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STABILISATION FRONTI `ERE DE PROBL`EMES DE VENTCEL∗
Amar Heminna
1Abstract. The problem of boundary stabilization for the isotropic linear elastodynamic system and the wave equation with Ventcel’s conditions are considered (see [12]). The boundary observability and the exact controllability were etablished in [11]. We prove here the enegy decay to zero for the elastodynamic system with stationary Ventcel’s conditions by introducing a nonlinear boundary feedback. We also give a boundary feedback leading to arbitrarily large energy decay rates for the elastodynamic system with evolutive Ventcel’s conditions. A spectral study proves, finally, that the naturalfeedback is not sufficient to assure the exponential decay in the case of the wave equation with Ventcel’s conditions.
R´esum´e. On consid`ere le probl`eme de la stabilisation fronti`ere de probl`emes de Ventcel pour le syst`eme lin´eaire isotrope de l’´elasticit´e et pour l’´equation des ondes (cf.[12]). L’observabilit´e et la contrˆolabilit´e ont ´et´e ´etablies dans [11]. On montre ici la d´ecroissance vers z´ero de l’´energie pour le syst`eme de l’´elasticit´e avec conditions de Ventcel stationnaires par un feedback non lin´eaire ; on montre aussi la d´ecroissance exponentielle arbitrairement grande de l’´energie de la solution du syst`eme de l’´elasticit´e par des feedbacks fronti`eres. On montre enfin, par une ´etude spectrale, que le feedback naturelest insuffisant pour assurer la d´ecroissance exponentielle de l’´energie dans le cas de l’´equation des ondes.
AMS Subject Classification. 93B03, 93B05, 93D15.
Re¸cu le 29 novembre 1999. R´evis´e le 9 juin, le 17 juillet, le 29 aoˆut et le 25 septembre 2000.
1. Introduction
La stabilisation fronti`ere du syst`eme de l’´elasticit´e avec des conditions aux limites de Neumann ou de Dirichlet a ´et´e ´etudi´ee par plusieurs auteurs : Lagnese [18, 19], Komornik [17], Alabau et Komornik [1], Guesmia [8] etc.
Horn d´emontre dans [13], par des techniques d’analyse micro-locale, la stabilisation du syst`eme isotrope de l’´elasticit´e avec des conditions aux limites de Neumann, par le feedbacknaturelet sans conditions g´eom´etriques fortes sur la partie du bord sur laquelle porte le contrˆole : l’auteur n’impose pas au domaine d’ˆetre ´etoil´e. Une autre approche est propos´ee dans [3].
Pour ce qui concerne le cas anisotrope ou le cas d’un feedback non lin´eaire, Guesmia a montr´e dans [8] la stabilisation lorsque la partie du bord sur laquelle porte le contrˆole est une sph`ere.
Dans ce travail on se propose d’´etudier la stabilisation fronti`ere par feedback de probl`emes dits de Ventcel pour l’´equation des ondes et le syst`eme lin´eaire isotrope de l’´elasticit´e.
Mots-cl´es et phrases:Elasticit´´ e, ondes, probl`eme de Ventcel, contrˆolabilit´e, stabilisation.
∗ Ce travail a ´et´e r´ealis´e lors d’un s´ejour au D.M.I. de l’ ´Ecole Centrale de Lyon et au Laboratoire de Calcul Scientifique de l’Universit´e de Besan¸con.
1Institut de Math´ematiques, USTHB, BP. 32, EL-Alia, 16111 Alger, Alg´erie ; e-mail: [email protected]
c EDP Sciences, SMAI 2000
Les probl`emes de Ventcel sont caract´eris´es par la pr´esence d’op´erateurs diff´erentiels tangentiels de mˆeme ordre que l’op´erateur principal. Ces probl`emes interviennent dans la mod´elisation de nombreux ph´enom`enes : m´ecaniques comme l’´elasticit´e (cf.[23, 24]) ou physiques comme les processus de diffusion (cf.[22, 27, 30]) ou la propagation d’ondes (cf.[2]).
Les conditions de Ventcel sont obtenues par des m´ethodes asymptotiques pour divers probl`emes d’origine physique ou m´ecanique.
