Premier problème : magnétostatique

MP – Physique-chimie. Devoir en temps libre

Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 4

DL n°2-1 : corrigé

Premier problème : magnétostatique

Concours commun polytechnique MP 2004 (physique 2, partie B)

I-Préliminaires

I-1 Superposition d’un champ uniforme et de celui d’un dipôle 1- Expliciter le champ B_R =B_a+B : _M

3 3

3 5

1 3

2 2

z

R a z

R e r

B B R e r

r r

  ⋅ 

 

=  +  − 

  

 

2- Calculer le produit scalaire B_R⋅re : _r

3

1 3 cos

R r a

B r e B r R r

 

⋅ =  −  θ

 

3- En déduire que B est tangent à la sphère. _R Le produit scalaire B_R⋅r e_r

est nul pour r=R^{. Cela} implique donc que le champ B_R

n’ait pas de composante radiale au niveau de la surface de la sphère de rayon R. Le champ B_R

est donc tangent à la sphère.

Sur la surface de la sphère, le champ B_R

a pour expression :

{ ( ) } ^{{ }}

3 3

sin sin cos

2 2

3 sin 2

R a z z r r a z x

a

B B e e e e B e e

B e_θ

= − ⋅ = θ θ − θ

= − θ

Le module du champ sur la sphère a donc pour expression 3 sin

R 2 a

B = B θ

, cette valeur est maximale pour 2 θ =π^.

4- Tracé approximatif des lignes de champ.

Loin de la sphère, c’est le champ uniforme selon Oz qui l’emporte tandis qu’au niveau de la sphère les lignes de champ sont tangentes à la sphère, ce qui signifie qu’elles contournent la sphère.

I.2 Moment magnétique d’une distribution sphérique de courant

1- Direction du champ ^B

( )

^O . Les lignes de courant sont des cercles entourant l’axe Oz et la distribution de courant est invariante par révolution autour de l’axe Oz. Tout plan contenant l’axe Oz est donc un plan d’antisymétrie de la distribution de courant et cela implique qu’en tout point de l’axe Oz, et donc en particulier en O, le champ B

est selon Oz : ^B

( )

^{O =B}

( )

^{O ez .}

2- Calculer le champ ^B

( )

⁰ . Pour un élément de courant J dS_S

, la loi de Biot-Savart s’écrit en O :

( )

⁰ 2 ^{PO 0 0} 2 ^{0 0} 2

sin sin

O 4 4 4

S

r

J dS e J J

dB e e dS e dS

R R ^ϕ R ^θ

µ ∧ µ θ µ θ

= = − ∧ = −

π π π

z

x O

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Seule nous intéresse la composante axiale :

( )

^{0 0} 2 ^{0 0} 2²

sin sin

O 4 4

z z

J J

dB e e dS dS

R ^θ R

µ θ µ θ

= − ⋅ =

π π

Cette composante ne dépendant que de l’angle polaireθ, nous pouvons prendre pour surface élémentaire dS la surface d’une couronne comprise entreθ etθ + θd : dS = π2 R²sinθ θd . Le champ ^dBz

( )

^O dû à cette couronne circulaire a donc pour expression :

( )

^{O 0 0 sin3}

z 2

dB =µ J θ θd

Il suffit dès lors d’intégrer ce champ entre θ =0 et θ = π :

( )

^{0 0 3 0 0}

0

O sin 2

2 3

z

B J d J

µ π

=

∫

θ θ = µ ^{, soit B}

^{( )}

^{O = µ2}₃ ^{0J e0z} 3- Moment magnétique d’une tranche. Chaque tranche de la

distribution de courant est assimilable à une boucle de courant de surface ^{S= π}

(

^Rsinθ

)

^{2 et de}

courant dI =J R d_S θ =J R₀ sinθ θd . Le moment magnétique élémentaire associé a donc pour expression : ^dM

( )

^{θ = πJ R0 3sin3θ θd ez.}

4- Moment magnétique total. Il suffit d’intégrer entre θ =0 et θ = π, d’où :

3 3 3

0 0

0

sin 4

S z 3 z

M J R d e R J e

= π

∫

π θ θ = π

II- Sphère supraconductrice dans un champ magnétique

II-1 Propriétés du courant et du champ. Conséquences

1- Montrer que dans un supraconducteur parfait en régime stationnaire, le courant volumique est nul.

La forme locale du théorème d’Ampère s’écrit : rot B = µ₀J . Si B

est nul, alors rotB =0

et donc J =0 .

2-(a) Continuité de B . La relation de passage du champ _N B

à travers une nappe de courant s’écrit :

2 1 0 S 12

B − = µB J ∧n

. Cela implique

(

^B2−B1

)

^{⋅n12 =0} ou encore B_{2 N} =B_1N.

2-(b) Champ extérieur tangent ? Le champ étant nul à l’intérieur de la sphère et la composante normale du champ étant continue, la composante normale du champ est donc également nulle sur la surface extérieure de la sphère : le champ extérieur est donc tangent à la sphère supraconductrice.

