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X Physique MP 2009 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jimmy Mullaert (École Polytechnique) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Cette épreuve porte sur les ondes de choc dans la matière et en particulier dans les plasmas. Elle est organisée en trois parties indépendantes, portant sur des thèmes très différents.
• La première, très proche du cours, caractérise la propagation d’une onde élec- tromagnétique dans un plasma. Il faut réussir à la traiter correctement et ra- pidement pour faire la différence sur la suite du problème.
• La deuxième partie aborde les aspects thermodynamiques de la propagation d’une onde de choc. Cette étude, qui s’appuie sur les systèmes ouverts, est à la marge du programme de la filière MP. Bien que certains résultats intermédiaires soient donnés, on ne peut avancer qu’en ayant réussi les premières questions.
• Enfin, la troisième partie envisage une méthode optique de détermination de la vitesse de propagation d’une onde de choc. Elle comprend des questions assez classiques portant sur la notion d’interférence pour des ondes planes et sur le décalage des franges.
L’évaluation porte donc sur différents domaines du cours de physique, ce qui est une bonne chose. Signalons que l’épreuve comporte de nombreuses applications numériques, qui sont généralement valorisées dans les barèmes et ne doivent surtout pas être négligées. L’ensemble forme un problème de longueur et de difficulté très raisonnables pour un concours de ce niveau.
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Indications
Première partie
I.5 Seule la partie réelle du « vecteur d’onde »k(ω)traduit la propagation.
I.9 La distancerLdonne l’ordre de grandeur de la zone d’influence électrostatique de l’électron.
I.10 Justifier, puis utiliser la relation
huemi=hPemi Sc
Deuxième partie
II.1.1 On a choisi la longueurAB = Dδtpour qu’elle corresponde à la distance par- courue par l’onde de choc pendantδt. À l’instantt, la masseδminitialement entre A et B est encore immobile ; sa pression estP0et sa masse volumiqueρ0. À l’instantt+δt, cette masse a été entièrement traversée par l’onde de choc.
Sa vitesse, sa pression et sa masse volumique sont alors respectivement v1, P1etρ1.
II.1.2 Écrire les expressions de la quantité de mouvementδ−→p de la masseδm aux instants t et t+δt, puis relier leur différence aux forces de pression à l’aide du théorème de la résultante dynamique.
II.1.4 Écrire les expressions de l’énergie totaleδE+δEcde la masseδmaux instantst et t+δt, puis relier leur différence au travail des forces de pression à l’aide du premier principe.
II.2.4 γ= 5/3pour un gaz parfait monoatomique.
II.3.1 γ= 7/5pour l’air considéré comme un gaz parfait diatomique etR =NAkB. II.3.4 Commenter le signe de∆s.
II.4.2 Utiliser la relation établie à la question II.1.1
II.4.3 Reprendre le calcul de hPemieffectué à la question I.10.
Troisième partie
III.1.3 Quand on tourneM2 d’un angleα, les rayons qu’il réfléchit sont déviés de2α dans le même sens.
III.3 Le déphasage de l’onde 2, dû à la présence de l’étalon, est2πδ/λavecδ=cτ. Exprimer l’ordonnéey de la frange d’ordrep.
III.4.1 Le calcul du déphasage de l’onde 2, lié au changement de pulsation, demande de considérer la différenceτ′ des durées de propagation. Justifier qu’au voisi- nage dey= 0, on peut identifierτ′ àτ.
III.6 Comparer les décalages pour lesquelsF =Fe etF =eF +pavecpentier.
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Compression de la matière par onde de choc
I. Interaction onde électromagnétique - plasma
I.1 La neutralité électrique du plasma se traduit par la nullité de la charge volu- mique ρ, elle-même fonction de la densité volumique et de la charge des différents porteurs. Il vient ainsi
ρ=ni×p e+ne×(−e) = 0
d’où nip=ne
I.2 En négligeant la force magnétique de Lorentz et toute interaction entre porteurs de charge, la relation fondamentale de la dynamique, appliquée aux ions et aux électrons, donne les équations du mouvement
mi
∂−→vi
∂t = p e−→ E me
∂−→ve
∂t =−e−→ E
D’après ces équations, les porteurs de charge sont accélérés dans la direction−→exdu champ électrique. Avec des vitesses initiales nulles, le déplacement des ions comme des électrons se fait alors exclusivement selon−→ex, dans la direction du champ électrique.
On rappelle pour la suite les équivalents complexes des opérateurs de déri- vation pour une onde plane progressive harmonique en conventioneiωt
∂
∂t ↔iω et −→
∇ ↔ −i−→ k
En accord avec l’énoncé, aucune distinction de notation ne sera faite entre une grandeur réelle et sa notation complexe.
I.3 En régime sinusoïdal forcé, la notation complexe permet de déduire des équa- tions du mouvement des ions et des électrons
(mi×iω−→vi = p e−→ E me×iω−→ve =−e−→ E
soit
−
→vi =−i p e miω
−
→E
−
→ve = i e meω
−
→E
Le vecteur densité de courant électrique −→ s’exprime en fonction de la densité volumique, de la charge et de la vitesse des différents porteurs selon
−
→ =ni×p e× −→vi +ne×(−e)× −→ve
=nee×(−→vi − −→ve)
d’où −→ =−inee2
ω 1
me
+ 1 mi
−→ E
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/17 Les ions étant en pratique beaucoup plus massifs que les électrons, on ami≫me. L’expression précédente se simplifie alors en
−
→ ≃ −inee2 meω
−
→E
Ainsi, seuls les électrons contribuent au courant dans le plasma.
I.4 Les équations de Maxwell pour un plasma électriquement neutre sont
div−→
E = 0 (Maxwell-Gauss)
−→rot−→
E =−∂−→ B
∂t (Maxwell-Faraday)
div−→
B = 0 (Maxwell-flux)
−→rot−→ B =µ0
−→ +ε0
∂−→ E
∂t
(Maxwell-Ampère) On en déduit avec la notation complexe et l’égalitéε0µ0= 1/c2
−i−→ k ·−→
E = 0
−i−→ k ∧−→
E =−iω−→ B
−i−→ k ·−→
B = 0
−i−→ k ∧−→
B = 1 c2
−→ ε0
+ iω−→ E
L’équation de Maxwell-Faraday donne donc
−
→B =
−
→k ∧−→ E ω
que l’on injecte dans l’équation de Maxwell-Ampère. En remplaçant par l’expression de−→ obtenue à la question précédente, il vient
−i ω
−
→k ∧(−→ k ∧−→
E ) = i c2
− nee2 ε0meω +ω
−→ E
= i c2
−ωp2
ω +ω −→
E Avec −→
k ·−→
E = 0selon l’équation de Maxwell-Gauss, on peut développer le double produit vectoriel en
−
→k ∧(−→ k ∧−→
E ) =−→ k(−→
k ·−→ E )−−→
E (−→ k ·−→
k) =−k2−→ E
pour trouver ik2
ω
−
→E = i c2
−ωp2
ω +ω −→
E qui donne la relation de dispersion après simplifications :
k2=ω2−ωp2
c2
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