Soit Ω un ouvert born´e de R3 de fronti`ere Γ de classe C2 ; on consid`ere {Γ0,Γ1}une partition de Γ telle que Γ0∩Γ1 = ∅, et mes(Γ1) > 0. On note ν la normale unitaire sortante. Soit u = (u1, u2, u3) un champ vectoreil r´egulier d´efini dans Ω ; on poseij(u) = 12(∂jui+∂iuj) etσ(u) = 2µ(u) +λ(div(u))i3(λetµsont les coefficents de Lam´e eti3est l’application identit´e deR3). Soitm∈Γ ; on d´esigne parTm(Γ) le plan tangent en m`a Γ,π(m) la projection orthogonale surTm(Γ). Soit v∈C1( ¯Ω,R3) ; on posev(m) =vT(m) +vν(m).ν(m) o`uvT(m) =π(m)v(m). On note∂met∂ν les d´erivations tangentielle et normale (∂mν) l’op´erateur de courbure sur Γ etπ∂mvTπla d´eriv´ee covariante du champvT. On a alors sur Γ (cf.[23, 29]) :
(v) =T(v) +νS(v) +S(v)¯ν+ν(v)νν¯ (1.1) avec
2T(v) =π∂mvTπ+π∂mvTπ+ 2vν∂mν,
2S(v) =∂νvT +∂mvν−(∂mν)vT, ν(v) =∂νvν
(1.2) et
σ(v) =σT(v) +νσS(v) +σS(v)¯ν+σν(v)νν¯ (1.3) avec
σT(v) = 2µT(v) +λ(tr(T(v)) +ν(v))i2, σS(v) = 2µS(v),
σν(v) = 2µν(v) +λ(tr(T(v)) +ν(v)) (1.4)
o`u la barre d´esigne le transpos´e d’un vecteur, d’un endomorphisme etc.,i2est l’identit´e du plan tangent et “tr”
symbolise la trace.
On pose :
σT0(v) = 2µ0T(v) +λ∗tr(0T(v))i2avecλ∗= (2λµ)(λ+ 2µ)−1et0T(v) =T(v).
On d´esignera par ∆T le laplacien tangentiel.
Nous allons examiner chacun des probl`emes ´etudi´es.
Stabilisation forte par un feedback non lin´eaire
On consid`ere deux fonctions non n´egatives a, l ∈ C1(Γ1) avec a > 0 sur Γ1 lorsque mes(Γ0)= 0 et trois fonctions continues non d´ecroissantesg1, g2, g3deRdansRnulles en z´ero ; on poseg(x1, x2, x3) =g1(x1), g2(x2), g3(x3)) et on suppose que|g(x)| ≤1 +α|x|3, pour toutx∈R3, avecα >0. Le premier probl`eme ´etudi´e est un probl`eme avec conditions de Ventcel stationnaires :
u00−divσ(u) = 0 dans Ω×R+,
u= 0 sur Γ0×R+,
σS(u)−divTσT0(u) +auT+lgT(u0) = 0 sur Γ1×R+, σν(u) +σT0(u) :∂mν+auν+lgν(u0) = 0 sur Γ1×R+, u(0) =u0, u0(0) =u1 dans Ω
(1.5)
o`u divT d´esigne la divergence tangentielle,g(x) =gT(x) +gν(x)ν et les deux points ( : ), symbolisent la trace du produit.
Les conditions de Ventcel stationnaires sont obtenues de la mani`ere suivante : on d´esigne par Ω l’ouvert form´e de la jonction d’un ouvert Ω et d’une coque mince Ω− d’´epaisseur pos´ee sur une partie Γ1 du bord de Ω, l’autre partie Γ0 ´etant encastr´ee. Le bord∂Ω− de Ω− est ´egal `a Γ1∪Γ−∪Γ o`u Γ− est le bord lat´eral de Ω− (Γ−=∂Γ1×]0, [). On suppose que les coefficients de Lam´e sont ´egaux `aλetµdans Ω et `aλ et µ dans la coque Ω− avec (λ, µ) →(λ, µ) lorsque tend vers 0. On dit que les coefficients de Lam´e sont raides en 1 dans la coque Ω− qui s’appelle alors un raidisseur.
On suppose que le domaine Ω a une densit´e homog`ene ´egale `a 1.
Consid´erons le probl`eme de transmission pour le syst`eme isotrope et ´evolutif de l’´elasticit´e suivant :
u00−divσ(u) =f dans Ω×(0, T),
u= 0 sur (Γ0∪Γ−)×(0, T),
σ(u).ν= 0 sur Γ×(0, T),
[u] = [σ(u).ν] = 0 sur Γ1×(0, T), u(0) =u0, u0(0) =u1 dans Ω
(P)
([.] d´esigne le saut).
Un passage `a la limite dans (P ) lorsque tend vers 0 conduit, sous des hypoth`eses convenables sur les donn´eesf,u0 et u1, au probl`eme ´evolutif de l’´elasticit´e suivant :
u00−divσ(u) =f dans Ω×(0, T),
u= 0 sur Γ0×(0, T),
σS(u)−divTσ0T(u) = 0 sur Γ1×(0, T), σν(u) +σ0T(u) :∂mν = 0 sur Γ1×(0, T), u(0) =u0, u0(0) =u1 dans Ω.
