INTRODUCTION
La Relativité générale est exemplaire en de nombreux aspects :
-Elle montre à quelpoint une théorie même révolutionnaire n’apparaît pas spontanément mais est le fruit d’un lent mûrissement à travers des générations de physiciens. En ce sens laRelativité est
tributaire des premières interrogations des Grecs sur le mouvement.
-La Relativité générale, comme la Relativité restreinte, est construite à partir d’unprincipe unique, ici le principe d’équivalence. De plus, elle ne laisse pas le choix deparamètres ajustables. Un seul principe conduit à un développement demathématiques et de lois physiques prodigieux ouvrant la possibilité de nombreuxtests expérimentaux. En ce sens, c’est une théorie prenant beaucoup de risquesdonc fortement falsifiable au sens du philosophe Karl Popper.
Deux traitscaractéristiques d’une théorie féconde sont l’extension et l’unification. L’extension veut dire que l’on étend les théories précédentes à de nouvelles échelles et à denouvelles situations.
Tel est le cas pour la Relativité générale qui étend laGravitation newtonienne à des corps animés de vitesses proches de cellede la lumière, ou constitués de masses tellement grandes que la théorie
newtonienne ne s’applique plus (trous noirs par exemple). L’unification veut direque la théorie prend en compte d’une manière unifiée des phénomènes quisemblaient de prime abord ne rien avoir en commun, qui semblaient fairepartie de domaines disjoints de la physique. Tel est principalement le cas del’unification de l’inertie et de la gravitation par la Relativité générale.
Toutceci, allié à la très grande cohérence interne (absence de contradictionsinternes, de
difficultés mathématiques comme les infinis en Electrodynamiquequantique, précision des concepts de base), en font le prototype de ce que doitêtre une bonne théorie physique.- La Relativité restreinte et la Relativitégénérale, montrent la puissance de la physique : en partant d’une réflexionapprofondie sur le mouvement, on débouche entre autres sur l’équivalence entrela masse et l’énergie, sur la prédiction de l’existence des antiparticules(Relativité restreinte et Mécanique quantique) et sur le calcul de l’âge de l’univers.
-La Relativité générale est également remarquable par le tempsqui s’est écoulé entre beaucoup de ses prédictions et leurs vérificationsexpérimentales : ainsi l’expansion de l’univers fut tout de suite déduite deséquations de la Relativité générale. Ce résultat parut tellement surprenant àEinstein qu’il modifia ses équations en introduisant une constante ditecosmologique qui permettait à l’univers d’être statique. Une fois la confirmationexpérimentale de l’expansion faite par Hubble en 1929 (décalage vers le rougede la lumière reçue des galaxies lointaines) il reconnut que l’introductionde cette constante fut la plus grande erreur de sa vie.
Le rayonnementcosmologique à 3 K prévu par Gamow en 1948 ne fut découvert fortuitement qu’en1964 par Penzias et Wilson. L’effet Einstein de décalage vers le rouge d’unrayonnement dans la traversée d’un champ de gravitation, prévu dès le départpar Einstein lui-même, ne fut vérifié
expérimentalement avec une grandeprécision grâce à l’effet M ssbauer qu’en 1960 par Pound et Rebka.
Cesdécalages ont contribué à marginaliser la Relativité générale qui au début avaitpeu de
vérifications expérimentales et peu d’applications. Jusqu’en 1960deux vérifications seulement étaient disponibles : l’avance du périhélie deMercure et la déviation de la lumière des étoiles au passage près
l’immense avance qu’ont pris à cemoment les concepts théoriques sur l’expérience. Le peu de
vérificationsexpérimentales de la Relativité générale tenait à la difficulté de ces vérificationsfaisant pour la plupart appel à l’astrophysique qui était une science à l’étatd’ébauche au moment du
développement de cette théorie. Des moyenstechnologiques perfectionnés non disponibles à l’époque sont également utilisésdans beaucoup d’expériences modernes. Insistons sur le fait que la Relativité générale a une très grande richesse de contenu. Le nombre de résultats préditsdans des situations variées est prodigieux.
Actuellement on assiste à unvéritable renouveau. Les applications en astrophysique sont nombreuses, enliaison souvent avec la physique des particules. Cela contribue à obtenir deplus en plus de vérifications expérimentales. Or, jusqu’à présent, à chaquefois qu’un nouveau test
expérimental est effectué, le résultat prédit par laRelativité générale se trouve confirmé. La Relativité générale, qui fut conçuepresque entièrement comme une pure abstraction de pensée au début de ce siècle, s’avère donc finalement totalement juste.
Indépendamment de cerenouveau expérimental, un regain d’intérêt apparaît également de la part desthéoriciens. Des liens très étroits existent en effet entre cette théorie et lesthéories modernes des interactions en physique des particules. Ces théoriescomme la Relativité générale sont des théories de jauges. Un demi-siècle àl’avance, cette théorie trouvait donc une structure qui allait s’avérer êtrela structure générale de toutes les interactions. Le but ultime est biensûr d’unifier les quatre interactions (forte, faible, électromagnétique etgravitationnelle) dans une théorie unique.
Cet ouvrage s’adresse à un publicdu niveau du DEUG ou des Classes Préparatoires aux Grandes Ecolesscientifiques. La Relativité restreinte est reprise dans ses grandes lignes.L’Electromagnétisme classique est supposé connu. Le Calcul tensoriel nécessairepour les développements mathématiques de la théorie est introduit, aucuneconnaissance préalable n’étant nécessaire. Les connaissances de base en Algèbrelinéaire sont cependant supposées connues.
Cet ouvrage n’a pas pour but d’êtreexhaustif sur tous les aspects de la Relativité générale. Ainsi la théorie desondes gravitationnelles assez technique n’est pas développée. Par contre, j’aiessayé d’être complet en ce qui concerne tous les aspects conceptuels dela Relativité générale.
J’ai réservé dans ce livre beaucoup de place à desexpériences de pensée. Ce sont des
expériences idéalisées mais faisables et que lathéorie prend complètement en compte. Cependant on ne se soucie pas deleur réalisation pratique. Le but est par ce moyen d’explorer la cohérenced’une théorie, ses limites et les concepts nouveaux qu’elle introduit. Ellesont également un rôle pédagogique.
L’étude de cas particuliers concretspermet de poser les problèmes cruciaux, de faire ressortir les paradoxesapparents et de faire avancer ainsi la théorie. Elles permettent égalementà travers ces cas particuliers de mémoriser les formules et les concepts.
Ce livre étant pédagogique, les calculs ont été complètement développés.S’agissant d’une initiation à la Relativité générale, je me suis efforcé de donnerdes explications détaillées et complètes.
