II Absorption d’un photon

Les sacs seront laissés devant le tableau. Conservez seulement de quoi écrire et une calculatrice : pas de téléphone !

Si vous ne comprenez pas une notation, une question, ou si vous pensez avoir découvert une erreur d’énoncé, signalez-le immédiatement.

Données :

• masse d’un neutronmn=1,674·10⁻²⁷kg ; masse d’un électronme=9,109·10⁻³¹kg ;

• charge d’un électronq=1,602·10⁻¹⁹C ;

• masse molaire du sodiumM(²³Na) = 23,0 g·mol⁻¹; masse molaire du rubidium M(⁸⁷Rb = 86,9 g·mol⁻¹);

• vitesse de la lumière dans le vide c = 299 792 458 m·s⁻¹; constante de planck réduite } = 1,05·10⁻³⁴J·s ; nombre d’AvogadroN_A = 6,02·10²³mol⁻¹; accélération de la pesanteurg = 9,8 m·s⁻²

Exercice 1 : Questions de cours

1. (a) Déterminer les états stationnaires d’une onde lumineuse confinée unidimensionnellement dans une cavité de longueur notée`.

(b) En déduire une condition portant sur`pour que les transitions entre les différents niveaux d’éner- gie soient plus énergétiques qu’un rayonnement ultraviolet.

2. (a) Déterminer les états stationnaires d’une onde de matière électronique confinée unidimensionnel- lement dans une cavité de longueur notée`.

(b) Calculer l’écart en énergie entre le premier et le deuxième niveau pour`=1,0 nm, on l’exprimera en électron-volt.

(c) Proposer une transition entre le premier niveau et un autre niveau dont l’énergie correspond à celle d’un photon visible.

Problème 1 : Diffusion de Bragg et interférométrie d’ondes de matière

On étudie différentes expériences mettant en évidence puis utilisant des interférences entre ondes de ma- tière, qu’on manipule au moyens d’ondes lumineuses laser.

I Interférences avec des neutrons

On envoie un faisceau de neutrons lents sur le dispositif de la figure 1 (issue de l’article [3]). Il traverse d’abord les fentes (« slits » en anglais)S1S2etS3et le prisme de quartz qui servent à sélectionner des neutrons ayant tous la même vitesse à l’approximation considérée. Il traverse ensuite enS5un système de fentes orthogonales au plan de la figure, de même largeura=22,2(3)µm, séparées par une distanced. On observe la figure d’interférences sur un écran situé à une distanceD=5,00 m (voir la figure 2).

Fig. 1 : Dispositif expérimental pour la diffraction de neutrons froids.

I.1. Les neutrons utilisés ont été ralentis jusqu’à une vitesse devn=2,14·10²m·s⁻¹. Calculer leur lon- gueur d’onde de de Broglie.

I.2. En déplaçant la fente mobileS4le long de l’écranEon compte le nombre de neutrons atteignant chaque point d’abscissexpendant une même durée. Les résultats sont représentés sur la figure de la courbe 3.

(a) Pour un pointMde l’écranE, exprimer les distancesF1MetF2Men fonction entre autres de la coordonnéexdu pointM.

(b) En déduire l’expression du déphasage enMentre l’onde de matière passée parF1et celle passée parF2. On se placera dans l’approximationDdetD |x|.

(c) Déduire de la courbe de la figure 3 la distancedséparant les deux fentes enS5.

S5

a F₁ F₂

d

D

E,S4

O M(x)

Fig. 2 : Géométrie du dispositif. Fig. 3 : . Répartition du nombre de neutrons atteignant l’écranEen fonction de l’abscissex.

II Absorption d’un photon

On étudie les variations de la quantité de mouvement d’un atome de sodium²³Na lors de l’absorption ou l’émission d’un photon d’une onde lumineuse. Dans un premier temps, l’atome est décrit classiquement comme un objet ponctuel de massemet de quantité de mouvementp. On caractérise les photons par leur longueur d’ondeλ.

II.1. Rappeler l’expression de l’énergie, notéeEp, et de la quantité de mouvement notéeppd’un photon de longueur d’ondeλen fonction dec , h , λ.

II.2. Lors de l’absorption d’un photon par un atome, l’énergie interne de l’atome (qui reflète sa configuration électronique) varie de la valeurE_f(état fondamental) à la valeurEe(état excité). On étudie la variation de la quantité de mouvement d’un atome initialement immobile lors de l’absorption d’un photon de longueur d’ondeλse propageant selon la direction+e# »x. On désigne parpxla quantité de mouvement de l’atome selone# »xquand il a absorbé le photon.

avant après

électron

atome

x E

E

p

e #»

photon

(a) On définit la fréquenceν0= (Ee−Ef)/h. Donner l’expression de la longueur d’ondeλ0d’un photon de fréquenceν0. Calculer l’ordre de grandeur (en eV) deEe−E_fpourλ0dans le domaine du visible. On considère dans toute la suite que les photons ont une longueur d’onde suffisamment proche deλ0pour que leur absorption / émission soit possible par l’atome.

(b) Quelle est la quantité de mouvement du système {photon + atome} avant l’absorption du photon.

