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Chapitre 8 : Temps et relativité restreinte
1) Les postulats de la relativité restreinte
Définition du POSTULAT : On nomme postulat (du latin "postulare" qui signifie "demander") un principe non démontré utilisé dans la construction d'une théorie mathématique.
1.1. Insuffisance de la mécanique classique
Selon les lois classiques de la mécanique Newtonienne, les vitesses s’additionnent lors d’un changement de référentiel. Ce sont les transformations de Galilée qui s’appliquent et qui conduisent à la loi d’additivité des vitesses classique :
L B B A L
A
v v
v
/
/
/Si vA/B = 1 m/s et si vB/L = 10 m/s Alors vA/L = 10 + 1 = 11 m/s
Michelson et Morley ont montré, en 1880, que cette loi de composition des vitesses ne s’appliquait pas aux RAYONS LUMINEUX :
La mesure de la vitesse de propagation de la lumière dans le vide, par rapport à la terre, donne TOUJOURS le même résultat, INDEPENDANT , de la vitesse de la Terre par rapport au soleil.
A
B L
Composition de vitesses
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Conclusion :
Les lois de la mécanique de Newton ne sont qu’une simplification de lois plus générales, et ne sont donc applicables que dans certaines situations.
1.2. Enoncé des postulats
En 1905, Albert Einstein élabore sa théorie de la relativité restreinte qui repose sur deux postulats :
Postulat 1 :
Les lois de la physique s’expriment de la même façon dans tous les référentiels galiléens.
Postulat 2 :
La vitesse de la lumière dans le vide, notée c, est la même dans tous les référentiels galiléens.
Elle ne dépend donc pas du mouvement de la source lumineuse
Elle est invariante dans tout changement de référentiel galiléen.
Remarque : La vitesse de la lumière dans le vide est strictement égale à c = 299 792 458 m/s Conclusion :
Il existe une vitesse limite, égale à la célérité c de la lumière dans le vide, qui ne peut être dépassée par aucun signal ni particule. Cette vitesse ne peut être atteinte que par des particules de masse nulle (Photon, neutrino, …)
2) La dilatation des durées
2.1. Caractère relatif du temps
Les transformations de Galilée caractérisant la mécanique de Newton indiquent que le temps est une grandeur absolue. Ainsi, le temps qui s’écoule dans la navette (figure 3) en mouvement par rapport à l’observateur terrestre est le même (et donc s’écoule à la même vitesse) que le temps du pilote de la navette.
Or les postulats de la relativité restreinte imposent d’abandonner cette conception comme le démontre l’expérience ci-contre.
Définition :
Un événement est un fait se produisant en un point d’un référentiel et à un instant donné.
Exemple :
A
B
Pour les deux navettes A et B la vitesse des photons venant de l’étoile est la même.
A B
Evénements simultanés… ou pas.
Considérons l’évènement suivant : un éclair se produit au milieu de la navette se déplaçant à grande vitesse par rapport au référentiel terrestre.
- Dans le référentiel de la navette, les deux éclairs arrivent simultanément sur les miroirs
A
etB
vu que la vitesse de la lumière est une constante dans tous les référentiels galiléens.- Pour l’observateur terrestre, vu que la navette s’y déplace, la lumière atteindra le miroir
A
un peu avant le miroirB
car la vitesse de la lumière étant finie, le miroirA
avancera avec la navette vers le lieu du flash pendant le temps nécessaire à la lumière pour lui parvenir, alors que le miroirB
se sera éloigné d’autant.3/ 9 Conclusion :
Si pour le pilote les deux miroirs s’illuminent en même temps ceci n’est plus vrai pour l’observateur terrestre. La simultanéité est une notion relative, ce qui impose donc que le temps est relatif.
Exercice 1:
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2.2. Temps propre et temps mesuré
Définition :
Le temps propre, ou durée propre, noté T0 est la durée séparant deux événements ayant lieu au même endroit dans un référentiel galiléen noté R.
Cette durée est mesurée par une horloge fixe dans R.
Définition :
Le temps mesuré, ou durée mesurée, noté T’ est la durée séparant deux événements mesurée par une horloge fixe dans un référentiel galiléen noté R’ en mouvement par rapport au référentiel galiléen R dans lequel on mesure le temps propre.
Exemple :
Considérons un voyageur dans sa navette spatiale (R) se déplaçant à v = 0,80 c par rapport à la Terre (R’) vers une étoile située à L’ = 4,0 années lumières (a.L.) de la Terre.
Le temps propre T0 du voyageur dans la navette est alors lié au temps T’ d’un observateur sur Terre par la relation :
' T
0T
avec2 2
1 1
c
v
avec le facteur de Lorentz ( 1)Ainsi, lorsque le voyageur vieillit de dix ans, il s’écoule sur Terre :
ans c
c T
c v
T 10 1 , 6 10 16
80 , 1 0
1 1
' 1
0 2 2
2
( 1 , 6
)Conclusion : Il y a dilatation du temps pour un objet en mouvement par rapport à un observateur fixe.
Remarque :
D’après le premier postulat d’Einstein, ce qui est vrai dans le référentiel du voyageur l’est aussi dans le référentiel de la Terre. Ainsi, si pour le voyageur c’est la Terre qui s’éloigne à la vitesse v, pour un observateur sur Terre, c’est la navette qui s’éloigne à la vitesse v de sorte que le temps propre sur Terre s’écoule moins vite que le temps mesuré dans la navette… Lorsqu’il s’écoule 10 ans sur Terre, la durée mesuré dans la navette est de 16 ans !
Cette apparente contradiction est illustrée par le « paradoxe des jumeaux » de Paul Langevin (1911), paradoxe qui n’en est pas vraiment un car il a été résolu la même année par Einstein.