Quelques exercices et problèmessont donnés à la fin de chaque chapitre. Les corrigés sont rassemblés à lafin du livre.
J’aurai atteint mon but si je réussis à mettre en lumière lecheminement des idées, les principes de beauté, de simplicité, de cohérence et degénéralisation qui guident le physicien dans la construction d’une théorie nouvelle.
Chapitre premier
LA MECANIQUE NEWTONIENNE
1. Les référentiels galiléens. -Un référentiel est un repère (point origine et troisdirections d’axes) lié à un corps solide supposé s’étendre indéfiniment. LaMécanique newtonienne (Newton : 1642-1727) suppose l’existence d’un ensemble deréférentiels appelés référentiels galiléens en translations
rectilignes uniformes lesuns par rapport aux autres dans lesquels la loi fondamentale de la dynamique est laplus simple :
Nous notons les vecteurs de l’espace à trois dimensions dont les symboles sontdes lettres latines en caractère gras. Pour une lettre grecque, nous emploierons lemême symbole, que ce soit un scalaire ou un vecteur. D'une manière générale nous utiliserons également des flèches au dessus; ainsi lorsque le vecteur seraobtenu à partir d’un bipoint comme dans l’équation (1,1), nous utiliserons uneflèche.
Le vecteur nul sera noté en caractère gras :0.
Le Référentiel de Copernic,dont l’origine du repère est le centre de gravité du système solaire et les axes troisdirections d’étoiles lointaines est supposé être un tel référentiel avec une bonne
approximation.
Le symboleCtesignifie un vecteur constant quelconque.
Nous obtenons la loi del’inertie : une particule libre se déplace en ligne droite à vitesse constante dans unréférentiel galiléen (ou référentiel non accéléré).
2 La transformation de Galilée, le Principe de relativité de Galilée. -Achaque référentiel galiléen est associé un système de coordonnées (x,y,z,t). Nousdirons alors parfois, par abus de language, système au lieu de référentiel. Latransformation de Galilée entre les deux référentiels R et (fig. 1.1) dont lesvecteurs unitaires sont égaux, étant sur l’axe des x, s’exprime alors par les
équations :
Vest la vitesse de par rapport à R, parallèle et de même sens que l’axe des x. Ladernière équation exprime l’existence d’un temps absolu. La transformation deGalilée correspond bien au fait que tous les référentiels galiléens sont enmouvement de translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. On levoit sur la loi reliant x à , les autres coordonnées étant identiques. On obtientensuite :
Soit :v= +V. C’est la loi de composition des vitesses. Il vient ensuite:
En particulier, une particule libre ayant une accélération nulle par rapport à unréférentiel galiléen a bien une accélération nulle par rapport à tous les référentielsgaliléens. Une telle particule libre, en translation rectiligne uniforme parrapport à tout référentiel galiléen, définit elle même un référentiel galiléen etun seul dans lequel elle est immobile. Nous appellerons ce référentiel, leréférentiel ou
système au repos R0(sous entendu de la particule). Par abus delanguage, on peut dire que la particule est elle même ce référentiel galiléen R0
Puisqu’une particule libre obéissant à la loi de l’inertie, donc ayant unmouvement dit inertiel, défini un tel référentiel R0, et puisque tout référentielgaliléen peut être considéré comme un tel référentiel, nous appelleronségalement les référentiels galiléens des référentiel ou systèmes inertiels.
Ainsi,pour trouver un référentiel galiléen, il suffit de suivre le mouvement d’uneparticule libre, et de prendre le référentiel R0de cette particule. Tout leproblème consiste à vérifier qu’une particule est bien libre. Nous verrons ladifficulté de cela au §7 du chapitre 6
m étant supposée invariante, on arrive à:
La force est un invariant.
Deux observateurs situés dans deux référentiels diliérents seront d’accord quant àla force appliquée à une particule; ils trouveront la même valeur. Ce que traduit leprincipe de relativité de Galilée : “Les lois de la mécanique sont les mêmes dansdeux référentiels galiléens.”
Il est donc impossible par des expériences de mécaniquede privilégier un référentiel galiléen particulier dont on dirait qu’il est immobile.Nous verrons dans l’étude de la Relativité restreinte qu’aucune loi de la physiquene permet de privilégier un référentiel galiléen par rapport à un autre. Le mouvement a donc un caractère relatif : Si, dans le vide interstellaire, deux objetsbougent l’un par rapport à l’autre, il est impossible de dire lequel est immobile,lequel est en mouvement; c’est une pure affaire de convention. Il en résulte que laphrase : “Je suis revenu au même endroit à un autre
moment”n’a pas de sens sil’on ne précise pas le référentiel choisi. Cette relativité du mouvement qui s’oppose à la conception aristotélicienne du mouvement considéré commeabsolu fut correctement comprise par Galilée (Galilée: 1564-1642). Celalui permit d’affirmer que le mouvement de translation d’un objet sur lasurface de la Terre dû à la rotation de la Terre sur elle même est indécelable.Il en est de même du mouvement de la Terre (30 km/s) dans sa courseautour du Soleil. Notons que cela correspond à une nécessité de simplicité :On voit mal les lois de la mécanique sur Terre changer entre le mois dejanvier et le mois de juillet (période pendant laquelle le mouvement de laTerre par rapport au référentiel de Copernic s’inverse), ou entre midi etminuit.
3. Mesure de la masse et de la force. -Toute grandeur physique doit êtredéfinie par un procédé expérimental précis de sa mesure, au moins dans uneexpérience de pensée; qu’en est-il deFet ? Effectuons maintenant la démarcheinverse de celle du §1. Le point de départ est le principe de l’inertie et l’existencedes référentiels galiléens. Une particule isolée a un mouvement rectiligne uniformedans un tel référentiel. Ensuite, ce principe est généralisé à un ensemble departicules. Cela correspond à une exigence de simplicité et d’autocohérence de lathéorie : Une particule considérée comme élémentaire (atome d’hydrogène, proton...) peut se révéler composée d’un assemblage de particules plus
élémentaires(proton et électron, quarks ...). La théorie ne doit pas distinguer ces deux cas(élémentaire, composé) vis-à-vis du comportement externe.