(c) Quelle est la variation d’énergie totale, interne et cinétique, de l’atome au cours de l’absorption.

(d) On admet que l’énergie et la quantité de mouvement totales du système {photon + atome} doivent être conservées au cours de l’absorption. En déduire le système de deux équations vérifié par la longueur d’ondeλdu photon absorbé et la quantité de mouvementpxacquise par l’atome.

(e) En déduirepxen fonction dehetλ0en supposant qu’on peut négliger l’énergie cinétique acquise par l’atome devantEe−Ef. Vérifier que cette hypothèse est pertinente pourλ0dans le domaine du visible. On considère cette condition réalisée dans toute la suite.

(f) Quelle sera la variation de quantité de mouvement d’un atome dans l’état interne d’énergieEequi émet un photon selon+e# »xen retombant dans l’état interne d’énergieEf. On précisera succincte- ment à quelle condition il est légitime de négliger l’effet Doppler et on supposera cette hypothèse vérifiée dans toute la suite.

II.3. (a) Calculer la vitesse acquise par un atome de sodium absorbant un photon d’un laser à la longueur d’ondeλ0=589 nm.

(b) On admet qu’un atome dans l’étatEese désexcite spontanément pour retomber dans l’étatEf

en émettant un photon dans une direction aléatoire. Quelle sera la vitesse acquise au bout d’un grand nombreNcycles d’absorption/émission de photon ?

III Diffraction de Bragg

Dans cette question, l’atome est placé dans le champ de deux lasers contrapropageants se propageant respectivement selon+e# »x(faisceau1, de fréquenceν1) et−e# »x(faisceau 2, de fréquenceν2). Les deux lasers ont même intensité.

L’atome est initialement au repos. On étudie le processus, nommé

« diffraction de Bragg », au cours duquel :

• l’atome absorbe un photon de fréquenceν1provenant du faisceau 1(iede quantité de mouvement selon+e# »x),

• puis réemet de manière stimulée un photon de fréquenceν2dans la direction−e# »xdu faisceau2(iede quantité de mouvement selon

−e# »x)..

Les longueurs d’onde des deux faisceaux sont très proches deλ0.

atome

ν

ν

e #»

III.1. Effectuer le bilan de quantité de mouvement et d’énergie du??. En déduire que le processus proposé n’est pas réalisable siν1=ν2.

III.2. On considère donc dans toute la suite qu’il existe une différence∆ν≡ν1−ν2entre les fréquences des deux faisceaux.

(a) Déterminer l’expression reliant les valeurs deν1etν2lors du processus envisagé.

(b) En déduire les expressions de∆νen fonction deh , metλ0en approximant les longueurs d’onde de chaque faisceau parλ0. Donner également l’expression de la quantité de mouvement commu- niquée à l’atome, notéep0. On effectuera cette approximation dans toute la suite.

(c) Calculer la valeur de∆νpour un atome de sodium etλ0=589 nm, ainsi que celle de la vitesse p0/m. Commenter..

(d) Montrer que l’onde associée à ces deux lasers peut être décrite comme une onde lumineuse quasi- stationnaire dont les nœuds et ventres se déplacent lentement. Déterminer et calculer la vitesse de déplacement des ventres et nœuds pour les paramètres de la question précédente. Commenter.

III.3. On illumine un condensat de Bose-Einstein d’atomes de Na par le système de faisceaux pré- cédemment décrit pendant une durée permettant la réalisation de la diffraction de Bragg.

La figure ci-contre (issue de l’article [1]) représente l’évolution ultérieure du condensat. Les images(a),(b),(c),(d)ont été prises respectivement 0 ; 2,2 ; 5,6 et 10 ms après la fin de l’illu- mination. Le champ horizontal de l’image correspond à une distance de 1,4 mm. Aucune connaissance sur le condensat n’est nécessaire, on le considérera comme un nuage d’atomes de sodium indépendants initialement au repos.

(a) Déterminer la quantité de mouvement communiquée à la partie centrale du condensat par la diffraction de Bragg.

Comparer à la valeur déterminée auIII.2cet commenter.

(b) Justifier brièvement qu’on peut expliquer la différence en considérant que les deux faisceaux ne sont pas exacte- ment contrapropageants. Quel peut être à votre avis l’in-

térêt d’une telle configuration ?

x = 1,4 mm

(c) Question à n’aborder que succinctement et qualitativement. Pourquoi observe-t-on un trou dans le nuage des atomes qui n’ont pas subi la diffraction de Bragg ?

III.4. En jouant sur l’intensité et la durée pendant laquelle les lasers réalisant la transition de Bragg sont allumés, on peut varier la proportion des atomes dont on change la quantité de mouvement. On peut en particulier réaliser les deux transformations décrites ci-après. Dans cette question, la quantité de mouvement communiquée par les lasers est quelconque notéep1éventuellement différente de la valeur précédentep0.

