MEC1210 THERMODYNAMIQUE

1

MEC1210 THERMODYNAMIQUE

ENSEIGNANT: RAMDANE YOUNSI BUREAU: C-318.1

TELEPHONE: (514)340-4711 ext. 4579 COURRIEL: ramdane.younsi@polymtl.ca

D’après les notes de cours de Pr. Huu Duc Vo

2

Chapitre7: Entropie OBJECTIFS

Appliquer la deuxième loi de la thermodynamique aux évolutions

Définir une nouvelle variable thermodynamique appelée entropie

Établir le principe d’accroissement de l’entropie

Étudier les évolutions isentropiques au sein des dispositifs et machines.

Définir le rendement isentropique des machines

3

1) Inégalité de Clausius et entropie a) Inégalité de Clausius

L’intégrale de Q/T dans un cycle est toujours inférieure ou égale à zéro.

Le symbole indique que l’intégration est effectué sur tout le cycle.

• le signe égal (=) valant pour un cycle réversible

• l'inégalité (<) valant pour un cycle irréversible

Q 0 T

 _





réservoir TR

Système combiné Cycle

réversible

Système interne (rév. ou irrév.)

T variable

Inégalité de Clausius

c

R dE

Q Wc 

 (1^ère loi pour système combiné)

sys rev

c W W

W  

  

Comme le cylce est réversible on a : D’où

R R

Q Q

T T

 _ 

  _RQ _c

Wc T dE

T

(1)

où:

4

On laisse le système piston-cylindre décrire un cycle complet

int

0

0

0

c R

rev

c R c

W Q

W T Q dE

T T

Q Q

T T

T

 



 

 

  

 

 

 

  





  

Sinon on viole l’énoncé de Kelvin-Planck

5

b) Entropie

L'équation (1) va nous permettre de définir une nouvelle fonction d'état du système, appelée entropie S. Considérons un cycle thermodynamique formé de deux transformations réversibles: .

on déduit que l'intégrale pour une transformation réversible : - ne dépend que des états initial et final

- c.à.d qu'elle ne dépend pas du chemin suivi

(1) (2)

(2

0 )

0 (1)

B

A

A

A

B

B B

A

Q Q Q

T T T

Q Q

T T



  



   



  



rev AB

Q T



6

b) Entropie (cont.)

Clausius a défini une propriété ‘entropie’ (S) définie comme:

Au cours d’une évolution, la variation d’entropie d’un système est donnée par:

L’entropie est une variable thermodynamique, sa valeur ne dépend que de l’état du système ;

La variation d’entropie entre deux états S est indépendante du chemin suivi, que l’évolution soit réversible ou irréversible;

Pour une évolution isotherme

int

/ 0

rev

dS Q kJ K dS

T





   











 ²

1 int

1 2

T rev

S Q S

S



2 2

 

2 1 int 0

0 int 0

1 1

1

rev rev

S S S Q Q Q T

T T

 

 

       

 

 

Évolution irréversible

Évolution réversible

7

c) Principe d’accroissement de l’entropie

Considérons le cycle formé d'une transformation réversible ou irréversible 1-2 et d'une transformation réversible 2-1. D'après l’inégalité de Clausius on a alors:

Si on désigne par S_gén l’entropie produite par les irréversibilités pendant l’évolution, alors:

Q 0 T

 _



1 2

2 1

1 2 ,int

2

2 1

1

0

ou dS

 

 



 

      

  

 



S S rév

Q Q

T T

Q Q

S S

T T

2

2 1

1

0 :

avec 0 :

0 :

gén gén

évolution irréversible

S S S Q S S évolution réversible

T évolution impossible

 ^  ^

      

 



évolution intérieurement

réversible évolution

réversible ou irréversible

État 1

État 2

8

Pour une évolution adiabatique (Q=0^): S_{sys, isolé} = S_gén  0

Donc l’entropie d’un système isolé augmente toujours, ou reste inchangée pour une évolution réversible .

