Mini-projet d'analyse numérique du cours MAP 431 Problèmes aux valeurs propres non-linéaires

Mini-projet d'analyse numérique du cours MAP 431 Problèmes aux valeurs propres non-linéaires

Sujet proposé par Eric Cancès (cances@cermics.enpc.fr)

SoitΩ =]0,1[^d, avec d= 1,2ou 3. SoitV ∈C⁰(Ω)etµ∈R+. Pourv∈H₀¹(Ω), on pose E(v) = 1

2 Z

Ω

|∇v|²+1 2

Z

Ω

V v²+µ 4

Z

Ω

v⁴.

On peut montrer que l'espace H₀¹(Ω) est inclus dans l'espace L⁴(Ω) des fonctions v me- surables telles que R

Ω|v|⁴ <∞. Ceci montre que la fonctionE est bien dénie pour tout v∈H₀¹(Ω). De plus, si on munitL^p(Ω)(1≤p <∞) de la norme

kvk_L^p = Z

Ω

|v|^p 1/p

,

l'injectionH₀¹(Ω),→L^p(Ω)est continue pour tout1≤p≤6(pour d≤3).

On considère le problème d'optimisation I = inf

E(v), v∈H₀¹(Ω), Z

Ω

v²= 1

. (1)

On peut montrer que le problème (1) admet exactement deux solutions u et−u, u étant une fonction continue sur Ω et strictement positive sur Ω. D'un point de vue physique,

|u|² modélise la densité de l'état fondamental d'un condensat de Bose-Einstein conné par un potentiel prenant la valeur V dansΩ et+∞ en dehors de Ω; µmodélise l'interaction (répulsive pour µ >0) entre les bosons formant le condensat.

Etude théorique On noteu l'unique solution de (1) positive sur Ω.

Question 1. Montrer queE est diérentiable enu et calculer E⁰(u). Question 2. Montrer qu'il existe un unique réelλtel que

−∆u+V u+µu³ =λu. (2)

Question 3. En adaptant la preuve du Théorème 7.3.5 du cours [1], montrer qu'il existe une suite croissante (λ_k)k≥1 de réels qui tend vers +∞, et une base hilbertienne (u_k)k≥1

de L²(Ω)telle que chaque uk appartienne àH₀¹(Ω)et vérie

−∆u_k+V uk+µu²uk =λkuk. (3) 1

On peut montrer que le réel λ introduit à la question 2 est en fait la plus petite valeur propre de l'opérateur−∆ +V +µu², et que cette valeur propre est simple (autrement dit queλ=λ₁ et queu=±u₁).

On s'intéresse au calcul d'approximations numériques de I, u et λ par la méthode des éléments nis. Soit V_h un sous-espace de dimension nie N_h de l'espace V = H₀¹(Ω), (φ_h,j)1≤j≤N_h une base de V_h, et

I_h= inf

E(v_h), v_h ∈V_h, Z

Ω

v_h² = 1

. (4)

Question 4. Montrer que (4) possède un minimiseuru_hvériantR

Ωu_h≥0. SoitU_h∈R^Nh tel que

∀x∈Ω, u_h(x) =

N_h

X

j=1

[U_h]_jφ_h,j(x).

Montrer qu'il existe λh ∈ R tel que Uh soit solution d'un problème aux valeurs propres généralisé non-linéaire de la forme

A_UhU_h=λ_hM_hU_h

U_h^TMhUh= 1 (5)

oùU_h^T est le vecteur ligne transposé du vecteur colonneUh, oùMh est une matrice symé- trique réelle dénie positive, et oùA_Uh est une matrice symétrique réelle dépendant deU_h. Exprimer les coecients des matricesM_h etA_Uh en fonction des fonctions(φ_h,j)1≤j≤N_h et du vecteurUh.