• Impulsion «π/2» de quantité de mouvementp1de phaseϕagissant sur une onde de matière animée initialement dep= 0: l’onde de matière devient une superposition à part égales d’une onde de matière animée dep= 0en phase avec l’onde initiale et d’une onde de matière animée p=p1déphasée deπ−ϕ

• Impulsion «π/2» de quantité de mouvementp1de phaseϕagissant sur une onde de matière animée initialement dep=p1: l’onde de matière devient une superposition à part égales d’une onde de matière animée dep=p1en phase avec l’onde initiale et d’une onde de matière animée dep= 0déphasée deϕ

(a) Montrer qu’en enchaînant deux impulsionsπ/2de quantité de mouvementp1et de phaseϕsur une onde de matière initialement animée dep = 0, on obtient une onde de matière animée de p=p1déphasée deπ−ϕ. Cette impulsion est nommée impulsion «π» de quantité de mouvement p1de phaseϕ.

(b) Quel est l’effet d’une telle impulsion sur une onde matière initialement animée dep=p1?

III.5. La figure 4 (issue de l’article [2]) représente un condensat dans un état si- milaire^aà celui résultant de l’application d’une impulsionπ/2de quan- tité de mouvementp1et de phase nulle sur une onde de matière initia- lement animée dep= 0. Le champ d’observation vertical correspond à une distance de 110 µm.

(a) Déterminer à l’aide de la figure 4 la quantité de mouvementp1com- muniquée par l’impulsion.

(b) Pourquoi cet état n’a-t-il pas pu être produit par les deux lasers de la questionIII.2?

a. Il n’est cependant pas produit par l’action de deux lasers contrapropageants.

110µm

Fig. 4 : Condensat après une impulsionπ/2.

IV Interféromètre de Mach-Zehnder

On applique une séquence de d’impulsion Bragg de phases éventuellement différentes sur des atomes de

87Rb. La séquence est schématisée sur la figure 5. Le symbole|0idésigne une onde de matière de vecteur d’onde nul, le symbole|2}kiune onde de matière de vecteur d’onde2k. Les faisceaux lasers Bragg ont cette fois une longueur d’ondeλ=780 nm.

• À l’instant initial, l’onde de matière a une quantité de mouvement nul. On lui applique une impulsion π/2de quantité de mouvement2}ket de phase notéeϕ1.

• Au bout d’une durée∆T =190 µs, on applique une impulsionπde même quantité de mouvement et de phase notéeϕ2.

• Au bout d’une même durée∆T, on applique une impulsionπ/2de même quantité de mouvement et de phase notéeϕ3.

Pendant toute la séquence les atomes sont en chute libre dans le champ de pesanteur d’accélération#»g mais on néglige dans un premier temps les conséquences de cette chute.

Fig. 5 : Séquence d’impulsions Bragg. |0i dé- signe des atomes de vecteur d’onde nul,|2}ki des atomes de vecteur d’onde2k. La durée entre chaque impulsion est∆T =190 µs.

Fig. 6 : Fraction des atomes dans l’état|2}kià l’issue des 3 impulsions en fonction de la phase Φ3quand les phasesΦ1etΦ2sont nulles.

IV.1. (a) Déterminer le vecteur d’ondekpour des lasers de longueurs d’onde proches deλ=780 nm.

(b) En déduire la distance parcourue par un paquet d’ondes de⁸⁷Rb de vecteur d’onde2kpendant la durée∆T.

IV.2. (a) La phase des impulsions définies à la questionIII.4dépend de la phase de l’onde lumineuse quasi- stationnaire définie à la questionIII.2dpendant∆T. On noteΦi1(resp.Φi2etΦi3) etΦf1(resp.

Φf2etΦf3) ses valeurs aux positions initiale et finale des atomes pour la première impulsion (resp. pour la deuxième et la troisième impulsion).

Déterminer la condition que doivent vérifier les phasesΦi1,Φi2etΦi3pour que la quantité de mouvement de l’onde de matière soit nulle au bout de la séquence des 3 impulsions. Même ques- tion pour qu’elle vaille2}k.

(b) La courbe de la figure 6 représente la fraction (en pourcentage) des atomes de quantité de mou- vement2}kà l’issue de la séquence en fonction deΦi3quandΦi1= Φi2= 0. Commenter.

Problème 2 : Étude d’un microscope

Un microscope est constitué :

• d’un objectifL1modélisé par une lentille mince convergente de centreO1 et de distance focale imagef₁⁰,

• d’un oculaireL2 modélisé également par une lentille mince convergente de centreO2et de dis- tance focale imagef₂⁰,

comme représenté sur la figure ci-contre. On désigne parF_i⁰(resp.Fi) le foyer image (resp. objet) de la len- tilleLi.

+ + +

b

O1

L1

b

F1^′

b

F1

b

A0

r1

b

O2

L2

b

F′ 2

b

F2

∆

r2

b

On désigne par∆la mesure algébriqueF₁⁰F2, positive dans le dispositif considéré.

I Caractéristiques

I.1. On considère un objet situé en un pointA0de l’axe optique. On désigne parA1son image par l’ob- jectifL1. DéterminerF1A0pour queA1soit enF2. Quel intérêt présente cette configuration pour un observateur plaçant son œil après l’oculaireL2? On considérera un œil emmétrope.

I.2. On considère un objetA0B0d’imageA1B1parL1placé dans la position précédemment déterminée : A1est donc enF2.