Considérons Nparticules en interaction ou non entre elles, mais sans interaction avec le reste de l’univers (nous verrons la difficulté que présente cette dernière notion au§13 du chapitre 6 ). On
suppose alors l’existence d’un point G (centre degravité) obéissant encore au principe de l’inertie. On suppose l’existence de Nparamètres m1 ,...,mNliés aux N particules de manière intrinsèque tels que: Equation (1,1)
Tout ceci est susceptible de vérifications expérimentales précises : Pour mesurerla masse d’un corps A, il suffit de le faire interagir avec le corps B de masse unité;le point G de la droite AB tel que GA/GB = Cte qui décrit une ligne droite dansun référentiel galiléen donne la masse de Apar :mA/1 = GB/GA. Les masses miétant ainsi déterminées, la relation (1,1) peut alors être vérifiée. Notons que la donnée fondamentale est l’existence de référentiels galiléens; nous reviendrons sur leproblème de leur détermination expérimentale précise au §13 du chapitre 6. (1,1)donne :Equation (1,2)
P est la quantité de mouvement ou impulsion totale du système de particules. Cevecteur se conserve
obtenons :Equation (1,3)
Ondéfinit alors les forces par :Equation (1,4)
eton a :Equation (1,5)
Ce qui est le principe de l’action et de la réaction. Ainsi (1,2) (1,5) ; c’est àdire que le principe de l’action et de la réaction est équivalent à la loi de laconservation de l’impulsion.
4. Addition des forces. -La loi d’addition des forces est susceptible d’unevérification
expérimentale. En faisant agir la particule M, d’abord avec M1seule,puis avec M2 seule, puis avec M1 et M2, les positions de chaque particule restantles mêmes. Les forces usuelles étant de type
électromagnétique, la loi d’additioncorrespond à la linéarité de cette interaction. Prenant l’exemple de E(idem avecB), nous avons :
5. Interprétation de la loi d’addition des forces. -En physiquemoderne (Théorie quantique relativiste), on interprète les interactions qui setraduisent ici par des forces, comme des échanges de particules virtuelles. Lemot virtuel vient du fait que ces particules ne sont pas détectées. Elles
correspondent à des états quantiques intermédiaires entre les états initiauxet finaux et servant aux calculs de diffusions ou de durées de vies. Ellespermettent de véhiculer l’impulsion échangée par deux particules en interaction.Pour l’interaction électromagnétique, la particule de champ est le photon.
Pour la gravitation, il s’agit du graviton. Pour l’interaction faible, il y atrois bosons (un boson est une particule de spin entier avec comme unitéh/2 pi; toutes les particules d’interaction sont des bosons):
W+, W-et Z0.L’interaction forte correspond à huit gluons.
Une force correspond au débitd’impulsionF= dP/dt , l’impulsion dPétant véhiculée par les particules dechamp frappant l’objet considéré soumis à la force. Une forceF1agissantsur l’objet considéré, correspond à un débit de particules de type “1”avecF1= dP1 /dt. Une forceF2agissant sur le même objet correspond à un débit departicules de type “2”avec 2= d 2/dt . Supposons
maintenant que lesparticules de type “1”soient sans interaction avec les particules de type “2”(et réciproquement à cause du principe de l’action et de la réaction), c’est à dire,intuitivement, que les deux types de particules ne se voient pas. Lorsque lesdeux interactions “1”et “2”sont en présence simultanément, nous aurons:
La présence des particules de type “2”ne modifie en effet en rien la nature et lafréquence des chocs entre l’objet et les particules de type “1”(et réciproquement);ces chocs correspondent au débit
d’impulsion d 1/dt (et réciproquement). D’autrepart les débits d’impulsion s’ajoutent comme
dP est la variation d’impulsion subie par la particule matérielle; lesvariations d’impulsion subies par les particules d’interaction sont -dP1et-dP2 .
Ainsi, la linéarité de l’interaction correspond au fait que les particulesd’interaction sont sans interaction entre elles. Tel est le cas de l’interactionélectromagnétique : dans l’interprétation de cette interaction en termes d’échangede photons, cela correspond au fait que le photon ne porte pas de charge électrique.Les photons sont donc sans action électrique les uns sur les autres. Il fautremarquer que, en électrodynamique quantique, un photon peut créer une pairevirtuelle électron-positon. Par cette intermédiaire, les photons peuvent agir trèsfaiblement entre eux. Ce qui est dit ci-dessus n’est donc vrai qu’en premièreapproximation. Dans le cadre de l’électromagnétisme classique, la linéarité de l’interaction se traduit par la linéarité des équations de Maxwell à laquellecorrespond le principe de superposition des états d’équilibre.
Nous voyons donc quele lien entre une loi, mécanique : l’addition des forces, et une loi de type géométrique : l’addition des vecteurs correspondant vient de la loiF= dP/dt avecP= mv= m /dt.
Le lien entre géométrie et mécanique vient ainsi de laloi définissant F et P à partir des points M de l’espace, c’est à dire duprincipe de l’inertie pour le mouvement du centre de gravité d’un ensemble de corps.
EXERCICES
1.1 Une particule fait des allers et retours dans la chambre d’un piston. Leschocs contre les parois sont parfaitement élastiques. vx= ±V ; V > 0;vy = 0 Le piston avance lentement vers la droite à la vitesse constantev « V .
Montrez que le produit V l est constant. C’est un invariant adiabatique.
1.2 Déviation d’une particule au passage près d’un astre.
1. Ecrire l’expression de la vitesse en coordonnées polaires r et .
2. Pour un point matériel de masse m soumis à une force centrale due àl’attraction gravitationnelle d’un corps de masse M ( Fr= -GmM/r2), écrire laconservation de l’énergie E et du moment cinétique J.
3. En déduire les expressions de dr/dt; d /dt puis d /dr.
(paramètre d’impact b). On prend comme axedes x l’axe passant par 0 parallèle à la droite précédente et dirigé versl’endroit d’où vient la particule. L’angle polaire de la particule est toujourspositif.
Exprimer l’angle de déviation D en fonction de la valeur prisepar lorsque la distance à 0 est minimale; on note cette valeur (rmin); (r = + ; t = - ) = 0
5. Exprimer (rmin) par une intégrale en r.
6. Dans l’intégrale précédente, exprimez E et J en fonction du paramètred’impact b et de la vitesse à l’infini v .
7. Calculez l’intégrale obtenue. On rappelle que :
8. En déduirecos (rmin)puistan (rmin)
9. En déduiretan en fonction de G,M,b,v
Le calcul précédent permet de connaître la déviation de la lumière au passageprès du Soleil. On considère alors qu’elle est constituée de particules ponctuelles :les photons, obéissant à la Mécanique newtonienne et allant à la vitesse de lalumière : v = C. On trouve la moitié de la valeur exacte donnée par la Relativitégénérale.