Si on combine le système et l’environnement pour former un système combiné isolé (sans interactions avec l’extérieur)

S_gén= S_sys + S_env 0 (1)

Comme aucune évolution réelle n’est complètement réversible, l’ équation (1) indique que l’entropie de l’univers augmente toujours, ou reste inchangée pour une évolution réversible.

9

Résumé: Qu’est –ce que l’entropie?

L’entropie est une mesure du désordre moléculaire d’un système

Une évolution peut se produire dans un sens et non dans n’importe quel sens;

Une évolution se produit dans le sens qui obéit au principe de l‘accroissement d’entropie, i.e S_gén0, une évolution qui enfreint ce principe n’existe pas;

L’entropie n’est pas conservée. Dans toute les évolutions réelles, l’entropie totale ( le système et le milieu extérieur) augmente;

Le rendement de tous les systèmes se détériorer en présence d’irréversibilités.

10

Exemples

Corps froid Corps chaud

Entropie décroît

Entropie croît

Chaleur

11

2) Entropie d’un corps pur a) Relations TdS

Considérons une évolution réversible d´un système fermé. On a d’après le bilan d’énergie:

ou encore du Pdv d

dU TdS PdV T

s Équation de Gibbs

T dS dU PdV

Tds d dv u P T

 

 

   

 

int,rev int,rev

dU   Q   W

int, int,

:

,

or  Q  Tds  W  PdV

D’où

h u Pv

dh du Pdv vdP Tds vdP

Tds dh vd dh vdP

ds Équation de Gibbs

T T

P

 

   

    

   

Ces deux relations permettent de calculer la variation de l’entropie d’un système en fonction de la variation d’autres variables thermodynamiques

12

a) Relations TdS (cont.)

du Pdv ds T T

dh vdP ds T T

     

  



Ces expressions sont valables pour des évolutions réversibles et irréversibles

Pour calculer S , Il faut connaître la relation entre u,T, h et les relations d’état liant P, v, T

13

b) Diagramme T-S et H-S

L’entropie est une variable thermodynamique et par conséquent, elle est disponible dans les tables thermodynamiques.

 Pour un liquide, on peut faire l´approximation incompressible lorsqu lorsqu´on ne dispose pas de table:

( , )

( ) s T P  s T

 Lorsqu´on a un corps pur, simple, compressible, on peut exprimer l´entropie s d´un système monophasique en fonction de T et p ( s(T,p)) comme pour l´énergie interne u et l´enthalpie h

Pour une vapeur humide, s_f et s_g

s´expriment en fonction soit de T_s ou de P_s. On utilise la relation :

(1 )

s   x s  xs

ligne de liquide saturé

ligne de vapeur saturée point

critique

mélange saturé T

S

1

1

1 f@

1

s _T P s

T

 



3 3 3

P s T





2

2 f 2

2

s _fg

T s x s

x

  



Vapeur surchauffée Liquide

comprimé

Note: aire sous le courbe T-s pour une évolution intérieurement

réversible représente le transfert de chaleur q au système

14

c) Changement d’entropie pour un gaz parfait

Dans le cas des gaz parfaits on a:

du = c_vdT et dh = c_pdT et l’équation d ’état Pv = RT. Les relations Tds s´intègrent immédiatement pour donner:

Les intégrales ci-dessus peuvent être effectuées à condition de connaître les relations entre les chaleurs massiques et la température du gaz, i.e.

c_v(T) et c_p(T)

2 2

2 1

1 1

2 2

2 1

1 1

( ) ln

( ) ln

v v

p p

v

dT dv dT

ds c R s s c T R

T v T v

P

dT dP dT

ds c R s s c T R

T P T P

     

     





15

c) Changement d’entropie pour un gaz parfait (cont.)

i) Les chaleurs massiques constantes (valeurs approximatives)

. )

(

. )