(a) Déterminer sur la feuille jointe l’objetA0B0dont l’image parL1estA1B1. Vérifier l’accord avec la réponse à la question précédente.

(b) Déterminer l’expression du grandissement transversal de l’objectifγ_ob = ^A1B1

A₀B₀ en fonction des données du problème.

(c) En déduire la puissanceP du microscope définie parP = ^α0

A₀B₀, avecα⁰l’angle sous lequel est vue par l’observateur l’image deA1B1par l’oculaire. On l’exprimera en fonction de∆,f₁⁰etf₂⁰. CalculerPpour∆ =1,8·10⁻²m,f₁⁰=1,0·10⁻²m,f₂⁰ =2,0·10⁻²m.

(d) On désigne parβle pouvoir séparateur de l’œil (iela plus petite séparation angulaire distinguable).

Exprimer la plus petite tailleDd’un objet distinguable par l’observateur utilisant le microscope.

CalculerDpour une valeur raisonnable deβ. Commenter.

II Mise au point

II.1. Le microscope est utilisé par un observateur myope. Justifier qualitativement dans quel sens on doit déplacer l’oculaire pour lui permettre une vision nette sans accomoder.

II.2. (a) L’observateur est à présent emmétrope et peut accomoder pour voir net entre une distancedmet l’infini. Déterminer la positionAmd’un objet visible par l’œil quand ce dernier est placé enO2et accomode au maximum. On donneraF1Am/F1A0en fonction des données du problème.

(b) Calculer la valeur de|F₁A0−F1Am|pour une valeur raisonnable dedm. Commenter.

III Champ d’observation et cercle oculaire

On étudie certains effets dus aux rayons finis des lentilles. On noter1le rayon de l’objectif etr2celui de l’oculaire.

III.1. (a) Tracer sur la figure jointe au moins deux rayons passant par le pointB1et traversant l’objectif et l’oculaire (utiliser une couleur différente des constructions précédentes).

(b) Déterminer l’expression de la taille maximale que peut avoir l’image intermédiaireA1B1pour que le pointB1soit visible. En déduire le rayon du disque centré surA0observable par l’ensemble du dispositif. Calculer ce rayon pourr1=5,0·10⁻³m etr2=1,0·10⁻²m

III.2. (a) Tracer la marche de deux rayons quelconques issus du pointM1de la monture de l’objectif (utiliser une couleur différente des constructions précédentes).

(b) En déduire que tous les rayons émergent de l’oculaire passent dans un même disque centré sur l’axe optique et normal à l’axe optique. On donnera les expressions de la position de son centre Oocet son rayonrocen fonction des données et on calculeraO2Oocetroc.

Références

[1] M. Kozuma, L. Deng, E. W. Hagley, J. Wen, R. Lutwak, K. Helmerson, S. L. Rolston, and W. D. Phillips.

Coherent splitting of bose-einstein condensed atoms with optically induced bragg diffraction.Physical Review Letters, 82(5) :871–875, 1999.

[2] J. E. Simsarian, J. Denschlag, Mark Edwards, Charles W. Clark, L. Deng, E. W. Hagley, K. Helmerson, S. L.

Rolston, and W. D. Phillips. Imaging the phase of an evolving bose-einstein condensate wave function.

Physical Review Letters, 85(10) :2040–2043, 2000.

[3] Anton Zeilinger, Roland Gähler, C. G. Shull, Wolfgang Treimer, and Walter Mampe. Single- and double- slit diffraction of neutrons.Reviews of Modern Physics, 60(4) :1067–1073, 1988.

Feuille à rendre avec la copie

+ + +

b

O

L

b

F

1

b

F

r

b

M

b

O

L

b

F

b 2

F

= A

B

r

b

Correction de l’exercice 1

Dans tous les cas, les vecteurs d’ondes d’une onde stationnaire confinée sur une longueur`sontkn=nπ/`, avecn∈N^?.

1. (a) Pour une onde lumineuse, l’énergie de l’état stationnaire sera : En=}ωn=}ckn=nhc

2` . (1)

(b) L’écart entre deux niveaux d’énergie est un multiple entier dehc/(2`). Cette grandeur sera su- périeure en énergie à celle d’un photon visible si sa la longueur d’onde associée, égale à2`est inférieure à celle d’un rayonnement visible, soit :

2`6400 nm→`6200 nm. (2)

2. (a) On a désormais :

En= p² 2me

=}²k_n² 2me

= n²}²π²

2me`² = n²h²

8me`² (3)

(b) On calcule :

E2−E1= 3h²

8me`² =1,81·10⁻¹⁹J=1,13 eV (4) (c) Pour un photon visible, on aura une longueur d’onde de l’ordre deλ=500 nm, soit une énergie hc/λ=2,48 eV=6,6×E1. Pour une transitionn= 3→n= 4, on a∆E= 7E1, assez proche.