Chapitre Deux
DIFFICULT ´ES DE LA M ´ECANIQUE NEWTONIENNE
1. Vitesse des particules. -La M´ecanique newtonienne implique l’existence de vitesses aussi grandes qu’on veut pour les particules de mati`ere. En effet, quelle que soit la vitesse ¯v > 0 consid´er´ee pour une particule dans le r´ef´erentiel R¯, elle sera plus grande dans le r´ef´erentiel R : v = ¯v + V ; or les lois de la m´ecanique ´etant les mˆemes dans R et dans ¯R, une particule peut donc se d´eplacer `a la vitesse v > v¯dans ¯R . Cependant l’exp´erience montre aussi bien en ce qui concerne les acc´el´erateurs de particules que les rayons cosmiques qu’aucune particule de mati`ere ne peut aller plus vite que la vitesse de la lumi`ere.
2. Le probl`eme de l’´electromagn´etisme. -Les lois de la m´ecanique sont covariantes par la transformation de Galil´ee; cela veut dire que les ´equations sont les mˆeme dans deux r´ef´erentiels diff´erents, mˆeme si les variables peuvent prendre des valeurs diff´erentes. Ainsi l’´equation v = cte pour une particule libre dans R s’´ecrit ¯v = cte dans ¯R; v 6= ¯v mais les deux ´equations sont identiques. Les ´equations de Maxwell ne sont pas covariantes par la trans- formation de Galil´ee; si elle sont vraies dans un r´ef´erentiel elles sont fausses dans un autre. Cela se voit tout de suite lorsque l’on sait quelles impliquent l’existence d’ondes dont la lumi`ere fait partie se propageant `a la vitesse :
C = 1
√ε0µ0
ε0etµ0´etant mesur´es par des exp´eriences d’´electrostatique et de magn´etostatique.
Cela implique en particulier que la vitesse de la lumi`ere est la mˆeme dans toutes les directions. Mais si cela est vrai dans ¯R, cela ne peut ˆetre vrai dans RavecC = ¯C+V. L’exp´erience de Michelson et Morley a v´erifi´e que la vitesse de la lumi`ere est une constante universelle et ne d´epend pas du r´ef´erentiel. Re- marquons que la covariance des lois de l’´electromagn´etisme correspond `a une n´ecessit´e de simplicit´e : on voit mal les appareils ´electriques sur Terre fonc-
tionner diff´eremment en janvier et en juillet, ou midi et minuit ( voir §1 du chapitre 3 ).
3. Exp´erience des deux barres. -Pour illustrer sur un exemple concret la non covariance des ´equations de l’´electromagn´etisme, envisageons l’exp´erience de pens´ee suivante (fig. 2.1) : deux barres parall`eles infinies (1) et (2) charg´ees d’´electricit´e statique avec la densit´e lin´eique λ > 0 `a la distance r l’une de l’autre, sont immobiles dans ¯R. Calculons la force subie par un ´el´ement de longueurl de la barre (2) (nous notons ici v la vitesse de ¯R par rapport `a R) :
l
FB B
FE E
v λ
λ
(1)
(2) r
Fig. 2.1
Soit E le champ ´electrique cr´e´e par la barre (1) en un point de la barre (2) (idem B). Le th´eor`eme de Gauss donne :
2πrlE = λl
ε0 ⇒ E = λ 2πε0r FR¯ = FE = qE = λ2l
2πε0r
FE est une force r´epulsive. Dans R, FE reste la mˆeme, mais les charges en mouvement correspondent un courant I = ρvS = λv car λ = ρS; le th´eor`eme d’Amp`ere donne :
2πrB = µ0I ⇒ B = µ0λv 2πr FB = IBl = λvµ0λvl
2πr = µ0λ2v2l 2πr FB est attractive. La force totale vaut :
FR = λ2l
2πε0r − µ0λ2v2l 2πr
FR 6= FR¯, en contradiction avec l’invariance de la force en m´ecanique new- tonienne.
Ainsi, nous avons suppos´e que les ´equations de l’´electromagn´etisme sont vraies dans R et dans ¯R et nous sommes arriv´e `a une contradiction avec la M´ecanique newtonienne.
Chapitre Trois
LA RELATIVIT ´E RESTREINTE : CIN ´EMATIQUE
1. Le Principe de Relativit´e restreinte. - Puisque les ´equations de Maxwell suppos´ees justes ne sont pas covariantes par la transformation de Galil´ee, celle-ci doit ˆetre fausse. Nous allons donc chercher `a la modifier. Nous ne nous limitons pas `a l’´electromagn´etisme et supposons que toutes les lois de la physique sont les mˆeme dans tous les r´ef´erentiel galil´eens. Nous arrivons ainsi au Principe de relativit´e restreinte d’Einstein, plus simplement appel´e principe de relativit´e, qui g´en´eralise le principe de relativit´e de Galil´ee : “Les lois de la physique sont identiques dans tous les r´ef´erentiels galil´eens”. Aucune exp´erience de physique ne permet donc de mesurer d’une mani`ere absolue le mouvement puisque tous les r´ef´erentiels sont ´equivalents. La vitesse de la lumi`ere qui se d´eduit des lois de l’´electromagn´etisme est donc la mˆeme dans tous les r´ef´erentiels galil´eens. Le mot “restreint”vient du fait que le Principe de relativit´e est limit´e aux mouvements de translations rectilignes uniformes et ne s’applique pas aux mouvements acc´el´er´es, en particulier aux mouvements de rotation. Ainsi, par exemple, un r´ef´erentiel en rotation est non galil´een; il s’y d´eveloppe des forces centrifuges : une particule libre ne s’y d´eplace pas en ligne droite.
Nous pouvons reprendre ici la remarque de la fin du §2 du chapitre 1 et celle de la fin du §2 du chapitre 2 en les appliquant `a toutes les lois de la physique et en particulier aux lois de l’´electromagn´etisme : il nous paraˆıt tout
`a fait naturel que tous nos appareils ´electriques et ´electroniques fonctionnent exactement de la mˆeme mani`ere quelle que soit la p´eriode de l’ann´ee ou de la journ´ee. Et pourtant, compte tenu des mouvements diff´erents de ces appareils par rapport au r´ef´erentiel de Copernic`a ces diff´erents moments, cela suppose la covariance des ´equations de Maxwell.
Plus encore, la constitution des corps solides est d’origine ´electromagn´etique.
La modification des lois de l’´electromagn´etisme pourrait entraˆıner une d´eformation des solides qui serait a priori variable suivant la mati`ere dont ils sont con- stitu´es. Le changement de vitesse de la Terre suivant les p´eriodes de l’ann´ee
casserait, par d´eformations diff´erentes des parties, les solides non homog`enes!
