Généralisations de la loi de probabilité de Laplace

A NNALES DE L ’I. H. P.

M AURICE F RÉCHET

Généralisations de la loi de probabilité de Laplace

Annales de l’I. H. P., tome 12, n

^o

1 (1951), p. 1-29

<http://www.numdam.org/item?id=AIHP_1951__12_1_1_0>

© Gauthier-Villars, 1951, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Annales de l’I. H. P. » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

1

Généralisations de la loi de probabilité

de Laplace

par

Maurice FRÉCHET.

. RÉSUMÉ.

Deux définitions ^sont données pour étendre la définition

classique

^de

la loi de

probabilité

^de

Laplace (dite

^{aussi loi}

normale)

concernant un

nombre aléatoire. Toutes deux

s’appliquent

^{au cas} d’un élérnent aléa-.

toire de nature

quelconque,

^{choisi dans un} espace vectoriel distancié.

Dans la

première,

^{X est}

appelé

^un élément aléatoire

laplacien

^{si ,~X}

est un nombre aléatoire

laplacien quelle

que soit la fonctionnelle linéaire ~X.. La seconde est une définition

descriptive qui

^ne

présuppose

pas ^ce

qu’est

^{un nombre}

laplacien

^et

qui

^{est fondée sur} l’extension d’un théorème de

Serge

Berns tein.

~

SUMMARY.

Two definitions are

given

^for

extending ^the

^classical definition of the

Laplace (or

^so

^called, normal)

^law

of probability

of a random number.

Both

apply

^{to the case of a random} élément of any ^nature

whatsoever,

chosen in a distanced vectorial space.

In the 6rst _one, X is called a

Laplacian

random number if ,~ X is a

laplacian

^random number for every linear functional 1: X. The second is a

descriptive

definition which does not presuppose what ^a

Laplacian

number is and is based on an extension of a theorem of

Serge

^Bernstein.

2

FONCTION

CARACTÉRISTIQUE.

Fonction

caractéristique

^{dans un} espace vectoriel distancié. ^- Soit X

un élément aléatoire de nature

quelconque

^{choisi au} hasard dans un

espace vectoriel distancié B. W.

(’ ).

Et soit ,~X une fonctionnelle linéaire

( 2 )

^{définie sur B. W.}

Par

exemple,

^{si B. W. est un} espace cartésien ^{à un} nombre

fini,

;, de

dimens ions,

^X ayant les coordonnées

X~, ..., Xr,

^{,~ X sera de la}

forme

_ .~ X = ^’

où t1,

..., tr ^{sont des} constantes.

Dans ce cas, ^on

appelle, depuis longtemps,

^fonction

caractéristique

de

X,

la fonction

03C6X(t1,..., fI’) ^{= Jll} ei(t1X1+...+lrXr) = eiX 7

’

t~, ... , t,. définissent .~ et

inversement ;

^on peut donc aussi

représenter

la fonction

caractéristique

par ^la notation condensée

= eiX.

Cette notation où n’intervient

plus l’hypothèse

que B. W. ^est ici à

r

dimensions,

^{nous invite à une extension} immédiate.

Quand

^{l’élément}

aléatoire X

appartient

^{à un} espace vectoriel distancié

quelconque

^B.

^W.,

nous

appellerons (3) fonction caractéristique

^de

X, l’expression déjà

considérée ci-dessus ^.

[ J5 ] ^{= eiX}

qui

^fait

correspondre

^{à toute} fonctionnelle linéaire X définie sur B.

W.,

un nombre réel ou

complexe

^{fini et déterminé}

c~x~.~~.

(’ ) ^Pour la définition d’un espace vectoriel distancié (donnée simultanément par N. Wiener et Banach) ) voir par exemple ^notre ouvrage Les espaces abstraits, ^chez Gauthier-Villars, 1928, au paragraphe XIV, p. r41.

(2) C’est-à-dire une transformation de chaque élémcn t x de B.W, en un nombre réel x, qui ^soit distributive et continue :

’

(x1 + x2) ^- x1 + x2; ^{lim x = x.}

(3) Cette définition (ou des définitions voisines) ^{ont été} déjà proposées, par divers auteurs. Voir, par exemple, pour le ^cas où X est une fonction LE Un instrument

d’étude des fonctions aléatoires ^la fonction caractéristiqne

^{( C. R., t. 224, I947,}

p. 7I0-7II), ^et pour le ^cas général, ^{Mlle E.} MOCRIER, ^Sur l’espérance mathématique ^d’un

élément aléatoire dans un espace de Banach (C. ^R..4cad. Sc., ^t. 229, I949, p. I300-I30I).