Correction du problème 1

I Interférences avec des neutrons

I.1. On a :

λ_dB= h

mv =1,85 nm. (5)

I.2. (a) On a géométriquement :

F1M²= (x−d/2)²+D² F2M²= (x+d/2)²+D² (6) (b) La phase acquise par exemple par l’onde « passée parF1» entreF1 etM est2πF1M/λ_dB. Le déphasage∆ϕest donc proportionnel àF2M−F1M. Pour une grande distanceDon peut ap- proximer la sommeF1M+F2M'2Det en déduire :

F2M−F1M= F2M²−F1M²

F2+F1M ' F2M²−F1M² 2D = 2xd

2D =xd

D →∆ϕ= 2πxd λ_dBD. (7) (c) On observera des interférences constructives pour

ϕ= 0 mod2π→ 2πxd

λ_dBD = 0 mod[2π]→x= 0 mod λ_dBD

d

. (8)

(d) On lit sur la figure qu’il y a 6 interfranges en 4,3(1)·10²µm, soit un interfrangei=72(2)µm et donc :

d= λ_dBD

i =129(4)µm. (9)

II Absorption d’un photon

II.1. On aEp=hc/λ= 2π}c/λetpp=h/λ= 2π}/λ.

II.2. (a) On aλ0=c/ν0. Pourλ0'600 nm, on calcule :(Ef−Ei)'2,1 eV.

(b) Avant absorption du photon, on a :

ptot=pp+ 0 = h λ

(c) La variation∆Eade la somme des énergies cinétique et interne de l’atome est :

∆Ea=Ee−Ef+ p²_x

2m−0 =hν0+ p²_x 2m.

(d) Après absorption du photon, on n’a plus que l’atome, dont la quantité de mouvement estpxselon e# »x. Les quantitéspxetλvérifient donc :

px=h

λ hν0+ p²_x 2m =hc

λ.

(e) En négligeantp²_x/(2m), on ahν0 = hc/λ, soitλ = λ0 et doncpx = h/λ0. On vérifie cette hypothèse en comparanthc/λ0et(h/λ0)²/(2m):

(h/λ0)²/(2m) hc/λ0

= h 2mcλ0

=1·10⁻¹⁰.

L’énergie cinétique de l’atome est bien négligeable devant sa variation d’énergie interne.

(f) Si on peut négliger l’effet Doppler, l’atome en mouvement voit toujours un photon de fréquence c/λ. Le bilan s’effectue de la même manière que précédemment : en négligeant la variation d’éner- gie cinétique de l’atome la conservation de l’énergie s’écrit assure que l’énergie du photon émis esthν0et la conservation de la quantité de mouvement assure que celle de l’atome doit varier de

−h/λ0e# »x.

L’effet Doppler traduit le fait que la fréquence de l’onde lumineuse perçue par un atome en mou- vement dépend de la vitesse relative de l’onde et de l’atome. Si l’atome se déplace à des vitesses non relativistes, on peut négliger sa vitesse devant celle de la lumière et donc négliger en première approche l’effet Doppler.

En revanche, les longueurs d’ondes des photons susceptibles d’être absorbés doivent être très proches deλ0et l’effet Doppler dû à une faible vitesse de l’atome pourra être suffisant pour qu’un faisceau àλ0ne soit pas absorbé comme on le verra à la questionIII.3c.

II.3. (a) On avx=px/m=h/(mλ0) =29 mm·s⁻¹.

(b) Chaque absorption communique la même vitesse selon+e# »x. En revanche le caractère aléatoire de la direction des émissions assure que la somme vectorielle des vitesses acquises par les émissions est nulle. En moyenne, l’atome aura donc acquis la vitesseN h/(mλ0).

Remarque :Ce phénomène est utilisé pour ralentir de manière très efficace un jet de gaz atomique avec un laser contrapropageant. Dans les conditions expérimentales, la vitesse des atomes selon

e# »xest très importante (de l’ordre de plusieurs centaines de m·s⁻¹) et à l’issue d’un très grand nombre de cycles d’émission/absorption on arrive à une vitesse de l’ordre du m·s⁻¹. La durée totale reste cependant très faible car chaque cycle dure quelques dizaines de ns. On peut ainsi arrêter un jet sur une distance de quelques m. L’effet Doppler n’est cependant pas négligeable pour les plus grandes valeurs de la vitesse et on doit changer les niveaux d’énergie de l’atome et donc la fréquenceν0au fur et à mesure que l’atome ralentit au moyen d’un champ magnétique.

III Diffraction de Bragg

III.1. L’énergie totale du rayonnement lumineux varie deh(ν2−ν1)puisque qu’on absorbe un photonν1

pour produire un photonν2. Elle est donc nulle siν1 =ν2. Comme la variation d’énergie de l’atome est positive puisqu’il acquiert une énergie cinétique, l’énergie totale ne pourra pas être conservée.

III.2. (a) Sur l’ensemble du processus d’absorption/émission, l’énergie interne de l’atome ne change pas et la conservation de l’énergie s’écrit, en notantpxla quantité de mouvement qu’il a acquise :

h∆ν=h(ν1−ν2) = p²_x 2m

Les photons absorbés et émis le sont dans des directions opposées. La variation de la quantité de mouvement du rayonnement est donc−h/λ2e# »x−h/λ1e# »xet la conservation de la quantité de mouvement globale s’écrit :

px=h 1

λ1

+ 1 λ2

=h

c(ν1+ν2). (b) En supposant les fréquences proches, on aν1+ν2'2ν0= 2c/λ0et donc :

h∆ν=(2h/λ0)² 2m = 2h²

mλ²₀

∆ν= 2h mλ²₀.