(P)
Les conditions sur Γ1×(0, T) sont les conditions de Ventcelstationnaires. Elles mod´elisent l’effet asymptotique du raidisseur Ω−.
SoientL2(Γ1, T(Γ1)) (resp. H1(Γ1, T(Γ1))), l’espace des champs tangentsvT dont les composantes dans une base du plan tangent sont dansL2(Γ1) (resp. H1(Γ1)) et
V={v∈H1(Ω) :v|Γ0 = 0,vT|Γ1∈H1(Γ1, T(Γ1))}
muni de la norme : kvkV=
kvk2H1(Ω)+kvTk2H1(Γ1,T(Γ1))
12
; cette norme est ´equivalente `a la normek.kd´efinie par (cf. Prop. 2.4) :
kvk= Z
Ω
σ(v) :(v)dx+ Z
Γ1
(σ0T(v) :0T(v) +a|v|2)dΓ 12
.
On montre que si (u0,u1) ∈ V × L2(Ω), alors le probl`eme (1.5) admet une solution (faible) unique u ∈ C(R+,V)∩C1(R+,L2(Ω)) et que si g est globalement lipschitzienne alors pour des donn´ees initiales r´eguli`eres et compatibles la solution est r´eguli`ere. L’´energie de la solutionuest d´efinie par :
E(u, t) =1 2 Z
Ω
σ(u) :(u) +|u0|2 dx+1
2 Z
Γ1
σ0T(u) :0T(u) +a|u|2 dΓ.
Le principe d’invariance de LaSalle [10, 21], et le th´eor`eme d’unicit´e de Holmgren ([15], p. 129, Th. 5.3.3) permettent de montrer le :
Th´eor`eme 1.1. Si l >0sur Γ1, g est globalement lipschitzienne etg(x).x>0 pour x6= 0 alors pour toute solution faible du probl`eme (1.5), l’´energie d´ecroit vers z´ero lorsquet tend vers+∞.
La d´ecroissance exponentielle de l’´energie pour le probl`eme (1.5) reste un probl`eme ouvert.
D´ecroissance exponentielle de l’´energie
On suppose ici que Γ est de classe C3 (pour donner un sens au tenseur de courbure sur Γ (cf. [14])) et mes(Γ0)>0. On consid`ere le probl`eme avec des conditions de type Ventcel ´evolutives suivant :
y001−divσ(y1) = 0 dans Ω×R+,
y1=−u1 sur Γ0×R+,
y002T +σS(y1)−divTσT0(y2) =u2T sur Γ1×R+, y002ν+σν(y1) +σT0(y2) :∂mν−∆Ty2ν=u2ν sur Γ1×R+, y1(0) =y01, y01(0) =y11 dans Ω, y2(0) =y02, y02(0) =y12 sur Γ1.
(1.6)
On consid`ere le probl`eme de transmission (P) d´efini au point pr´ec´edent avec cette fois un domaine Ω qui a une densit´e non homog`ene ´egale `a 1 dans Ω et `a1 dans Ω−. Le passage `a la limite lorsquetend vers 0 conduit
`
a un probl`eme analogue au probl`eme (P) avec les conditions sur Γ1×(0, T) suivantes : u002T +σS(u1)−divTσT0(u2) =gT sur Γ1×(0, T),
u002ν+σν(u1) +σT0(u2) :∂mν =gν sur Γ1×(0, T)
dites conditions de Ventcel ´evolutives (u1 est le d´eplacement et u2=u1|Γ1). Ces conditions mod´elisent l’effet asymptotique du raidisseur Ω− lorsque ce dernier est tr`es dense.
On consid`ere les espaces : H=L2(Ω)×L2(Γ1;T(Γ1))×L2(Γ1) et
W={v= (v1,v2) : v1∈H1(Ω), v1|Γ0 = 0, v2∈H1(Γ1), v1|Γ1 =v2} muni de la norme : kvkW=
kv1k2H1(Ω)+kv2k2H1(Γ1)
12
, qui est ´equivalente `a la norme : k|vk|W =
Z
Ω
σ(v1) :(v1)dx+ Z
Γ1
(σT0(v2) :0T(v2) +|∇Tv2ν|2)dΓ 12
. L’´energieE(y, t) associ´ee `a la solutiony= (y1,y2) est d´efinie par :
E(y, t) = 1 2 Z
Ω
σ(y1) :(y1) +|y01|2 dx+1
2 Z
Γ1
σT0(y2) :0T(y2) +|∇Ty2ν|2+|y02|2 dΓ o`u∇T est le gradient tangentiel.
