la combustion se mélangent à l’air pur prélevé dans le compresseur et réintroduit au nive au de la turbine après avoir refroidi les aubes de turbine.

Les calculs de mélange (gaz 1 et 2 donnant un nouveau gaz T) ne sont valables que lorsqu’ils sont réalisés à iso-section (A) et à iso-débit (D) :

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3 – Thermodynamique appliquée - G- Thermodynamique des mélanges des gaz réels

- enthalpie totale du gaz 1 : D1 . H(T1, α1) - enthalpie totale du gaz 2 : D2 . H(T2, α2)

- enthalpie totale du mélange T : DT. H(TT, αT) = (D1 + D2) . H(TT, αT)

Avec :

permet le calcul de la tem pérature totale T_Td'un mélange gazeux en gaz réels.

pour un gaz parfait :

Enthalpie totale d’un mélange

gazeux

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Autres grandeurs

Soit un mélange gazeux, tel que forces de pression flux d'air :

=> calcul de la pression totale du mélange Dynalpie

Condition de Kutta Attention : Ps_Tn’est généralement pas égale à cette valeur sauf cas très particulier.

Entropie Pas de formule simple pour calculer l'entropie d'un mélange

=> pas de conservation de l'entropie

=> irréversibilités de la combustion

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3 – Thermodynamique appliquée -H- Modélisation de la combustion

Modélisation simplifiée

Pouvoir Calorifique Inférieur du carburant en J/kg

Richesse injectée Energie fossile

en J/kg

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Documents complémentaires

1-2 - Introduction aux turbomachines 3 Thermodynamique

Memento (44 pages)

Annexe 1 : conversion unités SI et anglo-saxonnes Annexe 2 : précision des calculs et des mesures Annexe 3 : chaleur spécifique à pression constante Cp(T,α) Annexe 4 : fonctionγ(T,α)

Annexe 5 : enthalie massique réduite Hr(T,α) Annexe 6 : fonctionΦ(T,α)

Annexe 7 : débit réduit Dr et débit réduit statique Dr_S Annexe 8 : évolution de Ps/P et de Ts/T en gaz parfait

Annexe 9 : évolution de pression statique atmosphérique en fonction de l’altitude z Annexe 10 : évolution de température statique atmosphérique en fonction de l’altitude z Annexe 11: calcul des pertes de charges

Annexe 12 : calcul de chocs et abaques

Annexe 13 : évolution des fonctions Mn1, P1/P0, Ps1/Ps0, ρ0/ρ1, Ts1/Ts0 Annexe 14 : évolution de A/Ac

Annexe 15 : méthodes d’interpolation simple et double Annexe 15 : rappel de trigonométrie

Annexe 15 : notations normalisées

Memento par cœur (1 page)

2016 Copyright DEVAUX Catherine

Fin du chapitre 3

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