L’atome a acquis la quantité de mouvementp0= 2h/λ0.

(c) On calcule∆ν = 1,0·10²kHz etv0 = p0/m = 5,9·10⁻²m·s⁻¹. La grandeur∆νest bien négligeable devant la fréquenceν0=c/λ0=5,1·10¹⁴Hz, il était tout à fait légitime d’approximer ν1+ν2par2ν0.

(d) On somme deux ondes contrapropageantes de fréquence proches et de même intensité. En notant Al’amplitude de l’onde associé à un seul laser, le signal total est (en considérant les phases initiales nulles sans perte de généralité) :

Acos(ω1(t−x/c)) +Acos(ω2(t+x/c))

= 2Acos

(ω1+ω2)t

2 −(ω1−ω2)x 2c

cos

(ω1−ω2)t

2 −(ω1+ω2)x 2c

'2Acos

ω0t−∆ωx 2c

cos∆ωt 2 −ω0x

c

(10)

L’oscillation temporelle à∆ω/2est beaucoup plus lente que celle à ω0. De même, l’oscillation spatiale à∆ω/(2c)se fait sur une échelle de distance beaucoup plus grande que celle àω0/c. À un instant donné, on a donc spatialement une structure de battements spatiaux, dont les phases des variations rapide et lente évoluent à des vitesses différentes.

En particulier, les ventres sont situés aux points d’abscissextel que :

ω0t−∆ωx

2c = 0 modπ→x= 2cω0t

∆ω mod c

∆ν (11)

La distancex0entre deux ventres consécutifs est donc : x0= c

∆ν =3,00 m. (12)

et l’enveloppe de l’onde se déplace à la vitesse :

c2∆ω ω0

= 2λ0∆ν1,18·10⁻¹m·s⁻¹. (13) L’onde apparaîtra bien immobile pour des expériences suffisamment rapides.

III.3. (a) On observe que la distance parcourue par la partie mobile croît proportionnellement avec la du- rée ; sont mouvement est donc rectiligne uniforme. En considérant les images(b)et(e), elle a parcouru 5,8·10⁻¹mm en 10 ms, sa vitesse est doncvx=5,8·10⁻²m·s⁻¹, soit une quantité de mouvementpx=mvx=2,2·10⁻²⁷kg·m·s⁻¹. On peut calculer le quotient :

px

2h/λ0

=0,98.

La quantité de mouvementpxest donc bien du même ordre de grandeur que celle déterminée précédemment mais légèrement inférieure. Pour l’affirmer avec certitude, il faudrait une précision de l’ordre du % sur la détermination de la vitesse, ce qui n’est pas tout à fait réalisé compte tenu de la résolution des images.

(b) Si les deux faisceaux forment un angleθdéfini comme à la question??, la variation de la quantité de mouvement des photons au cours du processus n’est plus que−2hsin(θ)/λ0puisque seule leur composante (égale en valeur absolue àhsin(θ)/λ0) selone# »xvarie. On peut donc diminuer arbitrairement la valeur de la quantité de mouvement acquise par l’atome. Pour obtenir sin(θ) = 0,99, il faut prendreθ=80°.

Le choix de cet angle permet d’ajuster de régler la valeur de∆νassurant la diffraction. On ne veut pas en effet qu’elle soit trop grande car alors les deux fréquencesν1etν2ne pourraient pas être toutes les deux suffisamment proches deν0pour que les processus d’absorption et d’émission de photons soient efficaces.

(c) Les atomes qui n’ont pas subi la diffraction possédaient déjà une quantité de mouvement non nulle : on le voit à l’élargissement avec le temps de la tâche qu’ils forment. Si cette vitesse est suffisamment importante, le décalage∆ν, qui a été choisi pour une vitesse nulle ne vérifie plus les conditions permettant de réaliser la transition à cause de l’effet Doppler quand la vitesse est non nulle.

III.4. (a) Le schéma de la figure 7 représente l’évolution de l’onde de matière au cours des deux impul- sionsπ/2. Chaque cercle représente une fraction de l’onde de matière, sa quantité de mouvement étant indiquée à l’intérieur et la phase acquise à droite. Chaque flèche y représente l’action d’une impulsion. L’amplitude varie à chaque étape mais toutes les composantes ont la même à chaque étape.

On y observe par exemple (trajet en traits interrompus clairs) que la part qui a acquisp1 à la première impulsion acquiert également la phaseπ−ϕet que sa part qui perd sa quantité de mouvement lors de la deuxième impulsion acquiert à cette occasion une phase deπce qui porte la phase totale acquise àπ. La somme de cette composante et de l’autre composante de quantité de mouvement nulle, de phase nulle est donc nulle ; il ne reste plus que les deux composantes de quantité de mouvementp1, de même phaseπ−ϕ. Une impulsion communique une quantité de mouvementp1à l’ensemble de l’onde de matière.

p= 0 0

0 0

p1 π−ϕ

0 0 p₁ π−ϕ

0 π

p₁ π−ϕ

0 π−ϕ

0 π−ϕ

ϕ 0

Fig. 7 : Évolution d’une onde de matière de quantité de mouvement initiale nulle au cours d’une impulsionπ.

p=p1 0

p1 0 0 ϕ

p1 0 0 ϕ p1 π 0 ϕ

ϕ

π− ϕ

π− ϕ 0

ϕ

0

Fig. 8 : Évolution d’une onde de matière de quantité de mouvement initiale égale à p1 au cours d’une impulsionπ.