La m´ethode g´en´erale de stabilisation d´evelopp´ee dans [17] permet de trouver un feedback fronti`ere qui assure la d´ecroissance exponentielle arbitrairement grande de l’´energie. De fa¸con plus pr´ecise on montre, sous des conditions qui seront pr´ecis´ees plus loin, le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 1.2. Soit ω >0. Il existe deux op´erateurs born´es :
P :W0→ W, v→(P1v, P2v), Q:H→ W, w→(Q1w, Q2w)
et une constante M >0tels que si on pose :
y= (y1,y2), y0= (y01,y02), y1= (y11,y12), u2= (P2y0+Q2y)|Γ1
u1=µ(∂ν(P1y0+Q1y)T)|Γ0+ (2µ+λ)(∂ν(P1y0+Q1y)ν)|Γ0ν alors le probl`eme (1.6) est bien pos´e dansH× W0 et on a
k(y,y0)kH×W0 ≤Mk(y0,y1)kH×W0e−ωt, ∀t≥0, ∀(y0,y1)∈H× W0. (1.7) La forme explicite du feedbacku= (u1, u2) est donn´ee en (4.47). Notons que Bourquinet al. ont d´evelopp´e une approximation num´erique du feedback issu de la m´ethode g´en´erale d´evelopp´ee par Komornik dans [17] (cf.[4]).
Insuffisance du feedback naturel
On montre au paragraphe 5, sur un cas particulier du probl`eme (1.5), que le feedback naturel n’assure pas une dissipation suffisante de l’´energie pour permettre sa d´ecroissance exponentielle.
On se place dansR2avec Ω = (0, π)2, Γ0= ({0}×(0, π))∪((0, π)×{0}) et Γ1= ({π}×(0, π))∪((0, π)×{π}).
On consid`ere le probl`eme suivant :
u00−∆u= 0 dans Ω×R+,
u= 0 sur Γ0×R+,
∂νu−∆Tu+u0= 0 sur Γ1×R+, u(0) =u0, u0(0) =u1 dans Ω.
(1.8)
On d´esigne par Ω l’ouvert form´e d’un corps Ω de conductibilit´e thermique ´egale `a 1 et d’une fine pellicule Ω− d’´epaisseuret de conductibilit´e thermique ´egale `a 1 pos´ee sur son bord Γ. On consid`ere un probl`eme d’´echange thermique entre Ω et la pellicule Ω−. Le passage `a la limite lorsque tend vers 0 conduit `a un probl`eme de propagation de la chaleur pos´e dans Ω avec la condition :
∂νu−∆Tu=g sur Γ (1.9)
dite condition de Ventcel (cf.[23]). En effet la condition (1.9) a ´et´e introduite par Ventcel pour des processus de diffusion (cf.[30]).
On note parula solution du probl`eme de propagation de la chaleur pos´e dans Ω. On ´ecrit le d´eveloppement asymptotique de u sous la forme u = u0+u1+2u2+... ; on montre que u0 est solution d’un probl`eme de propagation de la chaleur pos´e dans Ω avec la condition de Ventcel (1.9) au bord de Ω (cf. [23]). La condition (1.9) mod´elise ainsi l’´echange de chaleur entre le corps Ω et le milieu ambiant quand la fronti`ere de Ω est recouverte d’une couche fine et tr`es bonne conductrice.
Soit V ={v∈H1(Ω) :v|Γ0 = 0, v|Γ1∈H1(Γ1)}muni de la norme : kvkV = (R
Ω|∇v|2dx+R
Γ1|∇Tv|2dΓ)12 et ˜Al’op´erateur non born´e de domaine :
D( ˜A) ={(v, z)∈V ×V : ∆v∈L2(Ω), ∂νv−∆Tv+z= 0 sur Γ1} d´efini surV ×L2(Ω) par ˜A(v, z) = (z,∆v) ; l’´etude du spectre de ˜Aconduit au
Th´eor`eme 1.3. Le sous-groupe engendr´e par A˜surV ×L2(Ω) n’est pas exponentiellement stable.
Dans ce travail on adopte le plan suivant :
Au paragraphe 2 on donne quelques notations et quelques r´esultats pr´eliminaires de g´eom´etrie intrins`eque pour les surfaces. Le paragraphe 3 est consacr´e `a la d´emonstration du th´eor`eme 1.1. Au pragraphe 4 on ´etablit une identit´e qui permet de montrer le th´eor`eme 1.2. Au paragraphe 5 on d´emontre le th´eor`eme 1.3.
Dans toute la suite la lettreC d´esignera une constante positive assez grande.
