Algorithmique

TES2 –Septembre 2013

fiche : 3

Exemple 1:

Soit (Un) la suite géométrique définie pour tout entier naturel n par Un =

Cette suite est décroissante puisque son premier terme est positif (U0 =1) et sa raison est comprise entre 0 et 1.

Elle a donc pour limite 0 lorsque n tend vers +.

On se propose de déterminer un seuil à partir duquel est inférieur à 10^-40 .

Cela signifie que l’on cherche le plus petit entier n0 tel que si n ≥ n0 , alors 10^-40 . On élabore un algorithme permettant la recherche de ce seuil :

A prend la valeur 1………...

K prend la valeur 0………

Tant que A> 10^-40………

K prend la valeur K+1………

A prend la valeur

3 4

Fin Tant que Afficher K

1 est le premier terme de la suite K désigne le seuil n0 cherché

Tant que UK  10^-40 , on effectue ce qui suit :

 A chaque boucle, on incrémente l’indice de 1 ;

 On calcule UK.

La boucle s’arrête lorsque UK 10^-40.

La valeur affichée après la mise en œuvre de cet algorithme fournit le seuil n0 cherché.

On obtient n0 = 321. Donc, pour n supérieur ou égal à 321 , 10^-40 .

Exemple 2 :

Soit (Un) la suite géométrique de raison et de premier terme U0 = 10.

Ecrire un algorithme permettant de déterminer le plus entier n0 tel que si n  n₀ alors Un 10^-90 . Programmer cet algorithme à l’aide de la calculatrice et en déduire la valeur de n0 .

Réponse :

Voici l’algorithme permettant de déterminer le seuil cherché et sa transcription sur calculatrice.

A prend la valeur 10 I prend la valeur 0

Tant que A> 10^-90 I prend la valeur I+1 A prend la valeur 1

3^×A Fin Tant que

Afficher K

On obtient I = 191.Donc , à partir de n =191 , on trouve Un 10^-90 Exemple 3 :

1- a) Programmer l’algorithme ci-dessous sur votre calculatrice b) Vérifier que la calculatrice affiche I = 379

c) Caractériser le nombre affiché par cet algorithme.

d) Comment modifier cet algorithme pour afficher le plus petit entier n tel que : ( 10^-50 ? 2- Soit la suite (Un) définie par son premier terme U0 = 3 et par la relation Un+1 =0.2Un.

Modifier l’algorithme précédent afin de déterminer le plus petit entier n tel que Un < 10^{-40 .}

A prend la valeur 1 I prend la valeur 0

Tant que A> 10^-30 I prend la valeur I+1 A prend la valeur 5

6^×A Fin Tant que

Afficher K

Réponse :

1-

c. 379 est le plus petit entier à partir duquel ( 10^-50

.

d. Écrire « Tant que ^{A  10–50} ».

2.

A prend la valeur 3 I prend la valeur 0

Tant que A> 10^-40 I prend la valeur I+1 A prend la valeur 0.2×A

Fin Tant que Afficher I

Entraînement :

E1- On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1. Quelle est la limite de cette suite lorsque n tend vers + ∞ ?

2. Voici un algorithme :

I prend la valeur 0 A prend la valeur 1

Tant que A> 10^-30

I prend la valeur I+1 A prend la valeur5

6 ^{× A}

Fin Tant que Afficher I

Que représente le nombre I affiché en fin d’algorithme ?

3. Si, dans l’algorithme précédent, on modifie la ligne 3 en écrivant « Tant que A> 10^-40 », la valeur de I affichée à la fin sera-t-elle supérieure ou inférieure à la valeur de I obtenue avec le premier algorithme ? Réponse :E1

E2- On considère l’algorithme :

Saisir A Saisir N

Pour I variant de 1 à N

A prend la valeur 0,2× A Fin Pour

Afficher A

a- Quelle valeur de A sera affichée après exécution de cet algorithme si on entre A = 2 et N = 5 ? si on entre A = -2 et N = 4 ?

b. Modifier cet algorithme de telle sorte qu’il permette l’affichage des N premiers termes de la suite (un) définie pour tout entier naturel n par u0 = 9 et un+1 = 0,2un.

Réponse E2:

E3- Écrire un algorithme permettant l’affichage du terme d’indice 20 de la suite (un) définie pout tout entier naturel n par : u0 = -6 et un+1 = 0,4un.

Réponse :E3

E4-Soit l’algorithme suivant :

A prend la valeur 1 S prend la valeur 1 Pour I variant de 1 à 19

A prend la valeur 0,5× A S prend la valeur S + A Fin Pour

Afficher S

1. A quoi correspondent les valeurs de A ?

2. A quoi correspond la valeur affichée en sortie de cet algorithme ? Réponse :E4

E5- Soit la suite (

v

v

n. 1. Quelle est la limite de cette suite lorsque n tend vers + ∞ ?

2. Voici un algorithme :

I prend la valeur 0 A prend la valeur 1 Tant que A> 10^-30

I prend la valeur I+1 A prend la valeur 3

5^×A Fin Tant que

Afficher I

Que représente le nombre I affiché en fin d’algorithme ?

3. Programmer cet algorithme sur votre calculatrice et déterminer le nombre I.

Réponse :E5

E6- On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = 2 × (5 7 ⁾

n. 1. Quelle est la limite de cette suite lorsque n tend vers + ∞ ?

2. En vous aidant de l’exercice précédent, écrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier n0 tel que si n > n0

alors 0 < un < 10^-80.

3. Programmer cet algorithme sur votre calculatrice et déterminer l’entier n0. Réponse :E6

E7- 1. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = (4 5⁾

n.

Pour tout entier naturel n non nul, on note Sn, la somme des n premiers termes de la suite (un).