3

Par

exemple

^{si B. W. est}

l’espace

^{H de}

Hilbert,

^{X a une suite de}

coordonnées

Xli

_{telle que}

03A3X2k

converge ^et X est de la forme

X ⁼ 03A3tkXk,

où la série

l t%

converge. Dans ^{ce cas,} la fonction

caractéristique

^est

aussi une fonction de la suite infinie

des tk

^{, .}

~ ( t1, t~, ... ) _ ~i~. e1 ~clY1+...+ckx~+... ),

Si B. W. est

l’espace ^L2

des fonctions

numériques X(x)

d’une variable

numérique

^x,

qui

^{sont de carré}

intégrable

^{sur un} intervalle ^fixe

I,

^on

sait que .~X ^est de la forme

X ⁼

X (x)

^{l(x) dx,}

où

/(.r) appartient

^à

^{La de}

^sorte que la fonction

caractéristique

^est

aussi une transformation de

l(.x)

^{en un} nombre réel ^ou

complexe 03A6[l] = et(x)

^l(x)

dx

Si B. W. est

l’espace

C des fonctions

numériques X(x)

d’une variable

numérique x

^{continues sur un} intervalle fixe

I,

^on sait que

.~X ⁼

où

L(x)

^{est une fonction à variation bornée. La fonction}

caractéristique

est alors une transformation de

L(x)

dans le nombre réel ^ou

complexe

^.

Considérons encore le cas

où,

^{X étant choisi au} hasard dans ^un espace vectoriel distancié B.

W.,

^nous supposons que ^cet espace

possède

^une

base. C’est-à-dire

qu’il

^{existe une suite} dénombrable d’éléments distincts

?i, e2, ^..., de B. W. pour

laquelle, quel

que soit l’élément X de B.

W.,

il lui

correspond

^{une suite et une seule}

~e

^nombres

^{X~, .X2....}

^tels

que

X ⁼ Xi ei + X2 ^{e2 + ... ,}

cette

égalité signifiant

que ^-

4

en posant

Xle1+...+ Xnen.

Toute fonctionnelle linéaire ~X définie ^sur B. W. étant distributive

et

continue,

^{on a} ,

.ex == lim = lim (X1 e1 ^+...+ Xnen), d’où

.~X=X~.~e1+...+X"~.e,t+...,

Xn

^étant _par

hypothèse complètement

déterminé par

X,

^{c’est une fonc-}

tionnelle de X. On démontre

qu’elle

^{est linéaire.}

Notons enfin que ^{si un} espace vectoriel distancié

possède

^une

base,

^il

est

séparable,

c’est-à-dire

qu’on

peut extraire de cet espace ^un ensemble dénombrable N tel que ^tout

point

^de

l’espace

soit limite d’une suite extraite de N.

On voit que, dans le ^cas

actuel,

^{la fonction}

caractéristique

^{de X}

03C6X[] ^{_ eiX} peut ^être

représentée

par

= ^{e =}

[lin eiX(n)] = ^{m lim}

ei(X1e1+...+Xnen)

.

Inversion. ^-

Quand

^{on se donne la fonction}

caractéristique 03C6X[]

de l’élément

’X,

^{on en} déduit la fonction

caractéristique

du nombre ~?X

03C6X(03C1)

⁼⁼ ei03C1X=03C6X[03C1].

11 y ^a donc une seule loi de

probabilité correspondante

^de

,~X,

^définie

par ^sa fonction de

répartition F (x)

^au moyen de la formule connue

F(x)-F(o)=I 203C0

^v.

p.

03C6X[03C1]^l

_

d03C1,

- ~ ~" - x lp

où v.p. +~-~

^{est mis pour}

^lim +CC

^{et où la constante}

^F(o)

^{est déter-}

minée _{par la} condition

F(- 00 )

^{= o.}

La connaissance de la fonction

F(x) ⁼ Prob[X x]

quelle

que ^{soit la} fonctionnelle linéaire .~X contribue à la connaissance

5

de la loi de

probabilité

^{de X. Car la « fonction de} distribution » de X

P(e)

^{= Prob.}

[X appartient

^à l’ensernble e de B.

W.]

sera connue pour

tout ensemble e constitué _par ^{tous les}

points

de B.W. situé d’un même côté du ^«

plan »

^{,X = x de B. W.}

On sait même

qu’au

^{moins dans les cas les}

plus simples (par exemple quand l’espace

^{B. W. est un espace euclidien à un nombre fini de dirnen-}

sions)

la fonction

caractéristique

^{de X détermine}

complètement

la loi de

probabilité

^{de X.}

’ On

peut

^aller

plus

^{loin en revenant au cas où X}

appartient

^{à un}

espace vectoriel distancié

possédant

^{une base.}

Nous voulons démontrer que la loi de

probabilité

^{de X sera bien}

.déterminée par la connaissance pour ^toute fonctionnelle linéaire 1: de la valeur

correspondante

de la fonction

caractéristique

^de

^X,

^c~x

~!~’~.

En

effet, quels

que soient les nombres certains t~, ^{... ;} t,i;

l’expression

=

est évidemment ^une fonction linéaire de

X;

connaissant

03C6X[],

^on

connaîtra ^en

particulier

03C6X[n] ^{= einX =} ei(t1X1+...+lnXn).

