(D’après les notes de cours de Pr.Huu Duc Vo)

Entropie

MEC1210_Thermodynamique MEC1210_Thermodynamique

((Heures 22 Heures 22--27 27))

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27)

Smail Guenoun

(D’après les notes de cours de Pr.Huu Duc Vo)

Objectifs Objectifs

Appliquer la deuxième loi de la thermodynamique aux évolutions

Établir le principe d’accroissement de l’entropie

Étudier les évolutions isentropiques au sein de dispositifs et des machines

Définir le rendement isentropique de dispositifs de des

machines

sys rev

c

W W

W δ δ

δ = +

c

R

dE

Q Wc = δ − δ

T T Q T Q

T Q Q

R R R

R δ δ

δ

δ _{= → =}

(1^èreloi pour système combiné) où:

Pour le cycle réversible:

réservoir TR

Cycle réversible

T variable

c

R

dE

T T Q

Wc = δ − δ

Inégalité de Clausius et Entropie Inégalité de Clausius et Entropie

1) Inégalité de Clausius

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 2

int

0 0

rev

Q Q

T T

δ _{≤ →} ^δ ^ ₌

 

 

∫ ∫

T T

δQ

Laissons le système combiné faire un cycle complet du système interne en même temps que plusieurs cycles entiers du cycle réversible:

Système combiné Système interne

(rév. ou irrév.)

RÉSERVOIR (TR) Q_R

système combiné (cycle)

Wc

Équivalent à

Inégalité de Clausius

Car en l’absence d’irréversibilité interne, le système combiné peut effectuer

l’évolution inverse avec un travail inversé, mais comme le travail ne peut être positif, il ne peut donc être que ZÉRO!

( )

=0 pour un cycle

c R c c R

Q Q

W T dE W T

T T

δ δ

δ = − ⇒ δ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

0 ( Pour ne pas violer l'énoncé de Kelvin-Planck)

c R

W T Q T

⇒ =

∫

δ ≤

Inégalité de Clausius donne pour un cycle réversible:

- Pour une propriété traversant un cycle:

- Clausius a défini une propriété ‘entropie’ (S):

0

int

=

 

 



∫  T

rev

δ Q

( ) ^{= 0}

∫ ^{d propriété}

∫ ⁼

→

 

 



=  0

int

T dS dS Q

rev

δ

Inégalité de Clausius et Entropie Inégalité de Clausius et Entropie

2)Entropie

Note: similairement à l’énergie, c’est le changement d’entropie qui importe le plus:

∫ ^ _ ^{ } _ ^

=

−

=

∆

2

1 int

1 2

T

rev

S Q S

S δ

(+ve): transfert de chaleur ausystème

température locale à la frontière du système où la chaleur passe

durant une évolution

intérieurement réversible!

Cas d’une évolution isotherme

Pour le cas d’une évolution isotherme, l’accroissement de l’entropie est donnée par :

( ) ( )

2 2 2

1 /

Q Q Q

S ^ δ ^{ } δ ^ δ Q kJ K

∆ = ∫   = ∫   = ∫ =

Inégalité de Clausius et Entropie Inégalité de Clausius et Entropie

2)Entropie

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 4

( )

^int

( )

int 0 int 0 0

1 1 1

1 /

rev

rev rev

Q Q Q

S Q kJ K

T T T T

δ δ δ

 

∆ =   =   = =

   

∫ ∫ ∫

:Température constante du système

Q: La chaleur transmise durant l’évolution réversible intérieurement.

