La preuve par 9 La preuve par 9 de l'addition
Exemple:
538 + 347 885
Dans la croix de la preuve :
1. en haut, on place la somme des chiffres de 538 : c’est 5 + 3 + 8 ce qui fait 16 donc 1 + 6 = 7.
2. en bas, on place la somme des chiffres de 347 : c’est 3 + 4 + 7 ce qui fait 14 donc 1+ 4 = 5.
3. à droite, on place la somme des chiffres de 7 + 5 (haut + bas) c’est 12 donc 3.
4. à gauche, on place la somme des chiffres de 885 : c’est 8 + 8 + 5 ce qui fait 21 c’est 2 + 1 = 3
7
(5+3+8)
3
(8+8+5) 3(7+5)5
(3+4+7)
La preuve par 9 de la soustraction
Exemple:
89 - 48 41
Dans la croix de la preuve :
1. en haut, on place la somme des chiffres de 89 : c’est 8 + 9 ce qui fait 17 donc 8.
2. en bas, on place la somme des chiffres de 48 : c’est 4 + 8 ce qui fait 12 donc 3.
3. à droite, on place la somme des chiffres de 8 - 3 (haut - bas) = 5.
Si on ne peut pas faire la soustraction, on ajoute 9 autant de fois qu'il le faut au premier nombre, jusqu'à ce que la soustraction devienne possible.
4. à gauche, on place la somme des chiffres de 41 c’est 4 + 1 donc 5.
8
(8+9)
5
(4+1) 5(8-3)3
(4+8)
La preuve par 9 de la multiplication
Exemple:
348 X17 2 436 + 3 480 5 916
Dans la croix de la preuve :
1. en haut, on place la somme des chiffres de 348 : c’est 3 + 4 + 8 ce qui fait 15 donc 6.
2. en bas, on place la somme des chiffres de 17 : c’est 1+7 ce qui fait 8
3. à droite, on place la somme des chiffres de 6 x 8 (haut x bas) = 48 ce qui fait 4 + 8 = 12 ->3.
4. à gauche, on place la somme des chiffres de 5 916 : c’est 5 + 9 + 1 + 6 ce qui fait 5 + ( 1 + 6) = 12->3
6
(3+4+8)
3
(5+9+1+6) 3(4+8) 8(1+7)
La preuve par 9 de la division
Exemple:
563 24 83 23 11
Dans la croix de la preuve :
1. en haut, on place la somme des chiffres de 24 : c’est 2 + 4 ce qui fait 6.
2. en bas, on place la somme des chiffres de 23 : ce qui fait 2 + 3 donc 5.
3. à droite, on place la somme des chiffres de 6 x 5 + 11 (diviseur x quotient) + reste, ce qui fait 41 donc 5.
4. à gauche, on place la somme des chiffres de 563 : c’est 5 + 6 + 3 ce qui fait 14 donc 5.
6
(2+4)
5
(5+6+3) 5(6x5+11)5
(2+3)
Explication
Habituellement elle est présentée pour la multiplication et la division, mais elle peut être également utilisée pour l'addition et la soustraction.
Elle repose sur le principe suivant : on refait l'opération désirée en remplaçant chacun des nombres par son reste dans la division par 9. Ce reste sera un nombre de 0 à 8.
On sait que ce reste est le même que la somme des chiffres du nombre. Chaque fois qu'il y a un 9, on peut le remplacer par 0.
On recommence le procédé jusqu'à ce qu'on obtienne un nombre plus petit que 9.
Ainsi pour le nombre 7 854 672 on obtiendra d'abord 7 + 8 + 5 + 4 + 6 + 7 + 2 c’est 39 qui va donner 3.
3 est la somme des chiffres de 7 854 672 dans la division par 9. Vous pouvez le vérifier.
Si on le désire on peut remplacer chaque somme partielle comme 7 + 8 = 15 par 1 + 5 = 6 et ainsi de suite...
