ETUDE D’UNE FONCTION

E1 – Etude de fonction

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ETUDE D’UNE FONCTION 1

Soit la fonction définie sur −10; +∞ par :

= 2² + 4 − 2 4² On note sa courbe représentative dans un repère.

1) Etudier la limite de en +∞. En déduire une asymptote à

2) Démontrer que la droite d’équation = 0 est une asymptote verticale à 3) Dresser le tableau de variation de

4) a)Montrer que l’équation = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle [

;

]. A l’aide de la calculatrice donner un encadrement de α au centième près

b) En déduire le signe de sur cet intervalle 5) Etudier la position relative de et de 6) Tracer ,

Correction

1. Etudier la limite de en +∞. En déduire une asymptote à

A l’infini, la limite d'une fraction rationnelle est celle de la fonction définie par le rapport entre le terme de plus haut degré de son numérateur, et le terme de plus haut degré de son dénominateur, donc on peut écrire :

" → $%lim = lim_{" → $%} 2² 4² = 2

4 =1

2 &'( lim^{" → $%} = 1 2

On en déduit que la droite d’équation ) = est une asymptote horizontale à au voisinage de +∞.

2. Démontrer que la droite _* d’équation + = , est une asymptote verticale à -. /0 10 lim_{" → 2} = +/− ∞

lim_"→22² + 4 − 2 = −2

"→2lim4² = 0^$

/45 . /6./0 748' 9&05 4 /4' 7/:&45 74 (^;7 0^$ &0 0^<

On en déduit que la droite d’équation = 0 est une asymptote verticale à Par quotient lim_"→2 = −∞

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3. Dresser le tableau de variation de

2

Calcul de la dérivée ′

= 0

:

avec 0 = 2² + 4 − 2 : = 4² ; on a alors 0^; = 4 + 4 :′ = 8

′ = 0^;: − :′0 :²

^; = 4 + 4 × 4− 82 + 4 − 2

4 =16^J+ 16² − 16^J− 32 + 16 4²²

^; = −16+ 16

4 = ^; = 16− + 1 4²²

Etude du signe de la dérivée ′

16 = 0 ⇔ = 0 − + 1 = 0 ⇔ = 1 4²² ≠ 0 ⇔ ≠ 0 -10 0 1 +∞

16 ^{− + +}

− + 1 ^{+ + −}

4²² ^{+ + +}

^; − + −

Tableau de variations de

-10 0 1 +∞

^{; − + −}

−10 = 0,395 1 = 1

0.395

1

12 -∞

-∞

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4. a)Montrer que l’équation + = , admet une solution unique α dans

3

l’intervalle [_P ; ^Q_P]. A l’aide de la calculatrice donner un encadrement de α au centième près

La fonction est continue et strictement croissante sur [ ; ].

R1

5S = −7 R4

5S ≈ 0,97

0 ∈ [-7 ; 0,97], donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation = 0

admet une solution unique dans l’intervalle [

;

].

Avec la calculatrice :

• Au pas 1 :

0,4 = −0,125 0,5 = 0,5

• Au pas 2 :

0,41 ≈ −0,035 0,42 ≈ 0,0464

Donc 0,41 < α < 0,42

b) En déduire le signe de sur cet intervalle

α

− +

5. Etudier la position relative de et de

W' é04 . 748' 2² + 4 − 2 4² −1

2 2+ 4 − 2

4 −1

2 = 22+ 4 − 2 − 4

24 = 4 + 8 − 4 − 4

24 = 8 − 4 24

= 42 − 1

24 = 2 − 1 2²

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4

On a :

2 − 1 = 0 ⇔ =1

2 2 ≠ 0 ⇔ ≠ 0 D’où :

-∞ 0

2 − 1 ^{− − +}

2² ^{+ + +}

2² + 4 − 2 4² −1

2 =2 − 1 2²

− − +

Y05 −∞; 0 U [0;1

2\ , &' / 2+ 4 − 2 4 −1

2 < 0 &'( 2 + 4 − 2 4 <1

⇒ 7 &'( ' 77&07 2

Y05 [1

2 ; +∞\ , &' / 2+ 4 − 2 4 −1

2 > 0 &'( 2+ 4 − 2 4 >1

⇒ 7 &'( /0 7707 2

`0 9&4' ^;/67(4771

2 , &' / 2+ 4 − 2 4 −1

2 = 0 &'( 2+ 4 − 2 4 = 1

⇒ 7 (&'&'0 /:( 2

6. Tracer , ab _*