⁰

T

Considérons un système faisant un cycle fait d’une évolution réversible et d’une évolution réversible ou irréversible

2

δ Q

En appliquant l’inégalité de Clausius:

0: évolution irréversible



>

Principe d’accroissement de l’entropie Principe d’accroissement de l’entropie

2 1 2 2

1 2 2 1

1 2 int 1 1

0

rev

Q Q Q Q Q

S S S S

T T T T T

δ ₌ δ ₊ ^δ ^ ₌ δ _{+ − ≤ ⇒ − ≥} δ

 

 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Processus 1-2 réversible

ou irréversible

2)Entropie

L’entropie d’un système isolé augmente toujours, ou reste inchangée pour une évolution réversible

2

2 1

1 gen

S S Q S

T

− = ∫ δ +

⁰⁰

0

: évolution irréversible : évolution réversible : évolution impossible Sgen



=

<



>

Avec :

( 0) :

,int

0

- Pour une évolution adiabatique δ Q = ∆ S

_Syst

= S

_gén

≥

Processus 2-1 réversible intérieurement

Si on combine le système et l’environnement pour former un système combiné isolé (sans interactions avec l’extérieur):

Principe d’accroissement de l’entropie Principe d’accroissement de l’entropie

Milieu extérieur

gén syst env

0

S = ∆ S + ∆ S ≥

2)Entropie

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 6

→ Donc l’entropie de l’univers (système +environnement) augmente toujours, ou reste inchangée pour une évolution réversible

Systèm e

Notes:

- l’entropie d’un système peut descendre durant une évolution, mais celui de l’univers doit augmenter ou rester constant

- lien entre S_gen et les énoncés de Clausius et de Kelvin-Planck Énoncé de Kelvin-Plank

RÉSERVOIR

CHAUD (T_H) Q_H

Système W_out

( )

0

= 0 (cycle)

Impossible

H

f i gen

H H

S S Q S

T S Q

− = +

=− <

Principe d’accroissement de l’entropie Principe d’accroissement de l’entropie

2)Entropie

Énoncé de Clausius

RÉSERVOIR CHAUD (TH)

RÉSERVOIR FROID (TL)

Q_H=Q_L

Q_L

Système (cycle) Système

(cycle)

W_out

( )

0 Impossible

H gen

H

S Q

T

=− <

0

0

= 0 (cycle)

et

(impossible)

L H H L

f i gen gen

L H H L

H L H L gen

Q Q Q Q

S S S S

T T T T

Q Q T T

→

S

− = = − + ⇒ = −

= > <

réfrigérateur réversible:

réfrigérateur irréversible: ( ) 0

0

, car

>

>

>

=

=

→

→

gen rev

in in H

L H

gen L

L H

H

S W

T W Q Q

T S Q T

Q_H Q

Q

réf. W_in

Notes

Notes: : - Pour un cycle opérant entre deux réservoirs:

W=Q

_in-

Q

_out

Wout,irrév<Wout,rév (moteur thermique) Win,irrév >Win,rév (réfrigération)

Remarques

Remarques sur sur l’entropie l’entropie

L’entropie est une mesure du désordre moléculaire d’un système

la différence va à la génération d’entropie

Principe d’accroissement de l’entropie Principe d’accroissement de l’entropie

2)Entropie

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 8 L’entropie est une mesure du désordre moléculaire d’un système

Une évolution se produit dans le sens qui obeit au principe d’accroissement d’entropie ( ). Une évolution qui enfreint ce principe ne peut se maniferster.

À l’exception d’une évolution reversible, il n’existe pas de principe de conservation d’entropie contrairement à l’énergie.

La production d’entropie est une mesure quantitative de la grandeur des irréversibilités qui interviennent durant une évolution: plus il y en a, plus grand est S^gen

gén

0

S ≥

Énergie organisée (Wsh) se converti en énergie organisée (∆∆∆∆Epotentielle).

Énergie organisée (Wsh) se converti en énergie désorganisée (∆∆∆∆u).

∆∆∆∆S>0

Principe d’accroissement de l’entropie Principe d’accroissement de l’entropie

2)Entropie

Une énergie désorganisée ne peut créer un effet utile

en énergie organisée (∆∆∆∆Epotentielle).

