Mini-projet d'analyse numérique du cours MAP 431 Structure électronique des cristaux

Mini-projet d'analyse numérique du cours MAP 431 Structure électronique des cristaux

Sujet proposé par Eric Cancès (cances@cermics.enpc.fr)

Ce mini-projet concerne la modélisation de la structure électronique des cristaux. Dans tout ce qui suit, on utilisera le système d'unités atomiques, obtenu en xant les valeurs de certaines constantes fondamentales de la physique :

~= 1, m_e = 1, e= 1, 4π₀ = 1,

où~désigne la constante de Planck réduite,mela masse de l'électron, ela charge élémen- taire, et₀ la permittivité diélectrique du vide.

Dans la théorie de la fonctionnelle de la densité [3], l'état électronique d'un cristal parfait est décrit par un Hamiltonien de la forme

H_per=−1

2∆ +V_per, (1)

où ∆ est l'opérateur Laplacien dans R³, et V_per : R³ → R une fonction périodique, modélisant le potentiel eectif ressenti par les électrons.

Ce mini-projet consiste à étudier d'un point de vue théorique et numérique les Hamiltoniens de la forme (1) en dimension d'espaced≤3 (d= 3en physique, mais on se limitera ici à des simulations numériques pour d= 1 etd= 2 facilement exécutables sur un ordinateur portable). Pour simplier les notations, on supposera que Vper est Z^d-périodique, c'est-à- dire que

∀R∈Z^d, V_per(x−R) =V_per(x) pour presque toutx∈R^d.

On noteΓ =]−1/2,1/2]^dla cellule de Wigner-Seitz du cristal, etΓ^∗=]−π, π]^dsa première zone de Brillouin [2]. On introduit les espaces de Hilbert

L²_per =n

u∈L²_loc(R^d,C)|uZ^d-périodiqueo

, (u, v)_L²

per= ˆ

Γ

u v, et, pour toutm∈N^∗,

H_per^m = n

u∈H_loc^m(R^d,C)|uZ^d-périodiqueo

, (u, v)H_per^m = X

|α|≤m

ˆ

Γ

∂^αu ∂^αv.

On montre facilement, en utilisant les séries de Fourier, que pour tout0≤m < n, l'injection H_perⁿ ,→H_per^m est compacte (par convention H_per⁰ =L²_per).

1

Eléments de théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints

SoitHun espace de Hilbert réel ou complexe. Un opérateur linéaire surHest par dénition une application linéaireA : D(A)→ H, oùD(A)est un sous-espace vectoriel deH, appelé le domaine deA. On dit que l'opérateurA est à domaine dense siD(A) est dense dansH. Soit Aun opérateur linéaire sur H à domaine denseD(A). L'adjoint de A est l'opérateur linéaire surHnoté A^∗ déni par

D(A^∗) ={u∈ H | ∃v_u ∈ Htel que ∀w∈D(A), (vu, w)H= (u, Aw)H}, où (·,·)_H désigne le produit scalaire deHet

∀u∈D(A^∗), A^∗u=v_u,

v_u désignant l'unique vecteur de H tel que ∀w ∈ D(A), (v_u, w)H = (u, Aw)H (l'unicité est une conséquence du théorème de Riesz et de la densité de D(A) dansH). On dit que l'opérateur Aest auto-adjoint siA^∗=A, autrement dit si

D(A) =D(A^∗) et ∀u∈D(A) =D(A^∗), A^∗u=Au.

On noteL² :=L²(R^d,C)et

(u, v)_L² :=

ˆ

R^d

u(x)v(x)dx.

De même, on note pour toutm∈N^∗,H^m :=H^m(R^d,C), et (u, v)_H^m := X

|α|≤m

ˆ

R^d

∂^αu(x)∂^αv(x)dx.

On rappelle qu'avec la condition de normalisation suivante : fb(k) = 1

(2π)^d/2 ˆ

R^d

f(x)e^−ik·xdx,

la transformée de Fourier dénit une isométrie bijective de L² dans lui-même. De plus, u∈H^m si et seulement si la fonctionk7→(1 +|k|²)^m/2u(k)b est dansL².

Question 1. Opérateur d'énergie cinétique

On noteH0 l'opérateur linéaire sur L² de domaine D(H0) =H² déni par

∀u∈D(H₀), H₀u=−1 2∆u.

Montrer que H₀ est un opérateur auto-adjoint sur L². Indication : utiliser la transformée de Fourier.

Soit A un opérateur sur H à domaine dense D(A). Le spectre de A est le sous-ensemble de Cnotéσ(A)déni par

σ(A) ={λ∈C|(λ−A) : D(A)→ Hnon-inversible}. Le spectre d'un opérateurA peut être caractérisé par la propriété suivante :

2

Théorème 1.λ∈σ(A) si et seulement si il existe une suite(φn)n∈N de vecteurs deD(A) telle que

∀n∈N, kφ_nk_H= 1 et k(λ−A)φ_nk_H −→

n→∞0.