Or cette dernière fonction ^est la fonction

caractéristique classique

. ~~ n, lt) ^{= ~ ..,} t,r )

du

point

^{aléatoire de}

l’espace

^{euclidien à n}

dimensions.

Et l’on sait que la connaissance de cette dernière détermine la fonction de

réparti-

tion de soit

..., ⁼ x,, ..., Xn xn].

Ainsi connaissant

03C6X[ ]

^{pour toute} fonctionnelle ^linéaire

,

^{nous savons}

déterminer

quel

que ^{soit n la fonction}

F,t (xi,

^...,

x,t;j.

Or si l’on pose

Prob[X1

^{x1, ..., Xn ‘ xa, Xn xu+l, ... = ...,} ,x,z, ,x,a+1, ...),

on a évidemment

xp, ^..., ...)== ^{lim Fn(x1, ...,} x").

n~~

, Nous voyons bien finalement

qne la

connaissance de

quelle

que soit ^la fonctionnelle

I~,

^détermine la connaissance de la fonction de

6

répartition

^{de X}

mise,

^{dans le cas actuel où B. W. a une}

base,

^{sous la}

forme

F(x1,

^..., x,z,

... ).

’

PREMIÈRE DÉFINITION

DES

ÉLÉMENTS ALÉATOIRES LAPLACIENS.

Nombre aléatoire

laplacien.

^{- Soit X un nombre}

aléatoire ;

^{sa fonc-}

tion

de répartition

^est ,

’

,

On dit souvent

(à

^{tort du}

reste) (’ )

que ^X obéit à la loi normale ou à la loi de

Gauss quand F(x)

^{est dérivable et}

quand

^de

plus

^{sa « densité de}

probabilité

»,

Fx

^est de la forme

(1) ~’x =

.

où

g (x)

^{est une} fonction du second

degré

^{de x.} Nous dirons que X ^est

un nombre aléatoire

laplacien ( 1 ) quand

^{existe et est de la forme}

(i)

où

g(x)

^{est une fonction au}

plus

^du

second degré

^{en x. Dans le cas où}

g(x)

^{se réduit au}

premier degré,

^{X est} presque certainement ^constant

et l’on pourra considérer que dans ^{ce cas on a} affaire à une loi de

Laplace singulière

^ou

dégénérée.

Dans les deux _cas, on sait que la fonction

caractéristique

^{de X}

peut

^{être écrite}

(2) ^{= eitX = e}

itX ^- (03C3X)2

y%

,

où

X

et

X)2

^sont la moyenne ^et la tluctuation de X.

Élément aléatoire

laplacien.

^{- Un}

point

^{X de}

l’espace

^{euclidien à}

r dimensions vérifie la loi de

Laplace-Bravais lorsque

^ses coordonnées

sont de la forme

Xk=c1kX()+...+ crkX(r),

( 1 ) ^On sait que dans les applications (en particulier ^{dans les} phénomènes ^écono- miques), ^{on rencontre des lois de} probabilités ^très différentes (sans ^être anormales pour cela) de la loi des erreurs d’observation.

C’est de Moivre qui ^le premier ^{a obtenu} l’approximation de la loi binomiale _par une

intégrale, comme, ^avant K. Pearson, Laplace ^l’avait déjà rappelé. ^{Mais c’est} Laplace ^et

non de Moivre, qui ^{a le} premier ^{considéré cette} intégrale ^comme définissant la loi des

erreurs d’observation. A cette époque, ^{comme l’a} signalé ^{E. B.} Wilson, ^{Gauss n’avait}

encore que trois ^ans.

7

~

où Xt’ ~ ^... sont des nombres aléatoires

laplaciens indépendants

^et

les

c~

^des constantes. On a alors

où

.

~.=~~c~

et où

..., tr)

^{est une} forme définie

(ou semi-définie) positive

^en

~i)~2*’’’?~r*

D’ailleurs

’

En

posant

^encore

X ⁼ t1X1 ^{+ ... +} trX,.,

on a donc

(4)

?x[~]=~(~~ ...~r)=~ e ~:~x -16~X

~

où X et

03C32X

^sont la moyenne ^et la fluctuation du nombre aléatoire X.

De sorte que ^{~?X est un} nombre aléatoire

laplacien.

Nous sommes ainsi conduit à la

généralisation

suivante de la loi de

Laplace.

’

Loi de

Laplace généralisée.

^- Nous dirons

qu’un

élément aléa- toire X

(de

^nature

quelconque)

^{choisi au} hasard dans un espace ^, vectoriel distancié B. W. est un élément

laplacien, lorsque

^{,~ X est un}

nombre aléatoire

véri fiant

^{la loi de}

Laplace ( dite

^{aussi loi}

normale ) quelle

que ^{soit la}

fonctionnelle

linéaire ,~x définie sur B.