Le Paradoxe des jumeaux est une expérience imaginaire pour montrer que le temps ralentit (oui, mais pas comme on l'imagine à priori!)
Jules et Jim sont des jumeaux
Jules fait un voyage en fusée dont la vitesse est 0,6 c (60% de la vitesse de la lumière).
Son voyage dure 10 ans selon les Terriens: Jim a vieillit de 10 ans Et pourtant, il ne vieillit que de 8 ans à bord de sa fusée
Vérification faite avec des horloges atomiques
Une horloge à Terre et l'autre à bord d'un vaisseau spatial
L'horloge de l'espace accuse un retard (très petit!) par rapport à l'horloge immobile sur Terre
Paradoxe
* Pourquoi la situation n'est-elle pas symétrique alors que les vitesses relatives de l'un par rapport à l'autre sont les mêmes ? (au signe près)
* Les deux frères devraient avoir le même âge à l'arrivée
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Principe de l'explication
C'est le demi-tour qui est la cause de la non-symétrie de la situation des 2 jumeaux Avant et après le demi-tour, les phénomènes observés sont totalement symétriques, Sans contradiction ni paradoxe, pourvu que l'on sache exactement de quoi l'on parle.
L'erreur
Le jumeau voyageur ne peut pas partir puis revenir en restant dans le même référentiel inertiel, et donc Les résultats de la relativité restreinte (Mouvement uniforme) ne peuvent s'appliquer à son cas
Il est alors nécessaire d'utiliser la relativité générale (Mouvement accéléré), pour intégrer les accélérations subies.
Ce sont l'accélération et la décélération de Jules qui ont créé la dissymétrie. Et c'est Jules, lui - seul, qui subit ces accélérations
3) La contraction des longueurs
Vu de la Terre, le voyageur va mettre pour atteindre cette étoile une durée :
ans c
aL v
T L 5 , 0
8 , 0
0 , 4
' '
Or dans la navette, il se sera alors écoulé :
T ans
T 3 , 1
6 , 1
0 , 5 '
0
Le voyageur ne va donc vieillir que de 3,1 ans pour atteindre l’étoile. Ainsi la distance entre la Terre et cette étoile s’est contractée sous l’effet de la vitesse du voyageur.
Pour le voyageur, la distance parcourue jusqu’à l’étoile est donc :
aL ans
c
L
0 0 , 80 3 , 1 2 , 5
Exercice 2: Exercice 3: N°16 p221
6/ 9 On a alors :
L ' L
0 '
0
L L
Conclusion : La distance Terre-étoile s’est contractée d’un facteur pour le voyageur.
Remarque :
Si la vitesse du voyageur par rapport à la Terre est égale à c, la distance se contracte en un point et le déplacement devient instantané !
Exercice 4: Dilatations des durées en avion
Exercice 5: Paradoxe des jumeaux
Exercice 6: Muons relativistes
7/ 9 Exemple du bus( début de chapitre) :
En réalité, cette loi d’additivité qui semble pourtant logique ne peut pas l’être, car en supposant qu’un
« superbus » (SB) avance à 250 000 km/s et qu’un « superhomme » (SA) avance à l’intérieur du superbus à 100 000 km/s vers l’avant, la vitesse de SA par rapport à la lampe L (référentiel terrestre) serait supérieure à la vitesse de la lumière : 250 000 + 100 000 = 350 000 km/s. Ce résultat est impossible
Ainsi la véritable loi d’additivité des vitesses (dans le cas où les vecteurs vitesses ont même direction) est :
1
2'
c u v
u v v
(transformations de Lorentz)Exercice 7: N° 17 p 222
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Ce qui donne dans l’exemple de l’homme marchant vers l’avant du bus :
s m c
v v
v v v
L B B A
L B B A L
A
10 , 999 999 67 /
10 0 , 3
10 1 1
10 1
1
82 / /
/ /
/
Et pour le « superhomme » dans le « superbus » :
s m c
v v
v v v
L SB SB SA
L SB SB SA L
A
2 , 7 10 /
10 0 , 3
10 5 , 2 10 0 , 1 1
10 5 , 2 10 0 , 1 1
8
8 8 8
8 8
2 / /
/ /
/
Ainsi, pour de faibles vitesses que l’on rencontre dans la vie courante, on retrouve un résultat qui nous parait logique (10 m/s + 1 m/s = 11 m/s) car la différence ne nous est pas perceptible.
Mais pour des vitesses beaucoup plus grandes, la différence est manifeste : 250 000 km/s + 100 000 km/s 274 000 km/s (et non 350 000 km/s)
4) Exercice BAC N° 10 :Vaisseau spatial
ENONCE :
Un vaisseau spatial est en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à la Terre à la vitesse v (Fig. 1). Il contient une source lumineuse qui émet des flashs lumineux à la période To, mesurée dans le référentiel du vaisseau. Un observateur sur Terre perçoit ces flashs avec une période T.
a) Laquelle des périodes To et T peut être qualifiée de durée propre ? Justifier la réponse.
b) Donner la relation entre Tc, et T, et en déduire laquelle des deux périodes est la plus grande.
c) Calculer la vitesse du vaisseau lorsque la période la plus grande est le double de l'autre.
d) Si To = 1,00 s, combien vaut T si la vitesse du vaisseau est v =1,00.104 m.s-1 ? e) Même question si v = 1,00.108 m.s1.
En déduire une condition sur la vitesse du vaisseau pour que l'écart entre les périodes soit significatif.
f) Comment sont modifiés les résultats si le vaisseau se déplace à la même vitesse mais dans le sens contraire ? 3
SOLUTION :
9/ 9 Exercice 8: N° 19 p 223
Exercice 9: N° 20 p 223
