MPSI B Année 2013-2014 Corrigé DM 1 pour le 13/09/13 29 juin 2019

(1)

MPSI B Année 2013-2014 Corrigé DM 1 pour le 13/09/13 29 juin 2019

Problème1

1. Comme j 6= 1 et j

³

= 1 , la factorisation

(z

³

− 1) = (z − 1)(z

²

+ z + 1)

montre que j est une racine de z

²

+ z + 1 = 0 . Les racines de cette équation sont

− 1 2 + i

√ 3

2 − 1

2 − i

√ 3 2

De plus d'après l'étude de sin , comme

^2π₃

∈ ]0, π[ , la partie imaginaire de j est stricte- ment positive donc

j = − 1 2 + i

√ 3 2

2. Le discriminant de cette équation est −1 = (i)

²

, les solutions sont z

₁

=

√ 3 + i

2 z

₂

=

√ 3 − i 2

avec les conditions imposées sur les parties imaginaires. On remarque que z

2

est obtenu à partir de j en permutant les parties réelles et imaginaires. On en déduit qu'un argument de z

2

est

^π₂

−

^2π₃

= −

^π₆

. Comme z

1

est le conjugué de z

2

, un argument est

π 6

.

On en déduit le placement des points M

1

et M

2

sur la gure 1.

3. Par dénition,

z

3

= e

^2iπ³

z

2

= e

^2iπ³

e

^−iπ⁶

= e

^3iπ⁶

= i On place M

₃

sur la gure 1.

4. D'après la dénition, l'axe de M

4

est z

4

= z

2

− 1

2 ( √

3 + i) = 1 2 ( √

3 − i) − 1 2 ( √

3 + i) = −i On place le point M

4

sur la gure 1.

5. D'après les dénitions : z

₅

= 1

2 (− √

3 + i) = −z

2

= e

⁻ⁱ^π⁶^+π

= e

ⁱ^5π⁶

z

₆

= 2(−i − √

3) 1 + 3 = − 1

2 ( √

3 + i) = −z

1

= e

ⁱ^π⁶^−π

= e

⁻ⁱ^5π⁶

On en déduit le placement des points M

₅

et M

₆

sur la gure 1.

M

1

M

3

M

5

M

6

M

4

M

2

Fig. 1: Les points sur le cercle unité

6. On a obtenu nalement :

z

₁

= e

ⁱ^π⁶

, z

₂

= e

⁻ⁱ^π⁶

, z

₃

= i, z

₄

= −i, z

₅

= e

ⁱ^5π⁶

, z

₆

= e

⁻ⁱ^5π⁶

On remarque que z

2

= z

1

, z

4

= z

3

, z

6

= z

5

. D'autre part :

(z − e

^iθ

)(z − e

^−iθ

) = z

²

− 2 cos θ + 1 On obtient donc :

6

Y

k=1

(z − z

k

) = (z

²

− √

3z + 1)(z

²

+ 1)(z

²

− √ 3z + 1)

= (z

²

+ 1)

²

− 3z

²

(z

²

+ 1) = (z

⁴

− z

²

+ 1)(z

²

+ 1) = z

⁶

+ 1 On en déduit que l'ensemble des racines sixièmes de −1 est

{z

1

, z

2

, z

3

, z

4

, z

5

, z

6

}

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1301C

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Exercices

1. Posons

S

n

=

n

X

k=1

(−1)

^k−1

k

n k

et utilisons

ⁿ_k

=

ⁿ⁺¹_k

−

_k−1ⁿ

pour transformer S

_n

. Il vient S

_n

=

n

X

k=1

(−1)

^k−1

k

n + 1 k

+

n

X

k=1

(−1)

^k

k

n k − 1

= S

_n+1

− (−1)

ⁿ

n + 1 +

n

X

k=1

(−1)

^k

k

n k − 1

Or

¹_k _k−1ⁿ

=

_n+1¹ ⁿ⁺¹_k

donc le deuxieme terme de l'expression précédente de S

n

est 1

n + 1

n

X

k=1

(−1)

^k

n + 1

k

= 1 n + 1

(1 − 1)

ⁿ⁻¹

− 1 − (−1)

ⁿ⁺¹

Ce qui entraine S

n

= S

n+1

−

_n+1¹

. On en déduit, par récurrence, la formule demandée.