W.~(~).

Par

exemple,

^si

l’espace

^{B. W. se réduit à un} espace euclidien

C;

^à

(’ ) On pourra admettre comme cas singulier que pour certaines fonctionnelles linéaires ~?X, ~X soit presque certainement constant, mais il ne devra pas ^en être ainsi

quelle que soit 1: X, ^ce qui aurait lieu si X lui-même était presque sûrement ^constant.

8

. r

dimensions,

^{on devra avoir} _pour ^sa fonction

caractéristique l’expres-

sion

(3) qui peut

aussi s’écrire

. (4)

~, ..., ,,.~,’~~~-~")~~~~(-~)~-~

^.

Par

exemple

^si

l’espace

^{B. W. se réduit à}

l’espace

de Hilbert

H,

^{on aura}

encore une

expression analogue,

^{mais avec un nombre infini} _{de para-}

mètres /. tels que converge.

Si B. W. se confond avec

L~,

^{on aura} pour ^sa fonction

caractéristique

’

iI X

^(x)l(x)

dx-1 2{I[X(x)

^{- X jr) l(x)}

dx}2

^.

Si B. W. se réduit à

l’espace

C des fonctions

continues,

^{sa fonction}

caractéristique

^sera

’

~n,fx(~L(.r)-~

.

Propriété de la loi de

Laplace généralisée.

^{- Si}

X,

^{Y sont deux élé-}

ments aléatoires

laplaciens indépendants

^{choisis au hasard dans un}

espace vectoriel distancié B. W.

quelconque, ~

^un élément certain de W. B. et a,

b,

^c trois nombres certains

quelconques,

^alors

qui appartient

^{aussi à B.}

^{W., est}

^aussi un élément

laplacien.

Car

(5) ^{rz ==: aX+bY+cz.}

Au second membre _a,

b,

^sont des nombres

certains,

^{X et Y}

des nombres aléatoires

laplaciens, indépendants,

^{donc ~X est un}

nombre aléatoire

laplacien, quelle

que ^{soit la} transformation Dès lors Z est bien un élément

laplacien.

,

;

Inversement,

^{si Z est un élément}

laplacien

^{de B.}

W.,

^si a,

b,

c, ^{z sont} certains

(ab~o), ^{alors, si}

^{X et Y sont}

indépendants ils

^{sont aussi}

,

laplaciens.

^Car le nombre Z étant

laplacien

^et les nombres aléatoires X ^et étant

Indépendants,

^{il résulte du} théorème de

Lévy-Gramér

que X ^et Y sont

laplaciens quelle

que soit ^la transformation X

(l’une

^{ou l’autre} pouvant

cependant

^{être un} nombre presque ^sûrement

constant pour

quelque

fonctionnelle

particulière d).

^{Dès lors X et Y}

sont

laplaciens (l’un

^d’eux peut ^être presque ^sûrement constante

9

l’autre étant

laplacien

^non

singulier,

^{si Z n’est} pas

singulier.

^{Si Z est}

presque certainement constant, X ^{et Y} le sont

aussi).

GÉNÉRALISATION

D’UN

THÉORÈME

DE SERGE BERNSTEIN.

Vers une définition descriptive de la loi de

Laplace.

^{- Nous avons}

présenté plus

^{haut une}

généralisation

^{de la loi de}

Laplace,

^en

partant

de la définition ^« constructive »

classique, supposée donnée,

^{de la loi}

de

Laplace

pour ^un nombre aléatoire.

On

peut

considérer comme souhaitable une définition de la loi de

Laplace qui

conviendrait à des éléments aléatoires de nature

quelconque

comme à des nombres

aléatoires;

c’est-à-dire ne

supposant

pas, contrai-

rement à ce

qui

^{a été fait}

plus haut,

que l’on connaisse

déjà

la défini-

°

tion d’un nombre

aléatoi.re laplacien.

C’est ^ce

qui

^{est rendu}

possible

par ^un théorème dû à

Serge

^Bernstein

quand

^{on lève une} restriction

qu’il contenait, quand

^{on en modifie la}

forme pour ^en faire une définition et

quand

^{on en étend la}

portée,

comme nous allons le faire maintenant.

Théorème de S. Bernstein. ^-

Serge

^{Bernstein a démontré}

(’ ~

^le

théorème suivant : Pour que ^deux nombres aléatoires

indépendants X, Y,

^chacun pourvu

partout

d’une densité de

probabilité

^et

ayant

la même

fluctuation

^~l

finie

^et

~

o, soient deux variables

lapla- ciennes,

^il

faut

^{et il}

suffit

que ^{X +} Y et X ^- Y soient

indépendantes.

( 1 ) ^{En russe} (avec ^{un résumé} français) ^{sous le} titre : Sur une propriété ^caracté- ristique de la loi de Gauss, p. 2I ^{et 22} des Transactions o f ^the Leningrad Poly

technic Institute, I94I^.