2. Coordonn´ees d’un ´ev`enement. - Nous allons voir par la suite qu’il n’y a pas de temps absolu. Il faut donc d´efinir avec pr´ecision comment le temps est mesur´e. Dans chaque r´ef´erentiel galil´een il y aura un r´eseau d’horloges immobiles synchronis´ees, aussi proches qu’on veut les unes des autres, appel´ees horloges ´etalons. Nous omettrons souvent, quand il n’y aura pas d’ambigu¨ıt´e, et pour raison de simplicit´e, ce dernier adjectif.
Le mot ´etalon pr´ecise que le temps donn´e par l’horloge est le temps exact, compte tenu de l’unit´e choisie. L’horloge ´etalon ne pr´esente ni avance ni retard par rapport `a ce temps exact. Le fonctionnement d’une horloge ´etalon est bas´e sur un ph´enom`ene r´egulier permettant de mesurer le temps qui s’´ecoule. Pour plus de pr´ecision, voir §10 du chapitre 7 .
Pour synchroniser ces horloges, nous disposons de deux m´ethodes ´equivalentes.
Nous pouvons transporter une horloge ´etalon `a une vitesse faible devant celle de la lumi`ere. Nous supposons que la M´ecanique newtonienne s’applique pour de tels objets se d´epla¸cant lentement dans un r´ef´erentiel galil´een. Dans ce cas, l’horloge indique constamment le temps absolu du r´ef´erentiel. Elle permettra de mettre `a l’heure toutes les horloges qu’elle rencontrera. Une autre m´ethode est d’utiliser la lumi`ere. `A l’instant t(1) nous envoyons, de l’horloge ´etalon (1) une impulsion lumineuse vers l’horloge (2). Elle arrive `a l’instant t(2) et elle est renvoy´ee par un miroir vers l’horloge (1) o`u elle arrive `a l’instant , t0(1). Le principe de relativit´e restreinte implique que la lumi`ere va `a la mˆeme vitesse dans les deux sens. Nous avons donc :
t(2) = t(1) +t0(1)
2
Il suffit alors de retarder ou d’avancer l’horloge (2) du d´ecalage qu’elle avait avec le temps th´eorique t(2) au moment de l’arriv´ee du rayon lumineux sur le miroir, pour la mettre `a l’heure.
Nous supposons alors que les horloges d’un r´ef´erentiel galil´een restent syn- chronis´ees; elles mesurent le temps du r´ef´erentiel.
Un ´ev`enement E : d´esint´egration d’une particule etc, d´efinit un lieu dans l’espace `a un moment donn´e. Un tel ´ev`enement est un point de l’espace- temps; Il sera rep´er´e par les trois coordonn´ees x, y, z du lieu o`u il se produit et le temps t indiqu´e par l’horloge du r´ef´erentiel situ´ee `a cet endroit. Le lieu
`a un instant donn´e est un point de l’espace g´eom´etrique `a trois dimensions appel´e simplement espace lorsqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e. Les quatre nombres
not´es :
t x y z
=
x0 x1 x2 x3
= (xα)
sont lescoordonn´ees de l’´ev`enementE dans le r´ef´erentiel choisi. Un indice ´ecrit en lettres grecques ira de 0 `a 3 et correspondra aux variables d’espace-temps.
un indice ´ecrit en lettres latines ira de 1 `a 3 et correspondra aux variables d’espace :
(xα) =
x0 xi
3. La transformation sp´eciale de Lorentz. - Il nous faut maintenant voir le lien entre les coordonn´ees (xβ¯) de l’´ev´enement E dans ¯R et (xα) dans R; la barre au dessus d’un indice signifie que la coordonn´ee correspondante est dans ¯R. Les r´ef´erentiels R et ¯R sont dispos´es comme sur la figure 1.1 . Nous r´eglons les horloges de R et ¯R de fa¸con `a ce que lorsque 0 et ¯0 sont confondus, les deux horloges respectivement li´ees `a 0 et ¯0 indiquent toutes les deux le temps 0 : t = ¯t = 0 , comme cela a ´et´e fait implicitement au §2 du chapitre 1 .
Les variables t, x, y, z doivent ˆetre des fonctions lin´eaires de ¯t, ¯x, ¯y, ¯z, pour qu’une particule libre ayant un mouvement rectiligne uniforme dans ¯R ait ´egalement un mouvement rectiligne uniforme dans R.
De plus y = ¯y et z = ¯z pour tout ´ev`enement, sinon on pourrait distinguer un sens absolu sur la droite des x : le sens de la vitesse du r´ef´erentiel qui correspondrait `a la coordonn´ee la plus petite par exemple (si on avait y < y¯ cela impliquerait ´egalement z < z¯ par sym´etrie de rotation autour de l’axe des x). L’espace ´etant suppos´e isotrope cela est impossible.
Consid´erons un rayon lumineux ´emis en O au moment de la rencontre avec O. L’´ev`enement¯ E est ici l’arriv´ee du rayon lumineux en un point. Le rayon se propage `a la vitesse C dans R et dans ¯R. Sa direction est quelconque. Les rep`eres d’espace ´etant suppos´es orthonorm´es, nous avons :
s2 = C2t2−x2−y2−z2 = 0 et s¯2 = C2¯t2−x¯2−y¯2−z¯2 = 0 Les symboles 2 de s2 et de ¯s2 viennent du fait que ces nombres seront in- terpr´et´es comme les carr´es scalaires de vecteurs. Donc s2 = 0 ⇔ s¯2 = 0;
t, x, y, z ´etant des fonctions lin´eaires de ¯t, ¯x, ¯y, ¯z, cela implique s2 = ks¯2 pour tout ´ev`enement qui n’annule pas ces nombres. Par raison de sym´etrie entre R et ¯R, n´ecessairement k = 1 : s2 = ¯s2. Il vient : C2t2 −x2 = C2¯t2 − x¯2. Puisque cette relation doit ˆetre vraie quels que soient y et z, ¯y et ¯z, x et t
´etant fix´es ainsi que ¯x et ¯t, cela implique que x et t sont fonctions lin´eaires uniquement de ¯x et ¯t :
x = ax¯+b¯t t = cx¯+ dt¯ Les coordonn´ees de ¯O v´erifient ¯x = 0 soit :
x = b¯t= bt d = vt
La vitesse de ¯R ´etant ainsi maintenant not´ee par un petit v nous avons pour O :
x = 0
¯ x
¯t = −b
a = −v Il vient :
b = d v = a v ⇒ a = d
x = ax¯+avt¯ t= c¯x+ a¯t
C2t2−x2 = C2c2x¯2+ 2C2cax¯t+¯ C2a2t¯2−a2x¯2−2a2vx¯¯t−a2v2¯t2 =
C2¯t2−x¯2 Il vient :
C2ca−a2v = 0 c = av
C2 ; C2a2−a2v2 = C2 ⇒ a2 = C2 C2−v2
On sait que a > 0 de fa¸con `a retrouver la transformation de Galil´ee pour v C; donc :
a = 1
r
1− Cv22
c =
v C2 r
1− Cv22
La transformation des coordonn´ees correspondant `a la situation particuli`ere envisag´ee s’appelle la transformation sp´eciale de Lorentz. Elle s’´ecrit donc :
x = 1
r
1− Cv22
¯
x + v
r
1− Cv22
¯t
t =
v C2 r
1− Cv22
¯
x + 1
r
1− Cv22
¯t
(3,1)
Soit tanhϕ la tangente hyperbolique de ϕ; posons tanhϕ = Cv; on sait que cosh2ϕ−sinh2ϕ = 1
1−tanh2ϕ = 1
cosh2ϕ ; coshϕ = 1
q1−tanh2ϕ
= 1
r
1− Cv22
sinhϕ= tanhϕ coshϕ =
v C r
1− Cv22
On arrive `a
x = coshϕ x¯ + sinhϕ Ct¯ C t = sinhϕ x¯ + coshϕ C¯t
(3,2) Ces ´equations sont tr`es sym´etriques; l’utilisation de C t et C ¯t permet cette sym´etrie en ayant la mˆeme unit´e pour toutes les coordonn´ees.
