Le théorème de Pick

DM n°8 : Longueurs et Aires

Travail pouvant être fait à deux (une copie porte un ou deux noms, pas trois) – Note facultative : indiquer sur la copie si vous voulez être noté

1)

Le théorème de Pick

G. Pick a découvert en 1899 une relation entre l'aire et le périmètre de tous les polygones sur quadrillage¹ : 2×(A+1−I)=P où A est l’Aire du polygone (unité : le carreau), P le nombre de points d'intersection du quadrillage le long du Périmètre et I le nombre de points d'intersection à l’Intérieur du polygone.

Exemple : le pentagone de droite a une aire A=8, I=3 points du quadrillage à l'intérieur (carrés rouges) et P=12 points du quadrillage sur son périmètre (ronds bleus). Ces nombres vérifient bien la relation de Pick car 2×(8+1−3)=2×6=12 .

a) Montrer que les trois polygones sur quadrillage ci-contre vérifient bien la relation de Pick.

Je commence par reproduire ces polygones en plaçant sur les bords les points constituant le nombre P et dans l'intérieur ceux constituant I.

En complétant ensuite le tableau (ci-dessous), je constate que la relation de Pick est bien vérifiée pour chacune des trois figures examinées, la dernière colonne du tableau étant égale à celle donnant P.

Pour calculer l'aire A de la figure n°3, nous avons découpé celle-ci en triangles (il y a plusieurs façons de faire ceci). Ainsi nous pouvons trouver trois triangles d'aire 1 (2×1÷2=1), deux triangles d'aire 3 (2×3÷2=3) et deux triangles d'aire 4 (2×4÷2=4) ou bien utiliser la fonction de GeoGebra qui donne directement l'aire.

P (nombre de points comptés sur le périmètre)

I (nombre de points comptés à l'intérieur

du polygone)

A 2×(A+1−I)

Figure de droite 12 3 8 2×(8+1−3⁾⁼¹²

Figure 1 : rectangle 18 10 3×6=18 2×(18+1−10)=18

Figure 2 : polygone à 14 côtés 28 12 4+2+12+4+3=25 2×(25+1−12)=28

Figure 3 : polygone à 7 côtés 12 12 3×2+4×2+1×3+1=17 2×(17+1−12)=12

b) On veut tracer des triangles sur quadrillage contenant toujours I=3 points d'intersection du quadrillage et ayant des nombres P différents.

>>Trouver le maximum de valeurs possible pour P. À chaque fois, tracer le triangle trouvé avec ses points pour P et pour I de deux couleurs différentes, et déterminer les valeurs de A à l'aide de la relation de Pick.

Pour ces triangles, on doit avoir 2×(A+1−I)=P, et donc 2×(A−2)=P ou encore 2×A=P+4 . Cela conduit à l'égalité A=^P₂+2 , et comme P est un nombre entier (contrairement à A qui peut être décimal non entier), on peut donner toutes les valeurs possibles entières à P, du moment qu'elles sont supérieures ou égales à 3 car il y a toujours 3 sommets et qu'ils doivent être sur le quadrillage.

Faisons varier P pour voir les valeurs que peut théoriquement prendre A :

Maintenant cherchons de tels triangles. Nous ne sommes pas sûr qu'ils existent tous.

Nous trouvons facilement des triangles qui conviennent pour P=3, 4, 5, 8, 10 et 12 mais nous n'en trouvons pas pour P=6, 7, 9, 11 et les valeurs supérieures à 12 (celles-ci n'ont pas a priori été exclues).

Pour l'instant, nous avons donc trouvé six valeurs de P différentes mais est-ce le maximum ?

Existe t-il un triangle sur quadrillage pour lequel P=6 et I=3 (même question pour P=7, 9, 11 et 13) ? On peut faire une étude qui examine toutes les configurations possibles des 3 points intérieurs, la question est ouverte mais cette étude systématique est difficile car il y a de nombreux cas a examiner, potentiellement une infinité.

1 Polygone sur quadrillage : ses sommets sont des points d'intersection d'un quadrillage sous-jacent (règle  du Penta dans DM6).