’

Le théorème de S. Bernstein est le cas particulier pour n ^{= 2} de la proposition ^sui-

vante : si X1, X2, .., Xn ^{sont n nombres} aléatoires indépendants ayant même loi de

probabilité que X, la condition nécessaire et suffisante pour que X soit laplacien ^est

que Mn = X1+...+Xn n ^{et S2 =} (X1-Mn)2+..+(Xn-Mn)2 n _soient

indépendants. ^En supposant l’existence d’une densité de probabilité ^et d’une fluctuation finie de Xl, ^la

condition nécessaire a été énoncée par Student ^et démontrée par R. A. Fisher, ^la

condition suffisante a été démontrée par R. C. GEARY, Journal Royal Statis tical Soc., Suppl. ^vol. 3, puis ^{d’une autre} façon ^par LiiKAcs, Annals Mathematical Slatistics vol. 13, I g;~~.

’

Le cas de n _> 2 ne paraît pas propre à ^une extension simple ^aux espaces vectoriels

distanciés. .

I0

On

peut

^{étendre cette}

proposition

^{au cas où l’on ne} suppose l’exis-

tence d’une densité de

probabilité

ⁿⁱ pour

X,

ni pour

Y,

^au moyen d’une démonstration tout à fait différente de celle de S. Bernstein

(en

ce

qui

^concerne la condition

suffisante).

^Ceci

^fait,

^une rnodification

simple

^{des termes} du théorème

permet

d’en tirer une ^définition

«

descriptive »

de la loi de

probabilité

^de

Laplace,

définition

équivalente

à la définition ^« constructive » habituelle. Et cette définition

descriptive

a ce

grand

intérêt de

garder

^{un sens}

(grâce

^à l’élimination de

l’hypo-

thèse de l’existence d’une densité de

probabilité), quand

^{X et Y au}

lieu d’être des nombres aléatoires sont des éléments aléatoires

de

nature

quelconque pris

^au hasard dans un espace ^« vectoriel distancié » de Banach-Wiener ^ou même dans un espace

plus général

^encore.

Nous avons enfin

appliqué

la nouvelle définition au cas où

X

^{est un}

point

^{aléatoire de}

l’espace

^{euclidien à un} nombre entier de dimensions

(cas

^{où cette} définition

descriptive

^est

équivalente

^à la définition cons- .

tructive de

Laplace-Bravais )

^{et au cas de}

l’espace

de Hilbert.

Extension du théorème de

Serge

Bernstein. - L ^. Nouvelle démons- tration de la condition

suffisante.

^{- Pour} la condition

suffisante,

^nous

n’aurons besoin ni de supposer l’existence d’une densité de

probabilité

ⁿⁱ

même de supposer les

fluctuations égales.

Notre démonstration ne fera même intervenir

qu’à

la fin la

supposition..que

^les

fluctuations

^soient

finies.

Soient donc deux nombres aléatoires

indépendants

^{X et ~Y TELS}

SEULEMENT

d’abord,

que

X -~- Y

^{et X - Y} soient aussi des nombres aléatoires

indépendants.

Représentons

^par

9x (t)

la fonction

caractéristique

^de

^X,

X( t) ^{= eitX.}

Posons

2X=U+V; j 2Y==U2014V,

d’où ^_

03C6X(2t) = 03C62X(t) ^’ 03C6V(t),

d’où encore ^.

(6) ~X(2t~ - ~x~t~ ~Y(t~ ?x(t) ~-Y(t~ ‘

~~X(t~~~

^{?Y(-- t)~}

De la même

façon

II

d’où

(7) f

~’Y~2t~ - ~

9x(t) 9x(- t~~

n’est

jamais

nul. S’il existait ^un nombre _to tel que

CPx( t)

==9* ^on aurait d’abord

to ~

o,

puisque c~X ( o )

^{= i .}

Alors

diaprés (6)

° ^_ 03C6X(t0) ^_

( t0 2)]2 03C6Y(t0 2 ) 03C6Y (-t0 2)

^.

Il existerait donc un nombre t, ⁼⁺

f

^{et tel que = o ou}

Par

imécurrence,

^{on verrait}

qu’il

^existe

t,t = -~- 2~~

^{tel que}

= o ou ⁼ o.

L’une ^au moins des deux fonctions

p;(t)

serait nulle pour

une infinité des

nombres

^et

puisque

^{tn-+ o et} que ^toute fonction

caractéristique

^est

^continue,

^{on aurait ou ce}

qui

est

impossible.

Ainsi,

^on

_peut, quel

que

soit t, prendre

^les

logarithmes [que

^nous

appellerons tf(t)

^et

03A8(t)]

^{des deux fonctions}

^03C6Y(t).

Un

problème

de calcul foncti onnel. ^- Les

logarithmes 03C8(t), tIl’ ( t )

^de

ces

deux

fonctions sont donc deux fonctions

déterminées.