Nous noterons d´esormais les coordonn´ees d’un ´ev`enement :
C t x y z
=
x0 x1 x2 x3
= (xα) (3,3)
Remarquons la grande analogie de la transformation sp´eciale de Lorentz avec les ´equations d’un changement d’axes par une rotation d’angle θ en g´eom´etrie euclidienne :
x = cosθ x¯ − sinθ y¯ y = sinθ x¯ + cosθ y¯
Le passage des fonctions trigonom´etriques aux fonctions hyperboliques vient du fait que l’invariant n’est plus la distance usuelle : x2+y2; mais l’intervalle : C2t2−x2 avec l’apparition d’un signe moins.
4. Relativit´e de la simultan´eit´e. - Nous voyons tout de suite que deux
´ev`enements simultan´es dans ¯R (mˆeme ¯t) ne le sont pas dans R d`es qu’ils se produisent en deux endroits diff´erents (¯x diff´erent). La Relativit´e restreinte
´etablit ainsi une sym´etrie entre l’espace et le temps : la phrase “Ces deux
´ev`enements se sont produits en mˆeme temps en deux endroits diff´erents”n’a
pas de sens si on ne pr´ecise pas le r´ef´erentiel; de mˆeme que la phrase “Ces deux
´ev`enements se sont produits au mˆeme endroit `a deux instants diff´erents”( voir
§2 du chapitre 1 ).
5. Dilatation des temps. - Consid´erons une horlge ´etalon fix´ee en ¯O . Ses coordonn´ees sont : ¯x = ¯y = ¯z = 0 ; la transformation de Lorentz donne Ct = coshϕ C¯t ; soit :
t = 1
r
1− Cv22
¯t (3,4)
Le temps t croˆıt donc plus vite que le temps ¯t. Il semble donc, vu du r´ef´erentiel R, que l’horloge fix´ee en ¯0 retarde, indiquant ainsi un temps plus petit que celui de R. Autrement dit, le temps de ¯R, vu de R, semble dilat´e;
c’est `a dire qu’il s’´ecoule plus lentement.
Il faut insister sur le fait que ce ph´enom`ene correspond `a une propri´et´e physique de l’espace-temps et affecte de la mˆeme mani`ere tous les processus physiques r´eguliers pouvant servir d’horloges (voir §10 du chapitre 7 ).
Le fait que les horloges de ¯R, vues de R, retardent semble contredire la sym´etrie parfaite qui doit exister entre tous les r´ef´erentiels galil´eens, compte tenu du principe de relativit´e. Il semble impossible que les horloges de R puissent ´egalement retarder, vues de ¯R. Le paradoxe est r´esolu lorsqu’on se rend compte que la dissym´etrie est introduite par le processus de mesure.
En effet, une seule horloge de ¯R mesure le temps ¯t, tandis qu’une multitude d’horloges de R donnent le temps t, les horloges co¨ıncidant avec les diff´erentes positions dans R de l’horloge de ¯R ´etudi´ee.
Les instant origines ´etant maintenant quelconques, le point ¯O ne co¨ıncide pas avec O `a t = 0, la relation (3,4) n’est plus valable. Cependant, nous pouvons toujours ´ecrire, utilisant les diff´erentielles :
d¯t =
v u u
t1− v2
C2 dt (3,5)
6. Temps propre. - Consid´erons maintenant une horloge ´etalon ayant un mouvement quelconque, c’est `a dire ayant une acc´el´eration non nulle par rapport aux r´ef´erentiels galil´eens. Cette acc´el´eration peut ˆetre elle mˆeme variable.
Nous faisons ici l’hypoth`ese que la relation (3,5) est toujours valable. Ainsi, nous supposons que l’acc´el´eration d’une horloge ´etalon par rapport `a un syst`eme inertiel n’a aucune influence sur le fonctionnement de cette horloge (voir §10 du chapitre 7). L’accroissement du temps de cette horloge donn´e par l’´equation (3,5) est ainsi ´egal `a l’accroissement de temps dans le r´ef´erentiel
inertiel R0 dans lequel l’horloge est immobile `a l’instant consid´er´e. Cet ac- croissement de temps sera appel´e accroissement du temps propre de l’horloge et not´e dτ. Nous arrivons donc `a :
dτ =
v u u
t1− v2
C2 dt (3,6)
Pour un mouvement quelconque de l’horloge entre les ´ev`enements (1) et (2), l’accroissement de temps propre de l’horloge sera alors :
τ2−τ1 = Z t2
t1
v u u
t1− v2
C2 dt (3,7)
Bien sˆur, le mouvement complet entre les ´ev`enements (1) et (2) doit ˆetre rep´er´e toujours avec le mˆeme r´ef´erentiel inertiel.
Nous devons insister sur le fait que l’hypoth`ese que nous venons de faire a une tr`es grande importance et repr´esente un saut dans l’inconnu. La Rel- ativit´e restreinte traite des mouvements des r´ef´erentiels galil´eens les uns par rapport aux autres, donc elle ne traite que les mouvements de translation rec- tilignes uniformes. Nous venons ici de passer aux r´ef´erentiels acc´el´er´es, donc de quitter la Relativit´e restreinte proprement dite. Nous verrons dans l’´etude de la Relativit´e g´en´erale, que l’action d’une acc´el´eration est la mˆeme qu’une action gravitationnelle. Donc, avec cette hypoth`ese, nous venons en fait de faire un premier pas dans la Relativit´e g´en´erale.