P 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

A=P÷2+2

Nous en resterons donc là pour le moment. On voit sur l'illustration que des essais nombreux ont été réalisés et j'ai bien essayé de trouver, sans succès, les formes manquantes. Je pense qu'il n'y a pas d'autres valeurs possibles. Quelqu'un me prouvera t-il le contraire ?

c) On veut tracer des rectangles sur quadrillage de périmètre P=24 et ayant des aires A différentes.

>>Montrer qu'il ne peut y avoir que six formes² différentes de rectangle.

Donner les valeurs de A et de I dans ces six cas et illustrer chacune de ces valeurs par un exemple.

2 La forme d'un rectangle dépend du rapport entre sa longueur et sa largeur : un rectangle 1×2 a la même forme qu'un rectangle 2×4.

Pour ces rectangles, on doit avoir 2×(A+1−I)=24 , et donc A=11+I . I est un nombre entier supérieur ou égal à 0. En nous limitant à 27, voici donc les valeurs théoriquement possibles pour A :

Si le rectangle est construit selon les côtés du quadrillage, son aire ne peut pas être égale à un nombre premier. J'ai colorié en orange les colonnes où A est premier. Il faut que cette aire soit égale à un produit de deux entiers, on peut donc supprimer les valeurs 13, 17, 19, 23, etc. de la liste des valeurs possibles pour A.

Le nombre premier 11 est pourtant une aire première possible car le rectangle 1×11 existe.

On s'aperçoit que I ne peut valoir que six valeurs : 0, 9, 16, 21, 24, 25 et 36 (formes colorées en bleu sur l'illustration) ce qui correspond à six formes différentes :

• si Long=12, large=1, c'est le rectangle d'aire A=1×11 pour lequel I=0.

• si Long=11, large=2, c'est le rectangle d'aire A=2×10=20 pour lequel I=9.

• si Long=10, large=3, c'est le rectangle d'aire A=3×9=27 pour lequel I=2×8=16.

• si Long=9, large=4, c'est le rectangle d'aire A=4×8=32 pour lequel I=3×7=21.

• si Long=8, large=5, c'est le rectangle d'aire A=5×7=35 pour lequel I=4×6=24.

• si Long=7, large=6, c'est le carré d'aire A=6×6=36 pour lequel I=5×5=25.

Si les côtés des rectangles suivent les diagonales du quadrillage (figures colorées en rose sur l'illustration), on retrouve les mêmes six formes, identiques aux premières à un coefficient d’agrandissement près : elles n'ont ni la même aire, ni les mêmes côtés, mais les rapports Longueur/largeur sont égaux.

Cette remarque peut être également faite pour d'autres dispositions sur le quadrillage (voir les illustrations où on a représenté un carré d'aire 180 et un autre d'aire 360). Il y a une infinité de dispositions qui conviendront et qui produiront, à chaque fois, les mêmes six formes différentes de rectangles, la sixième étant un carré.

d) On veut tracer des pentagones sur quadrillage d'aire A=8 et ayant des nombres P et I différents.

>>Montrer que les caractéristiques P et I ne peuvent prendre que sept valeurs différentes.

Illustrer chacune de ces valeurs par un exemple de pentagone sur quadrillage d'aire A=8.

Pour ces pentagones, on doit avoir 2×(8+1−I)=P et donc P=2×(9−I) . Comme I est un nombre entier supérieur ou égal à 0 et P un nombre entier supérieur ou égal à 5, les valeurs théoriquement possibles pour P sont 6, 8, 10, 12, 14, 16 et 18, ce qui fait bien sept valeurs différentes.

Il était demandé d'avoir des nombres P et I différents. Je voulais dire : des valeurs de P différentes et, subséquemment, des valeurs de I différentes. Je ne pensais pas qu'il fallait nécessairement avoir P≠I. La possibilité I=P=6 convient donc bien comme 7^ème forme (je l'ai coloriée en jaune).

Le triangle P=4, I=7 semble convenir (je l'ai colorié en orange) sauf que … ce n'est pas un pentagone !