(

, ,

const c

T c

const c

T c

moy p p

moy v v









2 2

2 1 ,

1 1

2 2

2 1 ,

1 1

ln ln

ln ln

v moy

p moy

T v

s s c R

T v

T P

s s c R

T P

  

  

2 2

2 1 ,

1 1

2 2

2 1 ,

1 1

ln ln

ln ln

v moy u

p moy u

T v

s s c R

T v

T P

s s c R

T P

  

  

[kJ/kg.K]

[kJ/kmol.K]

C_p,moy

C_p,moy

C_p,réel

moy

16

c) Changement d’entropie pour un gaz parfait (cont.) ii) Les chaleurs massiques variables (valeurs exactes)

Recourir à une table thermodynamique dans laquelle les valeurs de s⁰ sont disponibles.

s⁰ est calculée par rapport au zéro absolu, soit:

2

2 1

0^T

( )

( )

o o o

p p

dT dT

s c T c T s s

T T

     

2

2 1 2 1

1 2

2 1 2 1

1

ln ln

o o

o o

u

s s s s R P

P s s s s R P

P

   

   

[kJ/kg.K]

[kJ/kmol.K]

17

Exemple 7.9 C&B page 311

Un écoulement d’air est comprimé de 100kPa et de 17˚C à 600kPa et à 57 ˚C . Déterminer la variation d’entropie de l’air au cours de la compression:

a) En utilisant la table thermodynamique de l’air

b) En utilisant une valeur moyenne de la chaleur massique Solution (en classe)

a) s₂-s₁=-0.3844kj/kg.K b) s₂-s₁=-0.3842kj/kg.K

18

d) Changement d’entropie pour une substance incompressible (liquide, solide) Pour une substance incompressible, le volume massique demeure à peu près inchangé (dv0);

D’où

0

( ) ( )

dv

du c T dT

c T c const

 

   

   

2

2 1

1

2

2 1

1

( )

moy

ln s s c T dT

T s s c T

T

 

 



19

3) L’évolution isentropique a) Définition:

Évolution qui est intérieurement réversible (s_gen=0) et adiabatique (q=0).

Ce cas particulier important est représenté par une droite verticale dans le plan (T,S).

b) Évolution isentropique d’une substance incompressible

i,e: une évolution isentropique dans une substance incompressible est aussi une évolution isotherme

2

2 1 1 2

1

q

0 0

s s s s s s

T

         

2

2 1 1 2

1

ln 0

moy

s s c T T T

  T   

20

c) Évolution isentropique pour un gaz parfait (cont.)

i) Les chaleurs massiques constantes (valeurs approximatives)

Or: c_p-c_v= R et c_p/c_v =k

Soit:

2 2

2 1 , ,

1 1

2 2

1 1

ln ln 0

ln ln

v moy v moy v

v

T v

s s c R c c

T v

T R v

T c v

     

  

2 1

1 2

ln ln

R cv

T v

T v

     

 

1

2 1

1 tan 2

k

s cons t

T v

T v





   

    

   

(2)

21

c) Évolution isentropique pour un gaz parfait (cont.) De même

Soit:

En combinant les équations (2) et (3) on obtient:

( 1)

2 2

1 tan 1

k k

s cons t

T P

T P





   

    

   

2 2

2 1 , ,

1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

ln ln 0

ln ln ln ln

p

p moy p moy p

R c

p

T P

s s c R c c

T P

T R P T P

T c P T P

     

 

    

 

(3)

2 1

1 tan 2

k

s cons t

P v

P

v

   

    

   

22

c) Évolution isentropique pour un gaz parfait (cont.)