(b) De la même manière, on observe sur la figure 8 qu’à l’issue d’une impulsionπde quantité de mouvementp1et de phaseϕ, une onde de matière de quantité de mouvement initialep1voit sa quantité de mouvement s’annuler et acquiert une phaseϕ.

III.5. (a) À l’issue de l’impulsionπ/2, l’onde de matière est formée d’une onde de quantité de mouvement nulle et d’une onde de quantité de mouvementp1, les deux ayant même amplitude. D’après la relation de de Broglie, la phase d’une onde de matière de quantité de mouvement non nulle n’est pas uniforme et varie selon la position, avec :

2πx λ_dB =xp1

}

. (14)

La phase de la composante dep= 0est en revanche uniforme et on peut la considérer nulle sans perte de généralité. L’interférence entre ces deux composantes sera donc :

• constructive aux points oùp1x/}= 0 mod [2π],

• destructive aux points oùp1x/}=π mod [2π]; l’interfrange est donci=h/p1.

On mesure sur la figure 38interfranges pour une distance de 76(1)µm. On calcule donc : i=9,5(1)µm p1=h/i=6,97(7)·10⁻²⁹kg·m·s⁻¹

soit une vitesse de:v= p1

m(²³Na)=1,82(2)·10⁻³m·s⁻¹. (15) (b) Si la quantité de mouvementp1avait été communiquée par une impulsionπ/2, on auraitp1 =

2}k1aveck1le vecteur d’onde de l’onde laser dont la longueur d’onde serait : λ1= 2π

k1

=2h p1

= 2i=19,0(2)µm. (16)

Cette longueur ne correspond pas du tout à celle des lasers utilisés pour les impulsions Bragg.

Dans l’expérience décrite dans l’article [2] la quantité de mouvementp1provient d’une interaction répulsive entre les deux ondes de matière.

IV Interféromètre de Mach-Zehnder

IV.1. (a) On ak= 2π/λ=8,05 m⁻¹. (b) On calcule la distance∆x

∆x= p∆T

m(^µ87Rb)= 2}k∆T

m(⁸⁷Rb)= h∆T

λm(⁸⁷Rb)=2,24 µm. (17)

IV.2. (a) En raison du déplacement de l’ordre de quelques µm des ondes de matière entre chaque impul- sion, la phase de l’impulsion laser vue par l’onde de matière n’est pas la même selon l’endroit où elle est subie.

En notantϕi/f,p=1,2,3la phase de l’impulsion1,2,3de quantité de mouvementpà la position i/f, on a la situation représentée à la figure 9. À l’issue des 3 impulsionsπ/2−π−π/2, l’interfé- rence entre les différentes ondes de matière de quantité de mouvement nulle sera constructive si :

π−ϕi,1+ϕf,2=π−ϕi,2+ϕf,3 mod [2π]→ϕi,1+ϕf,3=ϕi,2+ϕf,2 mod [2π]. (18) Si cette condition est réalisée, l’interférence entre les ondes de matière de quantité de mouvement psera destructive puis qu’on aura leurs phases respectives seront alors congrues àπ mod[2π].

On vérifie de même que l’interférence sera constructive pour les ondes de matière de quantité de mouvementp(et destructive pour celles de quantité de mouvement0) si :

π−ϕ_i,1+ϕf,2=π−ϕ_i,2+ϕf,3 mod [2π]→ϕi,1+ϕf,3=ϕi,2+ϕf,2+π mod [2π]. (19) On ne connaît pas la relation entre les phasesΦde l’onde optique et les phasesϕdes impulsions.

Néanmoins, si l’onde optique a la même phaseΦi1= Φi2= 0on auraϕi1=ϕi2etϕf1=ϕf2. Il suffira d’avoirΦi3 = Φi1 = Φi2 = 0pour avoirϕf3 = ϕf2et ainsi assurer la condition de l’équation (18) ouΦi3=πpour assurer celle de l’équation (19).

0

p 0

p 2π + ϕ

− ϕ

− ϕ

0

0 p

0

p π − ϕ

π − ϕ

+ ϕ

π − ϕ

+ ϕ

π−ϕ i,1

0

ϕf,2

π−ϕi,2

π−ϕ f,3

0

ϕ f,3

0

Fig. 9 : Phases des différentes composantes de l’onde de matière à l’issue de la séquence Mach-Zehnder.