I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 A=I+11

I 0 9 16 21 24 25

11 20 27 32 35 36

Longueur 11 10 9 8 7 6

largeur 1 2 3 4 5 6

Long/large 11 5 3 2 1,4 1

A=I+11

I 11 29 43 53 59 61

22 40 54 64 70 72

Long/large 11 5 3 2 1,4 1

A=I+11

I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

P=2(9-I)

2) Compacité

P étant le périmètre d'une figure et A étant son aire, on dira que la figure est d'autant plus compacte que le rapport ^P×P_A , noté ^P_A² et appelé ici compacité, est petit.

a) Déterminer la compacité des polygones sur quadrillage de la question 1a) ; en déduire le classement de ces trois polygones selon les compacités croissantes.

On parle ici de vrais périmètres, pas du nombre de points du quadrillage qui se trouvent sur le contour. Pour les deux premiers polygones sur quadrillage de la question 1a), il n'y a aucune différence entre ces deux notions. Pour le 3ème par contre, ces deux notions sont très différentes.

P I A ^P_A²

Figure 1 : rectangle 18 10 3×6=18 ¹⁸²

18=18

Figure 2 : polygone à 14 côtés 28 12 4+2+12+4+3=25 ²⁸²

25=31,36 La figure 1 est donc plus compacte que la figure 2 : elle est plus

découpée que la 1, ce qui allonge le périmètre davantage que l'aire. On pourrait imaginer un périmètre encore plus long avec une aire égale. La forme ci-contre par exemple est telle que ^P_A²=⁴⁸₂₃²≈100,17. On voit bien que celle -ci est encore moins compacte que la figure 2 .

Pour la figure 3, la détermination du périmètre n'est pas aisée.

Mathématiquement, il faudrait utiliser le théorème de Pythagore (non étudié en 6^ème) pour effectuer le calcul. Mais comme on se contente de valeurs approchées, je vais utiliser des mesures approximatives.

Geogebra me sert ces mesures avec une précision pouvant aller jusqu'à 15 chiffres après la virgule. On se contentera de deux chiffres.

Ainsi, je trouve un périmètre réel P=23,41 pour une aire A=17 (déjà calculée précédemment). Le coefficient de compacité est donc pour cette figure de ^P_A²=^23,41₁₇²≈32,24 ; un peu plus que pour la figure 2.

Ainsi les trois formes de la questions 1a) sont déjà rangées dans l'ordre de leur compacité croissante : 1-2-3. La forme 1 est la plus compacte, de loin, suivie par la 2 et la 3, presque ex-aequo.

b) Tracer plusieurs polygones (au moins cinq) sur quadrillage contenant toujours I=1 point d'intersection du quadrillage et de compacités différentes (noter pour chacun la valeur de P, de A et de la compacité). Déterminer, parmi tous les polygones de ce type, le plus compact et le moins compact.

Pour ces polygones, on doit avoir 2×(A+1−1)=P , soit 2A=P. Si il s'agit de formes ayant leur côtés confondus avec des segments du quadrillage (comme les figures 1 et 2), cela implique que le périmètre est égal à P et que le coefficient de compacité vaut ^P_A²=^(2A)_A ²=4A=2P. Donnons quelques formes de ce type :

Pour ces six formes, la formule ^P_A²=2P s'applique. Les compacités valent donc 16, 28, 36, 24, 32, 56.

Je vais maintenant donner d'autres exemples qui, comme la figure 3, n'ont pas tous leurs côtés selon le quadrillage. Ces formes nécessitent une détermination du périmètre (noté P ici, mais c'est le périmètre réel) à partir de la mesure des côtés. Ces mesure sont faites, ici encore, par GeoGebra. Pour le calcul de l'aire, on peut se servir de la formule de Pick (puisque les polygones ont leurs sommets sur le quadrillage) ou bien directement, on peut compter les carreaux.

Calculs des compacités pour ces formes :

P²

A≈^5,64₂ ²=15,91 ; ^P_A²≈^6,82₃²=15,50 ; ^P_A²≈^6,48₂²=21,00 ; ^P_A²≈^8,06₃²=21,65 ; ^P_A²≈^14,82₇ ²=31,38 ; ^P_A²≈^16,48₇ ²=38,79 Voilà, je vais maintenant classer ces formes par compacité croissante :

Remarque : une même forme, en l'occurrence le carré qui débute chacune de mes séries, doit avoir une compacité égale quelle que soit la dimension de ses côtés. Pour que ce soit véritablement un coefficient de la forme, celle-ci doit pouvoir être agrandie ou réduite sans que se compacité ne change. Mon calcul approximatif de 15,91 pour la compacité du carré posé sur un de ses sommets est sous-estimé. Il s'agit en fait de 16. La longueur du côté a été estimée à 1,41 alors qu'en réalité elle vaut

