Traitement du signal. Fiche n 2. S´eries de Fourier.

IUT Villetaneuse - Universit´e Paris 13

S4 Ann´ee 2015-2016

Traitement du signal. Fiche n 2. S´eries de Fourier.

Exercice 1.Pour chaque fonctionf, 2⇡-p´eriodique, d´efinie ci-dessous, - repr´esenter la fonction sur l’intervalle [ 4⇡; 4⇡],

- `a partir du graphique, d´eterminer les points o`u la fonction n’est pas continue ou n’est pas d´erivable, - calculer les coefficients de Fourier des fonctions ci-dessous,

- ´ecrire le d´eveloppement en s´erie de Fourier def. 1. f(x) =⇡ xsur [0;⇡[ etf paire.

2. f(x) =⇡ xsur [0;⇡[ etf impaire.

3. f(x) =

( 1 si ⇡x <0 1 si 0x <⇡ 4. f(x) =

( 0 si ⇡x <0 cosx si 0x <⇡

5. f(x) =x². 6. f(x) =|x|.

7. f(x) = 8>

<

>:

1 si ⇡x < ^⇡₂ 1 si ^⇡₂ x <0 0 si 0x <⇡ Exercice 2.Calculer le d´eveloppement en s´erie de Fourier de la fonctionf d´efnie par

1. f(x) =

( 1 si|x|<1

0 si 1x <2 f(x+ 4) =f(x). 2. f(x) =

( x si 4x <0

0 si 0x <4 f(x+ 8) =f(x).

Exercice 3.Pour chacune de fonctions 2⇡-p´eriodiques d´efinies ci-dessous, 1. repr´esenter la fonction sur trois p´eriodes,

2. calculer les coefficients de Fourier,

3. ´ecrire la d´eveloppement en s´erie de Fourier de la fonction, 4. ´etudier sa convergence,

5. d´emontrer les ´egalit´es ´enonc´ees.

1. f impaire etf(x) =

( x si 0x < ^⇡₂

⇡ x si ^⇡₂ x <⇡ f(x+ 4) =f(x).

X1 p=0

1

(2p+ 1)² = ⇡² 8 . 2. f(x) =⇡ x.

X1 p=0

1 p² =⇡²

2 . 3. f(x) =x.

X1 p=0

( 1)^p 2p+ 1 = ⇡

4.

Exercice 4.D´evelopper en s´erie de Fourier la fonction f 2⇡-p´eriodique d´efinie sur [0,⇡] parf(x) =x(⇡ x).

En d´eduire, la somme des s´eries

+1

X

n=0

( 1)ⁿ (2n+ 1)³ et

+1

X

n=0

1 (2n+ 1)⁶.

Exercice 5.Soitf la fonction deRdansR, 2⇡-p´eriodique, d´efinie en posant pour tout xdans [ ⇡,⇡],f(x) =x²+⇡x.

1. D´evelopperf en s´erie de Fourier.

2. CalculerP( 1)ⁿ

n² etP 1 n².

3. D´eduire le d´eveloppement en s´erie de Fourier de la fonction 2⇡-p´eriodiqueF d´efinie parF(x) = Z x

0

f(t)dt.

4. En d´eduireP 1 n⁶.

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