∆∆∆∆S=0

Le « frottement » en milieu de travail réduit la performance Charge

Relations Relations TdSTdS

( )

int, int,

Bilan d’énergie:

Équation de Gibbs

rev rev

dU Q W

dU TdS PdV du Pdv

TdS dU PdV ds T T

Tds du Pdv

δ δ

= − 

= − 

⇒ = +

= + 

= + 

h u Pv

dh du Pdv vdP dh vdP

dh Tds vdP ds

= + 

= + + 

⇒ = −

= +  δδδδQ^{int, rev}

=TdS δδδδW^{int, rev}=PdV

Substance pure, simple

Système stationnaire

évolution intérieurement réversible

Entropie d’un corps pur Entropie d’un corps pur

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 10 Notes

Notes: :

- Bien que dérivés à partir d’une évolution intérieurement réversible, ces relations sont uniquement en terme de propriétés, dont indépendantes de l’évolution

- L’équation de Gibbs permet de lier l’entropie aux autres propriétés, donc de le calculer.

( )

Équation de Gibbs

dh Tds vdP ds T T

Tds dh vdP

⇒ = −

= + 

= − 

Substance pure, simple et compressible

du Pdv

ds T T

dh vdP ds T T

= + 



= − 

Pour intégrer et trouver ∆∆∆∆S, il faudrait connaître les relations entre u, h et T ainsi que les relations d’état liant P,v,T

Changement d’entropie d’une substance, pure, simple et compressible

Changement d’entropie d’une substance, pure, simple et compressible ((tablestables))

Note: aire sous le courbe T-s pour une évolution

Diagramme T Diagramme T--ss

Point critique T

Entropie d’un corps pur Entropie d’un corps pur

T-s pour une évolution intérieurement réversible représente transfert de chaleur qau système.

Ligne de liquide saturé

Ligne de vapeur

saturé

S

L’entropie (s) se trouve dans les tables au côté de v,u, et h pour le liquide comprimé, liquide et vapeur saturée et vapeur surchauffée.

Mélange saturé:

Liquide comprimé (en l’absence de tables):

Changement d’entropie pour un gaz parfait Changement d’entropie pour un gaz parfait

fg

f

xs

s s = +

) (T s s ≅

_f

s

m S = ∆

∆

Entropie d’un corps pur Entropie d’un corps pur

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 12 Changement d’entropie pour un gaz parfait

Changement d’entropie pour un gaz parfait

∫

∫

−

=

−

→

−

=

+

=

−

→ +

=

2

1 1

2 1

2

2

1 1

2 1

2

ln )

(

ln )

(

P R P

T T dT c

s P s

R dP T

c dT ds

v R v T

T dT c s

v s R dv T

c dT ds

p p

v v

du Pdv

ds T T

dh vdP ds T T

= + 



= − 

Et comme:

v p

du c dT dh c dT Pv RT

 =

 =

 =



(gaz parfaits)

Analyse approximative Analyse approximative: :

1 2 1

2 ,

1

2

ln ln

v R v T

c T s

s − ≅

_vmoy

+

, ,

( ) .

( ) .

v v moy

p p moy

c T c const c T c const

≅ =

≅ =

[kJ/kg.K]

Entropie d’un corps pur Entropie d’un corps pur

:Chaleur massique moyenne de la substance à volume et pression constante respectivement.

,

,

,

v moy p moy

c c

c

_P,réel

1 2 1

2 ,

1 2

1 1

ln

ln P

R P T

c T s

s

v T

moy

p

−

≅

−

1 2 1

2 ,

1 2

1 2 1

2 ,

1 2

ln ln

ln ln

P R P

T c T

s s

v R v

T c T

s s

u moy

p

u moy

v

−

≅

−

+

≅

−

[kJ/kg.K]

[kJ/kmol.K]

c

_P,moy

c

_P,moy

c

_P,réel

T_moy

Analyse exacte Analyse exacte: :

Contrairement à uou h pour un gaz parfait, s=f(T et v ou P) et non f(T uniquement). Les tables sont en terme de Tuniquement et donnent:

o o

p T

p

o

s s

T T dT T c

T dT c

s

² _{2 1}

1

0

( ) → ( ) = −

≡ ∫ ∫

Entropie d’un corps pur Entropie d’un corps pur

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 14

[ ]

[ ]

2

2 1 2 1

1 2

2 1 2 1

1

ln / .

ln / .

o o

o o

u

s s s s R P kJ kg K P

s s s s R P kJ kmol K P

 − = − −

 

  − = − −



Exemple 7.9

Un écoulement d’air est comprimé de 100kPa et de 17 ⁰ C à 600kPa et 57 ⁰ C.

