Exercice 1
1.un+1−un =u2n>0⇒(un)croissante.
2. Si(un)converge, sa limite est solution dex=x2+x⇔x2= 0⇔x= 0
3.u20+u0 >0⇒u1>0,et la suite étant croissante,un>0Une suite croissante e peut être convertente vers0que si elle est majorée par 0. Or elle est minorée par 0.
4. La démonstration par récurrence se fait en deux étapes :
Initialisation : la propriété(Pn) :−1< un <0est vraie pourn= 0 u20+u0<0⇒u0<−u20⇒u0<0
De plusu20+u0+ 1>0puisque le trinômex2+x+ 1>0(discriminant négatif) Ainsiu20+u0+ 1>0⇒u0>−1−u20⇒u0>−1
On a donc bien−1< u0<0
Hypothèse de récurrence : On suppose(Pn)vraie, c’est à dire−1< un<0 Hérédité :démontrons que(Pn+1)est vraie
−1< un.La suite étant croissante,un+1> un ⇒un+1>−1.
un+1=u2n+un ⇒un+1=un(un+ 1) Or d’après l’hypothèse de récurrence,
½ un >−1 un<0 ⇒
½ un+ 1>0
un<0 ⇒un(un+ 1)<0⇒un+1<0 On a donc établi que si−1< un<0est vraie, alors −1< un+1<0
Ainsi, la propriété (Pn)est vraie pourn= 0; si on suppose vraie à l’ordren elle l’est encore à l’ordren+ 1.Elle est donc vraie pour toutndeN
D’après ce qui précède, la suite est alors croissante et majorée par0.Elle est donc convergente et d’après le 2. sa limite est0.
Exercice 2
1. a) est fausse. en effet un = (−1)n
n ⇒ −1
n ≤ un ≤ 1
n. Encadrée par deux suites de limite nulle, elle converge vers 0 (gendarmes).
b) est vraie. d’après l’encadrement qui précède, −1
n ≤un≤ 1
n⇒ −1≤un≤1 c) est vraie déjà vu au a)
d) est fausse. Un contrexemple suffit :u2−u1=3
2 etu3−u2= −1 3 2.a) est vraie puisque −1≤sin(n)⇒n−1≤n+ sin(n)≤n+ 1⇒ 1
n+ 1 ≤ 1
n+ sin(n) ≤ 1
n−1 (pourn >1) Donc en multipliant parsin(n),soit 0≤sin(n)≤1⇒ sin(n)
n+ 1 ≤ sin(n)
n+ sin(n) ≤ sin(n)
n−1 ⇒0≤un≤ 1 n−1 soit−1≤sin(n)≤0⇒ sin(n)
n−1 ≤ sin(n)
n+ sin(n)≤0⇒ −1
n−1≤un≤0 Ainsi, dans tous les cas, −1
n−1 ≤un≤ 1
n−1 et d’après le théorème desgen,darmes,un converge vers0.
b) Evidemment faux d’après ce qui précède c) Faux −1
n−1≤un ≤ 1
n−1⇒|un|≤ 1
n−1 mais pas|un|≤ 1
n+ 1 puisque 1
n+ 1 < 1 n−1 d) Vrai −1
n−1≤un ≤ 1
n−1 etn >1⇒ −1≤un ≤1
Exercice 3
0< un et de plus,tan2(n)≥0⇒1 + tan2(n)≥1⇒n2£
1 + tan2(n)¤
≥n2 On a doncun≤ 1
n2.Ainsi0< un≤ 1
n2 et(un)converge vers0d’après le théorème des gendarmes.
Exercice 4
−1≤ cos(x) ≤ 1 ⇒ 3 + cos(x) > 0. f est donc le quotient de deux fonctions dérivables sur R, définie sur R, puisque le dénominateur ne s’annule pas. Elle est donc dérivable surR.
Sa dérivée est :f0(x) = −2 sinx (cosx+ 3)2
g(x) = tan(x2−1) définie pourx2−1 6= π
2 +kπ donc x2 6= 1 +π
2 +kπ (ici le k ne peut prendre que des valeurs pour lesquelles1 +π
2 +kπ≥0)
On doit alors avoirx6= r
1 +π 2 +kπ
Etg est dérivable surRprivé de ces valeurs comme composée telles fonctions.
Sa dérivée est :g0(x) = 2x(1 + tan2(x2−1))ou encoreg0(x) = 2x cos2(x2−1)
Exercice 5
1.x2+ 4>4.Le domaine de définition est doncR.
2. La limite se présente comme une forme indéterminée maisx2+ 4 =x2 µ
1 + 4 x2
¶
donc six≥0, f(x) = x
µ 1−2
x
¶
x sµ
1 + 4 x2
¶ = µ
1−2 x
¶ sµ
1 + 4 x2
¶ dont la limite en+∞est 1.
La droitex= 1est asymptote à la courbe
De même six≥0, f(x) = x
µ 1− 2
x
¶
−x sµ
1 + 4 x2
¶ =
− µ
1−2 x
¶ sµ
1 + 4 x2
¶ dont la limite en−∞est −1
La droitex=−1est asymptote à la courbe 3.f se dérive comme un quotient avec¡√
x2+ 4¢0
= x
x2+ 4 donc après calculsf0(x) = 2√
x2+ 4 (x+ 2)
(x2+ 4)2 g(2) =1 4
√2 = 1 2 4.f0(x)est du même signe que x+ 2. doncf est croissante pourx≥ −2décroissante sinon. Le tableau de variation s’en
déduit.
5. L’équation de la tangente esty=f(0) +xf0(0)doncy=−1 +1 2x
6. L’intersection avec l’axe des abscisses est donnée parf(x) = 0doncx= 2.
L’équation de la tangente en ce point esty=f(2) + (x−2)f0(2)avecf(2) = 0et f0(2) = 1 4
√2 doncy= (x−2)
√2 4 =1
4x√ 2−1
2
√2
7. La corbe est ici tracée sur[−30; +30]pour une meilleure visualisation des asymptotes.
25 12.5
0 -12.5
-25
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
x y
x y