√

√

Une autre remarque : la compacité a t-elle une limite supérieure ? Non, on peut trouver des formes qui ont une capacité qui dépasse n'importe quelle valeur fixée arbitrairement. Vous voulez une forme de capacité 1000 ? Il faut avoir ^P_A²>1000 et donc P²>1000A. Si je me limite aux formes dont les côtés sont sur le quadrillage et qui ont un point I=1 à l'intérieur, la formule ^P_A²=2P s'applique et je dois donc avoir 2P>1000 et donc P>500 . Voici un exemple de forme de compacité 1228, donc supérieure à 1000. Cette forme de serpent peut être allongée autant que l'on souhaite, pliée ou déroulée, sa compacité n'en serait que peut modifiée.

c) Combien vaut la compacité d'un cercle ? d'un carré ? Tracer un octogone régulier et évaluer sa compacité.

Ordonner ces trois formes selon leur compacité. Vérifiez-vous sur ces exemples l'affirmation suivante :

« parmi toutes les formes possibles, le cercle est la plus compacte » ?

Selon les formules du cours, la compacité d'un cercle est égale à

P²

A=^(2π_πR^R)2²=⁴_π^π2_R^R2²=⁴₁^π=4π≈12,56637 (j'ai simplifié le quotient par πR²).

C'est peu, aucune forme de mes exemples ne parvient à cette valeur.

Pour le carré, on a déjà remarqué que cela valait toujours 16. On peut le démontrer avec les formules donnant le périmètre et l'aire en fonction du côté c : ^P_A²=^(4×c)_c2 ²=^16c_c2²=16 (j'ai simplifié le quotient par c²).

L'octogone régulier est une figure qui a huit côtés égaux. Pour calculer son périmètre et son aire je vais utiliser les mesures de GeoGebra. Avec des valeurs arrondies à 4 chiffres, je trouve ^P_A²=_25,4558^18,3282=13,196 .

Je remarque que la compacité de l'octogone s'approche davantage de celle du cercle que le carré.

En prolongeant cette idée, on peut imaginer que plus une forme se rapproche du cercle et plus sa compacité va diminuer. La compacité minimum étant celle du cercle. Autrement dit le cercle est la forme la plus compacte que l'on peut trouver. La démonstration qui était dans l'énoncé apporte la preuve de cela. J'avais résumé dans cette démonstration une petite vidéo de Mickaël Launay qui vous intéressera peut-être.

En fixant le périmètre, on fixe l'échelle de la représentation. La plus grande aire que l'on peut former avec une ficelle de longueur P est celle qui est enfermée dans un cercle de périmètre P. Didon l'avait compris, 800 ans avant J.-C., quand elle fonda Carthage.

d) Défi : comment peut-on découper un carré de papier mesurant 5cm de côté, afin de créer un trou suffisamment grand pour y passer la tête ? Faire le plan du découpage proposé et donner une estimation du périmètre de la forme en papier qui est supposée laisser passer la tête.

Mesurer le tour de votre tête pour vérifier que la solution proposée est correcte.

Du coup, si vous avez vu la vidéo précitée, vous connaissez le truc : il faut découper une forme qui se déroule dont le périmètre est suffisant pour y faire passer la tête. Ma tête mesurant environ 60 cm de périmètre, bosse des maths comprise ;-) je vais tenter de découper mon carré de papier de manière à créer un périmètre largement supérieur à ce périmètre, afin que la tête passe sans déchirer le papier.

Avec cette découpe, j'obtiens deux fois 12 morceaux d'environ 5 cm, soit 120 cm. En y ajoutant les deux bords d'environ 13 cm chacun (il ne faut pas compter les extrémités car elles vont être utilisées dans les boucles de la forme dépliée), cela devrait permettre de disposer d'un périmètre de presque 146 cm, le double de ce qui est nécessaire pour y faire passer la tête. Le but n'était pas d'être au plus juste mais voici un plan de découpe plus adapté au problème (le périmètre obtenu est juste suffisant).