^{telles en}

parti-

culier que

~.~ ( o ) _ ~’ ( o ) = o

^{et vérifiant le}

système d’équations

fonctionnelles

Résolvons ce

problème purement mathématique.

En faisant l ⁼ o

dans

S,

^on vérifie d’abord

que 03C8(o)

⁼

03A8(o)

^{= o.}

Posons

~(t) - ~(t)

+ 2 ^~~(~).

^{~ I(t~ _}

~(~)- 2

^{~’(t) .}

On ^{aura en}

ajoutant

^et retranchant

(6bis)

^et

(7bis)

On a, d’abord

12

donc est une fonction

impaire

^et par suite

(9). j(2t} = 2 I(t}.

En posant

I(t) ⁼ t03B1(t) ^.

pour t ~

^{o, on a donc}

’

et par

suite, _{pour t} ~

^o,

x(2t) ⁼ 03B1(t).

Pour t > o, posons

t = 2~~ et t ~~;(),} ⁼

x(2~~),

on aura

~r;(î,} _ ~~(), + 1).

Ainsi

pour t

^{> o}

où _7~3

(À )

^{est une} fonction définie

quel

que soit ~ ^et de

période égale

^{à ï}

et où pour

abréger

^Lu

désigne

^le

logarithme népérien

^{de u. ’}

Pour t _o. on a

I(t)=-I(-t)=-(-t)03C0s( L(-t) L2)

ou

I(t) = t03C03(L(-t) L2).

Donc, quel

que soit le

signe

^{de t}

~

^{o, on a ,}

(I0) I(t) ⁼

t 03C03(L|t| L2)

^.

Passons Posons

.

_

~’(t) + 2 ~(- t).

^{~ L(t} -}

~(t) - 2 ~(- t)

et

portons

^dans

(8)

. ~(2t} + i(2t} - 2 p(t) - 2 ~(t} = 2~7(t}

ou

p(2t) ^- 4 p(t) ^{= 2} i(t) ^- i(2t}.

Les deux membres sont des fonctions

respectivement paires

^et

impaires.

Leur valeur commune est donc nulle.

On a d’abord

I3

qui

^{se traite comme la}

^relation (g)

^{et donne}

-

M20142014(’~)-

où

03C02(03BB)

^{est une} fonction de

période égale à

^{i. D’autre}

^part

~(2~)=4~)- d’où,

^en

posant

~)=~~

^{pour ~o,}

p(~)=~~)

et par suite ^.

3(~)==n~20142014-)

^{pour ~>o,}

où

~(~)

^{est de}

période

^i.

Et

puisque p(~)

^est

paire

p(t) = t203C9(L|t| L2)

pour t ~ o.

Ainsi

2(t) = t203C9(L|t| L2)+t 03C02(L|t| L2), I(t) = t03C03(L|t| L2),

d’où enfin

où ~ ( n ~, ~r ( ~, ~,

^sont trois fonctions de

période

^1. Les expres- sions

(11) fournissent,

^en

prenant

pour ^{uy, ~r, ~t~,} trois fonctions absolument

quelconques

^de

^période

^i, la solution la

plus générale

de

(S), puisque réciproquement

^ces

expressions

^vérifient

(S),

^comme

on

peut

^{s’en assurer} immédiatement.

. Pour utiliser ce

qui précède

^{dans notre}

problème

^{de Calcul}

^des probabilités,

^on

pourrait

penser d’abord ^à chercher

parmi

^{ces solutions}

celles

qui

^sont

logarithmes

des fonctions

caractéristiques

^{et satisfont}

ainsi à certaines conditions

supplémentaires.

Mais cela n’est pas

nécessaire,

^{comme le montrera la suite.}

’

I4

Soit alors Z une variable aléatoire

indépendante

^{de X. et}

ayant

^la

même loi de

probabilité

^et

^{T =}

^{X - Z. On aura}

9T(t) = 03C6Z(- t) ⁼ 9x(t) 03C6X(- t), d’où

(12)

2t’

(

^L9 .

Soient maintenant

Ti,. ^T2,

^...,

^Tn

les valeurs de T dans n

épreuves indépendantes

^et

Kn = T1+...+Tn n

.

On a .

’

03C6Kn(t) = 03C6T1(t n)...03C6Tn(t n) ^-

^03C6T(

^{t n} )

^{L9 .}

Si p

^{est un entier}

positif pair, ^alors, quand

^on

prend

^{n = 2P,}

(13)

i

) -

_03C6T(t),

de sorte que

K~r

^{a une loi de}

probabilité,

^{celle de}

^T, qui

^est

indépen-

dante de p..