2. Notations et r´ esultats pr´ eliminaires
On reprend les d´efinitions et les notations donn´ees en introduction. La convention de l’indice r´ep´et´e est adopt´ee :
tr(τ) =τ11+τ22+...=τii,v.w=viwi, σ(v) :(v) =σij(v)ij(v).
Comme Γ est de classeC2, pour tout point m de Γ on peut trouver unC2-diff´eomorphismeχ d’un ouvert ˆΓ deR2 sur un voisinage ouvert demdans Γ. Les vecteursaα=∂χ/∂ξα(χ−1(m)),α∈ {1,2}engendrent le plan Tm(Γ) tangent enm `a Γ. On note par T(Γ) le fibr´e tangent (cf.[23, 29]). SoitG le tenseur m´etrique associ´e `a χ de composantes : gαβ =aα.aβ, ∀(α, β)∈ {1,2}2 et (gαβ)1≤α,β≤2 son inverse. La base duale de{aα}α=1,2 est d´efinie par : aα(m).aβ(m) =δβα(symbole de Kreonecker).
A un champ tangent` vT =vαaαon associe, par le produit scalaire deR3, la forme lin´eaire : vT =vαaαavec vα=gαβvβ ; comme∂mvT =∂v∂χTαaαon obtient :
π∂mvTπ= (v,αβ + Γβαλvλ)aβaα o`u Γλαβest le symbole de Cristoffel d´efini par : Γλαβ=aλπaα,β (, α=∂/∂ξα).
A un champ scalaire r´` egulierv d´efini sur Ω on associe le champ de formes lin´eaires d´efini par : (∂mv)(m) =v,α(m)aα(m).
Le vecteur transpos´e de la forme (∂mv)(m) est le gradient tangentiel not´e : (∇Tv)(m).
Au champ normalν(m) on associe le champ d’endomorphismes du plan tangent∂mν d´efini par : ∂mν=ν,αaα. 2.1. D´eformations et contraintes
Siv: Ω→R3est un champ assez r´egulier on d´esigne par∇ son gradient ; on a sur Γ (cf.[23, 29]) :
∇v=π(∂mvT)π+vν(∂mν) + (∂νvT)¯ν+ν((∂mvν)−vT(∂mν) + (∂νvν)¯ν). (2.1) Les relations (1.1–1.4) sont une cons´equente directe de (2.1).
Remarque 2.1. Soitv∈H1(Ω) ; des formules (1.1–1.4) on obtient : (v) :(v) =T(v) :T(v) + 2|S(v)|2+|ν(v)|2; σ(v) :(v) = 2µ T(v) :T(v) +|ν(v)|2
+ 4µ|S(v)|2+λ(tr(T(v)) +ν(v))2. On aura `a consid´erer les espaces :
LS(Tm(Γ)) est l’espace des endomorphismes sym´etriques deTm(Γ).
LS(T(Γ)) est l’espace des op´erateurs sym´etriques deT(Γ) ; Un champτ : Γ→T(Γ) appartient `aLS(T(Γ)) siτ(m) appartient `aLS(Tm(Γ)) pour toutm∈Γ.
Remarque 2.2. L’endomorphisme (∂mν) est un ´el´ement deLS(Tm(Γ)) ; ses valeurs propres sont les courbures principales de Γ enm.
2.2. Quelques espaces fonctionnels
Soit vT : Γ → T(Γ) , vT(m) = vα(m)aα(m) un champ tangent ; on munit L2(Γ, T(Γ)) de la norme : kvTkL2(Γ,T(Γ)) = R
Γ|vT|2dΓ12
qui est ´equivalente `a la norme : vT →
kv1k2L2(Γ)+kv2k2L2(Γ)
12
. On munit
H1(Γ, T(Γ)) de la norme :
kvTkH1(Γ,T(Γ))=
kv1k2H1(Γ)+kv2k2H1(Γ)
12
. (2.2)
Un champτT : Γ→ LS(T(Γ)) appartient `aL2(Γ,LS(T(Γ))) si (τT :τT)12 : Γ→Rappartient `aL2(Γ) ; on pose : kτTkL2(Γ,LS(T(Γ)))=k(τT :τT)12 kL2(Γ).
Remarque 2.3. Si vT ∈H1(Γ, T(Γ)), alors : T(vT)∈L2(Γ,LS(T(Γ))).
Proposition 2.1. L’expression suivante d´efinit une norme sur H1(Γ, T(Γ)) ´equivalente `a la norme d´efinie en (2.2) :
kvTk1H1(Γ,T(Γ))= Z
Γ
|vT|2+T(vT) :T(vT) dΓ
12 . Preuve. Il suffit de prouver l’existence d’une constante C >0 telle que :
kvT kH1(Γ,T(Γ))≤CkvTk1H1(Γ,T(Γ)), ∀vT ∈H1(Γ, T(Γ)).
