Mini-projet d'analyse numérique du cours MAP 431 Théorie de Bloch-Floquet et applications

Mini-projet d'analyse numérique du cours MAP 431 Théorie de Bloch-Floquet et applications

en physique du solide

Sujet proposé par Eric Cancès (cances@cermics.enpc.fr)

Ce mini-projet porte sur la théorie de Bloch-Floquet et ses applications dans le calcul de la structure électronique des matériaux cristallins. Dans tout ce qui suit, on utilisera le sys- tème d'unités atomiques, obtenu en xant les valeurs de certaines constantes fondamentales de la physique :

~= 1, me = 1, e= 1, 4π0 = 1,

où~désigne la constante de Planck réduite,mela masse de l'électron, ela charge élémen- taire, et₀ la permittivité diélectrique du vide.

Dans la théorie de la fonctionnelle de la densité [3], l'état électronique d'un cristal parfait est décrit par un Hamiltonien de la forme

H_per=−1

2∆ +V_per, (1)

où ∆ est l'opérateur Laplacien dans R³, et V_per : R³ → R une fonction périodique, modélisant le potentiel eectif ressenti par les électrons.

Ce mini-projet consiste à étudier d'un point de vue théorique et numérique les Hamiltoniens de la forme (1) en dimension d'espaced≤3 (d= 3en physique, mais on se limitera ici à des simulations numériques pour d= 1 etd= 2 facilement exécutables sur un ordinateur portable). Pour simplier les notations, on supposera que Vper est Z^d-périodique, c'est-à- dire que

∀R∈Z^d, Vper(x−R) =Vper(x) pour presque toutx∈R^d.

On noteΓ =]−1/2,1/2]^dla cellule de Wigner-Seitz du cristal, etΓ^∗=]−π, π]^dsa première zone de Brillouin [2]. On introduit les espaces de Hilbert

L²_per =n

u∈L²_loc(R^d,C)|uZ^d-périodiqueo

, (u, v)_L²

per= ˆ

Γ

u v, et, pour toutm∈N^∗,

H_per^m = n

u∈H_loc^m(R^d,C)|uZ^d-périodiqueo

, (u, v)H_per^m = X

|α|≤m

ˆ

Γ

∂^αu ∂^αv.

On montre facilement, en utilisant les séries de Fourier, que pour tout0≤m < n, l'injection H_perⁿ ,→H_per^m est compacte (par convention H_per⁰ =L²_per).

Eléments de théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints

SoitHun espace de Hilbert réel ou complexe. Un opérateur linéaire surHest par dénition une application linéaireA : D(A)→ H, oùD(A)est un sous-espace vectoriel deH, appelé le domaine deA. On dit que l'opérateurA est à domaine dense siD(A) est dense dansH. Soit Aun opérateur linéaire sur H à domaine denseD(A). L'adjoint de A est l'opérateur linéaire surHnoté A^∗ déni par

D(A^∗) ={u∈ H | ∃v_u ∈ Htel que ∀w∈D(A), (vu, w)H= (u, Aw)H}, où (·,·)_H désigne le produit scalaire deHet

∀u∈D(A^∗), A^∗u=vu,

vu désignant l'unique vecteur de H tel que ∀w ∈ D(A), (vu, w)H = (u, Aw)H (l'unicité est une conséquence du théorème de Riesz et de la densité de D(A) dansH). On dit que l'opérateur Aest auto-adjoint siA^∗=A, autrement dit si

D(A^∗) =D(A) et ∀u∈D(A^∗) =D(A), A^∗u=Au.

On peut montrer que pour toutV_per∈L²_per, l'opérateurH_per =−1

2∆+V_perest auto-adjoint surL²(R^d,C) de domaineH²(R^d,C).

Soit A un opérateur sur H à domaine dense D(A). Le spectre de A est le sous-ensemble de Cnotéσ(A)déni par

σ(A) ={λ∈C|(λ−A) : D(A)→ Hnon-inversible}, où (λ−A)désigne l'opérateur (λIH−A) (λfois l'opérateur identité moins A).

