St. Joseph/ICAM Toulouse CB1 - 2020-2021 - Correction
CB n
◦1 - Compléments d’algèbre linéaire - Sujet 1
1. Déterminer la nature de l’endomorphisme deR3 canoniquement associé à la matrice Asuivante, ainsi que ses éléments caractéristiques.
A=
3 −2 −2 2 −1 −2 2 −2 −1
A2 = I3, donc A est la matrice de la symétrie s par rapport à Ker(s−Id) = Vect{(1,1,0),(1,0,1)}
parallèlement à Ker(s+Id) =Vect{(1,1,1)}.
2. On considère les sous-espaces vectoriels deR3 suivants :
F ={(x, y, z)∈R3, x−y= 0},G={(x, y, z)∈R3, x+y−z= 0etx−y−z= 0}
a. Déterminer des bases deF et deG, et montrer que ces sous-espaces vectoriels sont supplémentaires.
F =Vect{(1,1,0),(0,0,1)}etG=Vect{(1,0,1)};
1 0 1 1 0 0 0 1 1
= 16= 0 donc F etGsont supplémentaires.
b. Donner la matrice dans la base canonique de la projection sur F parallèlement àG.
matC(p) =
1 0 1 1 0 0 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0
−1 1 1 1 −1 0
=
0 1 0 0 1 0
−1 1 1
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St. Joseph/ICAM Toulouse CB1 - 2020-2021 - Correction
CB n
◦1 - Compléments d’algèbre linéaire - Sujet 2
1. Déterminer la nature de l’endomorphisme deR3 canoniquement associé à la matrice Asuivante, ainsi que ses éléments caractéristiques.
A=
1 2 2
−2 −3 −2
2 2 1
A2 =I3, doncA est la matrice de la symétrie s par rapport à Ker(s−Id) =Vect{(1,−1,1)} parallè- lement à Ker(s+Id) =Vect{(1,0,−1),(0,1,−1)}.
2. On considère les sous-espaces vectoriels deR3 suivants :
F ={(x, y, z)∈R3, x+y−z= 0},G={(x, y, z)∈R3, x+y= 0etx−z= 0}
a. Déterminer des bases deF et deG, et montrer que ces sous-espaces vectoriels sont supplémentaires.
F =Vect{(1,0,1),(0,1,1)}etG=Vect{(1,−1,1)};
1 0 1 0 1 −1 1 1 1
= 16= 0 donc F etGsont supplémentaires.
b. Donner la matrice dans la base canonique de la projection sur F parallèlement àG.
matC(p) =
1 0 1 0 1 −1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 0
2 1 −1
−1 0 1
−1 −1 1
=
2 1 −1
−1 0 1
1 1 0
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