2. Considérons C = {1, . . . , n}

²

. Cet ensemble de couples est un carré . Introduisons les deux triangles formés avec la première diagonale .

T

+

= {(i, j) ∈ C tq i < j}, T

−

= {(i, j) ∈ C tq j < i}, D = {(i, i), i ∈ {1, . . . , n}.

On a alors T = T

+

∪ D , C = T

₋

∪ T

+

∪ D et par symétrie X

(i,j)∈T+

ij = X

(i,j)∈T−

ij (on peut poser i

⁰

= j , j

⁰

= i dans la première somme) .

Notons S la somme étendue à T qui nous intéresse, on peut écrire X

(i,j)∈C

ij = X

(i,j)∈T+

ij + X

(i,j)∈D

ij + X

(i,j)∈T−

ij = 2S − X

(i,j)∈D

ij

X

(i,j)∈C

ij =



 X

i∈{1,...,n}

i







 X

j∈{1,...,n}

j



 =

n(n + 1) 2

²

X

(i,j)∈D

ij = 1 + 2

²

+ · · · n

²

= n(n + 1)(2n + 1) 6

On en déduit S = 1

2 n(n + 1) 2

²

+ n(n + 1)(2n + 1) 6

!

= n(n + 1)

24 (3n(n + 1) + 2(2n + 1))

= n(n + 1)

24 3n

²

+ 7n + 2

= n(n + 1)

24 (n + 2)(3n + 1).

3. Considérons (1 + i)

ⁿ

, la séparation en parties réelle et imaginaire correspond à la séparation des exposants pairs et impairs dans la formule du binôme d'où

(1 + i)

ⁿ

= R

n

+ iI

n

R

²_n

+ I

_n²

= |(1 + i)

ⁿ

|

²

= 2

ⁿ

4. Notons P le produit que l'on veut minorer et développons le

P =

n

X

i=1

a

_i

1 a

i

+ X

(i,j)∈N² i<j

a

_i

a

j

+ a

_j

a

i

Or

a

_i

a

j

+ a

_j

a

i

= r a

_i

a

j

− r a

_j

a

i

²

+ 2 ≥ 2.

On en déduit

P ≥ n + 2 n(n − 1) 2 = n

²

.

Si on connait la formule de Cauchy-Schwarz (ce qui ne devrait pas être le cas en début de sup), on peut l'utiliser avec x

i

= √

a

i

et y

i

= 1/ √

a

i

on a alors x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ · · · + x

n

y

n

≤

q

(x

²₁

+ x

²₂

+ · · · + x

²_n

) q

(y

₁²

+ y

²₂

+ · · · + y

_n²

)

n ≤ p

(a

1

+ a

2

+ · · · + a

n

) s 1

a

₁

+ 1

a

₂

+ · · · + 1 a

_n

On obtient la formule demandée en élevant au carré.

5. Notons S l'expression à calculer. Elle fait penser à la formule du binôme suivante (1 + i √

3)

ⁿ

=

n

X

k=0

n k

(i √ 3)

^k

2

(3)

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L'expression S est la partie de la somme venant des k pairs. C'est donc aussi la partie réelle de cette somme. Comme 1 + i √

3 = 2e

^iπ/3

, on obtient S = 2

ⁿ

cos nπ

3 . 6. a. On obtient

(z − a)(z − b)(z − c) = z

³

− (a + b + c)z

²

+ (ab + bc + ca)z − abc b. Posons

a = w + w

⁶

= w + w = 2 cos(2π/7) b = w

²

+ w

⁵

= w

²

+ w

²

= 2 cos(4π/7) c = w

³

+ w

⁴

= w

³

+ w

³

= 2 cos(6π/7)

et calculons a+b + c , ab +bc +ca , abc en fonction de puissances de w . On simplie en utilisant

w

⁷

= 1 1 + w + w

²

+ w

³

+ w

⁴

+ w

⁵

+ w

⁶

= 0 par exemple :

ab = w

³

+ w

⁶

+ w + w

⁴

bc = w

⁵

+ w

⁶

+ w + w

²

ca = w

⁴

+ w

⁵

+ w

²

+ w

³



 

 

⇒ ab + bc + ca = −2

Après des simplications analogues, on obtient a + b + c = −1 ab + bc + ca = −2 abc = 1

On en déduit que 2 cos(2π/7) , 2 cos(4π/7) , 2 cos(6π/7) sont les trois racines de z