Question 1. Spectre d'un operateur auto-adjoint

Soit H un espace de Hilbert complexe et A un opérateur auto-adjoint sur H de domaine D(A). Soitλ∈C\R.

1.a Montrer que

∀u∈D(A), |((λ−A)u, u)H| ≥ |=(λ)| kuk²_H, où=(λ) désigne la partie imaginaire deλ, et en déduire que

∀u∈D(A), k(λ−A)uk_H≥ |=(λ)| kuk_H. (2) 1.b Montrer que l'opérateur(λ−A) est injectif.

1.c SoitF := (λ−A)D(A)l'image de l'opérateur(λ−A),(f_n)n∈Nune suite d'éléments de F qui converge dans Hvers un certain f ∈ H, et(un)n∈N l'unique suite d'éléments deD(A) telle que(λ−A)un=fn pour tout n∈N. En utilisant (2), montrer que la suite(u_n)n∈Nconverge dans Hvers un certain u∈ H.

1.d Montrer queu∈D(A)et queAu=f. Indication : montrer queu∈D(A^∗)et conclure et utilisant le fait queD(A^∗) =D(A).

1.e Montrer que F =H. Indication : on montrera que F est fermé et dense dans H.

Théorie de Bloch-Floquet

On noteL² :=L²(R^d,C)et

(u, v)_L² :=

ˆ

R^d

u(x)v(x)dx.

De même, on note pour toutm∈N^∗,H^m :=H^m(R^d,C), et

(u, v)H^m := X

|α|≤m

ˆ

R^d

∂^αu(x)∂^αv(x)dx.

Pourg∈L¹(Γ^∗), on note

Γ^∗

g(q)dq= 1

|Γ^∗| ˆ

Γ^∗

g(q)dq= 1 (2π)^d

ˆ

Γ^∗

g(q)dq.

Soit H :=L²(Γ^∗, L²_per). Un élémentv de H est une fonction v_q(x) (q ∈Γ^∗, x ∈R^d) telle que pour presque toutq ∈Γ^∗,v_q(·)∈L²_per et

kvk_H=

Γ^∗

kv_qk²_L2 perdq

1/2

<∞.

Muni du produit scalaire déni par

∀(v, w)∈ H × H, (v, w)H:=

Γ^∗

(vq, wq)_L²_perdq, Hest un espace de Hilbert.

Pouru∈C_c^∞(R^d,C), on pose

∀q∈Γ^∗, ∀x∈R^d, (Bu)_q(x) = X

R∈Z^d

u(x+R)e^−iq(x+R). (3) Pourv ∈ H, on pose

(Cv)(x) =

Γ^∗

v_q(x)e^iq·xdq.

Question 2. Transformation de Bloch

2.a Montrer que pour toutu∈C_c^∞(R^d,C),Bu∈ H ∩C^∞(Γ^∗,C) etkBuk_H=kuk_L2. 2.b En déduire que l'application linéaire B de C_c^∞(R^d,C) dans H dénie par (3) s'étend

de manière unique en une application linéaire isométrique, encore notée B, de L² dans H. Cette application linéaire est appelée la transformation de Bloch (associée au réseauZ^d).

2.c Montrer que pour tout v ∈ H,Cv ∈L²_loc(R^d,C), puis que pour tout u ∈C_c^∞(R^d,C), C(Bu) =u.

2.d En utilisant la théorie des séries de Fourier en dimension d, montrer que pour tout v∈ H,Cv∈L² etkCvk_L2 =kvk_H.

2.e En déduire que la transformation de Bloch dénit donc une isométrie bijective deL² dansH, d'inverseB⁻¹ =C.

2.f Pour simplier, on suppose dans cette question que Vper est de classe C^∞, mais le résultat reste vrai pour tout V_per∈L²_per. Sous cette hypothèse, H_peru∈C_c^∞(R^d,C) pour tout u∈C_c^∞(R^d,C). Montrer que

(B(H_peru))_q=H_q(Bu)_q,

oùHq est l'opérateur auto-adjoint sur L²_per de domaine H_per² déni par

∀v∈H_per² (Γ), H_qv=−1

2∆v−iq· ∇v+1

2|q|²v+V_perv.

