Mini-projet d'analyse numérique du cours MAP 431 Un problème de magnétostatique
sujet proposé par F. Alouges alouges@cmapx.polytechnique.fr
On considère le problème de la magnétostatique suivant, posé dans R3 :
(1)
rot(h) =j div(b) = 0
où h et b (à valeurs dans R3) sont respectivement le champ et l'induction magné- tiques, etj est une source de courant, supposée localisée dans Ω¯ (Ωest ici un ouvert régulier de R3).
On adjoint à ces équations la loi de comportement linéaire
(2) b=µh dans R3
où la perméabilité magnétique µ=µ(x) prend ici deux valeurs :
(3) µ(x) =
µ0 >0 six∈R3\Ω µ1 > µ0 six∈Ω.
On pose alors h=hs+∇φ avec
(4) rot(hs) =jdans R3.
Remarque : j n'est pas supposé régulier ici, en particulier la surface ∂Ω pourra porter une densité surpercielle de courant et l'équation (4) est alors à comprendre dans un sens faible. On admettra néanmoins que sous certaines conditions surj, on peut relever celui-ci par un champ sourcehs vériant (4); on supposera dans la suite que hs est à support uniquement dans Ω¯ et a une régularité H1( ¯Ω). Par contre, hs
n'est pas nécessairement nul sur le bord deΩ.
Le but du projet est, connaissant le champ sourcehs, de calculer le champ de réaction
∇φ an d'en déduire le champ magnétique total h, et l'induction b.
On approche le problème posé surR3 tout entier par un problème posé sur une boîte B englobantΩ, en rajoutant la condition aux limites
(5) b.~n = 0 sur∂B
où~n est la normale extérieure à ∂B.
1
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1. On pose H = {ψ ∈ H1(B), R
Bψdx = 0}. Montrer qu'il existe une constante C >0 telle que
∀ψ ∈H, Z
B
ψ2dx≤C Z
B
|∇ψ|2dx
(on pourra raisonner par l'absurde). Que peut on dire de H muni de k.k où kψk=
Z
B
|∇ψ|2dx 1/2
?
2. On pose pour tout φ, ψ∈H, a(φ, ψ) =
Z
B
µ(x)∇φ.∇ψdx, et
L(ψ) =− Z
B
µ(x)hs.∇ψdx.
Montrer que le problème Trouver φ∈H, telle que ∀ψ ∈H, a(φ, ψ) =L(ψ)" a une unique solution.
3. Interpréter la formulation variationnelle précédente, i.e. donner les équations satisfaites parφ au sens faible dansΩet dans B\Ω¯, ainsi que les conditions au bord de Ω et de B vériées par φ. Faire le lien avec le problème de la magnétostatique exposé ci-dessus.
4. On considère un maillage de B par des triangles de telle sorte que ce maillage respecte la frontière deΩ(supposé polyédrique), et une approximation du problème par des éléments nis P1. On noteVh l'espace des fonctions deH1(B), linéaires sur chaque triangle du maillage, et continues surB. Ecrire la formulation variationnelle discrète associée au problème continu de la question 2. Montrer que celle-ci admet une unique solution; en déduire que la formulation variationnelle
(6) Trouver ϕh ∈Vh, ∀ψh ∈Vh, a(ϕh, ψh) = L(ψh) admet une innité de solutions que l'on décrira.
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5. On suppose queΩest un ouvert polyédrique, et que la solution exacte de (2) a la régularitéH2 surΩetB\Ω(φn'est en général pas H2 surB car sa dérivée normale peut avoir un saut sur ∂Ω. Donner une estimation théorique de l'erreur kφ−ϕhk oùϕh est une solution de (6), en fonction de |φ|H2(Ω∪B\Ω).
6. Ecrire un programme en Scilab permettant de calculer la solution approchée à l'aide d'éléments nis P1, en dimension un (on pourra commencer par résoudre le problème (6). On prendraB =]−2,2[,Ω =]−1,1[eths= 1 surΩ¯,hs = 0surB\Ω. On tracera sur un même graphique cette solution approchée, et la solution exacte que l'on calculera explicitement.
7. Calculer, à l'aide de FreeFem++, la solution approchée en dimension deux, toujours à l'aide d'éléments nis P1, dans le cas suivant :
(7)
B = ]−2,2 [×]−2,2 [
Ω = {(x1, x2), x21+x22 <1/4} avec la perméabilité
(8) µ(x) =
2 pourx∈Ω 1 pourx∈B\Ω et le champ source
(9) hs(x) =
(0,1)tpourx∈Ω¯ (0,0)tpourx∈B\Ω¯
On visualisera la solution φ ainsi que le champ de réaction ∇φ. Commenter la solution obtenue par rapport au cas unidimensionnel.
8. Reprendre la question 7 en faisant varier le domaineΩ. On prendra tout d'abord une ellipse puis un rectangle. Observer que dans le cas d'une ellipse, ∇φ paraît constant dans Ωet que ce n'est pas le cas pour un rectangle.
9. Un calcul en dimension 3. On cherche à approcher le véritable problème en dimension 3. On appelle (x, y, z) les coordonnées. Pour se ramener à un prob- lème bidimensionnel (calculable dans FREEFEM++) on envisage une situation ax- isymétrique. On suppose que Ω est un ellipsoïde (on décrit ci-dessous le cas d'une sphère) vertical centré en(0,0,0), quehs = (0,0,1)t et que la boîte B est un cylin- dre vertical centré en (0,0,0) susamment grand. Montrer (par symétrie) que la solutionφdu problème ne dépend que des variables(r, z)(oùr =p
x2+y2). Ecrire la formulation variationnelle axisymétrique du problème et la résoudre à l'aide de FREEFEM++. On prendra pour la boîte et pour le domaine (une sphère de rayon 1/2)
(10) B ={(r, z)∈[0,2[×]−2,2[}, Ω = {(r, z)tel que r2+z2 < 1 4}.
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Vérier que pour des ellipsoïdes ∇φ est toujours constant dans Ω. Comparer avec le cas où Ω est un cylindre.