7. Contraction des longueurs. - Cherchons quelle est la longueurl dans R d’une barre rigide de longueur ¯l dans ¯R. Pour mesurer sa longueur dans un r´ef´erentiel, il faut consid´erer ses deux extr´emit´es au mˆeme instant suivant le temps du r´ef´entiel. Les extr´emit´es sont par exemple ¯x = 0 et ¯x = ¯l dans R¯; supposons que `a t = ¯t = 0 , l’extr´emit´e gauche soit en x = 0 ; l’extr´emit´e droite est en x= coshϕ x¯+ sinhϕ C¯t avec :
0 = Ct = sinhϕ x¯+ coshϕ Ct¯ x = coshϕ ¯l+ sinhϕ −sinhϕ
coshϕ
!
¯l
= cosh2ϕ−sinh2ϕ ¯l
coshϕ = ¯l
coshϕ < ¯l l = ¯l
coshϕ (3,8)
Ainsi, l < ¯l. Dans ce ph´enom`ene de contraction des longueurs, il s’agit encore d’une propri´et´e physique, g´eom´etrique, de l’espace-temps et non pas d’une compression de la barre qui est suppos´ee parfaitement rigide (voir §10 du
chapitre 7) Ainsi un solide anim´e d’une grande vitesse tient moins de place qu’immobile.
Nous faisons maintenant ici une hypoth`ese analogue `a celle du paragraphe pr´ec´edent. Nous supposons que l’acc´el´eration d’un corps n’a pas d’effet sur les longueurs. Ainsi, pour connaˆıtre la longueur d’un petit objet en acc´el´eration, il suffit de connaˆıtre la longueur qu’aurait le mˆeme objet fix´e dans son syst`eme d’inertie R0 (donc avec la mˆeme vitesse, mais sans acc´el´eration) au moment consid´er´e. Pour un objet ´etendu, la longueur sera mesur´ee par int´egration des longueurs ´el´ementaires obtenues grˆace `a l’hypoth`ese ci-dessus.
8. Les quadrivecteurs. - La transformation sp´eciale de Lorentz peut s’´ecrire, avec un produit de matrices, de la mani`ere suivante :
Ct x y z
=
coshϕ sinhϕ 0 0 sinhϕ coshϕ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
C¯t
¯ x
¯ y
¯ z
(3,9)
Soit : (xα) = Λ(xβ¯)
ou
| xα
|
= Λ
| xβ¯
|
Λ = (Λαβ¯) que nous appellerons matrice deLorentz est la matrice d’´el´ement g´en´eral Λαβ¯ ´ecrite en (3,9). On ´ecrit :
xα = X
β¯
Λαβ¯ xβ¯= Λαβ¯ xβ¯ (3,10) avec la convention d’Einstein : la sommation est sous entendue quand le mˆeme indice apparaˆıt une fois en position haute, une fois en position basse.
On appelle un tel indice : indice muet, car on peut changer sa notation sans changer le sens de l’expression math´ematique ´ecrite. Pour la matrice (Λαβ¯), l’indice en position haute est un indice de ligne, l’indice en position basse est un indice de colonne. C’est ´egalement le cas pour les matrices colonnes (xα) et (xβ¯); elles ont bien des indices en position haute (indices de lignes). Nous verrons que, une fois la position haute choisie pour l’indice des composantes d’un vecteur, la convention d’Einstein impose la position de tous les indices qui interviendront. Ce qui est remarquable, c’est qu’il y aura toujours une solution et une seule pour cette position. Ainsi, nous devrons mettre les indices des vecteurs de base de l’espace en position basse de fa¸con `a pouvoir ´ecrire :
V = Viei (3,11)
pour tout vecteur V. Les nombres Vi sont les composantes de V, la base
´etant not´ee {ei}.
L’´equation (3,11) peut s’´ecrire matriciellement comme produit d’une ma- trice ligne par une matrice colonne plac´ee `a sa droite :
V = (....ei....)
| xj
|
= (ei) (xj)
Nous avons pos´e : eixi = xiei (ssi). (ssi) veut dire : sans sommation sur l’indice i.
Dans ce dernier cas, la matrice ligne a bien encore des indices en position basse (indices de colonnes). Nous verrons cependant au chapitre 5 (calcul tensoriel), que cette convention de la position des indices des lignes et des colonnes pour une matrice n’est pas g´en´erale.
Si les axes de R ne sont plus parall`eles aux axes de ¯R, les origines des temps et des coordonn´ees ´etant ´egalement quelconques, la transformation des coordonn´ees s’appelle simplement la transformation de Lorentz. Pour une telle transformation, nous avons :
xα = Λαβ¯xβ¯ + cα (3,12) Les cα sont des constantes quelconques. Λ est le produit de la matrice de la transformation sp´eciale de Lorentz (3,9) par une matrice de la forme (3,13) :
1 0 0 0 0
0 0
(3,13)
U
U est une matrice inversible quelconque. U est une matrice orthogonale dans le cas o`u les axes de R sont orthonorm´es.
Supposons dans ce qui suit que les axes de R soient quelconques :
Soient deux ´ev`enements A et B de coordonn´es aα et bα dans R et aα¯ et bβ¯ dans ¯R :
aα = Λαβ¯aβ¯+ cα ; bα = Λαβ¯bβ¯+cα
⇒ ∆xα = bα−aα (3,14)
= Λαβ¯bβ¯−Λαβ¯aβ¯ = Λαβ¯(bβ¯−aβ¯) = Λαβ¯∆xβ¯
∆xα = Λαβ¯∆xβ¯ (3,15)
Revenons aux vecteurs du chapitre 1, le vecteur force par exemple. Ce vecteur
´etait visualis´e g´eom´etriquement par une fl`eche dans l’espace `a trois dimensions, mais pour des calculs num´eriques on utilise les composantes qui sont un en- semble de trois nombres se transformant suivant : (3,16) dans le changement de rep`ere d´efini par (3,17) :
Fi = Ui¯jF¯j (3,16) e¯j = Ui¯jei (3,17) On dit qu’un vecteur est contravariant car la loi de transformation (3,16) est oppos´ee d’une certaine mani`ere `a la loi d´efinissant le changement de base (3,17). Cette derni`ere loi est dite covariante. La matrice U donne la nouvelle base (e¯j) en fonction de l’ancienne (ei), mais donne les anciennes composantes en fonction des nouvelles; de plus dans (3,16) il y a sommation sur les colonnes et dans (3,17) sur les lignes. Remarquons que la convention d’Einstein permet d’´ecrire automatiquement les formules (3,16) et (3,17) sans aucune ambigu¨ıt´e.