Question 2. Spectre de l'opérateur d'énergie cinétique

Montrer que pour tout λ∈C\R+,(λ−H0) (considéré comme un opérateur linéaire de H² dansL²) est inversible. Montrer que siλ∈R+,(λ−H0)est injectif, mais pas surjectif.

En déduire que σ(H₀) =R+. Indication : utiliser la transformée de Fourier.

Théorie de Bloch-Floquet

Soit u ∈ C_c^∞(R^d,C). La transformée de Bloch de u (pour le réseau Z^d) est la famille de fonctions(uq)q∈Γ^∗ dénie par

∀x∈R³, uq(x) = X

R∈Z^d

u(x+R)e^−iq(x+R).

Pourg∈L¹(Γ^∗), on note

Γ^∗

g(q)dq= 1

|Γ^∗| ˆ

Γ^∗

g(q)dq= 1 (2π)^d

ˆ

Γ^∗

g(q)dq. Question 3. Propriété de la transformée de Bloch

3.a Soitu∈C_c^∞(R^d,C). Montrer que pour toutq∈Γ^∗,uq ∈L²_per∩C^∞(R^d,C), puis que

∀x∈R^d, u(x) =

Γ^∗

u_q(x)e^iq·xdq et kuk²_L2 =

Γ^∗

ku_qk²_L2 perdq.

3.b On suppose dorénavant pour simplier queV_perest de classeC^∞. Sous cette hypothèse, H_peru∈C_c^∞(R^d,C) pour tout u∈C_c^∞(R^d,C). Montrer que

(H_peru)(x) =

Γ^∗

(H_qu_q)(x)e^iq·xdq,

oùHq est l'opérateur auto-adjoint sur L²_per de domaine H_per² déni par

∀v∈H_per² (Γ), Hqv=−1

2∆v−iq· ∇v+1

2|q|²v+Vperv.

Question 4. Spectre des opérateurs Hq et Hper

4.a Soitλ∈R. Montrer que(λ−Hq) : H_per² →L²_per est non-injectif si et seulement si il existe u∈H_per¹ tel que

∀v∈H_per¹ , aq(u, v) =λ(u, v)_L²

per, (2)

où

a_q(u, v) = 1 2

ˆ

Γ

∇u· ∇v+ ˆ

Γ

(−iq· ∇u)v+1 2|q|²

ˆ

Γ

u v+ ˆ

Γ

V_peru v.

3

4.b En admettant que le Théorème 7.3.2 et la Remarque 7.3.3 du cours [1] sont encore valables lorsqu'on travaille avec des espaces de Hilbert complexes (en remplaçant l'hypothèse de symétrie de la forme bilinéaire par une hypothèse d'hermiticité de la forme sesquilinéaire), montrer que pour tout q ∈ Γ^∗, il existe une suite croissante (_n,q)n≥1 de réels qui tend vers+∞, et une base Hilbertienne(u_n,q)n≥1 de L²_per telle que

∀n∈N, Hqun,q =n,qun,q. 4.c Montrer que σ(Hq) ={_n,q}_n≥1.

4.d En admettant que les formules de Courant-Fisher [1, Proposition 7.3.4] sont encore valables pour les formes sesquilinéaires sur les espaces de Hilbert complexes, montrer que pour toutn≥1, la fonctionq 7→_n,q est continue sur Γ^∗, puis vérier que pour toutq ∈]−π, π[^d,n,−q=_n,q.

4.e (question facultative) Montrer, à l'aide du Théorème 1 ci-dessus, que σ(Hper) = [

q∈Γ^∗

σ(Hq). (3)

4.f Déduire des questions précédentes que le spectre de Hper est une union dénombrable d'intervalles fermés (on parle de spectre de bandes).

Simulations numériques du spectre de bandes d'un cristal parfait

Question 5. Calcul d'un spectre de bandes en 1D avec Scilab On considère le cas oùd= 1etV_per(x) = 1

2cos(x) +3

2sin(2x+ 1). Calculer numériquement la partie du spectre de H_per comprise entre −∞ et 10 en discrétisant (2) en modes de Fourier, et en utilisant Scilab. On étudiera la vitesse de convergence des extrémités des bandes en fonction de la taille de l'espace d'approximation.

Question 6. Calcul d'un spectre de bandes en 2D avec FreeFem++

On considère le cas où d = 2 et V_per(x, y) = 1

2cosx + 3

2sin(2(x +y) + 1). Calculer numériquement la partie du spectre deH_per comprise entre−∞ et 10 en discrétisant (2) par la méthode des éléments nisP1 et en utilisant FreeFem++. On étudiera la vitesse de convergence des extrémités des bandes en fonction de la nesse du maillage, et en fonction du type d'élements nis choisi. Eectuer la même analyse avec des éléments nis P2.

Références

[1] G. Allaire, Analyse numérique et optimisation, Ecole Polytechnique, Edition 2011.

[2] A. Georges, cours PHY 552A : Physique quantique des électrons dans les solides.

[3] W. Kohn, Nobel Lectures, Chemistry 1996-2000, Ingmar Grenthe ed., World Scientic Publishing, Singapore, 2003.

4