S’il n’en ´etait pas ainsi, il existerait une suite{vkT} ⊂H1(Γ, T(Γ)) v´erifiant :
kvkT kH1(Γ,T(Γ))= 1, ∀k∈N, vkT −→0 dans L2(Γ, T(Γ)), T(vkT)−→0 dans L2(Γ, LS(T(Γ))).
On pose : vkT =vTk1a1+vTk2a2 ; les expressions de π∂mvTπet du conjugu´e d’un vecteur donn´es au d´ebut de ce paragraphe montrent que : π∂mvTπ=
v,λkµ+ Γµλrvkr
gλαgµβaαaβ, d’o`u :
vkα,β +gλαgβµvkµ,λ
→0 dans L2(Γ). En prenantα=β, on obtient : vk1,1 +v,2k2→0 dans L2(Γ).
On a : gαη
v,βkα+gλαgβµv,λkµ
=gαηvkα,β +gβµv,ηkµ→0 dansL2(Γ).
En prenant (β, η) = (1,1), (β, η) = (2,2) et (β, η) = (1,2) on obtient les limites suivantes dans L2(Γ) : (g11v,1k1+g21v,1k2),→ 0, (g22vk2,2 +g21vk1,2)→0, (g11v,2k1+g22v,1k2 →0. Posons : wkT =GvkT =wk1a1+wk2a2. DevTk → 0 dansL2(Γ, T(Γ)) et des limites pr´ec´edentes on d´eduit que les suites wk1
, wk2 , w,1k1
, wk2,2 , w,1k2+wk1,2
tendent vers 0 dans L2(Γ). L’in´egalit´ee de Korn dans l’ouvert ˆΓ montre alors que wk1, wk2
→0 dans H1(Γ)×H1(Γ). D’o`u (vk1, vk2)→0 dansH1(Γ)×H1(Γ) ce qui contredit la d´efinition de la suite{vTk}. Proposition 2.2. L’application : vT ,→vT−divTσ0T(vT)est un isomorphisme deH1(Γ1, T(Γ1))surH−1(Γ1, T(Γ1)); de plus si vT −divTσT0(vT)∈H−12(Γ1, T(Γ1))alors vT ∈H32(Γ1, T(Γ1))et :
kvTkH32(Γ
1,T(Γ1))≤CkvT −divTσT0(vT)kH−1
2(Γ1,T(Γ1)). Preuve. La forme bilin´eaire :
B : (vT,wT),→Z
Γ1
vT.wT+σ0T(vT) :0T(wT) dΓ
est continue et coercive sur H1(Γ1, T(Γ1)) = (H01(Γ1, T(Γ1))) d’apr`es la proposition 2.1 ; alors pour tout f ∈H−1(Γ1, T(Γ1)) il existevT ∈H1(Γ1, T(Γ1)) unique tel que :B(vT,wT) = (f,wT), ∀wT ∈H1(Γ1, T(Γ1)) avec :
C2kfkH−1(Γ1,T(Γ1))≤ kvTkH1(Γ1,T(Γ1))≤C1kfkH−1(Γ1,T(Γ1))
ce qui d´emontre la premi`ere partie de la proposition. Pour la seconde partie nous avons : vT ,→vT−divTσ0T(vT) est un isomorphisme de H1(Γ1, T(Γ1)) sur H−1(Γ1, T(Γ1)). L’op´erateurvT ,→ divTσ0T(vT) ´etant elliptique, cette application est aussi un isomorphisme deH2(Γ1, T(Γ1)) surL2(Γ1, T(Γ1)) et par interpollation on obtient un isomorphisme deH32(Γ1, T(Γ1)) surH−12(Γ1, T(Γ1)).
Remarque 2.4. SoitH1(divσ,Ω) ={v∈H1(Ω) : divσ(v)∈L2(Ω)}muni de la norme : kvkH1(divσ,Ω)=
kvk2H1(Ω)+kdivσ(v)k2L2(Ω)
12 . On peut d´efinir une application continue :
H1(divσ,Ω)→H−12(Γ), v→(σ(v).ν)|Γ) et pour tout ´el´ementw∈H1(Ω) et tout ´el´ementv∈H1(divσ,Ω) on a :
(σ(v).ν,w)
H−12(Γ),H12(Γ)= Z
Ω
(wdivσ(v) +σ(v) :(w))dx.