Si la fluctuation de X est finie mais

nulle,

^{X et} par suite

Z,

^sont

presque certainement

égales,

^{à une même constante et T est} presque certainement

nul,

^{donc = 1 et alors}

m(À )

^{== o.}

D’ailleurs,

^{dans ce}

cas,

X +

^{Y et X - Y ne}

_peuvent

^être

indépendants

que ^{si Y est aussi} presque certainement

égal

^{à une constante.}

Et

réciproquement

^{si X et Y sont} presque certainement ^cons- tants, ^et X - Y sont

indépendants.

^{On a ainsi le}

système

^de

solutions

le plus général quand

^la fluctuation de X est nulle

(et

^alors

celle de Y l’est

aussi).

^,

Si la

fluctuation

^de

X, soit, Q’’,

^{est finie et non}

nulle,

^{X et} par suite Z

ont une même moyenne X==Z finie ^et

déterminée,

^{et T==o. On sait}

qu’alors

^converge

quand

^{n --~ oo vers} la fonction

caractéristique

d’une variable

laplacienne

ayant pour moyenne ^et fluctuations celles de

T,

^{soit zéro et 2 a~2. Or}

I5 Ainsi T est elle-même une variable

laplacienne.

^{Mais T = X - Z où}

X et Z sont

indépendants

^{et ont chacun une} fluctuation ~=

~

^o.

Donc, d’après

le théorème de

Lévy-Cramér,

^{X est une variable}

laplacienne.

D’ailleurs,

le raisonnement fait pour

~r(t~ peut

^se

répèter pour W(t).

Mais

d’après (13)

^et

(~4), ~(a~

^{est une constante}

~ o;

^comme

m(À) figure

aussi dans

~r(t~,

^{on voit}

qu’en désignant

par

Z~ une

variable aléatoire

indépendante

^de

Y,

^{mais avec la même loi de}

probabilité,

^et

posant TB ==

^{Y -}

Z1,

^{on aura}

=

’

avec ~ constant et

~

^o.

De sorte

que ^T,

^{est aussi une variable}

laplacienne

^{avec la même}

fluctuation 2 ~‘-’ que T. Alors ^{Y est} aussi non seulement

laplacienne

^mais

a la même fluctuation que ^{X. -}

On peut ^{donner aussi} la démonstration suivante.

D’après

^Paul

Lévy (1), quand

^{X a une} fluctua tion y~

finie,

^{on a}

(t5) ^avec

n _. /~o ⁰

On a donc

d’après (5)

iX-03C32t 2+t~(t)=03C0(L|t| L2)+L03C9(L|t| L2 )

^.

En

remplaçant

^t par ^{2pt où} p ^{est un} entier

négatif

iX-03C322pt 2+2p t ~(2pt)=03C0(L|t| L2)+p t 03C9(L|t| L2),

d’où,

^{en faisant}

croître p

indéfiniment par valeurs

négatives

03C0

(L|t| L2) =

^{i X,}

et par suite ..

-03C32 2 + ~(2p t) = 03C9(L|t| L2).

D’où en faisant encore

tendre p

^{vers - 00}

03C9(L|t| L2)

j

const. === ^{2014 2014}

(’ ) Voir formule (1’7), p. 42, ^{dans sa} Théorie de l’addition des variables

aléatoires,

chez Gauthier-Villars, Paris, 1937.

I6

et finalement

03C6X(t) = it - 03C32 2 t2.

(16) ^{= iXt-} _- ^t’.

Condition nécessaire. ^- Ici on peut conserver, ^sans chercher à en

étendre la

validité,

^la démonstration de S. Bernstein. Comme elle est

rédigée

^{en russe,}

rappelons-la

ici. On suppose que ^{X et Y sont} des variables

laplaciennes indépendantes

et, conformément ^{au résultat}

précé- dent,

^nous supposerons

qu’elles

^{ont même} fluctuation

~J~~ o).

^Alors

elles ont chacune une .moyenne finie ^et déterminée

X,

^{Y. Suivant la}

remarque ^de S.

Bernstein,

^{on a}

(17)

- D’autre

part

^il résulte des

hypothèses

que ^Y

sont comme on le

sait,

nécessairement aussi des

variables laplaciennes.

Mais de

plus,

^{Bravais a démontré} que la loi de

probabilité

^du

couple U,

^{V est la loi de}

Laplace généralisée.

^Et l’on sait que. dans ^{ce cas,} la condition nécessaire ^et suffisante pour que

U,

^{V soient}

indépendantes

est que leur coefficient ^de corrélation linéaire soit

nul,

^ce

qui

^{est le}

cas ici

d’après ( 1 ~ ).

^{Donc U et V sont}

indépendants.

On

peut

^{aussi donner une autre} démonstration au moyen des fonc- tions

caractéristiques.

On pose

t’) ^_ ei(lU+l’V).

,

D’où

et

lorsque ^X,

^{Y sont deux variables}

laplaciennes

de moyenne

X,

^{Y et}

de fluctuations

~‘’,

^~’?

