La preuve par 9
Explication
Habituellement elle est présentée pour la multiplication et la division, mais elle peut être également utilisée pour l'addition et la soustraction.
Elle repose sur le principe suivant : on refait l'opération désirée en remplaçant chacun des nombres par son reste dans la division par 9. Ce reste sera un nombre de 0 à 8.
On sait que ce reste est le même que celui de la somme des chiffres du nombre. Chaque fois qu'il y a un 9, on peut le remplacer par 0.
On recommence le procédé jusqu'à ce qu'on obtienne un nombre plus petit que 9.
Ainsi pour le nombre 7 854 672 on obtiendra d'abord 7 + 8 + 5 + 4 + 6 + 7 + 2 soit 39 qui va donner 3.
3 est le reste de 7 854 672 dans la division par 9. Vous pouvez le vérifier.
Si on le désire on peut remplacer chaque somme partielle comme 7 + 8 = 15 par 1 + 5 = 6 et ainsi de suite...
La preuve par 9 de l'addition
Exemple:
538 + 347 885
Dans la croix de la preuve :
En haut, on place le reste de 538 soit celui de 5 + 3 + 8 soit celui de 16 donc 1 + 6 = 7.
En bas, on place le reste de 347 soit celui de 3 + 4 + 7 soit celui de 14 donc 1+ 4 = 5.
A droite, on place le reste de 7 + 5 (haut + bas) soit celui de 12 donc 3.
A gauche, on place le reste de 885 soit celui de 8 + 8 + 5 soit celui de 21 soit 2 + 1 = 3
La preuve par 9 de la soustraction
Exemple:
89 - 48 41
Dans la croix de la preuve :
En haut, on place le reste de 89 soit celui de 8 + 9 soit celui de 17 donc 8.
En bas, on place le reste de 48 soit celui de 4 + 8 soit celui de 12 donc 3.
A droite, on place le reste de 8 - 3 (haut - bas) = 5.
Si on ne peut pas faire la soustraction, on ajoute 9 autant de fois qu'il le faut au premier nombre, jusqu'à ce que la soustraction soit possible.
A gauche, on place le reste de 41 soit celui de 4 + 1 donc 5.
La preuve par 9 de la multiplication Exemple:
348 x 7 2 436
Dans la croix de la preuve :
En haut, on place le reste de 348 soit celui de 3 + 4 + 8 soit celui de 15 donc 6.
En bas, on place le reste de 7 soit 7.
A droite, on place le reste de 6 x 7 (haut x bas) = 42 soit 4 + 2 = 6.
A gauche, on place le reste de 2 436 soit celui de 2 + 4 + 3 + 6 soit celui de 6 + ( 3 + 6) = 6 La preuve par 9 de la division
Exemple:
563 24 83 23 11
Dans la croix de la preuve :
En haut, on place le reste de 24 soit celui de 2 + 4 soit 6.
En bas, on place le reste de 23 soit celui de 2 + 3 donc 5.
A droite, on place le reste de 6 x 5 + 11 (diviseur x quotient) + reste, soit celui de 41 donc 5.
A gauche, on place le reste de 563 soit celui de 5 + 6 + 3 soit celui de 14 donc 5.