(b) On observe sur la figure 6 qu’on a la totalité des atomes dans l’onde de matière de quantité de mouvementp = 2}kpour une phaseΦi3proche deπcomme attendu mais néanmoins légère- ment supérieure. Les auteurs de l’article attribuent cet écart à un défaut d’alignement des faisceaux Bragg qui n’étaient donc pas rigoureusement horizontaux. Comme on le présente à la question suivante, influera différemment sur la phase des ondes de matière selon qu’elles suivent le « che- min » correspondant à acquérir la quantité de mouvementpdès la première impulsion ou lors de la deuxième.

Correction du problème 2

I Caractéristiques

I.1. D’après la relation de Newton, on doit avoir :F1A0·F₁⁰F2=−f₁⁰², soitF1A0=−f₁⁰²/∆. L’oculaire formera de cet objet une image à l’infini, observable sans accomodation par l’observateur.

I.2. (a) On trace des rayons se propageant dans le sens indirect pour déterminer l’objet connaissant son image. On calculeF1A0=−2²/4 =−1 carreau.

(b) Selon la formule de Newton du grandissement, on a maintenantγ_ob=−F₁⁰F2/f₁⁰=−∆/f₁⁰. (c) On détermineα⁰'tanα⁰=−A1B1/f₂⁰. On en déduit :

α⁰=−A1B1

f₂⁰ =−A1B1

A0B0

| {z }

γ_ob

×A0B0

f₂⁰ d’où:P= α⁰ A0B0

= ∆

f₁⁰f₂⁰ =900δ.

(d) Un objet de tailleDsera juste distinguable siα⁰=β=P D, soitD=β/P =3,2·10⁻⁷m, pour β= 1⁰=2,9·10⁻⁴rad. Cette très faible valeur est de l’ordre de grandeur d’une longueur d’onde dans le domaine de visible. La diffraction limitera davantage le pouvoir séparateur du microscope.

II Mise au point

II.1. Le faisceau issu deB1doit émerger deL₂en divergeant puisque l’image deB1parL₂doit être au punctum remotum, donc à distance finie pour un œil myope.A1doit donc être en aval deF2, pour cela l’oculaire doit se rapprocher de l’objectif.

II.2. (a) L’image par l’ensemble du dispositif deAmdoit être enA2, avecO2A2 = −dm. On a donc : Amy

L₁A1 y

L₂A2soit, en utilisant les relations de conjugaison de Newton : F1Am·F₁⁰A1=−f^/01

2 F2A1· F₂⁰A2

| {z }

=−(f₂⁰+d_m)

=−f₂⁰²

F1Am= −f₁⁰² F₁⁰A1

F2F₁⁰

| {z }

=−∆

+F₁⁰A1= f₂⁰² f₂⁰+dm

.

On obtient finalement : F1Am= −f₁⁰²

∆ + ^f

0 22 f₂⁰+dm

= −f₁⁰²

∆

| {z }

=F₁A₀

1 1 + ^f

0 22

∆f₂⁰+d_m

: F1Am

F1A0

= 1

1 + ^f

0 22

∆f₂⁰+d_m

.

(b) Pourdm=25 cm, on calcule :

|A_mA0|= f₁⁰²/∆

1 +_f^∆0 2

1 +^d_f^m0

2

=4,53·10⁻⁶m.

III Champ d’observation et cercle oculaire

III.1. (a) En plus du rayon parallèle à l’axe optique entre l’objectif et l’oculaire, on trace par exemple le rayon qui émerge du bord de l’oculaire (en gras sur le schéma).

(b) Si le pointB1est trop loin de l’axe, aucun rayon passant parB1ne peut atteindre l’oculaire. Dans le cas limite, le pointB1est enB1maxaligné avec les extrémités des lentilles et un seul rayon peut se propager dans le système en passant parB1maxet les extrémités des lentilles. On peut ainsi calculer :

A1B1max=r1+O1F2

O1O2

(r2−r1) =r1+ ∆ +f₁⁰

∆ +f₁⁰+f₂⁰ (r2−r1) = r1f₂⁰+r2 ∆ +f₁⁰

∆ +f₁⁰+f₂⁰ . L’objetA0B0dont l’image parL₁a donc pour taille :

|A₀B0|=A1B1max

|γ_ob| =5,29·10⁻⁴m.

III.2. (a) On utilise le rayon parallèle à l’axe optique et celui passant parO2 ils émergent sécants enM₁⁰ image deM1parL₂.

(b) Chaque rayon entrant dans l’objectif passe dans un disque de rayonO1M1: ils émergent donc en passant dans l’image de ce disque par le système,iele disque de centreO_ocimage deO1parL2

et de rayonOocM₁⁰. Les relations de Descartes donnent, avecO2O1=− ∆ +f₁⁰+f₂⁰ : 1

O2O_oc− 1 O2O1

= 1

f₂⁰ →O2O_oc=f₂⁰

1 + f₂⁰

∆ +f₁⁰

=2,21·10⁻²m.

On détermine de même le grandissement :

|roc

r1

|=|O2Ooc

O2O1

| →r_oc= f₂⁰

∆ +f₁⁰r1=5,3·10⁻³m.

Feuille à rendre avec la copie

+ + +

b

O

L

b

F

1

b

F

r

b

M

b

O

L

b

F

b 2

F

= A

B

r

b

α

b

B

r

− r