SoitL2(divσ,Ω) ={v∈L2(Ω) : divσ(v)∈L2(Ω)}muni de la norme : kvkL2(divσ,Ω)=
kvk2L2(Ω)+kdivσ(v)k2L2(Ω)
12 . On peut d´efinir une application continue :
L2(divσ,Ω)→H−12(Γ)×H−32(Γ), v→(v|Γ,(σ(v).ν)|Γ) et pour tout ´el´ementw∈H2(Ω) et tout ´el´ementv∈L2(divσ,Ω) on a
(v, σ(w).ν)
H−12(Γ),H12(Γ)−(σ(v).ν,w)
H−32(Γ),H32(Γ)= Z
Ω
(vdivσ(w)−wdivσ(v))dx.
Proposition 2.3. L’expression |k.|kV d´efinie par :
|kv|kV= Z
Ω
(σ(v) :(v)+|v|2)dx+ Z
Γ1
σ0T(v) :0T(v)dΓ 12
(2.3) est une norme surV´equivalente `ak.kV d´efinie par :
kvkV=
kvk2H1(Ω)+kvT k2H1(Γ1,T(Γ1))
12 . Preuve. On montre qu’il existeC >0 tel que :
kvkV≤C|kv|kV, ∀v∈V. Dans le cas contraire on aurait une suite{vk} ⊂Vqui v´erifie :
kvkkH1(Ω)+kvkT kH1(Γ1,T(Γ1))= 1, et |kvk|kV→0.
De l’in´egalit´e de Korn il vient : vk →0 dansH1(Ω). AlorsvkT →0 dansL2(Γ1, T(Γ1)) etvνk→0 dansL2(Γ1) ce qui conjugu´e `a :R
Γ1σT0(vk) :0T(vk)dΓ→0 donne :0T(vkT)→0 dans L2(Γ1, LS(T(Γ1))). La proposition 2.1 montre que : vTk →0 dansH1(Γ1, T(Γ1)) ce qui joint `a vk→0 dansH1(Ω) donne une contradiction.
Proposition 2.4. L’expression k.kd´efinie par : kvk=
Z
Ω
σ(v) :(v)dx+ Z
Γ1
(σT0(v) :0T(v) +a|v|2)dΓ 12
(2.4) est une norme surV´equivalente `ak.kV.
Preuve. Nous avons σT0(v) = 2µ0T(v) +λ∗tr(0T(v))i2et 0T(v) =0T(vT) +vν∂mν ; la proposition 2.1 donne : kvk ≤ kvkVpour toutv∈V.
L’´equivalence se montre par l’absurde en utilisant les in´egalit´es de Korn et de Poincar´e sia≡0.
Sia6≡0 on sait de [25] qu’il existeδ >0 tel que : Z
Ω
| ∇v|2dx ≤ δ Z
Ω
σ(v) :(v)dx+ Z
Γ
|v|2dΓ
, ∀v∈H1(Ω) qui donne dans notre cas
Z
Ω| ∇v|2dx≤δ0 Z
Ω
σ(v) :(v)dx+ Z
Γ1
a|v|2dΓ
, ∀v∈V.
Ce qui montre quek.kest bien une norme sur V; l’´equivalence se montre comme dans le casa≡0, en tenant compte de la compacit´e de l’injection de H1(Ω) dans L2(Ω).
Proposition 2.5. Soitu∈H1(Ω)∩Vavec divσ(u)∈L2(Ω),uT ∈H32(Γ1, T(Γ1))etσν(u)∈H12(Γ1).Alors : u∈H2(Ω)∩Vet :
kukH2(Ω)≤C
ku−divσ(u)kL2(Ω)+kuTkH32(Γ
1,T(Γ1))+kσν(u)kH12(Γ
1)
.
Preuve. Il existe v ∈ H2(Ω) ∩ V tel que vT = uT, σν(v) = σν(u) et kvkH2(Ω) ≤ kuTkH32(Γ
1,T(Γ1))
+kσν(u)kH12(Γ
1) ; on pose : u= (u−v) +v.
Soit w = u−v ; on a : wT = 0, σν(w))|Γ1 = 0 et divσ(w) ∈ L2(Ω) ; alors : w ∈ H2(Ω)∩V, et kwkH2(Ω)≤Ckw−divσ(w)kL2(Ω)(cf.[28]), ce qui donne :
kukH2(Ω)≤ kvkH2(Ω)+kwkH2(Ω)≤C
ku−divσ(u)kL2(Ω)+kuTkH32(Γ
1,T(Γ1))+kσν(u)kH12(Γ
1)
. Proposition 2.6. Soit Z = n
u ∈ V : divσ(u) ∈ L2(Ω), σS(u)−divTσT0(u) ∈ H12(Γ1, T(Γ1), σν(u) +σ0T(u) :∂mν ∈H12(Γ1)o
. On a : Z ⊂H2(Ω)∩Vet :
kukH2(Ω)≤C
ku−divσ(u)kL2(Ω)+kσS(u)−divTσT0(u)kH12(Γ
1,T(Γ1))
+Ckσν(u) +σ0T(u) :∂mνkH12(Γ
1), ∀u∈ Z.