Sous une forme abrégée, les équations précédentes peuvent s’écrire:

ii) Les chaleurs massiques variables (valeurs exactes)

où , pression relative est une quantité sans dimensions définie pour l’évolution isentropique d’un gaz parfait et tabulée comme s⁰ (A17)

1 (1 ) /

constante constante constante

k

k k k

Tv TP

Pv





 

  

  

formes approximatives d’évolution isentropique pour un gaz parfait.

k (fonction de T) est evaluée à une T moyenne

2

2 1

1

2 2

2 1 2 1 2 1

1 1

2 2 2 2

1 t 1

1 1 an

ln 0 ln

o

o o

o

o o o o

s

s s R

r r

S cons t r R

s

r e

R

P

P P

P

s s s s R s s R P

P P

P e P

P e P

e P





       

     

  

  ( )

so

R

P

 e  f T

23

c) Évolution isentropique pour un gaz parfait (cont.)

Parfois, le rapport des volumes massiques est connu plutôt que les rapport de pression:

D’où: pour un gaz parfait

1 1 2 2

2 2

1 tan 1

1 2

2 2 1 2 1 2 2 2

1 1 2 1 2 1 1 1

r r r

s cons te r r

r r r

Pv P v Pv RT

T T

v T P T P T P v

v T P T P T P v

v v

v

v

  

   

         

  

  

   

r ( )

r

v T f T

 P 

où , volume spécifique relative est une quantité sans dimensions définie pour l’évolution isentropique d’un gaz parfait et tabulée comme s⁰, (A17) .

24

Exemple (en classe): compression isentropique de l’air dans un moteur, CB&L ex. 7.10, p. 314

De l’air est comprimé de façon réversible est adiabatique au sein d’un moteur. L’air se trouve au départ à 95kPa et à 22˚C. le Taux de

compression est de V₁/V₂=8. Déterminer la température finale de l’air.

Solution

1^ère méthode en utilisant V_r V_r1=647,9

V_r2=80.99 T₂=662.7K

2^ème méthode en utilisant les relations isentropiques

25

4) Rendement Isentropique

Le rendement isentropique est une mesure de l’écart séparant l’évolution réelle de l’évolution isentropique (idéale) dans les dispositifs dans lesquels un écoulement en régime permanent se manifeste (turbine, pompe, compresseurs, tuyères, …)

a) Turbines

Pour les mêmes conditions d’entrée et de sortie de la pression:

Si on néglige le changement d’énergie cinétique et potentielle entre l’entrée et la sortie:

a T

s

Travail réel de la turbine w

Travail isentropique de la turbine w



1 2

1 2

a T

s

h h h h

  ^



entrée

actuel

Isentropique

Exemple 7.14 C&B page 322: à faire

26

Exemple

Un écoulement de vapeur entre dans une turbine adiabatique avec une pression de 8 MPa , une température de 500°C et un débit massique de 3 kg/s et en sort avec une pression de 30 kPa.

Le rendement isentropique de la turbine est de 0.90. En négligeant le changement d’énergie cinétique et potentielle dans la turbine déterminer:

a) La température à la sortie de la turbine b) Puissance réelle de la turbine

Solution (en classe) a) T_2a=69.09°C

b)

Vapeur

3054

_a



W kW



W

27

b) Compresseurs

Le rendement isentropique d’un compresseur est le rapport entre le travail requis pour comprimer de façon isentropique le gaz au travail réel requis. Soit, pour les mêmes conditions d’entrée et de sortie de la pression:

Si on néglige le changement d’énergie cinétique et potentielle entre l’entrée et la sortie:

Pour une pompe:

s C

a

w Travail isentropique du compresseur

Travail réel du compresseur w



Exemple 7.15 C&B page 314: à faire

entrée

Actuel

Isentropique

2 1

2 1

s C

a

h h h h

  ^



1 2 1

2 1

( )

s P

a a

w v p p

w h h

   ^



28

Exercice (7-105 C&B, page 355)

Un écoulement de vapeur saturée de réfrigérant R-134a dont le débit volumique est de 0.3m³/min pénètre dans un compresseur adiabatique à 120kPa pour en ressortir à 1 Mpa (voir figure). Le rendement isentropique du compresseur est de 80%.