Déterminez la variation d’entropie de l’air au cours de la compression:

1) En utilisant la table thermodynamique pour l’air

2) En utilisant une valeur moyenne de la chaleur massique

Entropie d’un corps pur Entropie d’un corps pur

2) En utilisant une valeur moyenne de la chaleur massique 3) Comparer les résultats obtenus.

Solution (En classe)

d) Changement d’entropie pour une substance incompressible (liquide, solide)

0

( ) .

( ) Substance incompressible :

moy

dv

du c T dT

c T c const

 =

 =

  ≅ =



Entropie d’un corps pur Entropie d’un corps pur

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 16

2

2 1

1

2

2 1

1

( )

moy ln s s c T dT

T s s c T

T

− =

− ≅

∫

Uneévolution isentropique est une évolution qui estintérieurementintérieurement réversibleréversible(s_gen=0) et adiabatiqueadiabatique (q=0):

Utilité

Utilité: : -Modéliser un procédé réel et sert de référence pour définir le rendement d’un procédé réel Évolution isentropique d’une substance incompressible

Évolution isentropique d’une substance incompressible

2 1

2 1 1

2

s 0 s 0 s s

T s q

s − = ∫ ^δ +

_gen

= → ∆ = → =

Évolution isentropique Évolution isentropique

Évolution isentropique d’une substance incompressible Évolution isentropique d’une substance incompressible

Évolution isentropique pour un gaz parfait Évolution isentropique pour un gaz parfait 1) Forme approximative:

v p

v p

c k c

c c R

≡

−

=

Substance incompressible: isentropique=isothermique

2 2

2 1 , ,

1 1

2 2 2 1

ln ln 0

ln ln ln ln

^v

v moy v moy v

R c

T v

s s c R c c

T v

T R v T v

T c v T v

− ≅ + = → =

 

⇒ = − ⇒ =  

 

2 1

1 2 1

2

ln 0 T T

T c T

s

s − ≅

_moy

= → =

Donc :

Similairement:

) 1 (

1 2 1

2 1

2

−

−

−







=







=

c k R

v v v

v T

T ^v

2 2

2 1 , ,

1 1

1

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

ln ln 0

ln ln

S=constante

^p

p moy p moy p

R k

c k

p

T P

s s c R c c

T P

T R P T P P

T c P T P P

−

 − ≅ − = → =

 

      

 = ⇒   =   =  

      



éqn. (1)

éqn. (2)

Évolution isentropique Évolution isentropique

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 18

1 p 1 1 S=constante 1 1

T c P  T   P   P 



1 ( 1)

2 2 2 1

1 1 1 2

( 1)

2 2 2 1

1 1 1

1

2 2 2

1 1 1

.

v

p

k k k

k k

S Cste

R k

c k

R k

c k

P v P v

Pv const

P v P v

T v v

Tv const

T v v

T P P

T P P

− − −

=

− − −

−

−

       

= → = → =

       

       

     

= = → =

     

     

   

=  =   →

   

( )¹

TP ^{k− k} const











=





éqn. (1)=éqn. (2):

Formes approximatives d’évolution isentropique

pour gaz parfait. k (fonction de T) est evaluée à une T moyenne

2

2 1

2 2

2 1 2 1 2 1

1 1

ln 0 ln

o

o o

o o o o

s

s s R

P P

s s s s R s s R

P P

P

⁻

e P P P

− = − − = → = +

 

Forme exacte:

Pour estimer très précisément une évolution isentropique, on utiliser la pression relative et le volume massique relatif .