On cherchera une solution de (4) en résolvant le problème (6) par l'algorithme itératif suivant :

initialisation : choisir un vecteurU_h⁰ ∈R^Nh;

itérations : pour chaque n ∈ N, assembler la matrice A_Uⁿ

h et résoudre le problème aux valeurs propres généralisé linéaire

AU_hⁿVh =λhMhVh

V_h^TMhVh = 1 (6)

Prendre pourU_hⁿ⁺¹ un vecteur propre associé à la plus petite valeur propre du pro- blème ci-dessus et tel que

Nh

X

j=1

[U_hⁿ⁺¹]_j Z

Ω

φ_j ≥0.

Pour simplier, on supposera désormais que V = 0.

I - Etude de convergence en dimension 1

On considère le cas oùd= 1. PourNh ∈N^∗, on poseh= _N¹

h+1,xj =jh, et on prend pour V_h l'espace

V_h = n

v∈C⁰([0,1]) tel quev|_[xj,xj+1]∈P1 pour tout 0≤j≤N_h etv(0) =v(1) = 0 o

. 2

Question 5. Ecrire un programme Scilab permettant de résoudre le problème (4) par la méthode décrite ci-dessus. Ce programme devra eectuer le calcul pour

N_h= 7, N_h = 15, N_h = 23, N_h = 39, N_h = 47, N_h = 59, N_h = 79 (noter que Nh + 1 est un diviseur de 240 pour tous les nombres de cette liste) et fournir comme sorties pour chacune des valeurs ci-dessus deN_h :

une approximation λ_h de la valeur du réelλintroduit à la question 2 ; la valeur de Ih (on pourra remarquer que λh =R

Ω|∇u_h|²+µR

Ωu⁴_h) ;

des approximations des erreurs ku−u_hk_L2,ku−u_hk_H1,|I −I_h|,|λ−λ_h|, obtenues en prenant comme solution de référence la solution numérique correspondant àN_h = 239.

Vérier que si on choisit U₀^h = 0, l'algorithme itératif converge si µ est assez petit, mais diverge siµ est trop grand.

Question 6. Chosir µ > 0 pas trop grand. Tracer les erreurs ku−uhk_L2, ku−uhk_H1,

|I−I_h|,|λ−λ_h|en fonction deh en échelles log-log. Estimer la vitesse de convergence de ces diverses mesures de l'erreur.

II - Etude en dimension 2

On considère le cas où d= 2. Soit N ∈N^∗. On pose h = _N+1¹ , et on note T_h le maillage uniforme de Ω comprenant 2(N + 1)² triangles et construit sur le modèle du maillage représenté sur la Figure 6.12 du cours [1]. On considère l'espace d'approximation

V_h =

v∈C⁰(Ω)tel que v|_Ki ∈P1 pour toutK_i ∈ T_h etv|_∂Ω = 0 .

Pour simplier, on se limitera au cas oùµ= 0(pour lequel on connaît la solution exacte du problème : u(x, y) = 2 sin(πx) sin(πy)).

Question 7. Ecrire un programme FreeFem++ permettant de résoudre le problème (4).

Ce programme devra eectuer le calcul pour

N = 5, N = 10, N = 20, N = 40, N = 80, N = 160, et fournir comme sorties :

une approximation λ_h de la valeur du réel λintroduit à la question 2 (qui vaut 2π² lorsqueµ= 0) ;

les erreurs ku−u_hk_L2,ku−u_hk_H1 et|λ−λ_h|.

Question 8. Tracer les erreursku−u_hk_L2,ku−u_hk_H1,|λ−λ_h|en fonction dehen échelles log-log. Estimer la vitesse de convergence de ces diverses mesures de l'erreur.

Question 9 (facultative). Reprendre les deux questions précédentes en prenant pour espace d'approximation l'espace

V_h =

v∈C⁰(Ω)tel que v|_Ki ∈P2 pour toutK_i ∈ T_h etv|_∂Ω = 0 .

Références

[1] G. Allaire, Analyse numérique et optimisation, Ecole Polytechnique, Edition 2009.

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