Déterminer:

a) La température du réfrigérant à la sortie du compresseur;

b) La puissance consommée par le compresseur c) Montrez l’évolution dans un diagramme T-s.

Solution (en classe) a) T_2a =58.9˚C

b)

Compresseur

1.7

_a



W kW



W

29

c) Tuyère

Le rendement isentropique d’une tuyère est le rapport entre l’énergie cinétique réelle de l’écoulement à la sortie de la tuyère à l’énergie cinétique réelle de l’écoulement à la sortie de la tuyère résultant d’une évolution isentropique. Soit, pour les mêmes conditions d’entrée et de sortie de la pression:

Si on néglige le changement d’énergie

potentielle entre l’entrée et la sortie ainsi que la vitesse à l’entrée:

2 2

2 2



s

V Énegie cinétique réelle à la sortie de la tuyère

Énegie cinétique isentropique à la sortie de la tuyère V

Exemple 7.16 C&B page 326: à faire:

1 2

1 2

a tuyère

s

h h h h

  ^



Actuel

Isentropique

entrée

30

5) Bilan d’entropie a) Général

Ou encore

On va essayer de détailler chacun de ces termes.

i) La variation d’entropie du système (S_sys⁾

•L’entropie est une variable thermodynamique, sa grandeur ne change pas, à moins que l’état du système changeS_sys =0 pour les cycles et pour les dispositifs à écoulement permanent

• l’entropie est une propriété extensive donc:

'

Entropie Entropie Entropie Variation de

total total total l entropie

entrante sortante produite total

       

          

       

       

       

sys in out gen

S S S S

   

2 1

sys final initial

S S S S S

    

sys 0 S 

sys m composante

S 





31

5) Bilan d’entropie (cont.)

ii) Les phénomènes de transfert d’entropie (S_in et S_out)

L’entropie peut être transmise à travers les frontières d’un système de deux façons différentes:

- Par transmission de chaleur

Q/T est l’entropie transmise durant la transmission de chaleur

La première loi de la thermodynamique ne fait pas de distinction entra travaille et chaleur.

La deuxième loi si. L’entropie peut être

transmise par la chaleur et non par le travail S_travail=0





2

1

T S

 Q

+: entrant -: sortant

Si T=constante

chaleur

S Q

 T

S_chaleur=

L’entropie est produite par le frottement

L’entropie n’est pas transmise par le travail

32

5) Bilan d’entropie (cont.)

-Par écoulement de fluide S_masse=ms

iii) La production d’entropie (S_gén)

L’entropie est produite au sein d’un système par l’effet d’irréversibilités (frottements, mélange de substance..etc)

frontière

masse in in out out

masse n in in out out

A

S m s m s

S s V dA m s m s

 



 

   

gén gén

gén

S 0 :réversible, entropie conservée

S 0

S > 0: irréversible, entropie non conservée

 

  

33

b) bilan d’entropie d’un système fermé

Pour un système fermé et adiabatique (Q=0) c) bilan d’entropie d’un système ouvert

-Si l’écoulement est permanent:

-Si l’écoulement est permanent avec une entrée/sortie :

De plus, si le système est adiabatique

Exemple (à faire): CB&L ex. 7.18, p. 333

2

2 1

1

système gen

S S S Q S

T

   



système adiabatique gén

S _ S

 

frontière

sys in in out out gen

A

S Q m s m s S

T









 0 S 

frontière

gén out out in in

A

S m s m s Q









( )

frontière

gén out in

A

S m s s Q

  



( )

gén out in

S  m s  s

34

6) Travail d’une évolution réversible avec écoulement permanent

Pour un système ouvert avec écoulement permanent on a vu que :

Or:

Soit:

De cette dernière équation il apparaît que:

- Le travaille réversible produit ou consommé par une machine est d’autant plus grand que le volume massique est grand d’où:

- pour un compresseur, on devrait minimiser v pour minimiser le travail requis - pour une turbine, on devrait maximiser v pour maximiser le travail produit Ex: travail fait sur une pompe ou compresseur

rev rev c p rev rev c p

q w dh de de w q dh de de

            

et Tds=dh-vdP q

Tds

 ^

2

1,2 1,2

1

(kJ/k )

( )

g

rev c p

rev c p

w TdS TdS vdP

w v e

e dP

d e

e



 

    

    



Travail effectué dans une machine durant une évolution réversible intérieurement avec écoulement en régime permanent: attention au signe!