2-(c) Propriété correspondante du champ électrique ? Pour le champ électrique, la relation de passage s’écrit : _{2 1 12}

0

E −E = σ n ε

. En conséquence, la composante tangentielle du champ électrique est continue. Le champ électrique est normal à la surface de la sphère.

3-(a) Discontinuité de B . La relation de passage du champ _T B

à travers une nappe de courant s’écrit :

2 1 0 S 12

B − = µB J ∧n

. Cela implique la discontinuité de la composante tangentielle de B

orthogonale au courant de surface J_S

, soit : B_{T 2}−B_T1= µ₀J_S.

O P

θ θ + θd

JS

z

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3-(b) Existence d’une nappe de courant surfacique. Le champ est nul à l’intérieur de la sphère et peut ne pas être nul à l’extérieur pour ce qui est de sa composante tangentielle du fait de l’existence de courants surfaciques obéissant à la relation de discontinuité : _{ext ext}

0

1

JS = n ∧B µ

.

3-(c) Théorème d’électrostatique correspondant ? Il s’agit bien sûr du théorème de Coulomb exprimant le champ électrique à la surface d’un conducteur chargé. Le champ est nul à l’intérieur du conducteur et peut être non nul à l’extérieur dès lors qu’il existe des charges de surface telles que : _{ext ext}

0

E = σ n ε

. 4- Exprimer J_S en fonction de B , _a θ et e_ϕ. À la surface de la sphère, le champ prend la valeur

3 sin

R 2 a

B = − B θe_θ

. Nous en déduisons la valeur de J_S

:

0 0 0

3 sin 3 sin

1

2 2

a a

S r R r

B B

J = e ∧B = − θe ∧ = −e_θ θe_ϕ

µ µ µ

5- Champ créé dans la sphère : Ce problème a déjà été traité à la question I.2.1 avec ₀

0

3 2 Ba

J = −

µ ^{. Nous}

avions démontré que

( )

^{0 0 0}

0

3

2 2

O 3 3 2

a

z z a z

B = µ J e = − µ B e = −B e µ

.

Conclusion : le champ résultant à l’intérieur de la sphère est bien nul. B_int = −B e_az+B e_az =0 .

6- Application numérique : 3 1 ₇ ^{6 1}

, 1, 2 10 A m

2 2 4 10

JSR π × ₋ ^{− −}

= − = × ⋅

  × π×

 

7- Expliciter le moment magnétique induit.

3 3

0

0

4 2

S 3 z a z

M = πR J e = − πR B e µ

. Application numérique :

6

2 7

2 10

1 5, 0 A m

4 10

MS

−

−

= π× × = ⋅

π×

II-2 Rupture de supraconductivité. État intermédiaire.

1- En quel endroit de la surface se produira en premier le phénomène ? La supraconductivité cesse tout d’abord au niveau du cercle équatorial, pour

2

θ =π, là où le module du champ prend la valeur

maximale 3 2B^a.

2- Courant surfacique critique : _c ^c

0

J = B

µ . Pour le niobure d’étain : _c 12, 5 ₇ ^{6 1} 9, 94 10 A m 4 10

J = ₋ = × ⋅ ⁻

π×

3- Champ maximal. Comme cela a été vu à la question I.1.3. le champ maximal est tel que _c 3 ₁ B =2B . Pour qu’il ne se produise pas de phénomène de supraconduction il faut donc que :

1 2 c

8, 33 T B <3B = .

4- Montrer que la sphère n’est pas entièrement dans son état normal. À partir de cette valeur B , la ₁ sphère ne va cesser d’être supraconductrice que dans sa bande équatoriale. Le reste de la sphère est encore supraconducteur : c’est en cela que consiste l’état intermédiaire dans lequel la sphère est partiellement supraconductrice et partiellement « normale ».

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5- Champ pour lequel cesse l’état intermédiaire. En particulier, la sphère restera supraconductrice aux pôles tant que l’on n’atteint pas la valeur critique aux pôles, ce qui correspond à B₂<B_c.

II-3 Lévitation magnétique

1- Force résultante nulle ? Pour chaque élément de courant de chaque couronne de courant, la force exercée par le champ appliqué est donnée par la formule de Laplace :

2

d F =dI d ∧Ba

. Le vecteur B_a

définissant l’axe polaire, d

est orthoméridien et d F²

est en conséquence une force radiale en coordonnées cylindriques. La résultante de ces forces est nulle pour chaque couronne et donc aussi nulle pour la sphère toute entière.

2- Énergie potentielle d’interaction du dipôle : ^{dε = −pm dMs⋅Ba = − −}

(

^{K dBa}

)

^{⋅Ba =d}_¹₂^KBa2_^.

On en déduit : 1 ² 2

te

pm KBa C

ε = +

3- Lévitation magnétique. L’équilibre est stable quand l’énergie potentielle est minimale, cela implique que la sphère sera repoussée vers les régions de champ faible.

d

Ba

d F2