Évolution isentropique Évolution isentropique

) (T f e

P

^R

s r

o

=

≡

‘pression relative’ (sans dimension et

seulement définie pour l’évolution isentropique d’un gaz parfait et donné dans les tables

2 1

1

2 2 2 2

1 1 1 . 1

o

s s R

r r

R

s

r S const r

R

P e P P P

P e P P P

e

−

=

 

= = ≡ →   ≡

 

^{éqn. (3)}

Alternativement: équation d’état d’un gaz parfait donne

1 1 2 2

1 2

2 2 1 2 1 2 2 2 2 2

1 1 2 1 2 1 1 1 1 . 1

r r r r

r r r s const r

Pv P v Pv RT

T T

v T P T P T P v v v

v T P T P T P v v

₌

v

 = → =

 

      

 =   =   = ≡ →   =

      



éqn. (4)

éqn. (3) dans (4):

(évol. Isentropique)

Évolution isentropique Évolution isentropique

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 20

) (T P f

v T

r

r

≡ =

‘volume spécifique relatif’ donné dans tables (seulement défini pour

l’évolution isentropique d’un gaz parfait)

Exemple 7.10

Un écoulement d’air est comprimé de façon réversible et adiabatique au sein d’un moteur. L’air se trouve au départ à 95kPa et à 22 ⁰ C. le taux de compression est de V1/V2 =8.

Évolution isentropique Évolution isentropique

⁰

Déterminez la température finale de l’air.

Solution (En classe)

C’est un outil utiliser pour comparer la performance dispositifs quasi-adiabatique avec écoulement permanent (turbines, compresseurs, tuyères, …) versus une référence idéale (réversible, adiabatique, donc isentropique)

s a s

a

T

w

w W

W ue

isentropiq travail

actuel travail

=

=

≡ _

η _

pour mêmes conditions d’entrée

même pression à la sortie

Rendement isentropique Rendement isentropique

1) Turbines

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 22 Si on néglige le changement d’énergie cinétique et

potentielle entre l’entrée et la sortie:

s a

T h h

h h

2 1

2 1

−

≅ − η

actuel

isentropique entrée

Exercice 7.112

Un écoulement de vapeur d’eau pénètre dans une turbine adiabatique à 7MPa, à 600 ⁰ C et à 80 m/s pour en ressortir à 50kPa, à 150 ⁰ C et à 140m/s. La puissance produite par la turbine est de 6MW.

Rendement isentropique Rendement isentropique

1) Turbines

Déterminez:

1) Le débit massique de vapeur dans la turbine 2) Le rendement isentropique de la turbine.

Solution (En classe)

Si on néglige le changement d’énergie cinétique et potentielle entre l’entrée et la sortie:

1

2

h

h

_s

−

η ≅

actuel

isentropique a

s a

s

C

w

w W

W actuel

travail

ue isentropiq travail

=

=

≡ _

η _

(Pour mêmes conditions d’entrée même pression à la sortie.

Rendement isentropique Rendement isentropique

2) Compresseurs et pompes

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 24 Rendement de la pompes :

Rendement de la pompes :

(incompressible, négligeant changement d’énergie cinétique et potentielle):

1 2

1 2

h h

_a

s

C

≅ −

η

1 2 1

2 1

( )

s P

a a

w v P P

w h h

η = = ⁻

− ^{= −} ∫

²

1

vdP w

_rev

isentropique

entrée

Exercice 7 .117

Un écoulement d’air pénètre dans un compresseur adiabatique à 95kPa et 27 ⁰ C pour en ressortir à 600kPa et à 277 ⁰ C . Les chaleurs massiques sont variables, mais la variation des énergies cinétique et potentielle est négligeable.

Déterminez:

Rendement isentropique Rendement isentropique

2) Compresseurs et pompes

Déterminez:

1) Le rendement isentropique du compresseur

2) La température de l’air à la sortie du compresseur si l’évolution est réversible.