2

1,2 1,2

1

(kJ/kg)

rev c p

w 



35

Évolution isothermique: Pv=const^{. 2}

1

(kJ/kg) wrev  



1 1 1 1

2

2

1 1 1 1

1 1

ln

   

 



rev

Pv const Pv v Pv

P P

w Pv dP Pv

P P

Évolution polytropique :

   

1 1

1 1 2 2

1 1

1 1

1 2 1 1

2 1

1

1 1

1 1

1 1

2 2 2 1 1 1

2 2 1 1

1 1 1

1 1

( )

1

n n n n n

n n

n n n

rev

n n n n n n

rev

rev

Pv const C Pv P v v C P

P P

w C P dP C

n

w P v P Pv P

n

w n P v Pv

n



   



   

     

 

  

   

   

 

 

    

 

 

  





Pvn const

36

Pour une gaz parfait, les relations précédentes prennent la forme:

Évolution isotherme: Pv=const ²

1

  ln

rev

w RT P

P

1

1 2

2 1

1

( ) 1

1 1

n n rev

nRT P w nR T T

n n P





  

  

               

Évolution polytropique : Pvⁿ const

minimisation du travail de compression

Pour une compression, on remarque que le travail du compresseur est minimal pour une évolution isotherme(Pv=const.) et maximal pour une évolution isentropique pv^k=const

37

Résumé pour un système ouvert

Bilan de masse (Écoulement permanent: )

Bilan d’énergie (Écoulement permanent: )

 





i in i out

m m 

  



m V =V

v

2 2

( )

( ) ( )

  2

  

 

  

         

 

 ^{c p} 

out in

au par out out in in out in out in

sys sys

h e e

V V

Q W m m m h h g z z

2 2

( )

( ) ( )

2

c p

out in

au par out in out in

sys sys

h e e

V V

q w h h g z z

  

 

  

      

 

 

#

#

 0





 



      



   







sys in out

in in in in in sys in out

entrées

out out out out out

sorties

E E E

E Q W m Pour un régime permanent E E E

E Q W m

Bilan d’entropie (Écoulement permanent: )

 0









frontière

sys in in out out gen

A

S Q m s m s S

T

38

Résumé (cont.)

Pour les gaz parfaits

2 2

2 2

2 1 1 2 1 1

1 1

( ) ln ; ( ) ln

 





s s c T R s s c T R

T v T P

chaleur massique variable si

2 2 2 2

2 1 , 2 1 ,

1 1 1 1

ln ln ; ln ln

  _{v moy} T  v   _{p moy} T  P

s s c R s s c R

T v T P

2

2 1 2 1

1

  ^o  ^o  ln P

s s s s R

P

, ,

( )_{v v moy} . , ( )_{p p moy} . si c T ^c ^const c T ^ c ^const

2

2 1

1

 

ln T

s s c

T

Pour les liquides incompressibles

1 (1 ) /

tan

tan tan

k k k k

Tv cons e

TP cons e

Pv cons e





 

 

 

2 2

1  tan 1

  

  

r s cons te r

v v

v v

2 2

1  tan 1

 

  

 

r S cons te r

P P

P P

N’oubliez pas que pour les gaz parfaits à chaleur massique variables on a:

39

LECTURE SECTION DU LIVRE

Sections 7.1 à 7.13 du livre, «THERMODYNAMIQUE, une approche pragmatique», Y.A. Çengel, M.A. Boles et M. Lacroix, Chenelière-McGraw- Hill, 2ed 2014.