Remarque. Les résultats ci-dessous montrent que l'opérateur BH_perB⁻¹, qui est auto- adjoint sur H, est diagonal par bloc : pour toutv ∈ H, (BH_perB⁻¹v)_q =H_qv_q. Comme B est une isométrie bijective, on a donc

σ(Hper) =σ(BH_perB⁻¹) = [

q∈Γ^∗

σ(Hq).

Pour obtenir le spectre deH_per, il sut donc de calculer le spectre des opérateurs H_q. Question 3. Spectre des opérateurs H_q et H_per

3.a Soitλ∈R. Montrer que(λ−Hq) : H_per² →L²_per est non-injectif si et seulement si il existe u∈H_per¹ tel que

∀v∈H_per¹ , a_q(u, v) =λ(u, v)_L2

per, (4)

où

a_q(u, v) = 1 2

ˆ

Γ

∇u· ∇v+ ˆ

Γ

(−iq· ∇u)v+1 2|q|²

ˆ

Γ

u v+ ˆ

Γ

V_peru v.

3.b En admettant que le Théorème 7.3.2 et la Remarque 7.3.3 du cours [1] sont encore valables lorsqu'on travaille avec des espaces de Hilbert complexes (en remplaçant l'hypothèse de symétrie de la forme bilinéaire par une hypothèse d'hermiticité de la forme sesquilinéaire), montrer que pour tout q ∈ Γ^∗, il existe une suite croissante (_n,q)n≥1 de réels qui tend vers+∞, et une base Hilbertienne(u_n,q)n≥1 de L²_per telle que

∀n∈N, H_qu_n,q =_n,qu_n,q. 3.c Montrer que σ(Hq) ={_n,q}_n≥1.

3.d En admettant que les formules de Courant-Fisher [1, Proposition 7.3.4] sont encore valables pour les formes sesquilinéaires sur les espaces de Hilbert complexes, montrer que pour toutn≥1, la fonctionq 7→_n,q est continue sur Γ^∗, puis vérier que pour toutq ∈]−π, π[^d,n,−q=_n,q.

3.e Déduire des questions précédentes que le spectre deH_per est une union dénombrable d'intervalles fermés (on parle de spectre de bandes).

Simulations numériques du spectre de bandes d'un cristal parfait

Question 4. Calcul d'un spectre de bandes en 1D avec Scilab

Vper(x) = cos(2πx);

V_per fonction 1-périodique égale à sin(πx) sur l'intervalle]0,1],

la partie du spectre de H_per comprise entre −∞ et 10 en discrétisant (4) en modes de Fourier, et en utilisant Scilab. On étudiera, pour chacun des deux potentiels ci-dessus, la vitesse de convergence des extrémités des bandes en fonction de la taille de l'espace d'approximation. Commenter les résultats obtenus.

Question 5. Calcul d'un spectre de bandes en 2D avec FreeFem++

On considère le cas où d = 2 et Vper(x, y) = cos(2πx) + 3 sin(2π(x+y) + 1). Calculer numériquement la partie du spectre deH_per comprise entre−∞ et 10 en discrétisant (4) par la méthode des éléments nisP1 et en utilisant FreeFem++. On étudiera la vitesse de convergence des extrémités des bandes en fonction de la nesse du maillage, et en fonction du type d'élements nis choisi. Eectuer la même analyse avec des éléments nis P2.

Références

[1] G. Allaire, Analyse numérique et optimisation, Ecole Polytechnique, Edition 2011.

[2] A. Georges, cours PHY 552A : Physique quantique des électrons dans les solides.

[3] W. Kohn, Nobel Lectures, Chemistry 1996-2000, Ingmar Grenthe ed., World Scientic Publishing, Singapore, 2003.