St. Joseph/ICAM Toulouse CB1 - 2019-2020 - Correction
CB n
◦1 - Compléments d’algèbre linéaire - Sujet 1
1. On considère les matrices A=
3 0 2
0 −1 0
−4 0 −3
, etB =
0 1 −1
−1 2 −1
−1 1 0
.
Déterminer la nature des endomorphismes de R3 canoniquement associés à A et B, ainsi que leurs éléments caractéristiques.
A2 = I3 donc A est la matrice de la symétrie s par rapport à Ker(s−IdR3) = Vect{(1,0,−1)}
parallèlement à Ker(s+Id
R3) =Vect{(0,1,0),(1,0,−2)}.
B2 =B donc B est la matrice de la projection p sur Im(p) = Vect{(0,1,1),(1,1,0)} parallèlement à Ker(p) =Vect{(1,1,1)}.
2. On considère les sous-espaces vectoriels deR3 suivants :
F ={(x, y, z)∈R3, y+z= 0},G={(x, y, z)∈R3, x−z= 0etx−y+z= 0}
a. Déterminer des bases deF et deG.
F =Vect{(1,0,0),(0,1,−1)}, etG=Vect{(1,2,1)}.
b. Montrer que F etGsont supplémentaires dansR3, à l’aide d’un déterminant (justifier la réponse).
On note f1= (1,0,0), f2= (0,1,−1)etg= (1,2,1).
det(f1, f2, g) = 36= 0, donc la famille (f1, f2, g) est libre, de cardinal 3, c’est donc une base de R3; F etGsont supplémentaires.
c. Donner la matrice dans la base canonique de la projection sur F parallèlement àG.
La matrice de passage de la base canonique C à la base (f1, f2, g) est P =
1 0 1
0 1 2
0 −1 1
.
On a : M atC(p) =P
1 0 0 0 1 0 0 0 0
P−1=
1 −1
3 −1 3 0 1
3 −2 3 0 −1
3 2 3
.
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St. Joseph/ICAM Toulouse CB1 - 2019-2020 - Correction
CB n
◦1 - Compléments d’algèbre linéaire - Sujet 2
1. On considère la matrice A=
−1 0 −1 0 1 0 2 0 2
, etB =
−1 2 −2
−2 3 −2
−2 2 −1
.
Déterminer la nature des endomorphismes de R3 canoniquement associés à A et B, ainsi que leurs éléments caractéristiques.
A2 =A donc Aest la matrice de la projectionp sur Im(p) =Vect{(−1,0,2),(0,1,0)} parallèlement à Ker(p) =Vect{(1,0,−1)}.
B2 =I3 donc B est la matrice de la symétrie s par rapport à Ker(s−IdR3) =Vect{(1,1,0),(0,1,1)}
parallèlement à Ker(s+IdR3) =Vect{(1,1,1)}.
2. On considère les sous-espaces vectoriels deR3 suivants :
F ={(x, y, z)∈R3, x+y−z= 0},G={(x, y, z)∈R3, x+z= 0etx+y+z= 0}.
a. Déterminer des bases deF et deG.
F =Vect{(1,0,1),(0,1,1)}, etG=Vect{(1,0,−1)}.
b. Montrer que F etGsont supplémentaires dansR3, à l’aide d’un déterminant (justifier la réponse).
On note f1= (1,0,1), f2= (0,1,1)etg= (1,0,−1).
det(f1, f2, g) =−26= 0, donc la famille (f1, f2, g) est libre, de cardinal 3, c’est donc une base deR3; F etGsont supplémentaires.
c. Donner la matrice dans la base canonique de la symétrie par rapport à F, parallèlement à G.
La matrice de passage de la base canonique C à la base (f1, f2, g) est P =
1 0 1 0 1 0 1 1 −1
.
On a : M atC(s) =P
1 0 0 0 1 0 0 0 −1
P−1=
0 −1 1
0 1 0
1 1 0
.
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