Preuve. Soitu∈ Z ; d’apr`es la remarque 2.4, on aσS(u)∈H−12(Γ1, T(Γ1)) ; de σT0(u) =σT0(uT) + 2µuν∂mν +λ∗uνtr(∂mν)i2 il vient divTσ0T(u)∈H−12(Γ1, T(Γ1)) et doncuT ∈H32(Γ1, T(Γ1)) d’apr`es la proposition 2.2 ; on a alorsσν(u)∈H12(Γ1) et donc u∈H2(Ω) et (cf. Prop. 2.5) :
kukH2(Ω)≤C
ku−divσ(u)kL2(Ω)+kuTkH32(Γ
1,T(Γ1))+kσν(u)kH12(Γ
1)
.
Pour l’estimation, on suppose qu’elle n’est pas v´erifi´ee ; nous aurons alors une suite{uk} ⊂ Z telle que :
kukkH2(Ω) = 1, uk−divσ(uk)−→0 dans L2(Ω),
σS(uk)−divTσ0T(uk)−→0 dans H12(Γ1, T(Γ1)), σν(uk) +σT0(uk) :∂mν−→0 dans H12(Γ1).
(2.5)
En posant : fk =uk−divσ(uk),gkT =σS(uk)−divTσ0T(uk),gkν=σν(uk) +σT0(uk) :∂mν et gk =gTk +gνkν on obtient :
(uk,v)L2(Ω)+ Z
Ω
σ(uk) :(v)dx+ Z
Γ1
σT0(uk) :0T(v)dΓ = Z
Ω
fkvdx+ Z
Γ1
gkvdΓ, ∀v∈V. (2.6) Comme{uk}est born´ee dansH2(Ω) on a : uk→u∈H2(Ω) dansH2−s(Ω) fort, avec 0< s <12. On peut alors passer `a la limite dans (2.6) ; on obtient :
(u,v)L2(Ω)+ Z
Ω
σ(u) :(v)dx+ Z
Γ1
σ0T(u) :0T(v)dΓ = 0, ∀v∈V. (2.7) En prenantv=udans (2.7) on obtientu= 0 ; il vient alors de (2.5) divσ(uk)→0 dansL2(Ω). Deuk→0 et divσ(uk)→0 dansL2(Ω) la remarque 2.4 donne : σ(uk).ν =σS(uk) +σν(uk)ν →0 dans H−12(Γ1) ; de (2.5) on obtient alors divTσ0T(uk) → 0 dans H−12(Γ1, T(Γ1)). Comme uk|Γ
1 → 0 dans H32−s(Γ1), (0 < s < 12), et σT0(uk) = σT0(ukT) +σ0T(ukνν) = σT0(ukT) + 2µuν∂mν +λ∗uνtr(∂mν)i2 on obtient divTσ0T(ukT) → 0 dans H−12(Γ1, T(Γ1)) d’o`uukT →0 dansH32(Γ1, T(Γ1)) d’apr`es la proposition 2.2.
De la derni`ere limite de (2.5) on obtient alors σν(uk) → 0 dans H12(Γ1). La proposition 2.5 montre que uk →0 dansH2(Ω) ce qui contredit la premi`ere relation de (2.5) et termine la d´emonstration.
3. D´ emonstration du th´ eor` eme 1.1
On montre, par une application du principe de LaSalle (cf.[10, 21]) la stabilisation forte du probl`eme (1.5).
Notre d´emarche suit de pr`es celle de [16]. Le probl`eme (1.5) s´ecrit : (u00,v) + (u,v) +R
Γ1lg(u0).vdΓ = 0, ∀v∈V
u(0) =u0, u0(0) =u1 (3.1)
o`u (u,v) d´esigne le produit scalaire associ´e `a la norme k.k d´efinie `a la proposition 2.4. Soit A : V → V0 l’op´erateur lin´eaire, born´e, d´efini par
(Au,v)V0,V= (u,v), ∀u,v∈V. On pose :
(Bu,v)V0,V= Z
Γ1
lg(u).vdΓ, ∀u,v∈V. (3.2)
Les propri´et´es degpermettent de montrer, comme dans [16], le
Lemme 3.1. La relation (3.2) d´efinit un op´erateur continu B: V→V0 et il existe une constante positive β telle que :
kBukV0 ≤β(1 +kuk3), ∀u∈V. (3.3)