Calculer S15= u0 + u1 + u2 + …+ u14. En donner une valeur approchée à 10^-9 près.

2. Voici un algorithme

A prend la valeur 1 S prend la valeur 1 I prend la valeur 1 Tant que S < 5- 10^-10 I prend la valeur I + 1 A prend la valeur 0,8 × A S prend la valeur S + A Fin Tant que

Afficher I a. A quoi correspondent les valeurs de A ?

b. A quoi correspondent les valeurs de S ?

c. A quoi correspond la valeur affichée en sortie de cet algorithme ? 3. Programmer cet algorithme sur la calculatrice et déterminer le nombre I.

Réponse :E7

Sujet de BAC

1. On injecte dans le sang d'un malade une dose de médicament M. On note C0 la concentration (en milligrammes par litre noté mg/L) du médicament injecté, C0 = 4.

On constate que la concentration du médicament M diminue de 30% chaque heure et on estime que le médicament est totalement éliminé lorsque cette concentration est inférieure à 0,01.

Utiliser l'algorithme ci-contre afin de déterminer le nombre d'heures nécessaire à l'élimination totale du médicament :

2. En fait, le taux d'élimination du médicament est différent pour chaque patient.

Modifier l’algorithme précédent afin que l'utilisateur puisse choisir la valeur de ce taux.

Entrée : Saisir S

Initialisation : C prend la valeur 4 n prend la valeur 0 Traitement :

Tant que C > S Faire n prend la valeur n + 1

C prend la valeur C × 0,7 Fin Tant que

Sortie : Afficher n

1. Écriture du programme

 Créer un nouveau programme "SEUIL"

 Entrée de la valeur du Seuil S

"S" : ? → S

 " s'obtient avec ALPHA x10^x

 : s'obtient avec F6 puis F5

 ? s'obtient avec SHIFT VARS puis F4

 Initialisation des variables N et C

.0. → N puis EXE N : nombre d'heures écoulées depuis l’injection .4. → C puis EXE C : concentration du médicament

 Saisie de l’instruction « tant que »

Menu programmation,( SHIFT VARS ) choisir COM (F1); touches F6 et F6, et sélectionner Whle (F1)

Saisir la condition sur la même ligne (ici C > S).

 > s'obtient avec SHIFT VARS, F6 ,menu REL, et touche F3

- Traitement (tant que la condition est vérifiée) : .N  1. → N puis EXE (N augmente de 1)

.C. .×. .0.7. → C puis EXE (C diminue de 30%) - Fin de l’instruction « tant que »

Menu PRGM,( SHIFT VARS ) choisir COM (F1); touches F6 et F6, et sélectionner WEnd (F2)

 Affichage du nombre de périodes N

 Quitter le mode de programmation Touche EXIT trois fois

3. Exécuter le programme

 Menu

 Sélectionner le programme SEUIL en choisissant EXE (touche F1 ).

 Saisir la valeur pour la variable S (ici 0,01).

Le médicament est totalement éliminé en 17 heures.

4. Modifier le programme

Le programme doit non seulement demander le seuil souhaité S mais aussi le taux de diminution T. Il faut insérer une entrée T et modifier l'écriture de la boucle tant que.

Si le taux de diminution est T, la concentration est multipliée à chaque étape par 1 – T/100

Editer le programme SEUIL ( EDIT )

 Insérer une ligne : placer le curseur à l'endroit où doit débuter la ligne à insérer (ici au début de la 3° ligne).

Appuyer sur EXE

 Entrée de la valeur du taux T

 Modifier le calcul de la concentration :

C × (1 – T÷100) à la place de C × 0,7

 Quitter le mode édition

 Exécuter le programme, cette fois il faut saisir les valeurs de S et de T. Valider avec EXE.

Pour un patient dont le taux de diminution est de 25%, il faut 21 h.



Éditer à nouveau le programme SEUIL Modifier la dernière ligne comme ci-contre.

Pour afficher du texte, on le place entre

guillemets "

84

Réponse :E1

1. = 0

2. Le nombre I affiché représente le plus entier n0 tel que, si n  n₀, Vn 10–30.

3. La valeur affichée sera supérieure car Vn 10–40.

Réponse E2:

47 a. A = 0,0032 ; A = –0,016.

b. Saisir A Saisir N

Pour I variant de 1 à N A prend la valeur 0,2 A Afficher A

Fin Pour

On exécute cet algorithme en entrant la valeur 9 dans A.

Réponse :E3

A prend la valeur -6 Pour I variant de 1 à 20 A prend la valeur 0,4 A Fin Pour

Afficher A

Réponse :E4

1. Les valeurs de A correspondent aux 20 premiers termes de la suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 1.

2. S est la somme de ces termes donc : S = 1 + 0,5 + 0,5² + … + 0,5¹⁹ = 2 (1 – 0,5²⁰).

Réponse :E5

1. La suite tend vers 0.

2. Le nombre I représente le plus petit entier tel que si n  I, alors Vn 10^–30. 3. I = 136.

Pour afficher I = 226, il faut écrire A  ^10–50.

Réponse :E6

1. Limite nulle.

2. I prend la valeur 0 A prend la valeur 2 Tant que A  10^–80

I prend la valeur I + 1 A prend la valeur 5/7A Fin Tant que

Afficher I 3. n0 = 550.

Réponse :E7

1. S₁₅ ≈ 4,824078140

2. a. Les valeurs de A sont les termes successifs d’une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme 1.

Les valeurs de S sont les sommes des termes successifs de cette suite.

b. La valeur I affichée en sortie est le plus petit entier I tel que, si n  I, alors Sn  5 – 10^–10. On illustre ainsi le fait que la suite (Sn) a pour limite 5.

3. I = 111