Nous noterons ´egalement :
F¯j = U¯jiFi et ei = U¯jie¯j Ainsi :
(U¯ji) = (Ui¯j)−1 (3,18) Les deux matrices (U¯ji) et (Ui¯j) sont inverses l’une de l’autre. Aucune am- bigu¨ıt´e n’existe avec cette notation entre U et U−1. Nous pouvons ´ecrire :
Ui¯kUk¯j = δij
δij est le symbole de Kronecker. Il vaut 1 lorsque i = j et 0 lorsque i 6= j.
Suivant les cas, et pour avoir la mˆeme position des indices non muets dans les deux membres d’une ´equation, nous noterons ´egalement ce symbole :
δij ou δij
Remarquons que dans toutes les formules ci-dessus, nous pouvons remplacer sans ambigu¨ıt´e ¯j par ¯i, en ayant ainsi les indices j et ¯i (idem ¯β par ¯α). Nous utiliserons parfois cette notation par la suite. La structure math´ematique repr´esent´ee par la loi de transformation (3,15) est la mˆeme que celle de la loi (3,16) sauf qu’il y a un nombre en plus. On peut donc consid´erer l’ensemble des quatre nombres ∆xα dans un r´ef´erentiel muni de la loi de transforma- tion (3,15) comme un vecteur d’un espace `a quatre dimensions que nous ap- pellerons l’espace de Minkowski. On dit qu’on a un quadrivecteur; c’est ici le quadrivecteur d´eplacement. On a bien une structure d’espace vectoriel. La somme consiste `a ajouter terme `a terme les composantes, le produit externe par un nombre consiste `a multiplier toutes les composantes par ce nombre.
Ces op´erations peuvent ˆetre effectu´ees dans n’importe quel r´ef´erentiel. On peut dire qu’un vecteur est la classe d’´equivalence des couples (R´ef´erentiels, Composantes) munis de la relation d’´equivalence d´efinie par (3,15). Cette relation d’´equivalence est bien stable pour l’addition interne, et la multipli- cation externe par un scalaire. La stabilit´e pour l’addition est d´etaill´ee dans les ´equations (4,1). Dor´enavant tout ensemble de quatre nombres se trans- formant suivant (3,15) dans un changement de r´ef´erentiel repr´esentera un quadrivecteur. Les quadrivecteurs seront symbolis´es par une lettre surmont´ee d’une fl`eche. Le r´ef´erentiel auquel correspond les composantes sera mis en indice lorsque nous ´ecrirons le quadrivecteur comme vecteur colonne de ses composantes; nous omettrons cet indice lorsqu’il n’y aura pas d’ambigu¨ıt´e.
On ´ecrit :
∆~x = (∆xα)R = (∆xβ¯)R¯ Posons :
~e0 =
1 0 0 0
R
;~e1 =
0 1 0 0
R
;~e2 =
0 0 1 0
R
;~e3 =
0 0 0 1
R
; (3,19)
Ces quatre vecteurs forment une base de l’espace de Minkowski. On a :
∆~x= ∆xα~eα (3,20)
Avec la mˆeme convention pour les vecteurs de base obtenus au moyen de ¯R, nous avons :
∆~x = ∆xα~eα = Λαβ¯∆xβ¯~eα = ∆xβ¯~eβ¯
⇒ ~eβ¯ = Λαβ¯~eα (3,21) Cette derni`ere ´equation est l’analogue dans l’espace de Minkowski de (3,17).
R´esumons nous : un r´ef´erentiel galil´een est muni d’un rep`ere orthonorm´e de l’espace `a trois dimensions et d’un r´eseau d’horloges donnant le temps du r´ef´erentiel. Il lui correspond un rep`ere de l’espace-temps constitu´e de quatre vecteurs de base de l’espace de Minkowski et d’une origine, l’´ev`enement qui consiste en l’existence du point 0 au temps t= 0. Cet ´ev`enement est not´e O
9. Le produit scalaire. - Dans ce paragraphe, nous supposons les axes d’espace de R orthonorm´es. Posons :
~a2 = (a0)2−(a1)2−(a2)2−(a3)2 (3,22) Cette quantit´e est invariante par changement de r´ef´erentiel. En effet (3,15) appliqu´ee `a~a donne :
aα = Λαβ¯aβ¯ (3,23)
ce qui implique que nous avons ´egalement :
~a2 = (a¯0)2−(a¯1)2−(a¯2)2−(a¯3)2
En effet, la matrice de la transformation (3,23) est le produit de la matrice (3,13) ´ecrite avec U orthogonale, par la matrice ´ecrite en (3,9). Les deux transformations correspondantes laissent d’une mani`ere ´evidente la quantit´e (3,22) invariante.
On a donc bien un nombre associ´e d’une mani`ere intrins`eque au quadrivecteur
~a. Posons maintenant :
~a •~b = 1 2
(~a+~b)2−~a2−~b2
On a bien une quantit´e invariante, tous les termes du membre de droite ´etant invariants. Un calcul simple montre que :
~a•~b = a0b0−a1b1−a2b2−a3b3 (3,24)
~a•~b = a0b0−ab (3,25) avec :
a=
a1 a2 a3
= (ai)
La relation (3,25) permet de d´efinir le produit scalaire lorsque le rep`ere d’espace n’est pas orthonorm´e.
Il est facile de v´erifier que~a •~b v´erifie les axiomes d’un produit scalaire :
~a•(λ~b) = (λ~a)•~b = λ(~a•~b) (3,26)
~a•~b =~b•~a (3,27)
~a•(~c+d) =~ ~a•~c+~a •d~ (3,28) La seule dif´erence avec un espace euclidien est que~a2 =~a•~a peut ˆetre n´egatif ou nul avec ~a 6= ~0, en particulier ~e2i = −1 (dans un espace euclidien, un tel nombre est strictement positif pour un vecteur non nul); on dit qu’on a un espace pseudo-euclidien.
~a2 est le carr´e scalaire de~a; d’o`u la justification du symbole 2 dans s2 car : s2 = (∆~x)2; avec B = E et A = O. Nous appellerons, comme dans le cas des espaces euclidiens produit scalaire des deux vecteurs~a et~b le nombre ~a•~b.
La base {~eα} est telle que :
~eα •~eβ = ±δαβ (3,29) C’est ce que les math´ematiciens appellent unebase typedans un espace pseudo- euclidien. Cette notion g´en´eralise celle de base orthonorm´ee en espace eucli- dien.