Solution (En classe)

Si on néglige le changement d’énergie potentielle entre l’entrée et la sortie ainsi

que la vitesse à l’entrée:

2 2

2 2

_ _

_ _

a T

s

V Energie cinétique sortie actuel

Energie cinétique sortie isentropique V

η ≡ =

entrée

Rendement isentropique Rendement isentropique

3) tuyères

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 26 que la vitesse à l’entrée:

1 2

1 2

a tuyère

s

h h h h

η ≅ ⁻

−

actuel

isentropique

Exemple 7.16

Un écoulement d’air pénètre dans une tuyère à 200kPa et à 950K et en ressort à 80kPa. Le rendement isentropique de la tuyère est de 92%.

Déterminez:

Rendement isentropique Rendement isentropique

3) tuyères

1) La vitesse maximale de l’écoulement à la sortie de la tuyère 2) la température de l’air à la sortie de la tuyère

3) la vitesse réelle de l’air à la sortie de la tuyère.

Supposez que les chaleurs massiques de l’air demeurent constantes et que la vitesse de l’écoulement à l’entrée de la tuyère est petite.

Solution (En classe)

sys in out gen

sys in out gen

S S S S

S S S S

s s s s

∆ = − +

 

= − +

 

∆ = − +



ɺ ɺ ɺ ɺ

Bilan d’entropie Bilan d’entropie

Entropie Entropie Entropie Variation de totale - totale + totale = l'entropie totale entrante sortante produite du système

       

       

       

       

       

Ou encore :

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 28 Termes

Termes::

1)

Changement d’entropie du système(∆^S_sys^):

Notes:

- l’entropie est une propriété donc ∆^S_sys =0 pour les cycles et pour les dispositifs à écoulement permanent

- l’entropie est une propriété extensive donc:

sys in out gen

s s s s

 ∆ = − +



∫ ⁼ ∑

=

_composante

sys m

sdm S

S

= 0 S ɺ

sys

1

2

S

S S

S

S

_sys

=

_final

−

_initial

= −

∆

2) Mécanismes de transfert d’entropie (S_in et S_out) : L’entropie peut transmis à travers les frontières d’un

système de deux façons différentes:

a) - Transfert de chaleur:

:

Si T = cste, alors

_chaleur

Q

S T

→ =

Bilan d’entropie Bilan d’entropie

Milieu extérieure

Systè me Milieu extérieur

2

1 chaleur

S Q

T

= ∫ δ

Note

Note: le travail n’implique aucun transfert d’entropie:

b)-Écoulement:

T

+: entrant -: sortant

travail

0

S =

L’entropie n’est pas transmise avec le travail

L’entropie est produite par le frottement

∫

=

−

=

−

=

A

n out

out in

in masse

out out in

in masse

dA V s s

m s

m S

s m s

m S

ρ δ

δ

ɺ ɺ ɺ

1

T

Génération d’entropie (S_gén):

L’entropie est produite au sein d’un système par les effets d’irreversibilités comme le frottement, le mélange de substances, la transmission de chaleur, etc…

0 : 0 :

0 :

reversible,entropie conservée

irreversible,entropie non conservée Sgen =

≥ 

>



Bilan d’entropie Bilan d’entropie

Bilan d’énergie dans les systèmes fermés:

Bilan d’énergie dans les systèmes fermés:

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 30

Bilan d’énergie dans les systèmes fermés:

Bilan d’énergie dans les systèmes fermés:

Aucun écoulement ne traverse les frontières d’un système fermé, donc:

Pour un système fermé et adiabatique (Q=0):

2

2 1

1

système gen

S S S Q S

T

∆ = − = ∫ δ +

2

2 1

1

gen gen

S S Q S S

T

− = ∫ δ + =

Bilan d’entropie d’un système ouvert

Notes Notes: :

Pour un système ouvert à écoulement permanent ( ):

S ɺ

_sys

= 0

frontière

sys in in out out gen

A

S Q m s m s S

T

= ∫ δ ^ɺ + ∑ − ∑ +

ɺ ɺ ɺ ɺ

Bilan d’entropie Bilan d’entropie

Pour un système ouvert à écoulement permanent avec une entrée/sortie:

Pour un système ouvert adiabatique à écoulement permanent avec une entrée/sortie :