- - (t + t’)2 6,2 - (t - t~)R 6r1

e

= eitUeit’Ve-

1 9 [t2(03C32+03C3’2)+2tt’(03C32)]

^{, ’}

Mais

puisque ^U,

^{V sont, comme on le}

^sait,

^{dans le cas}

^actuel,

^des

variables

laplaciennes

de fluctuations o~"~ _ ~? +

~’’-’,

^{on a}

I7

Dès lors ^{. -}

, t~) ⁼ ~’~t~

t~)~

où

tf)

^{= ,}

_

Ainsi pour

qu’on

^{ait .}

(18)

t’ )

⁼

)03C6X-Y(t’),

quand

^{X et Y sont deux}

^variables laplaciennes indépendantes,

^{il faut et}

il suffit que leurs fluctuations ~~ et soient

égales quand

^{on donne}

^X,

on pourra

prendre

^{à cet effet pour Y un} nombre aléatoire

indépendant

de

X,

^{mais avec la même loi de}

probabilité.

^La

condition (18) exprime

d’ailleurs que les variables aléatoires X + Y et X - Y

sontindépendantes.

DEUXIÉME DÉFINITION

. DES

ÉLÉMENTS

LAPLACIENS. ^,

Définition

descriptive

d’un nombre

Laplacien.

^{-- Tl resulte de ce}

qui précède

que : ^:

Pour

qu’un

^nombre

^aléatoire

^{X ob.éisse à la loi}

4e Laplace,

^il

faut

^{et il}

suffit :

^1° que ^sa

fluctuation

^soit

finie

^et

~

^{o; ; 2°}

qu’il

existe un autre nombre aléatoire Y

indépendant

^{de X et tel}

que X ^{+ Y et} X - Y soient

indépendants.

Généralisation de la

fluctuation

^-- Considérons maintenant

d’abord

le cas où X

(au

^{lieu d’être un nombre}

aléatoire)

^{est un} élément aléa- toire de nature

quelconque pris

^au hasard dans un espace

distancié

complet

^IC~

(’).

Soit ⁼

(X, a)2,

^{où a est un élément} certain de

l’espace

^et

où

(X, a)

^{est la}

distance

de X et de a.

Nous appelons fluctuation

^de

X

,

la borne inférieure de

quand a parcourt

^.

(1) ^Un espace ^est distancié si à tout couple d’éléments _{a, b de} on peut ^associer

un nombre ( a, b appelé distance de a et de b, ^tel que ( a, b = ( b, a ) ~ o, que ( a, b ) = ^o si a - b et, réciproquemenl, ^et enfin tel que (a, b)G (a, c) ⁺ (c, b). ^{Il est} complet ^si

le critère de convergence de Cauchy y ^est valable.

I8

Fluctuation nulle. ^-

Que peut-on

dire d’un élément aléatoire X dont la fluctuation est nulle? On

peut

^{donner la}

réponse,

^{en faisant usage de}

l’inégalité triangulaire

^{- -}

Y)’.~

~12(X, Z~~+

facile à démontrer au moyen de

l’inégalité

de Schwartz. Dire en effet que la fluctuation de X ^est

nulle,

c’est dire que pour ^tout entier _n, il existe un élément certain an de

tel que

^.

J1l(X,

an~_, ~,.

Alors

( an ( X, ⁺ ( X,

n

^.

-

Dès

lors, l’espace

^{U~ étant}

complet,

la suite des a,i doit être conver-

gente. Soit a l’élément certain de CI~

qui

^en est la limite. On a +(a, an) )

quel

que soit ^n. Donc ^.

(X, a)‘’= ^{o; ,}

la distance

(X, a)

^est presque certainement nulle :

q~uand la fluctuation

de X est

nulle,

^{.X se réduit à un} élément presque certain de . ^La

réciproque

^est d’ailleurs évidente. Nous voyons bien lnaitenantla raison

et

l’importance

^{de la}

stipulation

d’une fluctuation non

nulle

^{dans la}

définition

qui

^{va suivre.}

Pour

généraliser

la définition

descriptive qui

^{a été donnée}

plus

haut

(p. 7)

^{et l’étendre à ,des} éléments aléatoires

X,

^{Y de nature}

quelconque,

^{il faut}

pouvoir

^{donner un sens aux}

symboles X

⁺

^Y,

^{X -}

^Y,

c’est ce

qu’on

pourra faire ^en

supposant

^{non seulement} que

X, Y appar-

tiennent à un espace distancié

complet,

^{mais même que cet espace est}

« vectoriel » autrement dit que

X,

^Y

appartiennent

^{à un espace de}

Banach-Wiener. ^’

Extension de la loi de

Laplace

^à des éléments aléatoires de ^nature

quelconque. - ^{Soit X un élément aléatoire de nature}

quelconque pris

au hasard dans un espace de Banach-Wiener

(1 ).

(i) ^La définition qui ^suit peut ^être étendue à des espaces plus généraux ^{encore. En} effet, observons que la condition ^2° garderait ^{un sens dans le cas} plus général ^où