∑ ∫

∑

^{− −}

=

frontière

A in in

out out

gen T

s Q m s

m

S ɺ

ɺ ɺ ɺ

∫

−

−

=

frontière

A in out

gen T

s Q s

m

S ɺ

ɺ ɺ( )

) (

_{out in}

gen

m s s

S ɺ = ɺ −

1) Travail réversible pour écoulement permanent Bilan d’énergie:

( ) 0

sys rev rev

rev rev c p

rev rev c p

dE Q W m m d

q w d dh de de w q dh de de

δ δ δ θ δ θ θ

δ δ θ

δ δ

= − + − + =

− = = + +

= − − −

Travail en écoulement permanent Travail en écoulement permanent

Car:

rev

Tds dh vdP q Tds δ

= −



 ≡

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 32

2

1,2 1,2

1

( )

_{rev c p}

rev c p

w TdS TdS vdP de de

w vdP e e

δ

⇒ = − + − −

= −

∫

− ∆ − ∆

 rev

Travail réversible (maximum) par système en écoulement permanent

Travail d’un dispositif en écoulement permanent augmente avec le volume spécifique (v), donc:

Pour un compresseur, on devrait minimiser v pour minimiser le travail requis Pour uneturbine, on devrait maximiserv pour maximiser le travail sortant

Travail isothermique et polytropique pour les gaz (négligeant De_c et De_p):

Isothermique (gaz parfait):

Pv

∫

−

=

²

1

vdP w

_rev

(Pv=RT =const pour T const.)

Travail en écoulement permanent Travail en écoulement permanent

1 1 1 1

2

1

1 1 1 1

1 2 rev

ln

Pv const Pv v Pv

P P w Pv dP Pv

P P

= = → =

= − ∫ =−

1 1 1

2 rev

ln

w Pv P

= − P

1 2 rev

ln

w RT P

= − P

(Pour le cas des gaz parfait)

Polytropique Polytropique::

( ) ( )

1 1

1 1 2 2

1 1

1 1

1 2 1 1

2 1

1

1 1

1 1

1 1

2 2 2 1 1 1

1 1

1 1 1

n n n n n

n n

n n n

rev

n n n n n n

rev

Pv const C P v P v v C P

P P

w C P dP C

n

w P v P P v P

n

−

− + − +

−

− + − +

= = = = → =

 

 − 

= − = −  

 − + 

 

 

= −  − 

 

− +

∫

Pour un gaz Parfait:

















 −









−

= −

− −

= −

−

1 1 )

1(

1

1 2 1 1

2

n n

rev P

P n

T nRT n T

w nR

RT Pv =

Travail en écoulement permanent Travail en écoulement permanent

MEC 1210_Hiver2013 (Heures 22-27) 34 Minimisation du travail de compression:

n 1

− +

∫

−

=

2

1

vdP

w

_{rev Minimum W}

reven minimisant v

Exemple: minmiser l’augmentation de la température

2 2 1 1

( )

rev

1

w n P v Pv

= − n −

−

b) Travail réversible versus travail irréversible:

On veut prouver que le travail d’un système réversible en écoulement permanent est toujours plus grand que celui d’un système irréversible pour les mêmes conditions d’entrée et de sortie.

ds _> δ q

^irrev

irrev irrev

rev

irrev irrev

rev

irrev irrev

p c

rev rev

ds q w

w

w q

w Tds

w q

de de

dh w

q

δ δ

δ

δ δ

δ

δ δ

δ δ

−

− =

−

=

−

−

= +

+

=

−

Principe d’accroissement

Travail en écoulement permanent Travail en écoulement permanent

T ds _> δ q

^irrev

irrev rev

irrev irrev

rev

w w

T ds q

T w w

δ δ

δ δ

δ

>

−

− =

Principe d’accroissement

de l’entropie

Lecture suggérée

Sections 7.1 à 7.13 du livre, «Thermodynamique, une approche pragmatique», Y.A. Çengel, M.A. Boles et M. Lacroix, Chenelière- McGraw-Hill, 2008.

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